經典微積分題: 1/2 階乘是什麼呢? (1/2)!=?

[@tyesist]

實在有趣，原來1/2階層是有定義有答案的。這個數學講解我聽得懂

[@dolu220]

數學家到底都在想什麼？連個階乘都會跟e有關...然後兩隻筆咻來咻去，積分微分弄一弄就冒出了個π，真神奇 （無惡意，純粹讚嘆與不解）

[@尤拉數]

（1/2）！要轉換為極座標下去積分，比較好算！

[@盧勇誌]

感謝老師詳細的解說。 只是我真的鴨子聽雷，聽無。 我學數學有限，伽瑪函數，大兀函數第一次聽到。 長知識了 謝謝！ 謝謝！

[@少尾巴]

經典的階乘問題

[@Tim78763]

笑死，少尾巴

[@_id_5829]

@@Tim78763 笑死

[@seanming75]

有階乘就有半階乘跟琶乘

[@paulsylu]

很簡單就是階乘的重新定義， 或擴展！

[@大少一青爺]

曹老師 曹老師 我愛你！

[@yorlorshikutsumabuki6590]

曹老師也是我的菜🤩

[@yangw3049]

Wait, so you had a Chinese channel all these time ??!!

[@bprptw]

Yes lol

[@hwc3669]

老師請問:「 二分之一階乘」有沒有違背階乘的定義啊?

[@leonwaters]

其实在做解析延拓啦

[@MathAndArt]

老师红蓝笔切换好丝滑

[@HCY00125]

身為暑假後要去讀統計所的我看到這個就馬上想到gamma

[@shawnzhsh]

最后一句话，不严谨： 0！=1 是人为定义的。 我说不严谨的理由是：x!，从(0，+∞)，是递增函数。如果是[0，+∞)，就是0！是特例。

[@toby9133]

階乘的正實數最小值是多少？怎麼算？ 我用程式逼近的結果為， 0.4616到0.4618之間， 如何求解析解？

[@波浪浮]

我只知道要先求導數， 但我不知道階乘的導數怎麼求。

[@bprptw]

Heyyyy Toby, 好久不見！

[@toby9133]

@@bprptw 好久不見～

[@divisix024]

Γ’(x)=Γ(x)ψ(x) 其中 ψ 是 digamma function, 就是Γ 函數取log 再微分 Gamma 函數沒有零根，所以局部最小值一定在ψ 的零點 但這些零點長得很醜只能數值解 見例如維基百科

[@SeanChan8]

好厉害

[@user-user-user-user-user-888]

感覺是一個搬石頭砸腳的問題呢

[@pbice]

多久沒刮鬍子了？🧔‍♂

[@welldonehuang9133]

wow，原来老师也有汉语的频道 。

[@beforelink5965]

曹老师有兴趣录制解释里面一些常用的数值的影片吗？比如那个-∞∫∞（e^-x2）dx为什么等于Π^(1/2)？每次感觉好像懂了，但看到这些直接拿来的数值就感觉有点不踏实

[@bprptw]

我有部舊影片 kzbin.info/www/bejne/h5W8pJWuZbiJgaM

[@kaichuanleong7239]

老师要怎么解决我对微积分的恐惧😢

[@ChengJiaStat]

一个gamma function养活了许多数学youtuber😂

[@andromedaperseus954]

原來老師的聲音是這樣😂 在Instagram上面刷到的影片都沒說話🤣

[@HanwenJin]

所以伽马函数为什么要定义n！=G（n+1）？

[@yanghauian53]

因為歐拉在嘗試用gamma函數來表達beta函數時發現這樣定義gamma函數會比較簡潔

[@真是讓人摸不著頭腦]

感覺要大學有修過這方面才能看得懂一點，解釋給高中的人看要從頭講符號又太花時間

[@lemon9453]

在交易的世界裡 0.886也是一種常用的黃金比例

[@美乃滋是不是一種-b5h]

其實只是差不多而已，你說的那個應該是黃金比例開四次方根，而這裡的是π^2/16

[@2cosXcos-1]

@@美乃滋是不是一種-b5h 0.5次方

[@很有耐心的貓]

老師可以介少Bessel function 嗎貝索😂

[@ChangBenjamin]

階乘的定義是什麼先講清楚啦！

[@ozone924]

從整數延拓到分數，失去直觀的意義，有什麼應用的價值嗎？

[@hung-wuwu5804]

你有沒有想過分數次的微分或積分也可以定義？x^3 2次微分是6x，3/2次微分是什麼？gamma函數在這裡可以用到。

[@美乃滋是不是一種-b5h]

想請問廣義階乘有什麼時候會使用到嗎

[@中皓陳]

Gamma函數在統計物理裡面很常用

[@hung-wuwu5804]

實數次微積分的計算

[@林佳佳-m3u]

我竟然看完了…

[@qiangli7323]

正态分布的一半。

[@BenziLZK]

果然听你说中文比英文容易懂多了😂😂

[@oneli8492]

π=4，（1/2）！=1🤣

[@张薇-h3v]

手里是啥哦

[@stanlyong]

sqr(pi)/2

[@Davidlo0722]

大二的工程數學（物理數學）就可明白！

[@pengchengwu447]

不知道您还说中文？！

[@何俊傑-c1p]

你沒解釋為什麼要用這兩種函數...也沒解釋為什麼這兩種函數長這樣...

[@gg-ll5yr]

阿函數的定義就長這樣啊，你不會問為什麼正弦是對邊除斜邊吧

[@cuptea859]

1. 為什麼選這兩個函數？ 因為他們都可以是階乘函數在複平面上的解析研拓函數。 2. 為什麼這兩種函數長這樣？ 階乘函數也是有其他樣子的解析研拓函數，但是複數解析研拓有個很重要的性質就是零點以外會一樣，就算函數看起來完全不一樣，這時候看起最漂亮的函數的就會留下來。

[@cuptea859]

他的問題很好，就像正弦如果只是對邊除斜邊的話，請問為什麼 sin(a+bi) = sin(a + 2*\pi + bi)，這裡 i 是複數的 i, a, b 屬於實數, \pi 是圓周率。

[@WW-fu1wv]

@@cuptea859 这2个函数把n代在里面就是階乘

[@WW-fu1wv]

@@cuptea859 因为加了2pi不会影响值，在複变里加2pi很重要，你学到的时候就懂了

[@WENRUAY]

那麼, 最小的階乘值x!是多少?當x=?時?

[@leeeqewqr951]

負數的階乘呢？

[@小衫-n2q]

負數沒有階乘

[@leeeqewqr951]

@@小衫-n2q有 不過就是解析延拓了

[@cyka._.39]

​@@小衫-n2q錯，是負整數沒有階乘

[@小衫-n2q]

@@cyka._.39 對，謝謝補充

[@nonsugermango]

甚麼沒有 沒有就自己定義一個出來

[@SigfriedNothung]

is he chinese or japanese ?

[@張永璿]

Taiwanese

[@TL_BananaGreen]

He has an English channel @blackpenredpen

[@oo7521]

完全不懂

[@miku3920]

什麼鬼又積分又微分的

[@anyOutsider]

祝福你以後的人生被微積分絆倒❤️

[@yiquny]

从定义看，(1／2)！就没有意义

[@maniacklk8708]

胡說八道！連階乘的基本數學概念都沒搞清楚，就瞎說。 階乘的定義域就是自然數（正整數），無法適用於一般有理數。

[@bprptw]

你冷靜一點。先去買杯可不可還是龜記喝一下。我也要一杯，順便幫我買份雞排。謝謝。 然後再看看這部影片 kzbin.info/www/bejne/gmW3o61spauoqpYsi=N8aOKINxtQoRWmB2

[@maniacklk8708]

@@bprptw 蠢蛋，Pi函數和Gamma函數只是應用差值而已，只是人為虛構編造出來的函數，用來擬合離散階乘數的遞歸性，其計算結果根本就不是真正的階乘。

[@wanderingpoetinvoid]

@@bprptw 我比較好奇的是，討論分數階乘時，為何先考慮的是它的答案，而不是定義？ 延展沒問題，它在現實所表示的意義或是算式是甚麼呢？

[@wanderingpoetinvoid]

原始階乘在坐標軸上非連續函數，非正整數階乘只是人用展延的方式得到的連續函數，而正整數階乘值的點恰好落在這條函數的線上，所以才能推導出非正整數階乘的值，但這些值在現實中沒有形，無法透過算式計算得到這些值。 數學很多值在現實中都是無意義或是錯誤的，之所以好用因為人類只需要近似值，拿真實世界來說，你不可能得到3.14量子這種周長，構成物質能量最小單位就是一個量子。

[@bprptw]

@@maniacklk8708 你冷靜下來了沒?