美國數學老師解法曝光！破解台灣排列組合經典難題

Рет қаралды 21,414

李翰數學思考卓絕

Күн бұрын

Пікірлер: 72

@lihanmath 3 ай бұрын

加入我們的官方LINE:line.me/ti/p/9ulH8nE2eN (加入官方LINE把你覺得有趣、不懂的題目私訊給我們，就有機會讓老師為你拍一部片講解喔~)

@張騰達 3 ай бұрын

3⁴+3³+3²+3¹+3⁰+1=122 把6顆球編1~6號， 3⁴代表1號球和2號球不同箱子 3³代表1號2號同箱子，3號在另一個箱子 3²代表1~3號同箱子，4號在另一個箱子以此類推，最後+1是因為有6個球在同個箱子的情況沒算到

@guest_of_randomness 3 ай бұрын

來朝聖~

@pierredefermat762 2 ай бұрын

厲害，能另闢蹊徑想到這個解法實在不可思議。樓主寫得非常簡潔，這裏我幫樓主補充説明一下。樓主使用的解法是分段式二分法，此法可以窮盡所有的可能。基本概念就是：先設立一個容易計算的特殊情況，再把被這種情況排除在外的所有情況分段式地二分排除、計入，最後窮盡所有的可能。 3⁴ => 三個箱子分別爲“擁有1號球的箱子”、“擁有2號球的箱子”、“既無1號球也無2號球的箱子”。那麽餘下的3號~6號球任意選擇要進入的箱子共有3⁴種選擇法。注意，2號球要嘛和一號球在同一個箱子，要嘛在不同的箱子，沒有別的可能 // 這也是二分法可以成立的關鍵。上面已經計算了1、2號在不同箱子的所有情況，下面計算1、2號同個箱子的情況。先算1、2號球同個箱子，而3號球在不同箱子的情況： 3³ => 三個箱子分別爲“擁有1號球和2號球的箱子”、“擁有3號球的箱子”、“沒有1、2、3號球的箱子”。將餘下的4號~6號球任意選擇要進入的箱子共有3³種選擇法。同理，3號球要嘛和1、2號在同一個箱子，要嘛在不同的箱子，沒有別的可能 // 繼續套用二分法。下面計算1、2、3號球在同個箱子的情況。先計算1、2、3號球在同個箱子，而4號球箱子在不同箱子的情況： 3² => 三個箱子分別為”擁有1、2、3號球的箱子“、”擁有4號球的箱子“、”沒有1~4號球的箱子“。將餘下的5、6號球任意選擇要進入的箱子共有3²種選擇法。以此類推，可知： 3¹ => 三個箱子分別為”擁有1~4號球的箱子“、”擁有5號球的箱子“、”沒有1~5號球的箱子“。 6號球有三個箱子可選。 3⁰ => 三個箱子分別為”擁有1~5號球的箱子“、”擁有6號球的箱子“、”沒有球的箱子“。只有一種情況。最後，還有一种情況就是 1 => 三個箱子分別爲”擁有1~6號球的箱子“、”無球空箱“、”無球空箱“ 因此，所有的可能情況為3⁴+3³+3²+3¹+3⁰+1=122

@richliao7995 3 ай бұрын

介紹一個使用程式動態規劃解決的方法，一樣3顆箱子6顆球定義函數 f(a, b) -> 使用了a個相同箱子裝b個不同球的方法數(這a個箱子皆至少有一顆球) f(1, n) = 1 -> 只有一個箱子，不論有多少球，方法數為1 f(2, n) = f(1, n-1) + 2*f(2, n-1) -> n-1顆球時，若只裝1個箱子，第n顆球只能放空箱子 + 若裝了2個箱子，第n顆球有2種選擇 f(3, n) = f(2, n-1) + 3*f(3, n-1) -> n-1顆球時，若只裝2個箱子，第n顆球只能放空箱子 + 若裝了3個箱子，第n顆球有3種選擇 1顆球時: {f(1, 1), f(2, 1), f(3, 1)} = {1, 0, 0} 2顆球時: {f(1, 2), f(2, 2), f(3, 2)} = {1, 1, 0} 3顆球時: {f(1, 3), f(2, 3), f(3, 3)} = {1, 3, 1} 4顆球時: {f(1, 4), f(2, 4), f(3, 4)} = {1, 7, 6} 5顆球時: {f(1, 5), f(2, 5), f(3, 5)} = {1, 15, 25} 6顆球時: {f(1, 6), f(2, 6), f(3, 6)} = {1, 31, 90} 最後將1+31+90=122即為答案這個方法看似複雜，但其實計算簡單，且可以拓展到任意數量的箱子和球

@生活空間 3 ай бұрын

很好的做法其實窮舉那部分會發現很多數值已經算過了

@Steven-ov4no 3 ай бұрын

不錯欸沒想過dp 可以幫上忙

@談你小几几 3 ай бұрын

第二史達林數的遞迴公式

@耿鬼一樣 2 ай бұрын

Starling number

@lieric2033 3 ай бұрын

這方法很聰明，不過如果箱子一多，比如說4個相同箱子，這樣需要扣掉的特例也就多了。只是剛好三個箱子只需要考慮6 0 0 這個特例。四個箱子還有 4 2 0 0，5 1 0 0，這類

@r881011 3 ай бұрын

套句廣告台詞：[人生動不動，都在競爭]，希望李翰老師的出現，可以帶動補教業的師生們大家一起成長。

@chen-chiachen3559 2 ай бұрын

水蠻牛😂😂

@哀恩欸芙屁 3 ай бұрын

我的思路是這樣的：這題其實等於這道方程 "a + b + c = 6, 且 a, b, c >= 0" 有多少個解法將6個球定為 A B C D E F, 用2塊一模一樣的隔板 ("|") 隔住，就可以把這6個球分成三份，然後每份裝進1個箱子例如這樣：A B C D | E | F 將這6個球和2個隔板排列，就可以得出 "把6個球放進3個箱子" 的所有方法，共 (6+2)! = 8! 種由於隔板一模一樣，所以我舉出的例子，無論是 "E 前面的隔板是第一塊, E 後面的隔板是第二塊" 的排列, 還是 "E 前面的隔板是第二塊, E 後面的隔板是第一塊" 的排列, 都要算同一種排列，所以這個 8! 要除以 2! -> 答案 = 8!/(2!) = 20160 我看到正確答案比我的答案差這麼多的時候，就知道我重算了許多的組合，比如把全部球只裝進同一個箱子的組合: A B C D E F | | | A B C D E F | | | A B C D E F 這三個組合都要算同一個組合請問有沒有辦法不用影片中的方法，在我方法的基礎上接續 "8!/(2!)" 的算式，令算式計出 "122 種方法" 的正確答案? 謝謝！😁😁🙏🙏

@夏-n5p 3 ай бұрын

不行因為|ABCDEF| 和|BACDEF|也是相同的一種，但在你的算法裡是不同的箱子裡的球數不同的時候，被你的方法所重複算的相同組合的總數量會不同因此無法簡單的除掉本題從「球」的排列出發就直接走入誤區了

@高昱翔-u9u 24 күн бұрын

你這個算法是用來算3個不同箱子裝6顆相同球的方式

@家安27劉 2 ай бұрын

可以用H嗎？

@Yu-Lin-s4n 3 ай бұрын

不一樣就是不一樣… 李翰老師該舞台幫你搭好了

@samchang8263 3 ай бұрын

那10顆不同的球放入五個相同的箱子，每個箱子至少要有一顆有幾種方法呢？

@某天成為王子不滅神蹟 3 ай бұрын

最直觀的方法就是照著影片中的作法，最後再把1個箱子沒球和2個箱子沒球的情況全扣掉。

@jackshih2262 3 ай бұрын

斯特林數，我學離散時有印象，但不會算了

@TWALBEVA 3 ай бұрын

桌面上有花式撞球1 - 6號，技術超強的選手可以只出最多3杆就清完檯面 (甚至一杆清盤)，請問有幾種方法清空檯面😅

@eziotamagno 2 ай бұрын

Congratulations you find the English comment ! Just know that the guy in black (redpenblackpen) has an enligh channel

@徐瑞斌-i8o 3 ай бұрын

我也是用速解法，但，沒發現通例裏面，居然有個6,0,0的特例，不能除以3！真是受教了。

@jjohnnystwsss 3 ай бұрын

這部影片證明大學數學不需要會排組😂

@cheongsn3810 3 ай бұрын

看你念什麼系，我大學四年每年都有在算排組

@derekhcj3 3 ай бұрын

最好離散裡面就一堆排列組合...

@cano770708 3 ай бұрын

主要看學得是哪種數學

@makehimobsessedwithyou6412 2 ай бұрын

大學多數都係微積分

@三寶就是我 3 ай бұрын

很想問數學家不是挺排斥白板的嗎😂

@呂永志-x7o 5 күн бұрын

老師叫黑筆紅筆，他的影片一般都是用白板。

@曾大一 3 ай бұрын

這是古早高中數學的標準題...

@chen-chiachen3559 2 ай бұрын

片尾最下面是15吧

@竹一-x3i 3 ай бұрын

我個人超不喜歡這種速解法ㄟ這種速解法箱子一多就完全不適用了吧

@雪羽夜-u5b 3 ай бұрын

我對這個方法的理解是6個不同物先分堆之後，三堆就可以視為不同物，再把三堆配到不同箱子的結果，會跟直接發到三個不同箱子的結果一樣，除了只有一堆有東西的情況(因為6 0 0分給三個不同箱子只有三種分法)，如果照這個想法，四個箱子的情況就不能這麼簡單算出來吧？

@PurpleLavender-ms2xk 3 ай бұрын

的確，如果四個箱子好像不能直接除以4階，因為會有4 2 0 0等的狀況

@DoongXiouHua 3 ай бұрын

怎麼不行？只是要考慮的狀況比較多而已，一樣可以速解啊

@cheongsn3810 3 ай бұрын

@@DoongXiouHua 好那你告訴我現在有a個不同的球放進b個相同的箱子有幾種方法

@DoongXiouHua 3 ай бұрын

@@cheongsn3810 他只說箱子多的狀況，沒說要推廣到任意的a,b耶，請問用影片一開始那種把情況列出來算的方式有辦法推廣到任意a,b嗎？不行的話沒道理叫我推廣吧？

@alex113327 3 ай бұрын

考試根本沒有這麼長的時間分析

@makehimobsessedwithyou6412 2 ай бұрын

對

@binghancai6925 3 ай бұрын

上市场买五种不同的水果，数量也不一致，放入三个袋子，只要有办法提回家即可，等你解完我已经回家了。数学要运用在实际生活中，实在难具说服力。

@wupoi9 3 ай бұрын

虛數i在被發明時，人們也覺得這個數根本不存在，把虛數i的運算方式定義的這麼清楚要做什麼，現實中完全不會用到了。但是，進入20世紀後，我們發現薛丁格的波動方程式中，就有虛數i，這個現實生活中完全沒用的數，就成了量子力學中非常重要的東西了。所以，把數學定位在「運用在實際生活中」，實在是太小看這門學問的用處了。

@binghancai6925 3 ай бұрын

我是不会数学的人，对于数学专家表示尊重没有冒犯，我之所以觉得实用性低只是个人才疏学浅的看法，别无恶意。

@chengruizhang7248 3 ай бұрын

無惡意這個詞看久了顯得格外諷刺

@allenchen8559 3 ай бұрын

數學有一個部分在處理「有沒有解」的問題，比如國高中在討論多項式方程式有沒有實數解，這部分你仔細想就會知道，「當你想不到用處時，不代表證明了沒有用處，最多只能說明你還沒找到。如果要證明沒有，必須要有相應的推導過程。」數學還是有很多啟發的，或者說任何事物都是很有啟發的，只要想法不侷限，世界其實還有很多地方可以去發現。

@bca9323 2 ай бұрын

@@binghancai6925 所以沒辦法啊中國就是因為只注重實用性，所以科學研究上一直被西方各國按在地上摩擦你覺得用不了是你用不了，或是現在用不了，不代表他沒有用