Démonstration par récurrence ♦ 5^n-2^n divisible par 3 ♦ Difficile ♦ arithmétique spé maths & expert

[@HuaWei-b8h]

Merci beaucoup pour votre excellente explication ❤❤❤❤🎉🎉🎉

[@BoBal1639]

5^n-2^n=3.k 5^(n+1)-2^(n+1)=5.5^n-2.2^n =(3+2).5^n-2.2^n=3.5^n+2.5^n-2.2^n =3.5^n+2(5^n-2^n) =3.5^n+2.3k =3(5^n+2.k) =3.k’

[@almosawymehdi3416]

En fait vous êtes parti de la fin alors qu'il y'avait plus simple, vous multipliez par 5 des deux côtés: 5*(5^n -2^n) = 5^n+1 -((3+2)*(2^n))= 5^n+1 -2^n+1 -3*2^n =15k puis ensuite vous savez comment faire apparaître un multiple de trois à droite de l'égalité.

[@alexandregaeng3638]

Je sais que c'est hors-programme mais j'ai trouvé une méthode farfelue qui marche et différente des autres commentaires et de la vidéo : je trouve une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 en posant u(n)=5^n-2^n, je reconnais d'après le cours sur les suites récurrentes d'ordre 2 que les deux racines de l'équation caractéristique sont distinctes, réelles et valent r1 = 5 et r2 = 2. L'équation caractéristique unitaire se factorise en (r-5)(r-2)=0 soit r²-7r+10=0 i.e. r²=7r-10. Ainsi, u(n+2)=7u(n+1)-10u(n) et effectivement on peut vérifier en ayant fait le raisonnement à l'envers au brouillon que c'est vrai : 7u(n+1)-10u(n) = 7(5^(n+1)-2^(n+1))-10(5^n-2^n) = 7*5^(n+1)-7*2^(n+1)-10*5^n+10*2^n = 7*5^(n+1)-7*2^(n+1)-2*5^(n+1)+5*2^(n+1)=5^(n+2)-2^(n+2). De là, on peut procéder par récurrence d'ordre 2. On a u(0) = 0 = 0 mod 3 et u(1) = 3 = 0 mod 3 puis en supposant u(n)=0 mod 3 et u(n+1)=0 mod 3 alors u(n+2)=7*0-10*0 mod 3 = 0 mod 3.

[@starkenldkyoka9068]

Merci beaucoup l'explication est très clair

[@julieng.4375]

Je suis arrivé au même résultat que vous, j'ai pourtant mutliplié mon HR par 5, et avec de la cuisine mathématique , ça fonctionne 😂

[@tristanb6149]

Sinon on peut utiliser la factorisation de a^n-b^n et on voit tout de suite que 5^n-2^n est un multiple de trois

[@jaicomprisMaths]

oui très bonne idée et ce qui va sans doute le + vite c'est de travailler avec les congruences modulo 3, c'est ce que je ferai dans la prochaine vidéo. Mais là l'idée était de faire une récurrence où le passage de Pn à Pn+1 n'est pas facile et ne consiste pas juste à multiplier l'égalité de Pn pour avoir Pn+1

[@zad4528]

ooioooooooooooooioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

[@zad4528]

@@jaicomprisMaths ooooooooooooooooiooooooiiioooooooooooooooiooooiiooooooooooooo

[@arezkisaadouni3439]

Merci

[@mamadèleElong]

Ingénieux la méthode marche uniquement dans des cas particuliers. Elle ne marche pas dans des cas comme 3^2n-2^n divisible par 7

[@HamdinesambaTall]

Good job

[@jaicomprisMaths]

merci