DÉMONTRER (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx. 2 méthodes - 2 mondes

[@maxime_weill]

Super vidéo :). Il y a une troisième méthode qui utilise un outil classique, le tableau de variation : On pose f(x) = (1+x)^n - 1 - nx on a f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n Pour x > 0 , j'éspère qu'on accepte de dire que (1+x)^(n-1) >= 1 (disons par croissance de la fonction x^(n-1) et image de 1 et 1+x) donc f'(x) = 0 Le minimum de la fonction est donc en 0, et f(0) = 0, donc f(x) > 0 pour x>0 CQFD.

[@philippedelaveau528]

J’aime beaucoup vos vidéos car elles amènent les élèves (ou les curieux) à se servir de leur cervelle et non pas à caqueter des formules vides de sens, et j’en tire toujours d’excellentes idées ou améliorations pédagogiques. Et tout ça avec le sourire. Encore faut-il trouver des élèves qui ont la curiosité intellectuelle de s’interesser au sujet.

[@denisdeffunt2974]

Je suis d'accord avec toi : la deuxième démonstration est une pure merveille.

[@saloo65]

Vous êtes très pédagogue ! Respect :) Ps: je suis ingénieur en informatique et vos vidéos me rappellent mes math de lycée. Bonne continuation à votre chaîne !

[@hedacademy]

Merci pour ce retour 😊

[@isalaur1]

On ne se lasse pas de ton enthousiasme ! 😊 brillant.

[@Quasar900]

: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le Dièse " ( ♯ ) !🙂

[@maxime_weill]

8:46 J'ai fait des études de maths jusqu'en master et je donne des cours particulier et je partage souvent ce sentiement après la démonstration d'un truc évident, surtout avec un étudiant, parceque moi j'suis content d'avoir fait la démonstration mais je me dis que je complique bien les choses pour lui haha.

[@solipsisme8472]

J'ai préféré la première méthode (je trouve les suites et récurrences plus intuitives) mais c'est hyper-intéressant d'avoir les chemins différents pour cette demonstration !

[@josselinbeaumont8917]

Il me bluff !!! J arrive enfin a comprendre des notions qui m échappaient totalement en terminale !!!❤

[@hedacademy]

Trop bien 😃

[@druzicka2010]

en fait, j'aime bien l'approche avec la tangente. c'est seulement à la fin que j'ai compris. loool c'est quand même trop fort. bon finalement la démonstration n'a guère éveillé un éventuel souvenir. restons sur une note positive. gardons cette vidéo à l'esprit pour la ressortir en cas de besoin. 😊 merci. 😉

[@CJDWP]

Bonjour Merci pour vos vidéos toujours très pédagogiques en plus d'être ludiques. Je pense que le ministère de l'éducation devrait vous remettre le prix de la motivation des professeurs de mathématiques !!

[@Quasar900]

Nonn , mais MEDAILLE FIELDS ! Il est encore plus fort que Mickaël Launey de " micmaths"

[@paulclavier4424]

5:00 ca aurait été bien de préciser que ca marche de "juste" multiplier par la même chose des deux côtés parce que (1+x) est positif sinon l'inégalité change de sens !

[@julesserieux6244]

Le prof que j'aurais aimé avoir en sup! Merci pour vos vidéos.

[@pascalvaquie3273]

14:39 "T'as levé les yeux ou pas ??? " 😂😂😂 Merci pour le rappel sur l'équation de la tangente, elle était pas toute récente celle là ! 😁

[@RemyLuciani]

J'avais oublié ces histoires de tangentes et fonctions convexes, merci pour le rafraîchissement de mémoire !

[@genbu9712]

Retour en Terminale S pour moi avec cette vidéo ! La récurrence est assez évidente. Mais le coup de la convexité, c'est fort !! J'avoue avoir une préférence pour la 1ère méthode. J'ai tjs trouvé sympa d'écrire "a fortiori" sur mes copies 😊😅😂 Un grand merci.

[@LouisLeCrack]

la convexite est tres évidente pour le coup

[@Kravchenko_]

Cette assertion se démontre également en utilisant le développement limité de (1+x)^n au voisinage de 0.

[@Quasar900]

la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂 Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! 🙂

[@yoitteri1476]

o(x) est une fonction telle que o(x)/x tend vers 0 quand x tend vers 0

[@Quasar900]

@@yoitteri1476 Bonjour , vous venez de vous réveillez , ? nous on est déjà à l'enigme du dimanche ! 🙂

[@LouisLeCrack]

c'est chaud de raconter n'importe quoi comme ca... qu'est-ce qui te dit que o(x) est positif ????????????

[@Quasar900]

@@LouisLeCrack car x tend vers + ♾ donc (1+x)^n positif

[@Quasar900]

@@LouisLeCrack Old School Boring AMERICAN teachers , sound and look like the following : wah wah wah wah wawawaaah 🥸🥸🥸🥸 Old School Lazy AMERICAN teachers : Ok, Watch this Video 🥸🥸🥸🥸 Strict Old school British teachers : No talking, DO WORK ! 🤔🤔

[@daxterburn]

Je n'ai jamais vu la convexité (même quand on a eu maths en licence) et quand j'ai vu le raisonnement, c'est vachement intéressant 😁

[@philippedelaveau528]

J’aime beaucoup la seconde démonstration. Je ne suis pas sûr que la convexité soit étudiée en terminale. Je vais voir quel est le domaine de validité de n et s et si on peut l’étendre à l’espace des réels.

[@laurentthommet8313]

Franchement excellent...cordialement Laurent

[@hedacademy]

Merci pour ce retour

[@darenfotso379]

quelqu'un sait quelle est la 3e méthode qu'il a mentionné au début?

[@fabricevs5293]

Tu m'as régalé sur cette vidéo ! La beauté des maths ! Merci 😊

[@saiidtemouden9271]

La 1ere est directe simple claire logique à la portée de tout le monde . La 2ème purement mathématique inaccessible que pour les mathématiciens et en plus il faut tomber sur la droite tangente au point 0 au hazard en essayant plusieurs points . Scientifiquement la 1ère est beaucoup meilleure..

[@LouisLeCrack]

"les mathématiciens" hahaha c'est trivial

[@jean-francoislozevis4657]

On aurait pu partir de n = 1 et même n = 0 dans la première démonstration car 1+x >=1+x et dans la première démonstration, il fallait utiliser à un moment le fait que x + 1 => 0 pour être totalement rigoureux. Très intéressant!

[@koishi6979]

J'aime bien les trois démos. Mais, au risque de t'embéter (encore), n'oublie pas de signaler dès le début dans quel ensemble on cherche les réponses, et encore plus dans quels ensembles sont prises les différentes variables. On n'apprend que "n" est entier qu'au bout d'une minute de video et on ne le voit jamais écrit (ne pas oublier les déficients auditifs). Ça reste un superbe boulot qui ma fait très plaisir à regarder et à écouter. Continue, j'adore ta chaîne.

[@Quasar900]

Petit-Pierre (ou Petite Pierre ) ! 🙂 Donc vous connaissez le Japonais ?????

[@Quasar900]

la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂 Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! 🙂

[@Quasar900]

Vous êtes au courant ? : Takahashi Youichi le créateur de Captain Tsubasa , va Finir l'histoire en Avr. 2024 et prendre sa retraite 🙂

[@koishi6979]

Très peu, je m'y suis intéressé à une époque et j'avais étudié quelques bases grammaticales et un peu de vocabulaire. Mon surnom à l'époque était effectivement Petit Pierre et quand j'ai voulu le transcrire en japonais, j'ai découvert que le mot existait (caillou, gallet). Il ne me restait plus qu'à en faire mon inkan. :-) @@Quasar900

[@Quasar900]

@@koishi6979 何年から、日本語を勉強すること？ c'était depuis quand, votre étude du Japonais ?

[@alainreseau6777]

Pourquoi n>1 ? ca marche pour n=1 et n=0, non ?

[@Maxw8ll]

Le développement en utilisant le binôme de Newton a pour deux premiers termes le second membre de l'inégalité les autres termes étant positifs, on montre ainsi l'égalité directement, on peut meme obtenir a second terme plus développé. Cela apporte une démonstration supplémentaire :)

[@Quasar900]

C'est la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂

[@Maxw8ll]

@@Quasar900 La positivité des termes est suffisante. Le résidu ne tend pas vers zéro pour n vers l'infini en revanche.

[@Quasar900]

@@Maxw8ll Oh oui, j'avais en tête le développement limité de (1+x)^n au voisinage de Zéro pour x !

[@xarus5944]

@@Quasar900c’est rigoureusement faux, ton reste n’est pas un o(n) car ta fonction est équivalente en l’infini à x**n

[@Quasar900]

@@xarus5944 o(x) et non o(n) ! et puis je devrais dire en voisinage de zéro la formule que j'ai écrite

[@ezioauditore4935]

C’est très fort .. 💪

[@Imperial_Crown_80]

le magiprof., t'es trop fort

[@michellauzon4640]

Pourquoi n = 2 pour débuter. L'inégalité est évidente pour n = 0 ou 1. De plus, même dans le cas général, n'est-ce pas évident, si x >= 0 par la formule de Pascal ?

[@nolonolox5660]

Très bonne vidéo ! Le binôme de Newton serait une autre méthode bien plus rapide ;)

[@bertrandr.9616]

Super vidéo comme d'hab, mais j'ai une petite remarque. n n'a pas besoin d'être strictement supérieur a 1, mais juste positif ou nul. Pour n=1 on a (1+x)^n=1+x et 1+nx=1+x, l'inégalité est respectée. Pour n=0 on a (1+x)^n=1 et 1+nx=1, l'inégalité est également respectée. Dites moi si je me trompe quelque part!

[@abdelalihadri8320]

Je pense que la démonstration sera regureuse si vous utiliser la notion de limite pour déterminer la dérivé de f en 0 parce que votre domaine de définition doit être les réeles positives et 0 est dans la frontière de cet intervalle ce qui exige plus précisément l'équation de la demi tangente à droite de f en 0 ....

[@benoitdemarcillac1326]

Très intéressant mais attention dans la première demo : l’inégalité reste vrai quand on multiplie par (1+x) car 1+x est positif !!! Sinon il faut inverser l’inégalité Mais bravo pour votre boulot !!

[@TheDefelgar]

Dans la limite, il manque peut-être juste le cas particulier x=0. Dans une limite, même à l'infini. Si x est strictement égale à 0 alors la limite des deux membres sera égale à 1

[@Igdrazil]

TB pour la récurrence, mais une rédaction complète comme celle que l’élève doit rédiger sur sa copie, serait souhaitable, car si les grandes lignes de la récurrence sont souvent assez bien comprises, c’est le détail de la rédaction qui est souvent le point faible, source d’erreurs ou de ralentissements pénalisant. Pour la seconde démonstration par convexité, il y a plus simple. Il n’est pas nécessaire de faire appel à la dérivée seconde et à la caractérisation de la convexité par sa positivité. Il suffit en effet de remarquer qu’en posant f(x)=(1+x)^n, pour tout x non nul, le nombre : T(0) = {(1+x)^n-1}/x = {f(x)-f(0)}/(x-0) est la PENTE de la CORDE de la courbe représentative de f, tendue entre les points (0,f(0)) et (x,f(x)). Et il suffit alors d’invoquer comme caractérisation de la convexité, celle très naturelle et intuitive, qui place toute CORDE issue de (0,f(0)) au dessus de la TANGENTE en ce point. Autrement dit T(0)>f’(0)=n(1+0)^n=n Ce qui donne bien (1+x)^n-1 = f(x)-f(0) > nx Donc : (1+x)^n > 1+nx QED Une troisième démonstration exploite l’identité remarquable : A^n-B^n=(A-B)[A^(n-1)+A^(n-2)B+…AB^(n-2)+B^(n-1)] Dans le cas particulier : A=1+x et B=1, cela donne : (1+x)^n-1 = x[(1+x)^(n-1)+ (1+x)^(n-2)+ …+ (1+x)^2+(1+x)^1+(1+x)^0] Or x>0 donc 1+x>1 Ce qui implique, par stricte croissance sur R+ des fonctions puissance f(x)=x^n : (1+x)^n > 1 Et donc en minorant par 1 chaque n termes de la somme du membre de droite, il vient l’inégalité de Bernoulli cherchée : (1+x)^n-1 > nx QED Et il y a encore bien d’autres démonstrations…😉

[@Quasar900]

La permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂

[@Quasar900]

vous avez donc utilisé la définition Originale de la convexité : le graphe est eb dessous de la corde ! Cedric villani le mentionne dans le cours "" théorie synthétique de courbure de Ricci'' dans la vidéo KZbin éponyme (en 2015) de IHES (Institut des Hautes Etudes Scientifiques) les 10 premières minutes !

[@Igdrazil]

@@Quasar900Bien entendu Taylor est en général le plus fulgurant pour ce genre d’expressions

[@Quasar900]

@@Igdrazil Mais M. Arthur , au moins dîtes nous : êtes vous Professeur en mathématique , vôtre âge , et puis votre pseudo "@Igdrazil " La première lettre est ce que c'est un i Majuscule ou L miniscule ???

[@Igdrazil]

⁠​⁠@@Quasar900oui presque, car la véritable définition TOPOLOGIQUE de la convexité, généralement adoptée, doit rester valable pour les fonctions non dérivables, et ne fait donc pas appel à la notion de tangente et de dérivée. Mais ici elles sont évidemment équivalentes puisque qu’on est dans R avec des fonctions Infiniment dérivables. En effet l’inégalité que j’utilise entre d’une part, la corde tendue entre (0,f(0)) et (x,f(x)), et la tangente en (0,f(0)), s’écrit aussi : f(x) > f(0) + f’(0)x = DL1(de f en x=0) = y(de la tangente en x=0) Or la definition TOPOLOGIQUE de la convexité dit que pour une abscisse 0+t.x donnée entre 0 et x (t variant de 0 à 1), tout point de la CORDE est au dessus de la COURBE : f(0)+tx{f(x)-f(0)}/x = (1-t)f(0)+t.f(x) > f(0+t.x) = f(t.x) Inégalité de la convexité qui est évidemment une égalité pour t=0, et sinon équivalente, pour tout t>0, à : f(x)-f(0) > {f(t.x)-f(0)}/t = x{f(t.x)-f(0)}/(tx-0) Ce qui donne par définition de la dérivée (à droite), en faisant tendre t>0 vers zéro, l’inégalité LARGE : f(x) > f(0) + x.f’(0) Montrant que la courbe (en l’abscisse x) est au dessus de sa tangente-en-zéro (en l’abscisse x). Ce qui est une autre caractérisation importante de la convexité (des fonctions dérivables) qui illustre le fait géométrique que la courbe s’incurve « vers le haut »

[@desiresalia5391]

La deuxième méthode est une bombe

[@francoisdipaola419]

Super exemple d'analyse et d'utilisation de a convexité 👍. Et pour info, on prononce "Bernou lit" et non "Bernou yii" même si cette seconde prononciation semble naturelle. Mes profs de physique ont trop insisté sur ce sujet pour que j'ignore ce fait désolé 😅

[@Quasar900]

Alors figurez-vous qu'à França on dit encore [Gosse] pour le mathématicien allemand "Gauss" au lieu du correct [Ga-ouss] 🙂

[@Quasar900]

aussi [oueistrass] pour " Weistrass" alors que correctement c'est [ Vayè-chtrass] ! Et piire : [Averroès ] pour " Ibn Rochd" ? ibn = fils de .. Rochd = attribu d'être mâture ou sage , d'où le qualificatif " Rachid" (homme) & "Rachida" (femme) donc : mâture sage etc..! biensûr pour un Sage on dira " Hakim" ! :-)

[@francoisdipaola419]

@@Quasar900 A ce compte, oui on prononce mal presque tous les noms en langues étrangères ... mais je dirais que c'est par ignorance de la prononciation. Ma remarque avait du sens en ce que Jacques Bernoulli, certes suisse, a un nom en langue française. Et quant à Averroès, ce n'est pas du tout une mauvaise prononciation mais le fait franciser, ou plus exactement latiniser, un nom en langue étrangère

[@Quasar900]

@@francoisdipaola419 Oui , évidemment c'est le fait de franciser les noms qui change la prononciation ! juste pour Bernoulli c'est écrit en lettre latines 🙂

[@Quasar900]

: Ne pas confondre "Le Croisillon" (#) avec " Le Dièse " ( ♯ ) !🙂

[@Erlewyn]

Pourquoi, en maths, le terme "convexe" (courbe en U) est inversé par rapport au vocabulaire courant, où il désigne au contraire une bosse (un creux étant concave) ?

[@Quasar900]

Convexe ça veut dire que le graphe et en dessus de toutes ces tangentes !

[@Quasar900]

la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂 Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! 🙂

[@Erlewyn]

@@Quasar900 J'ai bien compris, mais ça répond pas du tout à la question 😅

[@walter3124]

@@Erlewyn Si tu penses à des polygones convexes ou concaves (convexe : on met un élastique qui fait tout le tour sans "trous"), eh bien il y a en maths ce qu'on appelle l'épigraphe : c'est l'ensemble des points M(x;y) du plans vérifiant y>=f(x) (autrement dit, tout ce qu'il y a "au dessus" de la courbe). Cette ensemble est convexe au sens de l'élastique, et c'est une équivalence. Au sens de l'élastique, d'ailleurs, la définition de la convexité d'un ensemble E est : pour tout x,y de E, le segment [x;y] est inclus dans E (et par segment [x;y], comprendre : l'ensemble des points de la forme x*t+(1-t)*y. S'il y a un "trou" au niveau de l'élastique, c'est qu'il y a deux points de E qui se font face à face sans que le segment qui les relient soient entièrement dans E. Pour revenir à ton idée initiale : j'imagine que ta visualisation d'une bosse qui est convexe et d'un creux qui est concave vient du fait que tu visualiserais un épigraphe "inversé" par rapport à ce que j'ai dit plus haut (y

[@walter3124]

Ah et j'ai oublié de dire le meme "la première idée qui m'est venu en tête envoyant l'icône de la vidéo !"

[@mathieuend]

Super video perso je préfère la 2eme méthode (j'ai jamais trop aimé les suites 😅) D'ailleurs Est-ce que tu compte faire encore des vidéos sur les derivées ? Celle ou tu parlait du Juste Prix était géniale 👍

[@armand4226]

Joli. J'ai préféré la seconde démonstration. Ma question : à 12:27 tu dis "n il part de 2 et il monte" .... alors que tu montre le moins1 .... pourquoi alors "il monte" ???

[@Quasar900]

Et si on devient amis ? on pourra donc échanger du Savoir sur les sciences par example !

[@mohammadbousnina3804]

n est strictement supérieur à 1, or c'est un entier naturel donc n est Supérieur ou Egal à 2. Quand il dit que ça monte, c'est à dire que peu importe la valeur de n choisie, (n-1) sera tout le temps positif. n-1 strictement superieur à 0 implique que n strictement Supérieur à 1. Or c'est le cas, donc on est bon. J'espère avoir été clair 😅

[@Quasar900]

@@mohammadbousnina3804 Vous êtes du Maghreb ? Bonjour , et salut au Maghreb !

[@mohammadbousnina3804]

@@Quasar900 Non ?! Pourquoi dites-vous ça ?

[@Quasar900]

@@mohammadbousnina3804 Votre nom , n'est-ce pas ? c'est normal qu'il y est bcp de personnes du Maghreb dans les écoles de France en mathématique ! Salut au Maghreb !

[@charleszoul1952]

Bonjour, on pourrait même affirmer le résultat pour n>=1 puisque (1+x)^1=1+1x

[@Kévin-q3w]

Pourquoi vous appliquez la tangente en 0?

[@bouillouxyves7682]

Pourquoi faire commencer à 2? Ça marche pour 1 ( on a l'égalité et non le supérieur strict)

[@feumeu]

Est-ce que ma demonstration est correcte? montrons d'abord (1+x)^n >= 1 on sait que x>=0 donc x+1>=1 donc (x+1)^n>=1^n=1 de plus 1

[@LouisLeCrack]

je vais te dire: c'est totalement n'importe quoi....

[@feumeu]

Pas très constructif comme retour @@LouisLeCrack : Pourriez-vous élaborer davantage avec un support mathématique ?

[@LouisLeCrack]

@@feumeu ok oui, la vous montrez que 1+nx et (1+x)^n sont plus grands que 1 mais qu'est-ce qui te dit que l'un est plus grand que l'autre ?? C'est comme si je disais a >=0 b>=0 donc a>=b. Vous voyez bien que ca marche pas ?

[@feumeu]

@@LouisLeCrack merci beaucoup c'est exact

[@ellaouihenia7506]

Pourquoi on commence à n=2 et pas n=1?

[@flight7218]

Il y a beaucoup plus rapide et c'est instantanée avec l'inégalité arithmetico géométrique, qui dit que (X1.X2...Xn)^(1/n)

[@LouisLeCrack]

tu veux une médaille ? tu compliques pour rien c'est trivial

[@flight7218]

@@LouisLeCrack pour la médaille je suis preneur, je suis pas obligé de penser comme toi.. Et d'arriver à considerer que " c'est trivial"

[@LouisLeCrack]

@@flight7218 tu sais quoi je retire ce que j’ai dit ta preuve est pas mal

[@denisbuguet4060]

7:40 J'ai les yeux qui saigne ...1+x ( n+1) sup ou égale à .1+x ( n+1) +nx² ....avec n et x dans ]1; +00 ]

[@RenaudLemercier]

Aurait on aussi pu comparer les deux dérivées? Si la dérivée de (1+x)n est supérieure supérieure la dérivée de 1+nx c'est qu'elle croit plus rapidement. Du coup si au point le plus bas elle est supérieure ou égale elle le sera toujours. Ce qui est le cas en 0.

[@jeanclaude637]

Bravo

[@Akarass193]

Si x supérieure ou Égale à 0, si on y ajoute 1, on est pas certain d'être strictement supérieure à 1. (8min 14)

[@ambroiser3192]

Je m'attendais presque à voir arriver de la géométrie..😂

[@Quasar900]

la permière idée qui m'est venue en tête envoyant l'icône de la vidéo ! (1+x)ⁿ = 1 + nx + o(x) avec o(x) est une fonction qui tend vers 0 quand n --> infini ! comme tout les termes sont POSITIFS, on donc le RESULTAT 🙂 Trrrrrrrrraaaaaaannnnnnnn !!!! 🙂

[@MrManigairie]

Ouhhhhh lala autant la première démonstration c'est du petit lait, autant la 2 je ne sais même plus ce qu'est une dérivée, j'y reviendrai quand j'aurai "récupéré" ce concept

[@ItalixPubg]

Bon alors pour ne pas souffrir le martyre comme le monsieur, voilà deux méthodes pour détruire cette pauvre petite chose insignifiante.... Méthode 1 : on applique tout bêtement le binôme de Newton : (1+x)^n=somme(i=0,n,C(n,i).x^i) Le premier terme est égal à 1, le deuxième est égal à nx et tous les autres termes sont positifs. Voilà on a fini. Méthode 2 : étant donné que la fonction f définie sur R+ par f(x)=(1+x)^n est dérivable, on peut écrire que pour pour tout x de R+ : f(x)=f(0)+int(0,x,f'(t) dt) Soit : (1+x)^n=1+int(0,x,n.(1+t)^(n-1) dt) Sur [0,x], (1+t)^(n-1) est minorée par 1 donc fonction dans l'intégrale est minorée par n, donc int(0,x,n.(1+t)^(n-1) dt) est minorée par int(0,x,n dt)=nx. C'est fini.

[@renaudlefresne7515]

J'ai préféré la seconde. Mais c'est juste parce que je n'ai jamais aimé les récurrences, même si ça remonte à loin !

[@sheytacbaretts8621]

Sacré « tricheur » comment t’as su que c’était la tangente en 0👀?

[@walter3124]

Les math expertes auront même une troisième méthode ... :) (indice Newton)

[@NINANINA-rh9ky]

Alors l’inégalité est vérifiée

[@pristusrana8468]

Bonjour, une autre méthode ? (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 (1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 (1 + x)^n = 1 + nx + a.x^2 + b.x^3 + ... + x^n x > 0 => a.x^2 + b.x^3 + ... + x^n > 0

[@cyruschang1904]

(1 + x)^n ≥ 1 + nx On sait que c'est vrai si n = 1 ou 2 si n = 1, (1 + x)^1 = 1 + 1(x) si n = 2, (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 ≥ 1 + 2x (car x ≥ 0) si n = 3, (1 + x)^3 = 1 + 3^2 + 3x + 1 > 1 + 3x On va démontrer si (1 + x)^n ≥ 1 + nx, (1 + x)^(n+1) ≥ 1 + (n + 1)x (1 + x)^(n+1) = (1 + x)(1 + x)^n ≥ (1 + x)(1 + nx) = (1 + nx) + x(1 + nx) = nx^2 + (1 + n)x + 1 ≥ 1 + (n + 1)x (car nx^2 ≥ 0)

[@Johnny-cj8uf]

c'est vrai pour n=0

[@cyruschang1904]

@@Johnny-cj8uf Oui. Mais monsieur a dit n > 1, donc n = 0 ça n'a rien à voir.

[@Johnny-cj8uf]

Effectivement, je te fais simplement remarquer que tu peux faire t'as rec pour n=0

[@as_des_maths]

J'ai préféré la 3eme démonstration....

[@bertrandbrodeau2372]

Les deux méthodes.

[@CDANSLERE]

Si on développe (1plus x) puissance n, on aura n fois (1 plus x) multiplié par lui même, donc aura 1 X 1 n fois plus 1 X n fois plus qqchose qui est positif, donc c'est plus grand que 1 plus nx. C'est beaucoup plus simple comme démonstration.

[@xarus5944]

Absolument pas rigoureux mais l’idée mieux expliquée est correcte

[@CDANSLERE]

@@xarus5944 Oui c'est mal expliqué car je n'ai pas un clavier de maths, mais je peux vous faire une démonstration rigoureuse en 3 lignes.

[@denisb.8068]

Le binôme de Newton tronqué.

[@NINANINA-rh9ky]

et même si n=1

[@NINANINA-rh9ky]

Si n=0

[@michelbernard9092]

BER-NOU-LI ! pas ber- nouille- i

[@xarus5944]

Plus simple en posant g:x->(1+x)**n -1-nx. En la dérivant et en montrant que g’ est continue positive.=> g croissante sur R+ donc or en 0 g vaut 0 et en l’infini g est positive (équivalente à x**n) donc g est positive sur R+ donc pour tout x positif, (1+x)**n -1-nx>=0 d’ou le résultat