Grupos de Lie - Capítulo 2

[@franciscodej.riveratorres9207]

Excelente! soy matemático y ahora navego un poco en los ambientes de la física y me ha parecido muy bueno, además de bastante digerible. Por otro lado la conexión que esto tiene con la variable compleja me parece muy divertida, abordarla en curso básico de esta manera me parece meritorio.

[@manuelibarragranillo922]

Gracias Javie, estoy haciendo mi master en matemáticas y tus videos me han ayudado mucho a entender parte de los grupos y las álgebras de Lie. Saludos desde México

[@mgilmat12]

Quiero darte las gracias por la excelente calidad de tus explicacions en temas tan complejos. La explicación es clara y genial. Ya hace 30 años que me licencié en Física y jamás havia entendido este tema. Al ver tus vídeos no solo lo he entendido por tu calidad didactica sino que me has transmitido una pasión por el tema. Muchas gracias por tus explicaciones.

[@sebastianramirezcaseres2965]

Muchas gracias profe Javier. Soy estudiante de matemáticas y puedo decir que este es el único canal en español del que he aprendido temas realmente increíbles. Dios lo bendiga. Saludos desde Colombia.

[@aquilesvazquez1103]

Excelente, me quedo atónico con la explicación de la exponencial de una matriz, muchas gracias Javier!!

[@franciscomatusparra7614]

muy buen material y explicado muy sencillo pero completo gracias

[@jorgebarrero]

En verdad que su pedagogía es envidiable, en el mejor de los sentidos. Muy claro, excelente tema, parte uno y parte dos son joyas en si mismas, gracias por el tiempo dedicado a la divulgación de la Ciencia.

[@rglvlncsr7425]

vuelvo a la frase de Lie cada vez que entiendo algo y es increible como la misma frase (invariante)cambia, se transforma.Gracias Garcia por mostrarnos los Grupos de Sophus.

[@SebastianRamirez-qw9qv]

que gran video javier, explicas muy bien. Soy estudiante de matematicas y el semestre pasado vi variable compleja, me parece brutal la conexion que tiene y como lo deduces. muchisimas gracias 🙏 saludos desde colombia

[@carloschess2010]

Simplemente, hermoso!!!

[@AngelIPdS]

Maravilloso, desde el repaso de algebra, Taylor, y la llegada al resultado trigonométrico. Soy biotecnólogo aficionado a la física, y te llevo viendo algún tiempo. Gracias por tu tiempo y calidad de tu enseñanza, me encantaría acudir a ver alguna de tus charlas presencialmente.

[@donjorgestoico1631]

50:42 El haber acabado mi ingeniería, y saber más de matemáticas y física, me impresionó sobre como de deducciones matemáticas se llega a algo como esto, simplemente hermoso (ಥ _ ಥ)

[@javimerinero]

Recordar estas cosas de la carrera me pone a mil, y escuchar como disfrutas al explicarlas, ..., me he ido. Muchísimas gracias, tocayo, por la pasión y la sabiduría que pones en estos vídeos.

[@josejuanhurtado2505]

Excelente Javier, muchas gracias por tus enseñanzas

[@didieralejo]

Excelente explicación. Estoy empezando a ver estos videos y me refuerzan mucho la información tenía sobre grupos LIE. Muchas gracias

[@minikampe]

Me subí al barco hace unas semanas y la verdad que es una delicia cada uno de tus vídeos, ya sean de charlas o de explicaciones más profundas de las partes teóricas y matemáticas abstractas de un campo u otro de la física. Los canales divulgativos están muy bien para las personas que no están demasiado metidas en lo que es el dia a día de un estudiante de física (o un ya titulado), pero cuando uno quiere profundizar más en ciertos conceptos que se han quedado en el tintero al abordarlos en clase, está genial que exista un canal como el tuyo. Sigue así Javier. Un saludo!

[@danymerizalde1942]

Gracias Javier por tus videos! 😄

[@ruthnekanepitaparedes7514]

Muchísimas gracias por hacer estos vídeos y subirlos. De verdad que me están ayudando una barbaridad. Ojalá fueras mi profesor de universidad

[@juancarlosdominguezsolis.4665]

Tengo 15 años y trato de entender las simetrías en las fuerzas elementales y gracias a ti puedo entender más porque también con tus videos y con el material libre del mit puedo entender un poco de geometría euclidiana en el caso de relatividad y ahorra con grupos lie estoy aprendiendo mucho

[@condemauro2]

Es muy grato para un estudiante de 3er año de física llegar a aprender tales cosas tan espectaculares. ¡Gracias Javier!

[@gabrielfernandob]

Excelente!... siempre quise estudiar física y matemáticas, había comenzado la carrera de matemáticas en la uni, pero por diversos motivos no pude continuar más allá del segundo año, gracias a ti puedo volver a lo que me encanta, muy agradecido! :)

[@josedanielscalora1194]

Extraordinaria tu clase. Una didáctica hermosa. Espero que sigas así y contarás con mucha gente más, amigos y colegas que te conocieron por la difusión que te di aquí en Tucuman Argentina

[@ricardoandrecaizagrijalva7037]

Simplemente fenomenal..!!! Es excepcional como se deduce la matriz de rotación con una exponencial elevada a una matriz, es tan... Wow..!!! Un saludo desde Ecuador y mucho animo y ganas para que sigas adelante con este tipo de videos que nos son muy útiles a los futuros físicos. !!

[@johanzuniga5720]

Una de las cosas más interesantes de ver tus videos es la pasión y la emoción que le pones... Es excelente poder transmitir de esta forma el conocimiento. Gracias por los videos, saludos desde Colombia!!

[@alalv8617]

Este curso es como una liberación tremenda de endorfinas. Estoy enganchado. Altamente adictivo

[@Javier_Garcia]

jaja. Pues mira, acabo de poner más droga: capítulo 3 con una sorpresita relativista :D

[@eduazaedu]

Gran labor divulgativa para los que amamos la física. Mil gracias

[@thecarlostheory]

Se me hace la boca agua con todo lo qué seré capaz de entender al finalizar este curso. Tengo la esperanza de entender bien qué es un ángulo, un seno, etc. Manipular el espacio mola un cacho! Es cómo ser brujo, utilizando hechizos que aparentemente parece una fumada, pero que tal cosa sí funciona en la realidad.

[@jenirque91]

Javier, te he descubierto hace poco y me encanta tu labor divulgativa. Te recomiendo a todos mis aprendices. No dejes de dar caña con las matemáticas. Espero con mucha ilusión tus próximos vídeos. Un abrazo.

[@joaquinabellanparedes9614]

Asombroso Javier. Voy despacito, pero disfruto mucho. Gracias .....voy al tercero antes de continuar con QFT. Abrazos.

[@juanantoniocarracedo7922]

Muchísimas gracias por tu gran esfuerzo y tiempo en preparar estos videos y acercar temas avanzados de física y matemáticas en internet en forma audiovisual, como pequeña compensación tienes los comentarios constructivos de los seguidores del canal, este pretende ser mi caso, me ha gustado bastante el video, aunque un poco largo, yo no me pararía tanto en detalles (solo una opinión) y también se ahorra mucho tiempo y sin usar aproximación de Taylor , si simplemente desarrollas la matriz R=(I+theta/N B)^N por el binomio de Newton* es casi inmediato el resultado de la exponencial, te ahorrarías mucho tiempo y trabajo inútil, ya que una función en general no siempre converge a la serie de Taylor ( en este caso si, pues la función es una potencial) pero con el desarrollo del binomio no necesitas hacer aproximaciones. * se puede usar la fórmula del binomio, pues La identidad siempre conmuta con cualquier matriz , es decir BI=IB ( ver enlace con el desarrollo del binomio) drive.google.com/file/d/1hs2LmnMexhDmlHtSiTVQEjn3yNbSTXlL/view?usp=sharing Saludos.

[@juanantoniocarracedo7922]

Me auto respondo con esta idea aunque informal y no rigurosa, se intuye de forma inmediata que Lim (I+ theta B/N)^N=e^(thetaB). Puesto que Lim (1+1/n)^n=e Saludos.

[@RSC2194]

No soy fisico pero los grupos de Lie se usan un muchisimo en robotica y procesamiento de pointclouds, muchas gracias y animo!

[@martinibarra4903]

Con esa introducción me hiciste sentir como en casa! Excelente curso, no se mucho de matrices pero te sigo la corriente, y se entiende perfectamente. Muchas gracias por el tiempo y la dedicación.

[@rglvlncsr7425]

Gracias, un poco denso el poli. de Taylor, no porque sea complicado sino porque lo hiciste paso a paso, pedagogico y eso esta bien.Que vivan los Grupos de Garcia , perdon, de Sophus Lie.

[@mctrughamodonell8154]

Gracias, mil gracias.........no pares......por diosessssss....

[@lanshor]

Muchísimas gracias Javier. Util, elegante y perfectamente explicado.

[@luisquinterossandoval1489]

Muchas gracias Javier por compartir con dedicación sus conocimientos, con toda seguridad muchos se animarán a estudiar y cómo no.

[@RUDYFERNANDOGONZALEZESCOBAR]

Gracias gracias.

Me quito el sombrero. Lástima de no haber tenido una explicación así cuando estudié Ciencias Físicas.

[@lizandrobaldomeroreynazega7305]

SUPER EXCELENTISIMO. MIS FELICITACIONES.

[@alejandrosoto4930]

Genial video y super claro. Este tema lo vi este año en la asignatura de Relatividad especial y verlo con otro enfoque siempre enriquece mucho. Tus vídeos son únicos en KZbin sigue así.

[@Javier_Garcia]

Gracias Alejandro! :D

[@albertofranciscodiiulio6939]

Javier, lo tuyo es un don, llevas al maestro en tus genes y lo haces como muy pocos pueden hacerlo. Adelante amigo!

[@Javier_Garcia]

Muchas gracias Alberto por tu comentario. Me ha hecho mucha ilusión :)

[@EmmaNoob]

Excelente explicación, hermoso resultado al jugar con las matrices y asimismo, comprobar por el método de grupos de LIE

[@juancarlosdominguezsolis.4665]

trate de entender las simetrias del universo u2 y los grupos lie en un documento que se llama la simple teoria del todo donde muestra una supersimetria y la verdad esto es todo lo que tiene internet de grupos lie ,gracias por subirlo ,ya me meti a un curso del mit de grupos lie en edx pero bueno ya no voy sin conocimientos previos gracias por subir los videos de teoria cuantica de campos esos video estan super y estos tambien pero es tan extensa la fisica teorica que nunca acabamos

[@jesusalejandrosavinolachea9055]

Eres grande profesor, muchas gracias por compartir su conocimiento.

[@leandronavarro554]

excelente Profesor ! Muchas gracias por tan valioso aporte ! Saludos

[@yeissonalexisacevedo4828]

Muchas gracias por tan excelente video!

[@lucasqj81]

Qué bonito! Muy bien explicado.

[@carloslozanoramirez1647]

Ese maravilloso momento en el que los artificios de "Curso de mecánica cuántica a lo Feynman" dejan de ser brujeria para convertirse en algo perfectamente justificado #Bello

[@ignacioleundatosi891]

Simplemente excelente.

[@felizdelavida7129]

Para nada magnificas y no lo haces fantástico, lo haces de maravilla ! muchas gracias

[@Javier_Garcia]

Muchísimas gracias! :)

[@aleksander5127]

Muito bom. Material excelente. Obrigado por compartilhar conosco. Continue o ótimo trabalho.

[@ponsoingenieria9252]

Muchas gracias por explicar estos conceptos. Muy buena didactica. Saludos

[@pkmastern]

estaba buscando bibliografía con respecto a este tema debido a tu video en que los mencionas y resulta que tambien estas haciendo videos al respecto, animo gracias a ti estoy totalmente fascinado por la física teórica, calidad de canal

[@Javier_Garcia]

Genial!! :)

[@pkmastern]

si sustituimos B por i, bum numeros complejos, quede sorprendido con eso, entonces es posible explicar complejos con teoría de grupos

[@StanleySalvatierra]

Muchas Gracias por los vídeos.

[@joseavalosrivera6939]

Eres genial!

[@joseptempra3207]

Molt bona feina Javier!!! S'agrairia mes material de computació quàntica.

[@Nicolas-ki9gy]

Me salvaste el dia, exactamente lo que estaba buscando.

[@vicsebastia]

Magnífico, Javier. Gran vídeo y gran exposición!

[@gabycg9568]

Buenísimo. Muchas gracias

[@danielvazquez3853]

Animo profe, sus videos nos ayudan mucho.

[@Javier_Garcia]

Gracias!!! :D

[@LuisBermudez_1415]

Excelente aporte, muchas gracias.

[@user-pk5rc4or2w]

El tiempo que pasas viendo el video ,.de lo mejor del día. No entiendo los dislikes...será que no tienen la mínima base.

[@Javier_Garcia]

Mejor que Juego de Tronos! :D

Simplemente excelente la explicación. Saludos

[@luiscasanova3241]

Ahora que Javier ha reanudado el tutoríal de Grupos de Lie, he vuelto a estudiarlo desde el principio, ya que después de 6 meses, soy incapaz de seguirlo sin repasarlo de nuevo. Y me vuelve a aparecer la misma duda, que expongo por si alguien tiene a bien contestarme. Con el sistema convencional que define la rotación mediante la formulación trigonométrica del cambio de ejes y conduce a la matriz de senos y cosenos, no precisamos despreciar términos de segundo orden, que si se necesitan para llegar al mismo resultado con el novedoso (para mi al menos) sistema de infinitas rotaciones infinitesimales. Así, en el proceso de determinación de A como matriz simétrica, ha habido que aceptar A.A = 0. Y ya no hablo de desarrollar Taylor a una potencia de una matriz!! La pregunta sería : ¿que estamos simplificando u obviando en el proceso clásico para que no sea precisa esa simplificación? Gracias si alguien contesta, y en cualquier caso, gracias como siempre a Javier, por su generosa e interesantísima aportación al mundo de la divulgación de la Física.

[@IanGustavoTorresMayoral2]

Cuando naces como la mejor persona del mundo amanecí bien Javier García

[@yuryeuceda8590]

Super bien explicado, Excelente Maestro. Podr'ias por favor explicarnos c'omo es que se generan las fuerzas de atracci'on seg'un la mec'anica cu'antica. Saludos desde Honduras.

[@RyuzakiPhysical]

Muy bueno y sí nos gusta la física, gracias :D

[@juanantoniocarracedo7922]

Hola en el minuto 48:00 del video identificas A=thetaB y está mal es A=theta/N B Por ello el resultado tiene una errata. Saludos.

[@danielzamorano5108]

Aunque bueno cuando el polinomio de Taylor se centra en cero se le cambia el nombre por el de Mclaurin aunque este último resulta ser un caso particular del primero

[@abnereliberganzahernandez6337]

es igual a la identidad de euler por que b da la casualidad de que se comporta ciclicamente como lo hace i de los numero complejos al mutiplicarse consigo mismo o cualquier otro elemento de los complejos. increible

[@josemiguelramirezrodriguez2680]

Hola gracias por los videos me han servido mucho. Actualmente estoy empezando mi tesis en control trabajando en navegación con el grupo SO3 y quisiera saber si puedes compartirme el nombre de algunos libros para poder documentarme mas a detalle , de antemano te agradezco

[@ainfenix9]

Gracias

[@manuelm424]

La ecuación del minuto 27:14 dice que A+A^T=0 (dando la propiedad matriz antisimétrica), pero debido a la ecuación anterior esta no es igual a cero, si no, casi igual a cero, cómo puedo pasarme de un casi igual a cero a un igual a cero para poder utilizar esta propiedad de matriz antisimétrica? Espero me haya expicado.

[@noodlerancid]

Javier cuando mencionas que la rotación R(theta) es parecido a la identidad cuando theta es un ángulo muy pequeño, mencionas eso por el resultado de la deducción de la matriz de rotación que involucra a senos y coseno y al sustituir un ángulo muy pequeño se obtiene la matriz identidad?

[@aneudisjavierbrito5775]

Esto es la leche.

[@Tomaplen]

Espectacular compadre, aunque termine el curso hace como 1 semana, me hubiera servido mucho más antes jajaja, pero esta bueno

[@Javier_Garcia]

Demasiado tarde entonces :(

[@jesusricardonavaflores4554]

Aun no entro a la carrera pero todo esto me va a venir de perlas

[@glueballs]

buenas noches apreciado professor javier, me gustaria saber la tecnologia que utiliza pra preparar sus clases me gustaria las recomendaciones, también pretendo realizar algo parecido...sus aula son excelentes

[@DavidMesa]

Alguien puede decirme qué programa se utiliza como pizarra virtual para este video? gracias

[@juanjosebanosfernandez6543]

Hola Acabo de terminar de ver el vídeo, reconozco que no tenía ni idea del resultado aunque ya había visto en otros vídeos la exponencial elevada a una matriz. Tengo que volver a verlo, hay alguna parte del desarrollo matemático que no me ha quedado muy claro, en concreto en el minuto 22 cuando has construido ese ángulo tan pequeño y lo has elevado a N, lo volveré a mirar y seguro que lo pillo. Gracias por el vídeo y deseando ver el siguiente.

[@ricardoleonposada1403]

cual es la diferencia entre una matriz 1x1 y el número que contiene?

[@DavidMesa]

No despegué los ojos los 58,35 minutos... !!!

[@guillermofranciscopalacios1826]

Hola Javier, ante todo te felicito, estás haciendo un excelente trabajo. Porque no usar el binomio de Newton.

[@Javier_Garcia]

Gracias! Podría usar el binomio, pero como lo único que quiero es derivar enésimanente, no hace falta expandir en suma de potencias.

[@angelgallego8878]

Hola, me acabo de suscribir porque me ha gustado la agilidad y claridad de tus explicaciones. Pienso que te visitaré muy a menudo. Me gustaría, si tienes, una explicación sobre las matrices de Heisenberg, como llegó a ellas, significado y demás. Y en caso de que no lo tengas donde puedo obtenerlo. Gracias.

[@Javier_Garcia]

En este mismo curso llegaré a ellas! Muchas gracias por tu comentario!

[@carloss.2548]

Por favor, corregidme si me equivoco. Ese polinomio de Taylor es una aproximacion a la funcion R PEERO en el entorno del cero. a=0. Por lo tanto es falso que R(tita) sea igual a tal aproximacion. Lo único que se puede afirmar es que R(0) es igual a esa aproximación de Taylor en el entorno del 0. ¿Correcto o no?

[@josephmartos]

45:00 Pero si a: (n-1)(n-2)(n-3)..../n^(n-1) lo multiplicamos por n/n , obtenemos: n!/n^n y ese limite cuando n-> infinito da igual a 0. O estoy equivocandome en algo. Pls responde :( . Otra cosa, creo q dijiste que epsilon*B = A, no que theta*B=A. Estoy muy confundido :'(

[@cieloestelaramirezdearella1912]

Tengo esta misma consulta

[@carloss.2548]

Por si abajo no me expliqué bien, lo digo de otra manera: El polinomio de Taylor que se ha calculado es el polinomio de Taylor en el entorno del 0. Por lo tanto, tal polinomio SOLO es aproximacion de R en ese entorno. Fuera de él, la aproximación ya no sirve. Si me equivoco, que es probable que sí, por favor, corregidme. Gracias =)

[@antonioburgos3121]

Ante todo es un lujo tenerte como profe. Y una pregunta: Ya que para hallar R(theta) hay que calcular un límite de la forma 1 elevado a infinito, ¿no sería más fácil calcularlo por el método normal que emplear Taylor, o al aparecer matrices no se puede hacer así? Gracias.

[@alfredodiazhidalgo4904]

B funciona igual que la i de los complejos no? Para dimensión 3 y más habrá otros tipo de ies o algo así?

[@juandiegosalazarguerrero1661]

Eso mismo pensé yo...

[@wanderkunstler]

Fabuloso, Javi. Si viene un matemático "a pegarte una hostia", avísanos y te defenderemos.

[@Javier_Garcia]

jaja

[@xaviergauss9963]

Soy matemático y creo que eres genial explicando (incluso matemáticas) porque es importante, en una primera aproximación, tener las ideas claras y no perderse en detalles innecesarios. A veces los árboles no dejan ver el bosque. En cuanto a la física: Javi, ¡por tu culpa me estoy enganchando a la Computación Cuántica!, ja ja... ¡Muchas gracias!

[@conspirador666]

Una consulta Javier mira al igual que tu me sorprendió ver como elevas a una potencia matriz y hallas la matriz de rotación. mi pregunta ahora es la siguiente o mas que pregunta es una curiosidad quería saber si es posible la operación inversa es decir operar un logaritmo natural sobre una matriz de rotación conocida para hallar esa matriz que tu llamas generador.

[@Javier_Garcia]

Efectivamente, pero más que una operación en sí, es una definición. Es decir, si tienes ln A, entonces el resultado será B, siempre que se cumpla que e^B = A

[@danielonofre6377]

Hola profesor ,tengo una duda (min 48:16 ) , A=(tetha/N)*B o solo es A=theta*B ,en este último caso ya no sería A una matriz infinitesimal ?

[@danielonofre6377]

Ahhh creo que ya entendí ,esta A no es la matriz infinitesimal sino otra matriz pero finita.

[@juanjosebanosfernandez6543]

Hola Tengo una duda aunque tenga fácil explicación pero no consigo verlo, cuando dices en el 21:23 que rotar un ángulo teta es como rotar teta partido por N y todo elevado a N no lo veo muy claro, más bien sería multiplicar por N, quizá sea una duda un poco simple pero no llego a comprender esa igualdad. Gracias

[@Javier_Garcia]

Quizá te pueda servir esto: "Empujar una caja una distancia de 100cm es equivalente a empujar 1cm, pero 100 veces". A "empujar una caja 1cm" le podemos llamar E(1). Así que empujar 100cm sería E(100), pero también sería la multiplicación de E(1)*E(1)*E(1)..... cien veces, o sea: (E(1))^100. El que sea multiplicación es porque la acción de empujar (o rotar en el vídeo) se llevaría a cabo con una matriz, y cuando actuamos con una matriz un montón de veces, el resultado es la matriz multiplicada por sí misma un montón de veces, o lo que es lo mismo: elevada a un número :)

[@edgarricardoperdomoayala9864]

Lo que dices tiene sentido.... pero si te fijas él anota que x' = R( teta ) x donde x' es el vector x rotado un angulo teta... luego apliquemos otra rotación por el mismo ángulo a x' para obtener un x' ' entonces siguiendo la misma lógica x' ' = R(teta) x' y reemplazando el valor de x' en funcion de x ya lo tienes x' ' = R(teta) [ R(teta) x] luego x' ' = R²(teta) x ... de aqui que R(2 teta) = R²(teta)... por analogía R(n teta) es igual a la n-esima potencia de R(teta)... creo que es así

[@juanjosebanosfernandez6543]

Hola Gracias por la aclaración, la rotación con una matriz repetida N veces, así lo veo más claro

[@juanjosebanosfernandez6543]

Sí, es cierto, tengo que ver a una matriz que nos permite hacer una rotación muy pequeña teta y que repetida n veces nos permite conseguir el ángulo buscado. Gracias

[@AA-od9yj]

Tenía exactamente la misma duda, gracias por las aclaraciones!

[@jaimemorenovazquez9178]

Muy bueno el vídeo @JavierGarcia . Tengo la pregunta de que si se puede deducir R(ø)=e^(Bø) a partir de la ecuación del minuto 38:10 considerando N que tiende a infinito y considerando la definición de e elevado a algo como: lim (1+algo/n)^n , lo he hecho y concuerda con lo que has hecho pero no sé si mi procedimiento es inconsistente. Muchas gracias por los vídeos.

[@Javier_Garcia]

Lo que has hecho es perfecto! Es lo que habitualmente se hace. En el vídeo he explorado otras vías. Un saludo

[@jaimemorenovazquez9178]

Que bien, muchas gracias

[@user-pk5rc4or2w]

Una cosa, el tener el número es elevado a una matriz es sólo una forma de escribir con pocas letras lo q realmente es. O sea , que no te tienes que volver loco .

[@camiloandresbotinatrujillo9383]

Excelente explicación, de pronto algo sobre algoritmos de integración que emplean la teoría de grupos de Lie?

[@aaronaq9817]

Arribe una mica tard, però també podem parlar, a l'hora de fer el canvi de R expressada en "termes matricials" a "termes d'exponencial", en tindre que R=lim(n-->infinit)[1+(θB)/n]ⁿ, açò no és la definició directament de e^θB? Una salutació i moltíssimes gràcies i felicitats pels cursos!

[@lizandrobaldomeroreynazega7305]

OHHHH. EXCELENTE

[@albertogutierrez272]

No dejes de hacer videos por Dios!!

[@Javier_Garcia]

:D

[@JorgeViillon]

¿El A no era "(θ/N)B"?, ¿por qué dices que A=θB? 47:58

[@oss2046]

comparto tu observación

[@johnjairo9014]

es culpa de la notación, está bien lo que el profe hizo, solo que ese nuevo A = θB va ser un A moño A* = θB distinto del A definido anteriormente....