자연 상수 e가 필요한 이유

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[@AngeloYeo]

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[@Phantom22hive]

재미있게 잘봤어요

[@AngeloYeo]

감사합니다 ^^~

[@chungbinheo2558]

처음 e 를 배울때 이렇게 가르쳐주는 선생님이 있었었더라면 좋았을텐데요...

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 지금이라도 깨달음을 하나 하나 얻어가는 재미로 다시 시작해보는 것도 괜찮지 않을까요? ㅎ 화이팅입니다!

[@박민영-b2b]

한국 교육의 문제죠

[@117hippo3]

맞습니다. 라떼도 자연상수 e=2.718 이란것만 외웠습니다. 그 쓰임은 대학교 와서야 알게 되었네요...

[@미필적고의-k5y]

햐... 진짜 내가 학창시절에 유튜브가 있었다면 수포자가 되지 않았을 텐데... 진짜 옛날 공교육 교사들은 쓰레기였다.

[@수학이좋아-r2n]

사랑해요 고등학생때 맨날 왜 이게 나왔지? 왜 이부분을 굳이? 하는 고민이 있었고 마음 한켠에서 답답했는데 이제 그 마음이 풀어졌네요 너무 감사해요 >< ♡ 오빠 사랑해 (덜렁덜렁)

[@김은숙-c6g4z]

안녕하세요 저는 수학교사를 준비하고 있는 대학생입니다~ 어제 처음으로 공돌이님의 이 영상을 처음 보게되었는데 정말 제가 수업을 들으면서는 알 수 없었던 것들을 새롭게 알아가는 기분이라 더 수학이 재밌어지고 공부하고 싶어지는 것 같네요ㅎㅎ 나중에 제가 수학 교사가 되었을 때 아이들한테 이런 정보들을 알려주면 아이들도 수학이 조금 더 친근하고 재밌어지겠죠😂? 제 바램이예요 ㅎㅎ 앞으로 좋은 영상 항상 감사히 시청할께요~ 깔끔한 설명 정말 감사합니다😊

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 이른 아침부터 수학 유튜브 영상을 보시다니... 열정이 남다르십니다! 네, 의미를 탐구할 수 있는 수학 수업이 된다면 학생들이 더 수학에 관심을 가지지 않을까요? ㅎㅎ 댓글 감사드립니다 :)

[@김현수-p5d]

이거 왜 계속 제 알고리즘에 뜨는거죠...?? 6년 전 영상이길래 계속 안보고 넘기는데 계속 나오네요... 이건 인터스텔라같이 미래의 제가 보내는 신호일까요?? 오늘은 이걸 봐야겠어요 ㅋㅋㅋㅋ

[@AngeloYeo]

김현수님 오랜만이에요 🖐🖐

[@김현수-p5d]

@@AngeloYeo 넵 ㅋㅋ 제가 시험이 다가와서 영상을 오프라인 저장만 해두고 못보고있네요 ㅠㅠ 시험치면 자주 보러 올게요 ㅋㅋㅋ

[@이솜솜-e2h]

헐 자연상수를 이렇게 디테일하게 설명해주신분은 이분밖에없엇어요 ㅠㅠ

[@AngeloYeo]

도움이 되었다면 좋겠습니다 ㅎ

[@정혜진-i3t]

너무 좋은 동영상이었어요. 자연로그의 존재 의미를 실질적으로 이해하게 만들어주는 영상! 감사합니다!!!

[@정유찬-u5i]

진짜 감사합니다. 자연상수의 의미를 몰라서 찾아보는데 이 강의가 가장 쉽고 빠르게 이해할 수 있었습니다.

[@user-bq1yz7yu7y]

고3인데 미적분 시간에 자연상수가 왜 쓰이게 됐는지 정확한 의의를 알고 싶었는데 감사해요ㅠㅠ 이렇게 유익한 채널을 왜 이제 알았지 ...

[@AngeloYeo]

^^ 자연상수 e에 관한 영상은 이 영상 외에도 e^x의 미분이 왜 e^x인지에 관한 영상이 하나 더 있습니다 ㅎ 그영상을 보면 미적분에서 자연상수 e가 왜 자주 쓰이는지 알 수 있을 거에요! 고3이시면 굉장히 빨리 접하신 편이라고 보셔도 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ 저는 20대 훌쩍 넘어서 이 개념에 대해서 알게 되었는데요 뭘... ㅎㅎ

[@이경연-e4l]

복리이자 구할 때도 정말 편하겠네요. 쉬운 설명 감사합니다.

[@AngeloYeo]

+이경연 e에 관한 위키를 보시면 Jacob Bernoulli가 복리에 관한 공부(?)를 하다가 알게되었다고도 합니다... 아주 좋은 지적이시네요 ! en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)

[@잡-0]

고딩때 자연상수e의 정의를 보고 그냥 그런가보다햇는데 수년이흐르고 이영상을통해 예를들어가며 설명해주 아주 머리에잘들어오네요 유익한 영상 잘보고갑니다~

[@AngeloYeo]

도움이 되었다면 다행입니다 ^^

[@gongdea]

와 예시를 드니까 바로 이해가 되네요. 복리이자 느낌이네요 좋은강의 감사드립니다!

[@AngeloYeo]

안녕하세요 ~ 네 맞습니다 복리 이자 개념에서 출발한 것으로 보면 됩니다 ^^ 감사합니다 :)

[@KK-ks3bd]

한수 배우고 갑니다. 특히, “연속” 성장이라는 해석/의미. E에대한 제 지식에 무언가 찜찜한 부분을 부드럽게 만들어 주네요.

[@hskim7651]

최고의 설명입니다.^^

[@CH-te3pz]

항상 많이 도움이 됩니다

[@빽미르]

수백년이지난 지금도 이자율로 설명 하는곳 만 있네요 신박 하고 눈이 확 떠지는 설명은 없을까요?

[@SteveJobs_]

뒷부분 수식전개가 빨라서 백프로는 모르겠으나 개념정리에 많은 도움 되었습니다. 감사합니다.

[@AngeloYeo]

댓글 감사합니다 ~ ㅎ 수식전개가 너무 빨랐다면 아래의 제 블로그에 가셔서 수식을 차근히 보시는 것도 좋을 것 같습니다. angeloyeo.github.io/2019/09/04/natural_number_e.html

[@SteveJobs_]

@@AngeloYeo 블로그 잘 봤습니다. 11->12로 넘어가는 부분이 제가 이해가 분명치 않던 부분입니다.(공식이라고 넘어가는 것이 아니라 어떻게 저런 전개가 되는지)

[@AngeloYeo]

괄호 안의 2n과 괄호 밖의 2n이 만나서 e가 됩니다. 그리고 1/2승은 밖으로 한번더 빼줄 수 있으니 e의 1/2승이 됩니다

[@1차선정속주행]

연속된 성장이란 말을 듣고 띵하네요. 찰나의 순간 자기 자신이 커지는 양에따라 성장한다. 프랙탈의 느낌도 나네요. 순간의 변화가(미분) 자기 자신이라는 것도 직관적으로 다가오게 됩니다

[@triplehahana]

와....구독은 진즉에 해놓고있었는데 이 영상은 댓을 안달 수가 없네요🙏 그냥 암기로만 접근했었던것이 ㅜㅜ 단박에 해결됬어요🤣 복학하자마자 듣는게 천체물리라 오랜만에 수학이 많이 쓰여서 복습하는데 정말 감사합니다 ㅜ0ㅜ +) 감명받아 블로그들어가서 후원도 했습니다 하xx으로... 좋은컨텐츠 감사합니다!

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 새벽 시간인데도 열심히 공부하시네요 ...^^ 오래된 영상임에도 도움드릴 수 있는 부분이 있었다니 아주 뿌듯합니다. 보내주신 후원금 감사히 잘 받겠습니다. 좋은 하루 되세요 😁

[@jinhwanjung4406]

너무 감사합니다. Blog 로 먼저 접하게 되었는데, 뒤늦게 유튜브 채널을 구독하게 되었네요. eigen-decomposition에서, 큰 도움을 받았습니다. 감사합니다.

[@AngeloYeo]

안녕하세요 ~ 도움 되셨다니 다행입니다 ㅎ 고유값 고유벡터 너무 재밌죠 ㅎㅎ 블로그도 열심히 쓰고 있으니 간간히 봐주세요 감사합니다 !^^

[@유나영-k2j]

세상에 진짜 최고에요!! 자연상수가 뭔지도 몰랐던 문과가 영상 보고 바로 이해했습니다. 감사합니다 쌤😍😍😍

[@dreamer_0512]

우와... 뭣도모르고 금융학에서 허우적거리던 문과에게 동아줄같은 강의에요

[@zinnyzinn]

재무관리 공부하고 있는 문과출신 회계사 수험생인데 2년반만에 이 영상 보고 이해했어요ㅜㅜ 진짜 감사합니다❤️ 아주 적은 금액이지만 후원도 쏘겠습니다

[@AngeloYeo]

긴 시간 고민하셨겠네요 ^^~ 재밌게 봐주셔서 감사합니다 ㅎ

[@태공2]

e 는 돈을 빌려 줄 때 기간을 무한히 쪼개 복리로 빌려 준다면 어떤 효과가 나타나는 것일까?에서 처음 나온 것입니다. Jacob Bernoulle 가 그 값을 계산할 수 있는 걸 보여 주어 나온 것이므로 돈을 이용해 설명해 주는 것이 더 나을 것 같다는 생각이 듭니다.경제학 중 finance 분야에 e를 성장율에 적용한 시기는 20c 초로 보아야 하는데 e는 미분이 보급되던 초기에도 각광을 받던 놈이었기 때문입니다.강의에 대한 감상문을 올리는게 예의 일지는 모르겠습니다만...

[@user-kz6jLp0dq]

저는 너무 좋은데요ㅎ "무엇을 배우는가" "얼마나 잘 가르치는가" 도 중요하지만 , "이걸 대체 왜배워야 하고 , 어디서 유래했고" 이런게 처음에 마중물처럼 제시가 된다면 호기심도 생기고.. 동기부여도 되고.. 훨씬 재밌어지잖아요. ::)

[@장창욱-f1w]

velvet preneur 주입식교육의 정 반대죠. 정말 고등학교 때 이거 배운면서 도데체 저런게 왜 필요할가 라는 생각만 했는데 지금 생각하니 참 무식했던거죠. 학교 선생님들이 이런거를 좀 가르쳐 주시면 수학을 부담으로 생각하지 않고 취미로 했을텐데

[@user-bt1op9dt7v]

굳 이런글 좋아요

[@hskim1232]

이거 논술문제로 나온 적 있는데.. 연속복리에서 기간 무한대로 보낼때 원리합계가 e의 rt제곱인가로 나오는거 r이 이율 t가 시간

[@AngeloYeo]

좋은 의견 감사합니다 ~! 경제학 등에서 어떻게 실제로 사용되고 있는지 등에 대해서 알아보는 것도 도움이 되겠군요!

[@ksong5589]

와 이강의를 듣고 바로 구독눌렀습니다 왜 e를 쓰는지 너무 잘 알려주셔서 감사합니다

[@shindongseok304]

감사합니다. 이런건 외국 자료에나 있던데 정말 잘 설명해주셔서 감사합니다

[@AngeloYeo]

저도 외국 자료들로 공부하고 전파하는 것 뿐입니다... ㅋㅋ 감사합니다~

[@shindongseok304]

항상 인도발음만 듣다가 한국어로 들으니 상쾌합니다. 감사합니다.

[@lne9325]

제목을 보고 바로 들어왔습니다... 원래부터 계속 궁금했었던 것인데 쉽고 명쾌한 설명 감사드립니다!!!

[@고태호-b6p]

혹시 닉넴도 자연 로그에 자연상수임?

[@seongchulkwon1762]

금융론 과목 이자율 배울 때 알게되었는데, 더 잘 설명하시네요. 감사합니다.

[@AngeloYeo]

아직 많이 부족합니다... 댓글 감사드립니다 ^^

[@YeongCheonKim]

좋은 영상 감사합니다

[@태화리버]

경제학 전공하는 문돌이인데... 잘 보고 갑니다! 이해하는데 도움이 되네요!! ㅎㅎ

[@AngeloYeo]

안녕하세요~ 도움 되었다니 다행입니다 :)

[@choish99]

감사합니다!!

[@유재천-s9p]

와,, 좋아요좋아요ㅋㅋ 감사합니다!!!!

[@lifedomy]

얼마전 내적을 효율성으로 설명하신 분 강의를 들었는데, 자연상수를 경제학 분야로 설명하니 자연상수가 만들어진 계기 혹은 존재가치 알수 있네요. 요즈음 딥러닝을 공부하며 고등수학 이론들을 활용하여 실생활에서 체감할수 있는 성과를 내고 있다고 느끼고 있습니다. 수학교육도 내 주변의 관심분야를 통해서 설명할수 있는 방법론이 더욱 더 많이 개발됐으면 하는 바램입니다.

[@Manas-co8wl]

감사합니다 이해하는데 도움이 됐어요 적용하는 방법 좀 더 연구해봐야겠네요

[@懇-v3u]

헐!!! 이번에 처음 배우고 이거 그냥 고등학생 괴롭히려고 만든 거다...싶었는데ㅋㅋㅋㅋ좋은 채널이네요 매일매일 봐야징

[@helookscool]

와씨....재무관리에서 이자율 계산할때 산식이 왜이런지 졸라 이해못하고 힘들었는데 여기서 이렇게 쉽게 설명해줘버리네....

[@최강수학최명관]

좋아요 😀

[@정홍근-y2y]

정리가 확 되네요, 감사합니다, 복 받으실 겁니다

[@AngeloYeo]

+정홍근 도움이 되었다니 기쁩니다 ㅎㅎ 좋은하루 보내세요

[@김무근-t1z]

1타강사 보다 쌤강의가 더 좋은 강의 입니다

[@SharkJin566]

최고의 수면 영상 감사합니다!!

[@AngeloYeo]

그렇게라도 봐주시면 감사합니다 :)

[@oiguyco]

@@AngeloYeo 어잌후..야!

[@rnehwls]

진짜 궁금했던건데.... 감사합니다!!

[@해롱2-q5b]

내가 27~8년전에 인터넷이 활성화되고 유튜브가 이렇게 잘 나갔으면 공부하기 쉬웠을텐데... 왜 이게 있어야 되는지 알고 공부했다면 훨씬 공부 잘 했을듯...

[@번갯불에용구워먹징]

자연상수 유래를 통해서 의미를 보다 정확히 알 수 있었습니다 어느분 말마따나 학교에서 좀더 일찍 이런 가르침을 받았으면 더 좋았을것을요,,

[@isaaclee6719]

1. 무슨의미로 쓰이는지 알려주시니 왜 알고 있어야 되는지 알겠네요 감사합니다. 2. 성장을 표현하기 위해 만든거라! 이제야 뭔가 필요성이 느껴지네요.. 좀더 생각해봐야겠네요..22.04.14(목)

[@김영재-b8r]

간단 명료하면서 딱, 좋은 설명 감사합니다. ^^

[@merope7910]

감사합니다 잘봤어요

[@kimchi_taco]

뭐 특별한거 있겠어라는 마음으로 봤다가, 망치에 머리를 맞은 충격을 받았습니다

[@bird_butler]

e가 왜 자연상수인지 제대로 알려주는 영상이네요. 자연의 성장이란 다르게 말하면 함수로 표현할 수 있는 수치의 변화율을 의미하고 함수의 변화율을 알기 위해서는 미적분이 필수인데 미분이라는 연산에서 항등원이 되는 함수가 지수함수 e^x라서 자연상수라고 알고 있었죠.

[@AngeloYeo]

오 네... 미분을 연산으로 생각하면 항등원 함수가 e^x라고도 볼 수 있겠네요. 미분과 관련해서는 제가 글로 정리한 블로그에서 좀 더 자세한 내용 찾아보실 수 있을 것 같습니다. 좋은 글 감사합니다 ^^ angeloyeo.github.io/2019/09/04/natural_number_e.html

[@bird_butler]

@@AngeloYeo 블로그 잘 봤습니다. 고등학교 및 대학교에서도 가르쳐주지 않는 내용이 많네요. 고맙습니다

[@이규영-b5z]

그냥 외우기만 했는데 이런 의미가 있었다는게 신기했고 연상하는데 도움이 많이 될 거 같아요~그리고 재밌어요!

[@Lamraunto]

1:52 이의 의의 ㄷㄷ

[@변상빈-s4j]

감사합니다 많은 도움이 됐습니다

[@AngeloYeo]

도움이 되었다니 다행입니다 ^^

[@김영훈-h5u]

이사람의 설명은 생각보다 훨신 잘되있다

[@eve120720]

와 개쩌네요 !!

[@AngeloYeo]

격한 칭찬 감사합니다 ^^;

[@soundlee3399]

깊은 내용 강의 감사합니다

[@yeonpark6772]

와.. 애니메이션리그할때 사용하길래궁금했는데 감사합니다!

[@AngeloYeo]

애니메이션리그가 뭐죠 ;ㅁ; 댓글 감사합니다 !

[@김현수-p5d]

고등학교때 배운 복리를 리미트 극한 보내는 느낌이네요 ㅋㅋㅋ

[@AngeloYeo]

오 정확합니다 ^^

[@hyo7916]

감사합니다...

[@앨리스-u8m]

그럼 저런 자연상수를 이용한 식이 녹조측정이나 구름양 예측에 이용되는군요!

[@낄낄빨빨]

영상 잘 봤습니다!

[@imSKYLAND]

공부하다가 이걸 어디다가 써먹나 궁금해서 찾다가 들어왔는데 알려주셔서 감사합니다.

[@kesuskim6072]

와 저도 처음알았어요! 감사합니다!

[@AngeloYeo]

e라는 상수를 많이 쓰긴 하지만 의미에 대해 깊게 생각하지 않는 경우가 많은 것 같습니다. 도움이 되었다면 다행입니다 ^^

[@theaper8546]

와 궁금했는데 잘 봤습니다

[@HomoSiliconiens]

동영상 잘 보았습니다. e를 처음 발견한 사람은 네이피어이고 베르누이가 limit 개념으로 정의를 했지만 공개적으로 발표하지는 않았습니다. e는 Euler가 처음으로 발표했고, Euler's number라는 공식 명칭을 얻었습니다. 오일러 공식 e (i thetha) = cos (theta) + i sin (theta)을 도입함으로써, 실수 체계와 복소수 체계 사이의 다리(bridge)를 만들게 된 것이죠. 오일러 공식으로 인해 Fourier series가 엄청 간편해 졌구요. 오일러 공식으로 인해 복소수의 응용이 폭발하게 되었죠. 그외에도 미분을 처음 생각해 낸 사람은 뉴튼과 라이프니찌 이지만, 우리가 알고 있는 미분 공식들 중 주요 핵심부분은 Euler가 증명하고 유도했습니다. y = e(x)는 미분의 단위 연산자처럼 사용됩니다. 미분하면 다시 자신이 되죠. 즉, y = e(x)의 기울기는 그 점에서 e(x)의 값 - 함수 값과 기울기가 같은 유일한 함수.

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 제 영상들을 관심있게 봐주셔서 감사합니다 :) 작성해주시는 내용을 보게되면 수학을 참 좋아하시고, 조예도 깊으신 분 같습니다. 정리해주셔서 감사합니다!

[@낄낄빨빨]

굳!

[@굿굿-g6e]

와 그래서 미분하면 같은거였나

[@이지후-w8v]

퓨리에변환공부하다보면 갑자기툭튀어나오는 오일리공식

[@최태양-m2e]

복소평면에서 e^j*pi*t를 하면 시간 t까지 계속 도는 등속원운동하는 그래프가 그려지네요 그 뭔가 되게 심오하네요 다른 차원에서 거울처럼 잡아당기는 힘같은것? 중력 같이 보이네요 또 앞에다 e의 승에 음의 실수를 더하면 감쇄상수 역할을 하게 되네요 일상 속에서 탱탱볼이나 댐퍼 같은 것

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 수학에 의미를 부여해가면서 공부하는게 참 도움이 되지요... 여러가지 확인해보시면서 공부하시는데 도움이 되셨으리라 믿습니다. 댓글 감사합니다 :)

[@권순범-q9o]

e^πit 했을때 e^πi=-1이잖아요, 그래서 (-1)^t을 여러 t의 값에 대해서 계산해서 복소평면에 나타내면 뱅글 뱅글 돌아가는걸 볼 수 있잖아요 저는 이걸 복소평면의 성질을 잘 나타내는 좋은 예라고 봐요. 중력은 좀... 제생각이 그렇다고요 ㅎ

[@hyewoncho197]

진짜 흥미롭고 재밌네요 대학 졸업할 때 되서야 본 게 아쉽

[@AngeloYeo]

ㅎㅎ 재밌게 보셨다면 다행입니다 ^^ 누군가에게 설명해줄 때가 있지 않을까용? ㅎㅎ

[@hyewoncho197]

@@AngeloYeo 그럴지도 모르겠네용 ㅎㅎㅎ

[@홍성찬-j3q]

14:06 이해가 잘안됩니다! (1+0.5÷n)를 n÷0.5로 제곱해주셨는데! 0.5÷n으로 해야하는거 아닌가요?

[@홍성찬-j3q]

마지막에 0.5승을 왜 또하는지 알 수 있을까요?

[@AngeloYeo]

e의 정의를 살펴보시면 1 더하기 뒤에 있는 숫자의 역수가 승수 자리로 올라갑니다. 이것을 그대로 이용하는 겁니다.

[@홍성찬-j3q]

@@AngeloYeo 아 원래 정의가 그런거군요! 친절한 답변 감사합니다!

[@몽몽-e3c]

e를 매일 쓰지만 존재하는 의미는 이해를 못했는데 덕분에 알고갑니다. 근데, 하시는 말씀을 들을 땐 이해가 되는데 막상 정리를 해보려니 이해가 안가는 점이 있어서요. 저금통 첫번 째에서 "100퍼센트 성장했지만 12개월이라는 주기를 가지고 불연속 성장" 이라고 하셨는데 12개월이 마지막인 지점이라 했을 때 1회밖에 성장하지 않아서 불연속 성장이라고 하신걸까요? 당연히 논외 겠지만 24, 36개월을 봤을 땐 연속 성장 아닌가?? 라는 생각이 계속 들면서 왠지모르게 잘 이해가 안되네요...(답답 ㅠㅁㅠ) 오래전 영상이라 답변을 주실진 모르겠지만 궁금해서 질문 남겨봅니다. @푸리에 찾아보다 뜻밖에 지식을 알게되서 너무 감사합니다. 항상 행복하세요!

[@luckyim6504]

깔끔하다..

[@AngeloYeo]

감사합니다 ^^~ 도움 되셨으면 좋겠습니다

[@jingsaurus]

수학공부를 하다보면 수학은 그저 수체계라는 어떤 가상세계 속의 일인것 같이 느껴지는데 수학개념을 이용해서 자연, 과학, 경제 등 여러 현상을 설명하고 이해할 수 있다는게 정말 놀라운것 같습니다..! 그리고 갑자기 웬 e..? 라고 생각한걸 굉장히 부자연스러워 보이지만~ 이라고 표현하신 부분에서 정말 감탄했습니다 저는 문관데 국어실력도 유감스럽네요;ㅁ; 오늘도 잘보고갑니당~~

[@AngeloYeo]

안녕하세요 ㅎ 그게 모델링의 재미라고 할 수 있을 것 같습니다 ㅎㅎ 여러가지 머릿속에서 일어나는 일들, 자연세계에서 일어나는 일들을 수학적 모델로 구현해보고 시뮬레이션 해보고 예측해보고 하다보면 실생활에 쓰일 수 있는 많은 것들이 발견되죠... ㅎㅎ 개인적으로는 최근 유행하는 딥러닝 그런것들도 좋지만 이렇게 클래식한 방법으로 모델링 하는것이 더 의미있고 재밌는 것 같습니다 ㅎㅎ

[@dominicsimon1227]

나중에 계약할때 돈빌리는데 대출해주는사람이 어차피 100%갚을거 한번에 주지말고 12개월로 나눠서 복리로 10%씩갚아 이러면 아무것도모른상태라면 돈을 더뜯길수도있겠네요

[@JW-dp3qe]

헐 학교선생님께서 이렇게 비슷하게설명해주셨는데 소름

[@류서준-m9j]

질문있습니다! 자연상수 è를 정의하는 식(1+1/x)^x 에서 x의 값이 늘어날 수록 e에 가까워 지잖아요? 제가 발견한 것이 있는데 x가 1,2, 3..을 대입하고 e와 비교해보면 자릿수가 1자리, 2자리, 3자리 ...n자리가 같다는 것입니다. 정밀 계산기로 계산결과 소수n번째 숫자가 0또는 9일때 이 명제는 거짓이 됩니다. 그러나 0,9가 나오지 않으면 이명제가 참임을 발견했습니다. 이 명제의 의미와 활용정도를 묻고 싶습니다.

[@류서준-m9j]

정밀 계산기는 정밀도100,000으로 설정했고 100번째 자리까지 참임을 확인했습니다.

[@Tvogon]

이강의는 진짜였다...

[@장우준-x7x]

최근에 미2 공부하다가 자연상수e 가뭔지 궁금햇엇는데 뭔가 의미가 담겨져 잇는것 같앗는데 역시 있군요!!

[@hutjja]

재수생인데 자연상수의 의미를 처음 알았네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 감사합니다

[@AngeloYeo]

네 저는 대학원와서 깨달았답니다 ^^ 댓글 감사합니다

[@김재빈-f7i]

수학이 어려운 공대생 한테 큰 도움이 됐습니다..

[@AngeloYeo]

안녕하세요 ~ 도움 되셨다면 다행입니다 ^^

[@나경이아빠2]

혼자 로그를 생각하다 자연상수를 이해하게 되었는데 학교에선 자연상수의 원리를 설명 해주지 않더군요 심지어 교사도 자연상수가 어떤 개념인지 정확하게 이해 못하고 계셨습니다 그럼 여기서 문제 이자 쪼개기 (복리이자) 은행에가니 일년에 이자를 100프로 해준다고 합니다 근데 돈이 필요해서 6개월 후 돈을 찾으니 100프로가 아니라 50프로로 해주어서 150만원을 찾았습니다 근데 중도 수수료가 없어서 너무 좋은거 같아 150만원을 바로 입금 했습니다 6개월뒤 150원의 이자 50프로잍 75만원을 더해 225만원을 해주었습니다 응? 근데 이상 합니다 100만원을 그냥 은행에 나두면 200만원인데 6개월에 한번씩 찾으니 225만원이 되었습니다 25만원이나 이득 보았고 친구 녀석에게 자랑 했습니다 욕심 많은 친구는 이번엔 3개월마다 한번씩 찾았습니다 100만원이 3개월뒤 125만원 6개월뒤156만원 9개월뒤 195만원 1년뒤 244만 되었습니다 친구녀석은 저에게 자랑했고 저는 질세라 이번엔 한달마다 돈을 찾았고 다음엔 하루마다 돈을 찾았습니다 만약 은행애선 1초마다 이자를 지급 해주는것까지 가능 하다면 100만원은 1년뒤 얼마가 될까요? 이자 쪼개기 문제 입니다

[@잉-i1g]

그럼 자연계의 모든 것들은 연속적이고 성장(변화)해 간다면 자연상수로 표현 할 수 있겠네요... 그래서 자연상수인가...

[@이태규-j4q]

뿡알 탁치고 갑니다

[@mdr7506-h5c]

수학 잘 모릅니다. 그러나 무한대로 e 의 값을 얻는건 어떻게 될수있죠 ? 일수 / 분 / 초 까지는 이해가 되는데 무한대에 경우는 어떤식으로 구할수있는건가요 ?

[@한종승]

와 이영상이벌써6년이 지났네;

[@YouTube_Is_The_Brainless_Oaf]

요즘 문과도 e배우는 것 같던데...

[@curieuxjy]

이제서야 알게되다니..

[@AngeloYeo]

속도보단 방향이라고들 하던데... ㅎ 도움이 되었다면 다행입니다 ^^

[@Uuuwiii]

조금 엉뚱한 질문인 것 같긴 한데요.. ;ㅡ; 1년 100%로 성장하는 세팅을 6개월 50% 두번 성장으로 바꿨잖아요..? 이런식으로 쪼개면 확률이나 나중에 나오는 값이 바뀌게 되는 데도 저렇게 값을 함부로 변경할 수 있는 건가요? 변경 해도 '100%의 성장률로 성장' 라고 할 수 있는 이유가 뭔가요? + 연속 성장이 되려면 무한에 가깝게 간격을 줄여야 하잖아요. 그럼 앞에서 예시를 든 1년 100%, 6개월 50% 등등은 '연속' 성장은 아닌건가요? 연속이 되려고 무한대로 보낸거??죠?? 중구난방해서 죄송합니다...ㅎㅎㅎㅎ 생각나는대로 적다보니까 😭

[@user-tf1bb8sz9q]

e는 정규분포 곡선식에서도 나오지 않나요?

[@hj9657]

제가 3b1b에서도 e를 다루는영상을봤는데 거기서는 a^x의 함수의 도함수가 a^x*(상수) (정확히는 자연로그) 의 꼴로 나타날때 그 상수가 1이되게하는 상수를 정의한다고 설명해줬는데 이게 근본적으로는 lim(n→(무한)) (1+1/n)^n이랑 같은걸 의미하는건가요? 둘다 틀린말은 아니지만 이해가 잘 안되서 물어봅니다.

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 저도 예전에 그것에 대해서 고민해봤는데, 제 생각에는 연속적으로 성장하는 지수함수의 변화율도 연속적으로 성장하기 때문이라고 생각할 수 있지 않을까라고 ... 그래서 e^x의 미분계수도 e^x가 아닐까 라고 제 나름대로 결론 내렸습니다 ... 솔직히 말해서 명쾌한 답변은 못내렸습니다 ㅠㅠ

[@korra6903]

모든 사람의 키가 e씩 큰다면 성장시기가 긴사람이 성장기 끝났을때 제일 크겠군요.

[@korra6903]

지금이라도 e씩 성장하고 싶다 ㅠ

[@junpark5731]

내용 정말 좋네요! 왜 이름이 자연상수고, 굉장히 다분야에 사용되는 지 궁금하였는데, 어쩌면 당연한 논리였을지 모르겠네요! 왠지 체세포분열에서도 e가 들어갈 것 같아요

[@AngeloYeo]

ㅎㅎ 감사합니다 ㅎㅎ 체세포 분열같이 자연에서 일어나는 일들은 많은 경우 미분방정식으로 해석할 수 있는데 이 경우에 solution에 거의 대부분 e 가 들어가게 됩니다~!

[@moon1031]

잘 보고 잇어요~ 이게 첫 시청이라는 ㅎㅎ. 저기요 13:52에서 50퍼로 햇는데 왜 지수가 n/0.5가 되는지 모르겟어요.. 또 그 뒤의 지수가 0.5이던데, 걔랑 앞의 속안에 잇는 지수랑 곱해서 n이 되게 한 일종의 숫자놀이랄까,, 식변형인건가요?

[@하호준-b4j]

치환을 한 것이라서 그렇습니다. 단위의 바라보는 시선의 차이랄까요? 물1L가 있으면 1L 병을 가진 사람은 1L가 1번 이라고 생각하지만 500ml 병을 가진 사람은 500ml가(1L의50%가) 2번 이라고 생각하겠죠. 50% 의 관점에서 보자면 n= (50%n)*2 라고 볼 수 있기 때문에 저렇게 표현을 한 것입니다. 일종의 모양을 맞추어 준 것이지요. 그리고 등식이 성립하기 위해서는 먼저 100%->50%로 만들었으므로 그 값을 곱하기2를 해준 것입니다. 리미트의 (n-> 무한)을 (n/2->무한)으로 변형해주셨다면 이해가 되셨을지도 모르겠네요 n 이 끝도 없이 커지는 상황이라면 (n의 50%) 역시 끝도 없이 커지는 상황이 되므로 괄호안의 값이 상수e 의 값으로 수렴하는 것입니다.

[@나제왕]

저도 이부분에 대해서 궁금하더군요 어차피 결과가 n이 나오면 0.5가 아닌 다른 0.25, 0.8 뭐든가능한데 1/n 을 0.5/n으로 만들어주기 위해서 n 대신에 n/0.5를 각각 넣어주는 건가 싶기도 하고요

[@김병관-t9p]

자연상수의 필요가 먼저였을까요 발견이 먼저였을까요?

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 제가 알기로는 발견이 먼저인 것으로 알고 있습니다. 수학사 교양 서적들을 보면 존네이피어라는 사람이 로그표를 만들 때 자연 상수 e에 가까운 숫자를 사용했다고 되어 있던걸로 기억합니다. 위키피디아에서도 유사한 내용이 나오니 참고해보시면 좋을 것 같습니다 ^^

[@히읗-z4t]

좋은 영상 감사합니다 ! 자연 로그의 의미와 활용예시도 궁금합니다!

[@한바탕-l2n]

촬영 어떤 프로그램인가요?

[@AngeloYeo]

안녕하세요. 아이캔노트와 오캠을 함께 사용했습니다.

[@하까죽시대]

네이피어 생각은 다름.

[@AngeloYeo]

천국 가시나요? 네이피어씨 만나시면 연락달라고 해주세요.

[@pig_samurai]

[대략문돌이] 예전에 극한을 처음 배울 때, h가 무한으로 가면 1/h는 0이라 생각하고 풀어라고 배웠거든요. 그래서 저는 항상 자연 상수 개념에서 이해가 안갔던 부분이 (1+1/n) 이란 1과 같고 1^n 은 결국 1이라 생각했는데 2.718~ 이라니 머릿속이 복잡합니다 흑

[@AngeloYeo]

중간 과정이 생략되고 결과로써의 공식만을 보게 되면 어떤 경우는 직관적으로 납득하기 어려운 경우가 있습니다. 제 영상을 차근히 보시면서 하나하나 정리해가시면 이해에 도움이 되시리라 믿습니다 ~^^

[@pig_samurai]

@@AngeloYeo 답답한 마음에 영상을 보기전에 댓글을 먼저 달았었는데, 의미별로 쪼개서 보니 재미있네요. 감사합니다.

[@김재현-h2g]

1/n은 0이되고(n이무한으로가니까)그럼 1의 n승인데 무한으로가니까 답은 1아닌가요? 잘모르겠어요

[@something-else1]

14:00을 말하시는 걸까요? 미약한 저의 수학으로 설명하자면 (1+0.5/n)ⁿ =((1+0.5/n)^(n/0.5))^0.5)^1/2가 되요 [ x^n 는 xⁿ이라는 의미로 썼습니다] 1. (x²)½는 x^(2/2)이기 때문에 x¹가 됩니다 따라서 (1+0.5/n)ⁿ에서 1/0.5를 제곱하고 다시 0.5를 제곱해주면 결과값이 바뀌지 않습니다. 2. e=(1+1/x)^x이므로 x의 값이 일치하다면 e로 볼 수 있습니다 [이때 괄호 안의 1/x와 밖에 x는 역수 관계에 있음을 기억해주세요] 따라서 ((1+0.5/n)^(n/0.5))^0.5는 e^0.5=e^(1/2)가 됩니다

[@건-t9o]

왜 모든성장이 익스포텐셜함수의 모양을 따라갈 수 밖에 없다고 하신건지 이해가 안되요. 100%의 성장률을 쪼개서 연속성장을 시킨다는 개념이 e라는 건 이해되는데 (인구증가 등) 자연현상과 관련된 성장과 e가 가지는 성장의 의미가 어느 부분에서 관련이 있는 건지 전혀모르겠습니다.ㅜㅜ

[@하호준-b4j]

정확히 말하자면 e 라기 보다는 e^{x} 모양이라고 할 수 있겠네요.(여기서 x는 실수로 다양한 값들이 올 수 있습니다.) 나아가 e^{z} 모양이 오면 더 다양한 자연 현상을 설명 할 수 있습니다. (여기서 z 는 복소수로 z=x+iy 형태입니다. x,y는 실수) 자연의 여러 변화는 어떤 힘이 원인으로 주어졌을 때의 결과로 보는 것이 보통인데 그 힘은 크게 1.방향 2.크기 를 가지고 있습니다. 그리고 평면상에서 e^{x+iy}에서 변화하는 x는 변화하는 힘을 나타내고 변화하는 y는 변화하는 방향을 너무 자연스럽게 표현가능합니다. (공간 상에 들어가면 쪼오오오금 더 복잡해 지지만 공간상에서도 비슷한 원리를 확장시켜 설명 가능합니다.) 상당히 재미있는 것이 y=e^{x} 라는 함수는 미분을 해도 y'=e^{x} 이고 적분을 해고 int e^{x} dx = e^{x} 라는 점입니다. (x,y는 실수) 미분 한다라는 것은 힘의 변화율을 나타내고 적분한다는 것은 힘의 결과가 쌓여간다고 보시면 되는데 복잡한 식을 미분,적분 하더라도 계산하기가 편하죠. 수학을 한다라는 것은 자연현상을 인간이 이해하는 과정이라고 보시면 됩니다. 자연 현상을 바로 피부로 느낀다면 좋겠지만 그렇기가 힘들더라도 자연을 수식으로 표현이 만약 가능하다면 수식을 계산하는 것은 가능하니까요.

[@moon1031]

자연이 연속적으로 보여서 그런거 아닐까요? 저는 평범인이라 잘 모름ㅋ 추측한거에요.

[@번개-l3c]

하호준 답변 지렸고 ㅋㅋㅋㅋ. 이렇게 깊은 뜻이!

[@eos_1211]

간단하게 설명하자면 콩나물 하나가 자랄때 모든 세포가 같은 속도로 성장하는건 이해되시죠? 그런데 이 콩나물의 키를 가만히 보니까 직선이 아니고 e^x 그래프로 자라더란 말입니다. 저 e라는 상수가 뭔지 궁금해서 사람들이 구하기 시작했고 아 요놈을 구하고 보니 여기저기서 쓸모가 참 많더랍니다. 일정한 비율로 성장하는(증가하는)것들은 주변에 많으니까요

[@이지후-w8v]

세포가 1초에 1번씩 세포분열하면 하루동안의 세포분열을 그래프로 그려보면 대충감잡힐꺼예요

[@김종한-q3x]

예전에 수능칠때 그냥 e는 e구나 하고 문제만 계속 풀엇는데 이런 깊은뜻이....당신의 정체가 궁금합니다.

[@ethanpak9325]

n이 무한대로 수렴할 때 값은 어떻게 손으로 구할 수 있나요? 2.71....

[@하호준-b4j]

메클로린 급수를 이용하여 인간이 4칙연산 가능한 계산기로 1분 정도면 소숫점 4째 자리 정도까지는 유사하게 구할 수 있습니다. 인문계 고등학교 이과 기준으로 설명하면 최대최초정리-> 롤의정리 -> 평균값정리 -> 테일러급수-> 메클로린급수 를 보신다면 이해가 빠르실 겁니다. (물론 테일러 정리 부터는 대학교부터 배운다고 보시면 됩니다만은...) 간단히 설명하면 y=e^{x} 라는 함수는 x=0 근처에서 y=1+x 와 오차 범위가 매우 적습니다. ( 고등학교 수준의 설명에서는 그래프의 접선이라고 생각하시면 됩니다.) 이를 확장하면 y=e^{x} 는 대략 1+x+{1/2}x^{2}+ ... +{1/n!}x^{n}+... 과 거의 유사합니다. 컴퓨터를 이용해서 소수점 수십 수백 자리까지 구하는 것이 가능하구요. 현실상황에서 볼 때 4자리 정도면 충분합니다. ( 소숫점 4자리정도는 집 건축할 때 1cm 오차나는 수준 ) 위 식에 x=1을 대입하면 e=1+1+1/2 +1/6 +1/24+... 정도 되겠네요.(감히 등호를 사용했지만 엄밀히 말하면 같은 것은 아닙니다. 무한히 계산하는 것이 가능하다면 같겠죠) 비슷한 원리로 Pi=3.14... 원주율은 y=4arctan{x} 함수를 ( y=e^{x}를 메클로린급수 표현에x=0 넣은 것 처럼 ) 메클로린 급수 표현에 x=1 을 넣으면 ( 이번에는 0이 아니라 1입니다) 원주율의 근사값을 넣을 수 있습니다. pi=4(1-1/3+1/5-1/7+...+{-1}^{2n-1}{1}over{2n-1}+...)=3.14... 이렇게 되겠네요

[@루나-u7y]

파이나 자연상수같은 것들은 마지막을 모릅니다. 다만 자연상수의 경우는 계속해서 n이 커지면서 그 수가 작은 수에서 점점 터지는 경우입니다(2부터 2.71828로..) 그래서 n이 커질수록 점차 소수 점 첫째자리부터 변하지 않기 시작합니다. 그렇기 때문에 그 수로 확정할 수 있게 되죠.

[@이정혁-m8w]

아...?이름 바꾸셨군요 누군가가 영상 불펌한줄 알았습니다...구독중인거 보고 알았네요

[@AngeloYeo]

안녕하세요 ^^ 네. 채널명을 변경했습니다. 제가 공부한 것들을 정리하고 있는 위키독스 페이지 이름과 동일하게 채널명을 변경했습니다. 원래는 저희 학교 학생들 대상으로 진행했던 강의들을 제 주변 친구들에게도 공유하고자 업로드 했었는데, 관심있게 봐주시는 분들이 생각보다 많이 생겨서 좀 더 모양을 갖춰야겠다 생각했습니다. 당황하셨다면 죄송합니다 ^^; 관심있게 봐주셔서 감사합니다~!

[@이정혁-m8w]

공돌이의 수학정리노트 대학 수학도 하실 생각은 없으신가요? 수학 진도 나가는 것처럼요

[@AngeloYeo]

사실 컨텐츠에 대한 고민을 많이 하고 있습니다... (특히 지속적으로 업로드 할 수 있는 내용으로 어떤 것이 좋을지 고민하고 있습니다.) 말씀해주신 대학 수학이라는 것이 어떤 범위의 것을 말하는지 조금 더 자세하게 말씀해주실 수 있으실까요? 참고하겠습니다.

[@이정혁-m8w]

공돌이의 수학정리노트 전 수의예과로 진학해서 더이상 수학을 배우지 않습니다. 대학에서 배우는 수학 내용이 궁금해서 찾아봤는데 독학이 쉽지 않아서요. 수학1 수학2 공업수학1 이런식으로 재생목록 하나에 엮어주셨으면 좋겠어요

[@balkkoorak]

이런 영상 더 안찍으시는 건가요? 로그가 왜 필요한지 정말 궁금해서 그렇습니다.

[@user-hh9ld4zh6o]

홍록기 로그는 아주큰수를 상용로그(밑을 10으로하는)를 사용하면 로그의 몇가지 성질만으로 쉽게 계산 할수있다는 점에 의의가 있죠 이덕분에 천체거리 계산등 큰수 사용에있어 큰 학문적 발전을 불러오지요

[@balkkoorak]

아 천문학적 단위까지 그래프를 통해 한눈에 볼 수 있게 만들었다는 거군요. 과학공부 중에 몇몇 그래프가 로그스케일 단위로 그려진게 있던게 기억나네요.

[@hskim1232]

지진의 규모도 로그스케일이죠