08A.1 Differentialgleichungen klassifizieren, linear, homogen, konstante Koeffizienten, Ordnung

[@MrMondimann]

Man kann die Arbeit vo Ihnen nicht oft genug loben. Diese halbe Stunde gut investierte Lernzeit hat mich ordentlich vorwärts gebracht :)

[@KernspalterDX]

Und wieder haben Sie es geschafft, auf verständliche Weise auf den Punkt zu bringen, was Sache ist. Mysteriöserweise wurden auch immer direkt offene Fragen, die sich mir während des Anschauens dieses Videos aufgetan haben, beantwortet... Da fehlen mir die Worte. ._.

[@eliaspfeffer]

Mechatronik Student hier. Hat mir sehr geholfen, vielen Dank!

[@Mica_No]

Ich schau mir das Video einfach 10 Jahre später an, als es hochgeladen wurde war ich in der zweiten Klasse

[@JoernLoviscach]

+densch123 (Leider erlaubt mit KZbin keine direkte Antwort an Dich.) Es geht um die Form der Differentialgleichung, wie sie gegeben ist, _nicht_ wie sie umgeformt werden könnte. Man könnte informell sagen, es handelt sich "effektiv" um eine lineare Differentialgleichung. Streng ist aber es keine.

[@leon1645]

Sehr schoenes Video um in das Thema reinzukommen, vielen Dank!!

[@bahramalizada6438]

Das Thema ist auch im Rahmenplan für Mathe LK, daher schaue ich mir deine ganze Playlist an. Danke!

[@JoernLoviscach]

Welches Bundesland ist denn das? Anderswo sind schon Kosinus und Logarithmus effektiv gestrichen.

[@bahramalizada6438]

@@JoernLoviscach Hamburg

[@JoernLoviscach]

Autonome DGL: Es kommt die unabhängige Variable nicht "nackt" vor, sondern nur als Argument der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen. Jede Lösung y(x) kann damit beliebig in x-Richtung verschoben werden. Sieht man vor allem in der Physik, wenn die "Naturgesetze" nicht von der Zeit abhängen.

[@YTGagi83]

Klasse Zusammenfassung. Hat mir sehr geholfen. Vielen Dank für die Mühe.

[@JoernLoviscach]

So ist es. Sicherheitshalber: Und ebenso ist y''+y'+y - 1 = 0 inhomogen (im Endeffekt dieselbe Gleichung).

[@lennartnitsche2362]

Viel Inhalt in relativ kurzer Zeit, TOP

[@jh_esports]

Super Überblick, vielen Dank!! :)

[@GolledasRied]

Zum Thema Implizit oder Explizit. Ist die gängiste Ansicht nicht diese: Wenn man durch ein einfaches Umformen, und zwar Addition oder Subtraktion, die höchste Ableitung alleine auf eine Seite bringen kann, dann ist es bereits die explizite Form. Benötige ich hierfür Multiplikation oder Dvision, dann ist noch die implizite Form anzunehmen.

[@JoernLoviscach]

GolledasRied Offiziell gilt genau die geschriebene Form und nicht, was bei möglichen Umformungen passiert, siehe de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#Gew.C3.B6hnliche_Differentialgleichungen Aber natürlich ist allen klar, dass z.B. y"+3y'+y-x=0 nicht nur implizit ist, sondern auch nach trivialen Umformungen explizit.

[@GolledasRied]

Super, danke für die Antwort!

[@jonsnow92]

Hallo Herr Loviscach. Vielen Dank für Ihre hervoragenden Videos. Mein Prof (Uni Stuttgart) hat in seiner Vorlesung leider nur das Buch eines anderen Profs vorgelesen, ohne dazu etwas zu erklären. Erst durch Ihre Videos wurde ich erleuchtet :) Habe ich richtig verstanden, dass bei DGLs folgendes gilt? autonom = konst. Koeff. + konst. Störglied/Inhomogenität

[@JoernLoviscach]

Ja, wenn es um _lineare_ autonome DGLn geht. Autonome DGLn dürfen aber auch nichtlinear sein. In der theoretischen Physik hat man gerne autonome DGLn: Die Zeit kommt da oft nicht ausdrücklich vor.

[@jonsnow92]

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

[@JoernLoviscach]

Ja, das y vor dem y' stört: nichtlinear! Ebenso beim zweiten Beispiel.

[@onpsxmember]

äußerst hilfreich, da weis man gleich mit was man es zu tun hat;-) danke=)

[@back2back135]

Hallo Herr Loviscach, ich hab eine Frage zu einem Anwendungsbeispiel: Die DGL zur Beschreibung der Biomasse-Konzentration in einem Bioreaktor sieht so aus μ=dX(t)/dt ∙1/X(t) wobei X(t): Biomasse-Konzentration in g/L zum Zeitpunkt t. Mit der Zeit nimmt die Biomasse zu. μ: Wachstumsrate in 1/h . Also wie oft sich die Zellen pro Stunde teilen. Nun könnte ich ja die Biomasse über die Zeit messen und erhalte dann den Graph von X. Jetzt könnte ich doch für jeden Zeitpunkt t die Ableitung dX(t)/dt ermitteln und diesen Wert dann mit 1/X(t) multiplizieren. Das mache ich (mit dem Computer) für alle Zeitpunkte t. Das was ich dann erhalte, kann ich doch als den Graphen von μ auffassen oder? Also ich ermittle für alle Zeitpunkte t die Werte dX(t)/dt ∙1/X(t) und sage, dass diese Werte die Funktionswerte μ(t) sind. Könnte man denn, falls das so stimmt was ich sage, für die Funktion μ folgendes schreiben μ : t↦ μ(t) = dX(t)/dt∙1/X(t) ?

[@JoernLoviscach]

Ja, klar.

[@JoernLoviscach]

@@back2back135 Ja, warum die Bedenken?

[@agfi5320]

In ihrem Video meinen Sie, dass die Unterscheidung zwischen homogen und inhomogen nur bei linearen Funktionen Sinn mache. y'=sin (x)*cos (y) soll jedoch homogen sein, stellt aber keine lineare DGL dar. Können Sie das Beispiel ggf kurz erklären bzw nennen, wie man auf die Homogenität schließen kann?

[@JoernLoviscach]

y'=sin (x)*cos (y) ist nicht homogen. (Ich hoffe, ich behaupte das nirgendwo.) Es steht nicht einmal eine homogene Funktion rechts.

[@agfi5320]

Nein, Sie haben das nicht behauptet, aber in meinem Tutoriumsblatt steht dies als Lösung und das irritiert mich derzeit. Deshalb wollte ich vorsichtshalber nochmal bei Ihnen nachfragen.

[@LebenWerden]

Hallo. In einigen Büchern wird der inhomogene Teil als Störfunktion bezeichnet. Was genau wird in einer DGL denn gestört?

[@JoernLoviscach]

Gute Frage, in der Tat. "Anregung" fände ich einen sinnvolleren Begriff, an den harmonischen Oszillator denkend.

[@LebenWerden]

@@JoernLoviscach Würde bedeutet ohne "Anregung" würde der Oszillator still stehen?

[@JoernLoviscach]

@@LebenWerden Zumindest exponentiell abklingen (Dämpfung vorausgesetzt).

[@EMAbeatz]

was ist mit y y'= 3+ tan (y) nicht linear, explizit? (stört das y vor dem y' ?), Ordnung=1 und ist xy' +2xy=3 mit konst koef.? x ist ja linear, aber in unserer definition steht: "Sind Koeffizienten(-matrizen) unabhängig von x, spricht man von gleichung mit konst. koef." nach der def. sind die ja abhängig von x

[@markuswerner7271]

Hat man bei inhomogenen dgl konstante vorfaktoren also zahlen vor dem y und keine Funktion wie bei nicht autonom?

[@JoernLoviscach]

Die _allgemeine_ Lösung einer DGL n-ter Ordnung muss selbstverständlich n Integrationskonstanten enthalten. Bei einer _speziellen_ Lösung hat jede der Integrationskonstanten einen festen Wert, meist 0.

[@markuswerner7271]

@@JoernLoviscach und wie erkennt man dann eine separable dgl ich verwechsel die immer bzw erkenne sie nicht 😅

[@JoernLoviscach]

@@markuswerner7271 Eine DGL mit trennbaren Variablen ist eine DGL der Form f(y) * y' = g(x). Die ist typischerweise nichtlinear (außer, falls f = const), also sowieso nicht nach homogen/inhomogen klassifizierbar.

[@markuswerner7271]

@@JoernLoviscach d. H. Separable dgl hat eubw Funktion abhängig von y * Funktion abhängig von x als Form?

[@JoernLoviscach]

@@markuswerner7271 Ich verstehe die Frage nicht. Deshalb hier einfach mal ein Beispiel: sin(y(x)) * y'(x) = ln(x) ist eine DGL mit trennbaren Variablen. Dieses Beispiel ist eine _nichtlineare_ DGL. Aber nur _lineare_ DGLn können homogen oder inhomogen sein.

[@Mohammad-fp7vu]

Klasse erklärt! Super Video!

[@EMAbeatz]

was ist mit autonom?... was heißt das?

[@liquidmasl]

irgendwo ein video zu differenzengleichungen/rekursionsgleichungen? bin da schon ein wenig verzweifelt..

[@JoernLoviscach]

+Marcel Winklmüller Nein, aber simpler Trick: a^n mit unbekanntem festen a und Index n einsetzen und gucken, was passiert.

[@liquidmasl]

wow das war schnell! okay ich guck mal weiter deine videos und versuch das zu begreifen... ich bin leider schlecht im begreifen ohne beisiel ):

[@liquidmasl]

xn+1 = (n+1)xn +(n+1)!, x0 = 1. ich hab da nicht mal ein hoch irgendwas. mir fehlt da ein basic ^^

[@JoernLoviscach]

+Marcel Winklmüller Hier gehts auch viel einfacher, durch Hingucken: xn = (n+1)!

[@liquidmasl]

okay.. na wenn ich mal versteh was das alles überhaupt bedeuted.. peinlich! danke!!

[@patricksekmen6702]

Könnten sie kurz erläutern wieso bei nicht linearen DGL, eine unterscheidung zwischen homogen und nicht homogen keinen sinn macht?und wieso keine konstanten Koeffizienten auftreten können?

[@JoernLoviscach]

Am Beispiel: Was soll bei 6*sin(5*y' + 4) = x²/y + e^y die Inhomogenität sein? Was sollen die Koeffizienten sein? Nein, beide Begriffe sind nur dann definiert, wenn man die DGL als a(x) * y'(x) + b(x) * y(x) = c(x) schreiben kann.

[@patricksekmen6702]

@@JoernLoviscach Nein war auf kein Beispiel bezogen,ich schaue ihre videos sehr viel und habe bald die komplette mathematik 2 durch bis zu den DGL und sie sagen immer wieder das es nur bei linearen DGL diesen Unterschied gibt,ich habe aber noch kein video gesehn wo sie darauf eingehen wieso das der Fall ist..Deswegen hab ich mir gedacht,ich frage mal nach..

[@JoernLoviscach]

@@patricksekmen6702 Mit "am Beispiel" oben wollte ich sagen, dass nur ein Beispiel folgt, an dem man die Sinnlosigkeit des Unterfangens vielleicht klarer sieht.

[@patricksekmen6702]

@@JoernLoviscach ok dankeschön für die rasche Antwort !

[@OnkelTrank]

Verstehe ich es richtig, dass das "tan (y)" in der DGL y y'= 3+ tan (y) die linearität nicht aufhebt?

[@JoernLoviscach]

tan(x) würde die Linearität nicht aufheben. tan(y) dagegen macht es nichtlinear.

[@OnkelTrank]

Jörn Loviscach Herzlichen Dank für Ihre schnelle Antwort. Ich finde in Netz oft Definitionen wie diese: Eine Differentialgleichung wird als linear bezeichnet,wenn sie nur lineare Terme (d.h.Terme mit der Potenz 1) von y,y', y'' usw. enthält. Ist diese unvollständig oder kann man den Sinus auch als Potenz ungleich 1 schreiben?

[@JoernLoviscach]

Frank Wegmann Lineare Terme oder Terme _ohne_ y. So ist die Definition korrekt: de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung#Definition

[@OnkelTrank]

Nochmals vielen herzlich Dank für die Hilfe!

[@theman83744]

genial

[@LauraLobster]

Ist also y'=17|y| nicht linear wegen dem Betrag? LG

[@JoernLoviscach]

Genau, diese DGL ist nichtlinear. Allerdings lässt sich das hier bei diesem Betrag gerade noch retten. Man löst y'=17y und man löst y'=17*(-y) und guckt, ob es möglich wäre, dazwischen zu switchen (nein).

[@LauraLobster]

Vielen Dank :) und super Videos!

[@JoernLoviscach]

+densch123 (Leider erlaubt mit KZbin keine direkte Antwort an Dich.) Es geht um die Form der Differentialgleichung, wie sie gegeben ist, nicht wie sie umgeformt werden könnte. Man könnte informell sagen, es handelt sich "effektiv" um eine lineare Differentialgleichung. Streng ist aber es keine.