[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-2: 무한의 탐구

[@칸진-p8k]

우와 진짜 너무 신기하고 재밌다..이런걸 집에서 편하게 소파에 누워서 볼수있는 세상이라니..

[@meiyou_5168]

3:00 무슨소리야 열번을 돌려봐도 모르겠는 나는 ?

[@whyrano-morahano]

meiyou _ 화살표 순서대로 세면 된다는 얘기인 듯 합니다. 그리고 일단 ‘셀 수 있는 무한’이라면 어떤 무한이든 같다(호텔 이야기가 의미하는 바)는 명제에 따라 유리수의 수는 자연수의 수와 같다는 이야기인 것 같습니다

[@쭈니-f4m]

일자로 숫자를 세면 처음줄도 셀수 없지만 지그제그로 세면 모든 수를 셀수 있다.

[@뗋꿋]

@@쭈니-f4m 와소름

[@랄라랄라쫑사]

대각선은 분자 분모의 합이 같은 분수들의 집합으로 하나씩 갈때 마다 그 합이 하나씩 커지네요 그런식으로 모든 유리수를 셀수 있네요

[@c민헌]

6:51 이게 제가 이해한게 맞는지 모르겠네요... 1번째자리수의 1번째수 2번째자리수의 2번째수... 쭉 나열하고 거기에 각자리수에 1을 더하면 아 이해했었는데 이거 쓰다가 까먹었어요... 혹시 설명해 주실 분 계신가요 ㅠㅠ

[@btc2100]

목록상의 전체 수를 다 이용하여 새로운 수 하나를 만들어내는데 쓴 방법이라는게 전체 수 각각에서 1자리씩을 바꾸어서 가져와 조합하는 것이기 때문에, 정의상 결론적으로 전체 수와 최소한 한 자리가 다른 또다른 수가 만들어진다는 얘기입니다. 목록에 무한의 수가 나열되어 있어도 또다른 수를 무한으로 추가할 수 있다는 뜻이기도 하죠.

[@이경재-u2g]

8:38 소수의 집합도 자연수의 집합과 크기가 같은건가요? 어떤방법으로 1대1대응 시킬 수 있죠?

[@thecovidist4976]

이경재 사실 그냥 직관적으로 소수도 자연수처럼 셀 수 있는 집합이라고 생각하면서 서로 일대일대응이 존재한다고 보시면 되지만, 더 분명하게 보이는 방법은 함수를 만들어버려도 되어요. f(n)=Pn(n번째 소수)로 만들어버리면 그 어떠한 자연수에 대해서도 대응하는 서로 다른 소수가 존재하기 마련이죠. 그러면 소수가 자연수보다 작지는 않을 테니 서로 같다는 것을 보일 수 있죠.

[@이경재-u2g]

@@thecovidist4976 그런식으로 대응 시켜도 되는건가요 흠.. 제 의문은 자연수 집합보다 작은 무한집합이 있지 않은가 했던건데 소수를 예로 든건 소수의 부분집합을 생각하면 모든 수는 서로 다르게 소인수분해 되니까 소수집합의 부분집합의 개수가 자연수의 집합처럼 되는거 아닌가 생각했습니다 그러면 2^소수집합크기 = 알레프 0가 되서 알레프 0보다 더 작은 무한집합이라고 생각할 수 있나 했습니다

[@thecovidist4976]

이경재 죄송합니다만, 소수의 부분집합을 통해서 자연수 집합보다 더 작은 무한 집합을 생각하시는 과정은 잘 이해가 가지 않습니다. 다시 한 번 설명해주시면 좋겠습니다만, 자연수 집합보다 작은 무한 집합은 존재할 수 없다는 것을 보여보겠습니다. 만약 그러한 집합이 존재한다고 가정하고, 그 집합을 A라고 가정해보겠습니다. 그렇다면 A에서 자연수 집합으로의 단사함수(함수값이 겹치지 않게 대응하는 함수)가 존재하고, 일대일대응 함수는 존재하지 않아야 합니다. 이것이 곧 집합의 크기에 대한 정의입니다. 그런데 그렇다고 하면 함수값들은 자연수 집합의 부분집합이 됩니다. 그 부분집합은 아까 말씀드렸던 것같이 대응시키는 방식으로 자연수 집합과 일대일 대응이 가능합니다. 따라서 일대일 대응이 존재하지 않는 A가 존재한다는 가정과 모순이 되고 가정이 틀린 것이 됩니다. 사실 더 엄밀하게는 자연수 집합의 부분집합은 유한하거나 자연수 집합과 일대일 대응이 된다는 정리가 있습니다.

[@이경재-u2g]

@@thecovidist4976 먼저 소수라는 무한 집합을 생각합니다 이 집합의 원소의 개수를 편의상 알레프x 라고 하겠습니다 그러면 소수집합의 부분집합의 개수는 2^알레프x이 됩니다 근데 우리는 소수의 부분집합을 그 부분집합의 소수들을 모두 곱함으로서 하나의 수에 대응 시킬 수 있습니다 ex) {2 5 7}=70 이렇게 만들어진 수들의 집합은 자연수 집합보다 작습니다 그러면 2^알레프x < 알레프 0가 되는거 아닌가요? 이건 연속체 가설에 안맞는다고 생각합니다 제가 아직 대학교 1학년이라 모르고 있는 부분이 있을 수 있습니다 학부생의 눈높이에 맞춰 어떤 부분이 틀렸는지 설명해주시면 감사하겠습니다

[@thecovidist4976]

이경재 일단 제가 말씀드린 부분으로 알레프 0, 즉 그 정의 상 자연수 집합과 크기가 같은 집합의 초한기수보다 작은 초한기수는 존재하지 않는다는 걸 보일 수 있습니다. 이 부분을 다시 한 번 곱씹어보셨으면 합니다. 그리고 말씀해주셨던 소수 부분은.. 정말 창의적이라고 생각합니다.. 그러나 엄밀히 증명을 하려고 해본다면, X는 제가 말씀드렸던 논리대로 그것이 알레프 0와 같습니다. 그리고 어떤 집합은 그 집합의 멱집합보다 항상 작다는 그 유명한 칸토의 정리에 따라, 알레프 0의 크기인 소수 집합보다 소수 집합의 멱집합(부분집합들의 집합)이 2^알레프 0으로서 표현되는 초한기수로서 더 크기가 크게 됩니다. 일단 제 미약한 생각이지만, 짝수 집합과 같이 자연수의 부분집합도 충분히 자연수 집합과 크키가 같아질 수 있음을 상기해보시는 것도 권장드립니다..

[@seungyoon1433]

6:46 미쳤다 진짜ㅋㅋㅋㅋㅋ

[@바로지금-m8c]

나도모르게 와 가 저절로나와ㅋㅋ

[@칸진-p8k]

저두요 와~~

[@Wannabe2023]

유리수 집합의 크기와 정수 집합의 크기(농도 cardinality)가 같다는 것은 칸토어의 패러다임일 뿐입니다. 이 틀을 벗어나면 정말 우습게 되지요. 두 유리수 사이에는 무한의 유리수가 있지만 두 정수 사이에는 유한한 정수가 있을 뿐입니다. 사실 유리수 집합 안에 0, 양의 정수, 음의 정수가 다 들어있고 추가로 유한소수(분수)가 들어 있음은 자명합니다.

[@happyhan608]

뭔지는 모르겟으나 재미있어 꾸준하게 들으니 흥미가 배가 되서 여러 과학 채널을 봅니다. 여러 채널중 내용이 최우수급에 속하는데 의외로 구독자가 적은듯 해서 항상 맘이 쓰이네요. 연말까지 5만 돌파 기원 합니다!

[@김정훈-z8e]

긴 강의영상과 뒤죽박죽 배열되있는 문제도 있지않을까합니다.두번째는 유투브 광고외에 지원받는 곳이있어, 유투브에 목을 메는 경우가 아닌것같습니다.

[@aerockh]

유튜브가 요즘 학생들의 주요 미디어인데요. 이런 컨텐츠는 시간이 지날수록 대한민국에 큰 기여를 할 것 같습니다.

[@HosPital-gd2yu]

행복하다

[@배영식-y6s]

3:31 2/2에있는 손님은 1/1,3/3...의 손님과 같은 방을 써야하나요?

[@acute3811]

? 왜 그렇게 생각하셨는지 모르겠는데 유리수를 세는 순서 그대로 1층호텔 1번 방부터 집어넣으면 깔끔하지 않나요. 물론 유리수를 중복 없이 세라고 하는 문제라면 X표 치면서 좀 귀찮겠지만 호텔의 경우는 그럴 일이 없습니다.

[@이경재-u2g]

6:57 와 지렸다 이런 내용이였구나 칸토어는 ㄹㅇ 천재네

[@cmj7260]

아 이 성우분 진짜 좋다. 대체 누구야.

[@chatnoir709]

혭반 ㅎ

[@hwangdaeil]

유튜브도 있어요

[@yjw4207]

혭반 입니다 유튜브에서 검색하면 나옵니다

[@인생팁-테슬라]

송민령 작가 목소리인듯

[@김태영-u5o]

우주는 프랙탈인가 나는 오늘도 무한과 확률의 바다를 거닌다

[@acute3811]

물론 영상 제작을 다 하신 상태겠지만 칸토어와 괴델이 막혔다는 연속체 가설에 대해 다뤄주실 수 있나요..? 아니면 카오스 강연에서 가르쳐주실려나

[@행운의길-h7k]

항상좋은공부하고갑니다 감사합니다

[@naturalkidjb]

1/0의 무한은 알레프0인가요?

[@707107]

간과할 수 없는 부분이 있어서 댓글 남깁니다. 알레프 1 이란 "first uncountable ordinal" 입니다. 영상에서는 "실수 집합의 크기가 알레프 1" 인 것 처럼 소개되었는데, 실수 집합의 크기는 2^(알레프 0) 입니다. 여기서 "알레프 1 = 2^(알레프 0)" 라는 명제는 연속체 가설의 하나의 종류이고, 이것은 Zermelo Frankel with Axiom of Choice (ZFC) 와 독립입니다.

[@drmphy]

아~ 이래서 무한을 생각하면 미처버린다고 했구나ㅋㅋ

[@allem49]

카오스 강연 수학편이 기대됩니다

[@creativemonk6721]

무한의 세계는 알다가도 모르겠네요 ㅎㅎ

[@랄라랄라쫑사]

중간에 매트릭스에서 곱하기 2를 한 수가 어떻게든 한자리가 다르다는게 이해가 안되네요

[@이재광-s6j]

첫번째 숫자랑 비교하면 최소한 첫자리는 다르고 두번째 숫자랑 비교하면 최소한 두번째자리가 다르고 N번째 숫자와 N번째 숫자는 다르게되니까요

[@Zercoal]

감사합니당~~~

[@러프로짝사랑]

중간에 분수 말할때 귀엽다ㅋㄱㅋㄱㄱㄲ

[@tagglee3833]

수알못이라 그런지 처음부터 끝까지 이해가 안되내요ㅋㅋㅋ

[@김정훈-z8e]

칸토어가 똑똑한분이라 따라야하겠지만 전 무한이 다르다는게 납득이 가지를 않아요. 자연수 무한이래도 오링날일이없는데. 마치 0.999999...는 어떤것도 1보다는 0.00000...1은 작다고 말하는것과 비슷하지않나요. 하지만 0.99999..는 1취급하잖아요. 무리수를 모두나열했는데 없는 무리수가 있다는게 좀..

[@acute3811]

그거 무리수 세는 문제 대학교 이산수학 수업에서도 수업 절반 정도 잡고 가르치는 어려운 개념입니다. 영상에서는 정말 필요한 내용만 훑었는데 원래는 실수의 경우 자릿수가 하나라도 다르면 정말 다른 수일까?에 대한 생각도 거쳐보는 것이 좋고 또 수학에서의 귀류법을 많이 써봐서 감이 있어야 이해가 쉬울 겁니다. 비슷한 예로 소수의 개수가 무한하다는 증명도 맨 처음에 소수가 유한하다는 가정을 하고 시작하다가 나중에 반박을 하는 식이죠. 그리고 처음 질문도 사실 0.9999999...를 어떻게 정의하냐에 따라 다를 수 있는데, 무한급수의 정의는 극한을 알 필요가 있는데 그 극한이라는게 "아무리 작은 오차를 가정하더라도 0.뒤에 9를 엄청 많이 쓰면 오차 내로 들어온다"로 정의되거든요ㅎㅎ 즉 다시 말해 완전 같다는 걸 한눈에 알긴 어려워도 오차가 무한히 작아질 수 있다면 같은거다!라고 말하고 싶은 건데, 이게 수학자들에게는 당연한 개념인데 일반인들에게는 그저 인간들끼리 합의한 거라고 보셔도 무방합니다. 다만 이게 좋은 합의냐 아니냐는 훗날 다른 미적분과 더 나아가 물리적 현상들에게까지 매우 유용하게 쓰이는 걸로 보았을 때 정의를 잘 한 것 같다고 우리가 생각할 수는 있죠.

[@김정훈-z8e]

@@acute3811 아 무리수는 성질이 좀 다르군요. 정수나 유리수등은 무한이라고해도, -4, 22/45등 각수는 무한이아닌데, 무리수는 각수가 무한이라는 다른성질이 있네요.첨엔 도저히 납득이 안되었지만, 이젠 절반 물러섰습니다. 그래도 완전히 이해는 어렵네요. 모든무리수 목록이라고 해놓구, 빠진무리수가 있다니, 명제자체가 그건 모든무리수목록이아닌것같은데

[@acute3811]

@@김정훈-z8e 가정을 세웠을 때 오류가 나면 가정이 거짓이다라는 것이 귀류법의 핵심인데 음 저도 수학에서 보편적으로 쉽게 쓰다보니 엄밀하게 생각을 안 해봤네요. 우선 정훈 님께서 헷갈리셨던 점에 대해서는, 틀린 명제를 가정하고 수학을 진행해보는 것이 전혀 잘못된 일이 아니라는 겁니다. 만약 가정이 참이었다면(여기서 가정은 '무리수는 순서대로 나열할 수 있다'입니다) 다른 수학 법칙들과 충돌하면 안되는데요, 영상에서처럼 "무슨 짓을 해도 목록을 완벽하게 만들 수 없다"는 사실을 알게 되었을 때 우리는 애초 가정에 오류가 있다는 것을 알게 되죠. 따라서 그 가정이 거짓이고 부정이 참이라는 사실을 알게 되면 할 일을 다 마친 것입니다. 즉 우리가 잠시 동안 오류가 있는 수학 체계에 발을 담가보고 필요한 정보('무리수를 전부 순서대로 나열하는 것이 불가능하다'')를 알아내면, 다시 돌아와 오류 없는 우리 세상의 수학 체계를 구축해가는 과정이라고 표현하면 이해가 되실 지 모르겠습니다.(근데 저는 수학과 학생이 아니라서 정확한 표현을 쓰지 않고 있을지도 모르니 양해 부탁드립니다ㅎ) 그리고 무리수는 유리수와 다르게 소수점 이하에 무한히 많은 불규칙한 숫자가 있다는 특징을 잘 잡아내신 것 같습니다. 소수점 이하가 무한히 길어지면 무한한 개수의 무리수 중 어느 것과도 같지 않은 숫자를 찾을 수 있으니까요. 그나저나 영상에서의 연속체 가설에서는 무리수 집합보다도 더 큰 무한도 정의하던데 그건 진짜 어떻게 하는 건지 궁금하긴 합니다.

[@김정훈-z8e]

@@acute3811 0과 1사이의 무리수집합이 유리수집합보다 크다면, 0과 0.00000000000000001 사이의 무리수집합도 유리수집합보다 크다는것같은데, 때로는 수가 우주보다 더 크게 느껴져요. 저는 플랑크길이같은 최소길이가 있다고 생각하거든요. 근데 수는 그런게 없잖아요. 무한으로 쪼개지니. 다중우주포함 우리가 모르는 우주도 포함하면 수가 우주와 같던가, 우주가 더 클수도있겠지만, 연속체가설은 언뜻보기에 쉬워보이는데. 칸토어도 증명못하고, 어떤수학자도 참인지,거짓인지 증명할수없다고하니, 생각조차안하는게 나을것같습니다.0과 0.000000001 사이의 아주작은 유한속에 숨어있는 무한이 유리수무한보다 더 크다는게 신기합니다

[@김정훈-z8e]

@@acute3811 4개월만에 또다시 칸토어가 틀렸다는 생각이 들어서 달려왔습니다. 그리고 이런 나의생각은 정상적인것 같습니다. 왜냐하면 그 어떤사람보다 똑똑한 푸엥카레도 칸토어를 부정했으니까요. 영상을보면 힐베르트,괴델등은 칸토어를 지지하죠. 이는마치 아인슈타인이 양자역학을 부정하는것과 비슷하네요. 무한이나 양자역학은 그만큼 용납하기 어렵다는거겠죠.

[@tcosmos7770]

무한은 수가 아닌 상태인데 수라고 가정한 논리의 전개가 수긍이 가지 않습니다. 무한히 늘어선 두개의 줄(집합)의 앞부분만 짝짓기해보다 그럴듯 하니 나머지도 다 될거라는 식의 사고가 맞는건가요? 도대체 어떤 부분이 천재적인지 공감가지 않습니다.

[@느그집고양이]

비전공자도 이해할 수 있게 간략히 설명해서 그래요. 함수와 전단사대응의 정의를 알고 나면 그런 사고가 틀림없음을 확신할 수 있게 되실 겁니다. 차치하고 날카로운 지적이라는 데에는 이견이 없습니다. 근데 다만 칸토어나 그의 집합론을 긍정하는 다른 수학자들이 그걸 고려하지 못할 정도로 멍청하지 않았다는 거죠.

[@tkpaco]

오마이깟;;; 이번편은 하나도 못알아듣겠어;;;;;;;; 외계언가?

[@네미시스8]

셀수있는 무한은 자연수집합이다. 무한은 어렵다.. 머리아픕니다.

[@김정훈-z8e]

이해는 했지만 왜이리 구라같지. 마치 물리학의 거성 아인슈타인이 양자역학을 부정하고, 수학계의 거성 푸엥카레가 칸토어를 부정하는것과 비슷하군. 아무리 똑똑한 사람도 받아들이기 힘든 양자역학과 무한. 아이큐 169.99999....인 사람과 170인사람이 서로 옳다고 하는데, 누구말이 맞는지

[@튜브유-b2d]

왜 자꾸 '천재적인'이라는 가치 평가적 단어를 넣는지 모르겠습니다. 과학은 어떤 권위에도 굴복되지 않고 진리를 탐구해야하는데, 누구를 지칭하면서 천재적인이라는 수식어를 붙임으로서 그의 권위에 굴복하라는 암시를 주고 있는것 같아 불편합니다. 사실 칸토어의 생각은 별로 천재적이지 않게 보입니다. 무한이라는것의 정의를 어떻게 하냐에 따라 그의 생각을 반박할 수 있어 보입니다. 무한 보다 큰 무한 이란것은 이미 언어논리적으로는 모순입니다.

[@김재형-r7z]

음..칸토어의 업적은 기존에 무한이란 개념을 수학으로 끌고온거죠 튜브유님 생각도 이해됩니다 칸토어 이전에는 가무한으로 생각했지 실무한으로 다뤄 볼려 하지 않으니까요 왜? 실무한을 받아들여야 하냐고 생각할수 있죠

[@김재형-r7z]

그러나 이전 영상을 보면 알수있지만 칸토어 이전은 마치 중세철학자 처럼 무한을 신과 연결지어 생각했죠 조지 버클리가 뉴턴,라이프니츠의 미적분속 무한소의 개념이 너무 자의적이고 엄밀하지 않음을 지적하죠 이후 볼차노,코시,바이어슈트라스등을 거치면서 극한이란 개념을 통해 엄밀히 다졌지요 미적분말고도 사영기하학 이라던지 수학이 발전해 가면서 그 동안 애써 외면했던 무한은 수학속에서 계속 등장했지요 그렇기에 무한에 대해 적어도 누군가는 무한을 말해야 한거죠 그러던 중에 칸토어가 무한을 실무한으로 다루면서 기존에 무한을 생각하는 방식과 다른 새로운 접근과 지식을 얻게 되었죠 물론 튜브유님 처럼 반대한 사람도 있었지요 크로네커,푸앵카레 말이죠 그럼에도 칸토어의 무한에 대한 접근은 묻히지않고 받아들여 졌습니다 칸토어가 만든 집합이라는 툴이 너무 수학에 쓰기 좋았거든요

[@느그집고양이]

선생님 말씀처럼 무한을 언어 그대로 생각해서 '한계 없음'이라고 한다면 '한계 없음'이 '그것보다 더 큰 것은 없음'을 어떻게 논리적으로 함축한다는 거에요? 배중률, 모순율을 이용해 증명할 수 있나요?

[@vvk623]

무한한 공간에서 지구가 무한개 있는거랑 축구공이 무한개 있는것 중 무엇이 더 많은 걸까요? 둘다 무한개 있으니 많다고 해야할진 모르겠지만 무한보다 더 큰 무한이 있다는 건 이런 맥락같습니다 자연수 집합과 유리수 집합은 분명 무한이여도 차이가 있지요

[@Harunoar]

그냥 끝이 없는게 무한인거지 구지 뭐 딴걸 더 붙여야 되나?

[@느그집고양이]

그냥 아래로 끌어 당기는 게 중력인 거지 상대성이론은 시1발 무ㅜ하러 발표하고 지랄이야 아인슈타인은; 그치?

[@vvk623]

그렇게 세상이 쉬웠으면 지금같은 문명도 없습니다ㅋㅋㅋ