칸토어 :무한이란 무엇인가? (feat. 힐베르트, 칸트)

[@jhl2458]

사실 현대수학에서 2+3=5 라는 것은 경험적으로 알 수있는 부분은 아닙니다. 수는 현실과 무관한 아주 추상적인 개념입니다. 우리가 자연수를 현실세계에서 경험한다는 일종의 착각은 알고보면 산수에 있어 이해를 돕기 위해 현실세계에서 사과를 가져와 단순 매칭시킨것에 불과하죠. 그러다보니 음수나 무리수 영역으로 수를 확장시켜보면 현실에서 사과를 가지고 더 이상 설명이 안되어버리죠. 당시 무한집한 논쟁은 꽤나 뜨거운 감자였습니다. 예를들어 자연수의 크기와 정수의 크기가 같다라고 한다면 누구도 쉽게 받아들이지 못합니다. 일대일대응으로 짝을 지어 크기비교를 하는 방식은 데데킨트에 의해 고안되었는데 두 집합의 원소간에 일대일대응으로 짝을 지은 다음 짝지어지지 않은 원소가 남는쪽 집합이 더 크다는것이고 짝지어지지 않은 원소가 없다면 두 집합의 크기가 같다는 것입니다. 이것을 가지고 현대무한집합론을 정립한 인물이 바로 칸토어죠. 당시 수학 강국(?)은 단연 독일과 프랑스였습니다. 프랑스는 직관주의가 대세였고 독일은 공리(Axiom)주의가 대세였습니다. 일대일대응으로 집합의 크기를 비교해보면 자연수와 정수간에는 일대일대응이 성립합니다. 그럼 두 집합의 크기는 같지요. 당연히 프랑스의 많은 수학자들은 자연수와 정수의 개수가 같다는 말에 반박하였습니다. 직관적으로 말이 안되며 많은 역설을 발생시킬것이라는 거죠. 엄연히 자연수가 정수보다 더 적은데 무한이라는 특성아래 일대일대응으로 일종의 돌려막기한다고 생각하면 됩니다. 정당하지 못한 논리라는것이지요. 하지만 칸토어의 입장은 그것이야말로 무한의 특성이라는겁니다. 그리고 자신의 진부분집합과 일대일대응이 성립하는 집합을 무한집합이라 부릅니다 결과는 독일수학의 승리로 끝납니다. 힐베르트는 당연히 칸토어를 적극 지지하였죠. 그리고 ZF공리계에서는 아예 무한집합의 존재를 보장하는 공리를 삽입합니다. 그리고 이 무한 집합은 일대일대응이 성립하는 자신의 진부분집합이 존재하는 집합이죠. 추후 칸토어는 자신의 연속체가설을 증명하기 위해 남을 일생을 바치다가 정신질환에 걸리게 되었고 자신을 신의 사자라고 불리우다가 생을 마감합니다. 참고로 이 연속체가설은 괴델에 의해 '거짓임을 증명할 수 없음'이 증명되었고 30여년이 지난 후 코언에 의해 '참임을 증명할 수 없음'이 증명되어 기존 공리계에서 참 또는 거짓임을 결정할 수 없는 대표적인 명제가 되어버립니다. 괴델의 불완전성 정리의 대표적인 예시죠.

[@illuza]

잠깐... 참인지 거짓인지 모른다는 말은 좋게 말하면 기존의 이론들에서는 도출해낼수 없는 완전 새로운걸 의미할수도 있지만, 나쁘게 말하면 근본없이 일단 던지고보는 아무말이라는 건데...

[@정원태-h9o]

수가 추상적 개념이라는 것에는 너무나도 동의합니다. 사실 석기시대의 인류가 가끔은 동료들를 희생해 가며 힘들여 잡은 무리가 한 겨울을 날 식량인 맘모스 한 마리가 가을철 숲속에 지천으로 널려있는 먹기에 쓰고 떫은 도토리 하나와 같은 하나라는 것을 인정하기는 쉽지 않았겠죠 그리고 경험적으로 알 수 없다는 부분은 이해가 좀? 그 까탈스러운 영국의 경험론자들도 백만 더하기 하나는 백만하나라는 걸 안 세워보고도 쿨하게 인정하는데요

[@drunktao7]

자세한 설명 감사드립니다. 그런데 몇 말씀만 보태자면 일대일 관계로 크기를 비교하는 방식으로 수의 개념을 잡은 것은 이미 흄의 저서 에도 나옵니다. 후일 이를 흄의 원리라고 호칭한 학자도 있었고 아무튼 칸토어의 집합론에 큰 영향을 준 셈이죠. 참, 논리학자 프레게도 그의 저서 에서 수 개념과 관련하여 흄을 언급했더군요. 그런데 공간적으로 1:1 대응하는 직관을 통해 수 개념과 연산법이 형성된 것으로 보고 칸트는 수학을 개념들의 의미 관계로만 따지는 분석판단으로 보지 않고 시공간에 관한 선험적 직관이 개입하는 선험적 종합판단(개념+직관)으로 분류를 해버립니다. 말씀하신대로 If-Then-ism적인 현대의 추상수학 관점으로 보면 사실 받아들이기 어려운 주장이죠.

[@funnist369]

덕분에 쉽게 이해가 되었네요. 중간부터 이해가 안되었는데 감사합니다. 결정할 수 없는 명제라는 말이 와닿네요.

[@김찬호-d4p]

철학 대학원 과정 전공자입니다. 여기에서 5분 뚝딱철학 선생님께서는 2+3=5가 경험적으로 알 수 있다고 말씀하신게 선생님 개인의 의견인지, 칸트의 순수이성비판 철학 내용을 반영한 것인지가 확연히 드러나진 않지만 칸트에 따르면 '경험적으로'라고 표현하는게 크게 틀리진 않을 수 있습니다. 칸트는 명제를 분석명제와 종합명제(이는 선험적 종합명제와 경험적 종합명제로 나뉩니다)로 나누어 봅니다. 분석명제는 "총각은 결혼하지 않은 사람이다"와 같이 주어개념을 분석(여기에서 분석은 풀어헤친다는 의미를 가집니다)하기만하면 서술어가 자동으로 도출되는 명제를 뜻하고, 종합명제는 "삼각형 내각의 합은 180도이다" 및 "직선은 임의의 점 A와 B를 잇는 최단거리이다"와 같이 주어개념을 분석하기만 해서는 서술어의 내용을 도출 할 수 없는 명제를 뜻합니다. 칸트 인식론 철학의 특징 중 하나가 분석철학은 지식의 확장을 이룰 수 없는 데 반해, 종합명제는 주어에 대한 분석 뿐만 아니라 현상경험을 접한 후 그 내용을 지성이 가공한 연결고리를 통해 다른 정보가 덧붙여 형성된 명제입니다. 그렇기에 이러한 명제는 지식의 확장을 이룬다고 칸트는 보았습니다. 그래서 그는 2+3=5라는 명제가 '2와 3의 더함'이라는 주어만 분석해서는 5라는 서술어가 도출되지 못할 뿐만 아니라, 이러한 수학적 명제는 지식을 확장시키는 명제로 보았기에 이를 선험적 종합명제(종합명제 가운데 선험적 성격, 즉 보편성 타당성 필연성을 갖춘 종합명제)라고 간주합니다. 이러한 면이 있어서 뚝딱철학 선생님이 경험적으로라는 표현을 쓰시지 않으셨나 조심스레 적어봅니다. 늘 이 채널에서 높은 차원의 철학적 담론을 보고 배우며, 유익한 채널이 있음에 감사함과 (전공자로서)뿌듯함을 느낍니다. 그리고 수학적인 관점으로 수에 관한 내용을 남겨주신 댓글도 상당히 고견이라 많이 배웁니다 ㅎㅎ 혹시나 길지만 초라한 제 댓을 읽어보신다면 이런 관점으로도 볼 수 있구나를 함께 나누고싶어 몇 자 적었습니다.

[@brpang]

저는 수학 전공이고 80년대에 이 내용을 집합론에서 배웠습니다. 그때 물리학도 고전 역학과 전자기학은 들었는데 양자역학부터 수강을 안한 것이 물리학 이해의 지금까지인데.. 항상 철학적 의문의 해소가 더 흥미 있었습니다. 그후 전공이 미분 기하학이라 그리고는 금융으로 직업을 바꾸어 철학에 관심을 둘 기회가 없이 수십년 지내 왔습니다만 다시 관심이 가는군요. 김필영 박사님도 회사원이라 들었습니다. 금융에서도 컴퓨터와 통계를 써서 미래를 예측하는 철학적 문제에 가까이 있었던 셈 입니다. 그런 분야가 철학에 있는지 모르나 인공지능을 인간 인식의 이해하는 모델로 이용하는데 관심을 가지고 있습니다.

[@한국미국세무사협회]

오랫동안 김필영 선생님의 영상을 보고 있습니다. 많이 성장했습니다. 보고 듣고 반복하고 문구 그대로 베껴쓰면서 철학의 중요함을 깨닫고 있습니다. 오랜시간 동안 철학을 공부하고 있습니다. 오랜만에 다른 채널들을 가보면 실망만 할 뿐입니다

[@rolexrolex1859]

좋은 영상 감사합니다. 첨언하자면 무한집합에도 등급이 있다는 것을 달리 말하면 무한집합의 농도 (cardinality)에 차이가 있다라고도 표현하는데요. 이 농도를 표현하는 단어가 알레프(ℵ) 입니다. 정수,유리수,자연수의 집합은 알레프(ℵ):0, 무리수나 실수의 집합은 알레프(ℵ):1 이라고 정의하고요, 아직 알레프(ℵ) 0과 1사이의 농도를 가지는 무한집합은 발견되지 않았습니다.

[@유리메기]

발견되지 않았다기 보다는 0과 1사이의 농도의 무한집합의 존재성은 현재 공리계와 독립적이다, 즉 존재하는지 증명하는것이 불가능하다는게 증명된것으로 알고있습니다

[@Wannabe2023]

괴델에 의해 그 논의가 종결된 걸로 알고 있습니다. 괴델은 카토어와 힐베르크의 추상수학적 시도를 무너뜨리며 결국 칸트의 순수이성비판을 수학과 논리학으로 증명하고 말았습니다. 도대체 현대 수학은 어디로 가고 있는 건지요.

[@swak9322]

힐베르트 호텔 투숙객 : 쉬려고 왔는데 방 옮기다 끝난 내 인생이 레전드다

[@muffal87]

1호실 고객이었던 내가 32768호실까지 움직여야 하는 이유에 대한 고찰

[@jw_p4887]

1년 후 다시 보게 됩니다. 느낌이 새롭고 아...청춘으로 다시 돌아간다면 수학을 공부하고 싶다는 생각이..드네요.

[@Dr.JungFrench]

지식이 풍부한 5분 철학, 감사히 잘 보고 있습니다.

[@헬름홀츠]

칸토어를 모티브로 한 등장인물이나오는 수학자의 낙원이라는 소설을 구매했는데 이영상이 떠서 놀랐네요 ㄷㄷ

[@tridish7383]

그런데 한가지 의문은 유한한 수의 승객에게 무한한 거리를 걸어가게 하건 무한한 수의 승객에게 유한한 거리를 걸어가게 하건 밥이 무한대로 필요한건 동일한것 같은데 왜 안굶어죽죠? 몰래 옆방 손님을 잡아먹는게 틀림없습니다.

[@kimminjongL]

바로 그거엿노

[@박형준-h7o]

무한에 끝이 있었노...

[@coldtruth3944]

의외로 무한이나 영원에 대한 개념은 간단한 것으로 시작이 있다는건 반드시 끝도 있다는 것이죠. 시작만 있는데 끝이 없을 순 없고 무한이란건 끝과 시작이 연결 됐을때만 가능한 것 입니다. 그리고 영원이란것도 재밌는게 아무리 적은 확률이 있는 가능성이라도 무한으로 곱하면 결국 백프로가 되기 때문에 모든일이 이미 일어났다는 겁니다. 생각해 보면 매우 재밌슴

[@hwook2520]

유튜브가 좋긴 하네요 책보다 훨씬 이해하기가 수월하네요 좋은 영상 감사합니다

[@youngbokyi8662]

삶에는 끝이 있지만 지식은 끝이 없다. 끝이 있는 것이 끝이 없는 것을 좇으면 위태롭다. -장자-

[@준서-k1j]

영원한 지식

[@jpark2421]

칸토어의 무한 개념을 가장 쉽고 체계적으로 설명하는 유투버! 해당 개념의 핵심요소만을 정확하개 짚어주시네요. 구독욕구를 마구 발동시키는 유투브채널!

[@heran6899]

이 영상보면서 엄청 웃었습니다. "무한에도 급이 있다." 수학이 이렇게 재미있는 분야인지는 미쳐 몰랐습니다. 수학으로 "무한의 급"을 증명한다는 게 가능하군요. 인간은 "탐구"를 즐기는 유전인자를 받은 것 같습니다. 탐구의 탐구를 하다보면 신을 만날 수도 있다는 것을 신은 이미 알고 있었던 것일까요? ㅎㅎ 사실 진선미를 추구하는 인간의 마음은 누가 가르쳐서 생긴 것일까요? 아니면 타고난 것일까요? 인간의 탐구 욕망은 "진"을 향한 열망의 하나라고 봅니다. 제 댓글은 늘 삼천포로 빠지는 경향이 있네요. 이 영상을 너무 재밌게 봐서요. 점점 더 재밌게 만드시는 것 같아요. ㅎㅎ

[@Martin-ur7mc]

연속체 가설이 불완전성 정리에 의해 좀 싱겁게 끝나버린 사례라 정말 아쉬운것 같아요. '답이 없는것이 답일수 있다'라는 논리로는 알지만 직관적으론 느끼기 힘들었던 개념이, 연속체 가설에 관련된 결말을 읽고서야 직관적으로 뇌리에 쑤셔 박히더라구요. 참... 수학 하면서 처음으로 수학이 불쾌해지는걸 경험했습니다.

[@ciivfiskiv6700]

오히려 연속체 가설이 불완전성 정리의 결과로 끝났기 때문에 현대 집합론에서 large cardinal이나 measurable cardinal 등이 중심 연구 주제가 되었습니다. 연속체 가설의 증명불가능에 의해서 얘네들의 성질이 너무나도 중요해졌고 다른 분야(특히 모델론)와의 접점도 많아졌기 때문입니다. 또 그냥 단순히 불완전성 정리로 끝난 게 아니고 Cohen이 연속체 가설의 증명불가능함을 보일 때 forcing이라는 개념을 사용했는데 이 forcing이 현대집합론의 세부분야 중 하나입니다. 이것을 boolean valued model로도 확장하여 더 많은 증명불가능한 수학명제들을 밝힐수 있습니다. 또 forcing하고 위에 언급했던 large cardinal를 융합할때 나오는 proper forcing axiom이 cardinal들의 성질들을 연구할때 진짜 중요합니다..

[@clarakim7717]

수학은 철학과통하고 또 철학은 신학과 통한다는것에대해 어렴풋햇는데 오늘 경쾌한 해설 잘 들었습니다 감사합니다 👏

[@kook-hyunkim257]

어려운 수학과 철학을 쉽게 설명해줘서 감사합니다. 잘 봤습니다!!

[@계몽의변증법]

무한 열차에서 막혔다... 내 두뇌는 여기까지인가...

[@사기꾼진우야내가죽여]

막히는 건이 정상입니다 ㅎㅎ

[@MWHahn]

수학과 학생입니다 알고있는 내용이긴 하지만 너무 쏙쏙 잘 들어오게 설명해주셔서 놀랐습니다. 아 그리고 혹시 마지막에 등장하는 예술작품 정보 알 수 있나요?

[@임지민-q7v]

오비토의 카무이입니다

[@주종국-o3u]

신은 무한하다고 합니다 그뜻은 경계가 없다고 봐도 되는데 결국 신의 외부는 없으므로 모든 존재가 신의 일부라는 말이죠 우리는 신과 분리된게 아닌 신 그자체인것같네요 그래서 인생이라는 꿈과 환상에서 깨어나야 우리의 참모습을 볼수있습니다

[@julianlee7756]

5분같은 17분... 상대성 이론은 존재한다

[@올림피그]

2배속으로 보면 비슷함

[@heesooyyang]

항상 너무 잘 보고있습니다~

[@digan7507]

2^(aleph_0) = 무리수의 기수라고 설명하신 부분이 있는데 2^(aleph_0) = aleph_1 이라고 했던게 연속체가설 아닌가요? 연속체 가설은 ZFC 공리계에서 무모순이어서 참/거짓 어떤 것이어도 상관 없는 것으로 알고 있습니다.

[@finalFinalfinalFinal]

그런데, 12:04 에서 말하는 *놀라운* 내용의 증명은 연속체 가설과 무관합니다. 연속체가설은 .... (생략하겠습니다) .여튼, ( ZFC 공리계에서) 연속체가설이 참이든 거짓이든 *놀라운* 내용은 항상 참이에요. 그러니까 어떤 관점에서 보면, *놀라운* 내용과 연속체 가설은 관련 없구요. 물론 제 생각엔 또 다른 관점으로 보면, 12:04 의 내용과 연속체가설이 큰 관련이 있어요. 구체적으로 말해, 저는 칸토어가 저 내용을 증명한 것이 계기가 되어 연속체 가설 증명하려고 시도하지 않았을까 상상합니다.

[@들판-z6k]

2^(aleph_0) 보다 크고 aleph_1 보다 작은 것이 있을까? 라는 것이 연속체 가설의 의의입니다. (저도 어제 댓글로 알게 되었습니다.) 칸토어가 2^(aleph_0) = aleph_1 이라는 것은 증명했는데, aleph_0 와 aleph_1 사이의 값이 있을까 라는 생각에 칸토어가 그런 것은 없다. 라고 생각했다는 것을 헷갈려서 기억했더라고요. 일반화 연속체가설로는 임의의 초한기수 x 가 있을 때 2^x가 그 다음으로 큰 초한기수인가? 를 물어본거죠. 이미 아시듯 일반화 연속체가설을 참으로 하든 거짓으로 하든 현재 우리가 아는 수학체계에서는 수학하는사람 마음입니다만. ㅎㅎ

[@정수훈-g7q]

아닙니다. 알레프제로와 알레프원 사이에 다른 기수값이 있을까, 가 연속체 가설입니다

[@들판-z6k]

@@정수훈-g7q 제가 서술한 것에 실수가 있었습니다. 정확히 말하면 초한기수 사이 중간값이 있는가 라는것이 맞는거니까요.

[@백금-t1k]

선생님 재미있게 보다 쉽게 언제나 응원이에요ㅡㅇ🍒

[@최승규-k5z]

천재는 피곤한 재능이죠....모름이 견딜 수 없을 만큼 괴로운 사람들....

[@시간공간그리고나]

시간과공간을 나누면서 우리는 헷갈리기 시작했다 봄과꽃 눈과겨울 이것은 나눌수가 없는것인데~~

[@mindisnoting]

궁금한게 있는데 사과와사과를 더하면 사과가 두개 되겠죠? 근데 사과의 상태가 완벽히 똑같아야 한다는 조건이 필요한데 완벽히 똑같은 사과가 존재 하는지? 무게도 형태도 색깔도 사과안에 벌레가 있을수도 등등 변수가 너무 많은데 그것을 두개라고 할수 있는지?

[@강병준-b5n]

사과의 상태가 완벽히 똑같을 필요는 없습니다. 사과의 상태가 똑같지 않아도 사과의 정의에 위배되지 않기 때문입니다.

[@Wannabe2023]

최근 챗GPT에 문의하니 자연수와 유리수는 같은 크기의 집합이 아니라고 하네요. 칸토어의 실책이라고 합니다. "칸토어의 자연수와 유리수의 집합 크기는 같다 는 명제는 참인가"- 쳐 보세요. 사실 자연수 1과2사이에는 어떠한 다른 자연수도 없지만 유리수는 두 수사이에 무한한 유리수가 존재합니다(유리수의 조밀성). 같은 cardinality(농도)가 아님이 자명합니다.

[@Chris-cp6uj]

철학 수학 신학은 마치 켈베로스같네요..몸통은 같은데 머리가 셋. 서로 다르게말할뿐 본질은 같은것을 가리키는건 아닌지 하는 생각을 해봅니다~^-^오늘도 잘보고갑니다!감사합니다~

[@ericpark3707]

지옥의 앞에 있는 것도 같네용

[@김국현3.15]

무한이란 수를 셀 수 있는가? 실제로 무한이란 것을 양으로 채울 수 있는가? 무한은 계속 변화하는 것이고 형상으로 나타낼 수 없는 수학적 현상이 아닐까?

[@Yezidang]

무한의등급으로인해서 난너무편안해졌다 나의영역을넘어선 저위의 등급은 나의영역이 아니기때문에 ᆢ 감사합니다ᆢ

[@능청-x7m]

부처는 말하길, 일체 말한 바가 없다"고 하며, 이름하여 설한 바라고 한다.인간의 사고는 늘 언어가 동반하며 숫자가 동반하는데 늘 패러닥스에 직면하기 때문에 참과 거짓이라는 명제는 패러닥스에 직면하기에 거기에서 출발해야 함을 나타낸다 나라와 나라는 국경선이 있어 시작과 끝이 있으나 인간들이 만든 시작과 끝이지 지구에 본래 없던 것이지만 또한 그 시작점과 끝점의 직면속에 살 수 밖에 없는 몸의 한계들

[@oa505]

수학철학이랑 물리철학 많이좀 올려주세요ㅜㅠ

[@flamentolivier2560]

와... 이건 진짜 신의영역이네요.. 무한에도 급수가 있고 결국 그게 다시 무한으로 가게되면.. 무한도 다같은 무한이 될수없다는 사실도 상당히 흥미롭습니다. 그리고 절대무한의영역이 존재한다는걸 발견했다는 자체가 신기하네요. 수학적이긴해도 절대무한이라는 관념이 존재하는 이상 칸트가 말하는 이론이성이 영역이 무한을 추구할수없다는건 틀린듯합니다. 이성과 신앙은 과연 서로 대립하는가... 정말 심오한 영역.. 그리고 절대적 무한이란 도대체 무엇인가.. 왜 무한이 그저 무한이 아니며 무한에도 무한적인 등급의 차이가 있는것인가.. 정말 신의영역을 살짝 내어보게된듯한 기분

[@oisi_]

한명이 올 때는 왜 끝방으로 못보내고 무한명이 올 때는 어떻게 홀수로 들어가라고 하는건가요? 홀수방 무한번째 방으로 가다가 굶어 죽는거 아닌가요?

[@drunktao7]

오랜만에 들어온 것 같은데, 그동안 구독자분들 정말 많이 늘어났군요. 정말 대단하십니다~^^ 이번 강좌도 내용이 너무 좋군요~!!

[@명하-o6w]

무리수와 자연수를 1대1 대응할 방법이 있는 것 같습니다. 무리수의 가장 앞자리 수가 2의 승수, 두번째 자리수가 3의 승수, 3번째 자리 수가 5의 승수.... n번째 자리 수가 n번째 소수의 승수가 되도록 하고 곱하여 나온 수는 해당 무리수 하나에만 대응됩니다.

[@명하-o6w]

다시 생각해보니, 유리수를 특정하면 바로 대응되는 자연수를 도출할 수 있는 것과 달리 이 경우에는 무리수를 특정하여도 그에 대응하는 자연수를 도출할 수가 없는 문제가 발생하네요. 위의 규칙으로 도출되는 무리수와 대응되는 수는 그 자체로 무리수가 되는 것이 아닌가 싶습니다.

[@현-k2r]

마지막 숫자그림이 우주의 블랙홀 같아 보여요~ 수학과 신학의 만남! 잘 보았습니다~^^ 감사합니다 ♡

[@withnotbrain]

수직선상에 유리수를 아무리 많이 채워넣는다해도 각각 숫자들의 간격은 조밀해지겠지만 항상 빈 공간이 존재하는데 그것이 뜻하는건 자연수나 유리수나 이런 집합들의 원소들은 점과 같고 0차원적이라는 것입니다... 그 빈공간을 완전히 채운다는건 1차원적인 선이 된다는 것이고 유리수와 무리수를 합친 집합 실수가 되는 것입니다. 이렇게 보면 무한의 크기가 다른걸 차원이 다른것이라고 생각할수도 있습니다.

[@shiyounglee4579]

텅비었다는것이죠

[@sorpo1]

님의 말씀에 동의합니다. 그렇군요. 차원의 변환 같군요.

[@gijdge1012]

점이든 선이든 결국에 1차원에 나타낸 무한과 실수 아닌가요?

[@withnotbrain]

@@gijdge1012 점은 1차원이 아닙니다..

[@soongum]

신이 등장할때 그레고리 성가대도 함께 등장한다!!

[@춘식이-e2v]

'모든 삼각형의 개수는 직각 삼각형의 개수와 같다'라는 가설을 세우고 탐구를 진행해보았습니다. 1. 모든 삼각형은 원 위에 존재한다.(=한 원위에 존재하는 삼각형의 개수가 같음을 증명할 경우 모든 경우에서 성립한다. 2. 탈레스 정리에 의해 지름에 대한 원주각은 90도이다. 따라서 지름과 지름 위에 있지않은 한 점을 고를경우 직각삼각형이 결정된다. 3.원위의 세 점을 고를경우 삼각형이 결정된다. 4. (2)의 경우에서 고를 수 있는 경우는 실수 무한x실수 무한 이고 (3)의 경우는 (실수 무한)^3이므로 유리수의 개수=자연수 개수때처럼 생각하면 (자연수무한)^2=자연수무한이므로 성립한다 이러한 과정에서 오류가 있거나 보충해야 할 부분을 설명해주실 수 있을까요?

[@yusijak8392]

인간이 쌓아온 사고의 결과물들. 수준이 정말 대단하구나. 열심히 배워서 넘고 싶다.

[@바람불면노저어]

자기가 말하면서도 언어의 영역에서 표현할수있는 한계.. 언어는 존재의집.. 신이라는 단어가 없으면 어떻게했을까? 신1 신2... 어떻게 할건지 ㅎㅎㅎㅎ

[@샤롯데-f4d]

인간의 뇌는 신의 영역으로 가려는순간 오류가 생겨 정신질환에 걸리나봅니다.

[@illuza]

와... 더이상 뭐 어찌해볼게 없는 것만 같은 무한을 급으로 나누는 것도 대단한데, 그 급들은 2의 제곱수만큼의 차이가 난다니... 정말 이걸 처음 발견한 사람은 손이 떨리면서 그날 밤잠을 설쳤을거 같습니다. 사실 처음에는, 그래서 그게 뭐 어쨌다고 되물을 수도 있는데 이러한 결론들이 1. 수학이라는 정말 가장 엄격한 기준에서 도출되었으며, 2. 그 많고 많은 관계식들 중에 왜 하필이면 2의 제곱일까... Factorial이 될수도 있고 아님 "2"가 아니라 "3"일 수도 있는데. 그것은 여기에 어떤 우주적 의미가 있는게 아닐까. 등등 여러 가지 점에서 놀라움을 던지기 때문입니다...

[@dongwonkim5043]

사실 유한집합의 부분집합의 갯수가 2^원소수 라는 것에서 착안하건대 2 라는게 특별하진 않죠

[@하호준-b4j]

부분집합의 개수를 셀 때 종종 사용하는 방식입니다. A={a,b,c}의 부분집합은 어떤 형태가 있을까요? 라는 질문에 대해 함수 f:A->{0,1}의 개수와 같다다. 라는게 수학자들의 대답이거든요. a만 포함하는 {a}라는 집합은 f(a)=1, f(b)=0, f(c)=0인 함수로 생각하는 겁니다. 이러한 함수들의 총 경우의 수는 (f(a)의 경우의 수)*(f(b)의 경우의 수)*(f(c)의 경우의 수)=2*2*2=8이고, 나아가 유한집합에서 원소가 n개 있는 집합의 부분집합의 개수는 2^n개 입니다. 나아가 A가 무한집합 이라도 함수의 경우의 수를 생각해보더라도 2^ㅣAㅣ 라는 생각을 할 수 있구요. 칸토어는 어떤 집합A가 주어졌을 때, 그 집합 A보다 원소가 더 많은 집합이 항상 존재한다고 말 할 수 있나? 라는 질문을 스스로 하고 그에 대한 해답으로 존재한다. A의 부분집합을 원소로 삼는 집합을 생각하면 된다. 라는 결론을 내린 겁니다. 따라서 ㅣNㅣ

[@finalFinalfinalFinal]

@@하호준-b4j꼼꼼하게 읽어봐주시면 감사하겠습니다. 1. 정의) 알레프_0는 가장 작은 무한서수입니다. 정의) 알레프_1은 두번째로 작은 무한서수입니다. 알레프_0이 무엇입니까? 답 : 자연수 집합의기수, 유리수 집합의 기수 알레프_1은 무엇입니까? 추측 : 2^N , R 이 추측을 다른 표현으로 적으면, 다음과 같습니다. 연속체가설 : 2^(알레프_0 )= 엘레프_1. 2. 주의) 2^|N| = |R| 은 연속체 가설과 다른겁니다. 2^|N| = |R| 은 연속체가설이 참이든 아니든 성립합니다. 각각의 경우에대해 구체적으로 표현하면 다음과 같습니다. (연속체 가설이 거짓 이라 가정) 알레프_0 < 알레프_1 < |R| = 2^알레프_0. (연속체 가설이 참이라 가정) 알레프_0 < 알레프_1= |R| = 2^알레프_0. 4. 연속체 가설과 다르다고 제가 얘기한 명제는 1874년 칸토어가 증명한 내용(출처봐주세요) 입니다. 알레프_0 < 2^알레프_0 = |R| . 위 명제에 알레프_1 이 등장하지 않음을 인지해주십시오. 출처 : 위키피디아 ( 문서명 : Cardinality of the continuum )

[@하호준-b4j]

@@finalFinalfinalFinal 위키피디아를 좀 자세히 보니 제가 잘 못된 정보를 알고 있었다는 사실을 알게 되었습니다. ㅣNㅣ< 2^ㅣNㅣ인건 사실이고 ㅣNㅣ

[@하호준-b4j]

제가 잘 못 알고 있는 부분이 있어서 정정하겠습니다. 칸토어는 실수 전체의 집합과, 자연수의 부분집합 전체의 집합사이에 그 원소의 개수가 대등함을 입증했다고 하네요. ㅣNㅣ

[@김승구-x4o]

오늘도 좋은 강의 감사합니다~

[@brpang]

무한에 관계된 수학은 역사적으로 볼때 몇가지가 더 있습니다. 미분의 개념은 무한의 개념과 관계가 있으나 나중에는 극한과 연속성이라는 위상기하학으로 집합론의 무한과는 좀 다른 방향으로 발달됩니다. 집합론은 갯수를 세는 cardinality 의 개념인데 서열을 의미하는 ordinality 에서도 무한을 다뤘던 것 같은데 안 쓰니까 기억이 희미 합니다. :-). 그리고 평행선이 만나느냐 안 만나느냐의 유클리도 평행선의 공리의 문제도 무한과 관계 됬다면 그렇게 볼수도 있겠네요. 결국은 무한의 개념을 떠나 논리적인 문제로 귀결이 되지만..

[@커피한잔-r4n]

정말 잘 봤습니다! 유익한 영상 감사합니다

[@전자공학의악마]

칸토어는 인간이 경험할 수 없는 최고의 상위 계열에서 신을 발견하고 도스토옙스키는 인간이 경험할 수 있는 최악의 환경에서 신을 발견한 것 같아요

[@hyunseungyoon3568]

너무 좋은 지식이네요...감사합니다....괴델인가도 못푸는 문제가 있다 어디서 들은거 같은데....칸트와 마찬가지군요...

[@browne7682]

무한집합이라는 개념도 아득하지만 그것의 멱집합이라는 개념은 더 아득합니다.

[@UCJqIUBcL-2ZeJ2FsrUwT9Ag]

JH L님의 멋진 정리 (사실 현대수학에서 2+3=5 라는 것은 경험적으로 알 수있는 부분은 아닙니다. 수는 현실과 무관한 아주 추상적인 개념입니다. 우리가 자연수를 현실세계에서 경험한다는 일종의 착각) 수는 인간의 사고에 착각을 유발시키는 면이 아주 많음. 특히 경제학을 수의 논리로 말하는 것은 정말 정말 정말. 답이 없음.

[@awesome-mz2lj]

선생님의 열정에 5분 뚝딱 책을 사야겠습니다...... 선생님 조만간 도통하시겠어요,,,,, ^^*

[@백지훈-l8f]

그래서 철학자들은 신을 다른말로 무한자라고 하기도 하죠...

[@토미베스트]

무한자라기 보다는 무한의 주인이라고 부르는게 더 타당함

[@열심히살자-x5q]

수학과인데 이해하는 데에 도움 됐어요 감사합니다!!

[@justinkwon9325]

무한한 객실이 있는 호텔방에 손님을 채우는 문제 ... 몇년 전에 봤는데 다 잊어먹음 .... 수학도 기억력이 좋아야 하는 학문 같음

[@jiyong7326]

알랭 바디우 공부 때문에 칸토어 공부를 하고 싶었는데, 감사합니다.

[@yytyy-w6b]

중간 과정을 들으면 납득이 되.....될 듯 말 듯 하지만, 결론만 놓고 보면 무한의 무한승보다 2의 무한승이 더 크다는 식으로 보여서 헷갈리네요

[@GyeonggukJeon]

와 마지막 그림 뭔가 오묘하네요... 잘봤습니다~

[@강정규-p1h]

우주는 당연히 무한하다. 큰것도 무한 작은것도 무한 유한이라면 그것처럼 실망스런게 없다.

[@jw_p4887]

불편한 개념 "무한"에 대해 조금은 편해지는 느낌입니다. 항상 감사하고 부럽습니다.

[@apollo0006]

기수와 서수도 있는데...^0 1번방에도 무한한 기차가 들어갈 수 있는데...^0 기차를 하우스형으로 만들면 그 자체가 무한대의 방도 될 수 있고 우주선을 만들어도 되고...^0

[@umA-t9t]

선생님 선 씨게 넘으시네요.. 분식집에 메뉴가 딱 세 개뿐인데, 어떻게 아무 것도 안 시키고 물만 먹을 수 있겠습니까.. 그거슨 현대시민의 윤리적 측면에서 사회적 추방감인 것입니다

[@Seojeehoon]

미국에 금융공학 대가 인 2교수가 있는데, 한사람은 세상은 평등하다고 하고, 한사람은 세상은 완전히 불평등하다고 합니다. 두분다 충분한 논리를 가지고 있습니다. 하지만 학생들에게는 세상은 불공평하다고 가르쳐야 합니다. 우리 카이스트 교수님도 알수 없다고 하는데, 반드시 학생들에게는 세상은 불평등하다고 가르쳐야 합니다.

[@하호준-b4j]

당연히 불공평한 면이 있죠. 당장에 우리들은 하루살이 보다는 오래 살잖아요. 그럼에도 공평한 부분도 있습니다. 햇빛을 받고, 숨을 쉬고,... 저도 이 세상은 불공평하다고 생각해요. 하지만 그게 나쁜거라고는 생각하지 않습니다. 그냥 그런거다 라고 생각합니다.

[@이재형-g1f]

5분 툭탁, 아니 뚝딱 철학님, 제이번 영상을 본 뒤, 심한 헷갈림 헌상이 저의 뇌속에서 발생하였사오니 급처방 부탁 드립니다. 다른 것이 아니오라, 칸토어는 자연수와 유리수가, 다 같이 무한하며 자연수의 집합과 유리수의 집합의 크기는 같음을 증명하였다 하셨는데, 저는 그 증명의 논리 전개를 보머 다음과 같은 발칙한 뇌속 반란을 도모했나이다. 우선, 자연수의 집합과, 유리수의 집합이 크기가 같다고 한다면, 그 중간에 위치한 정수의 집합도 크기가 같다는 것이 될 터인데, 엄연히 자연수와 정수의 집합은 크기가 다르지 않은가. 왜냐하면, 0을 기준으로 -1, -2, -3...이 좌측에, 1, 2, 3...이 우측에 포진된 것을 정수 체계라 할 때, 자연수로 하여금 너와 동일한한 정수와 도플갱어 커플을 이루라 엄명한다면, 자연수는 0 우측의 정수들과 완전히 동일한 놈들끼리의 커플을 형성할 터이니, 0 좌측의, -을 단 놈들은 그 역시 자연수와 동일한 크기의 수열로서 그대로 남게 되는지라, 자연수를 배제해도 정수의 집합에는 '또다른 자연수의 집합+0'만큼 남아있게 된다는 것이 증명되어 버리는 게 아닌가, 하는 의문이 들었습니다. 또, 자연수와 유리수 집합의 크기 비교에 관해서는, 자연수를 순서대로 1, 2, 3... 으로 나열하고, 이것을 0에서 1까지의 유리수들중 1/1, 1/2, 1/3... 순으로 나열한 것들과 1대1 대응을 시켜보자면, 모든 자연수를 0과에서1까지의 유리수들중 일부에 대응시킬 수가 있게 되는데, 유리수에는 2/1, 2/3, 2/5, 등 분모를 홀수로 하고 분자를 2로 하하는, 앞서 자연수와 대응시킨 유리수들과 겹치지 않으면서 다시 자연수와 1대1 대응시킬 수 있는 0에서 1 사이의 유리수가 존재하는가 하면, 위에서 자연수와 대응시킨 1/1, 1/2, 1/3...에 각각 1씩 더한, 즉 1+1/1, 1+1/2 1+1/3... 이라고 하는, 자연와 1대1 대응시킬 수 있는 만큼의 수가 1과 2 사이의 유리수들중에도 존재한다는 것을 보일 수 있으므로, 유리수의 집합은 댕연 자연수의 그것보다 크다는 결론에 이르게 되는 것이 아닌가, 하는 발칙한 역심을 품기에 이르고 말았던 것입니다. 지금 제 머리속에는 감히 왕권에 도전했다가 스러져 갔던 망이*망소이 형제나, 만적, 임꺽정, 홍길동등의 무리들의 이름이 떠올라 몸둘 바를 모르겠나이다. 부디 성덕으로 살피시어, 대입시에서 수학과목 점수 반타작을 겨우 넘긴 저와는 비교할 수 없는 칸토어 공믜 주장에 감히 반기를 들자는 것이 아니오라, 다만 저의 논리가 어디에서 어떻게 잘못되었는 지를 아신다면 일러 주십사, 하는 얄팍한 바램에서 쓰는 댓글이오니, 5분 뚝딱님, 그리고 이 댓글 보신 강호제현들께서는, 혼란에 빠진 저를 부디 도와 주시기를. 저는 춘추오패의 한 사람 진문공(진짜 문과 전공)의 후예 이옵기에...🎉

[@부시리-m4u]

최고입니다

[@니르아트만]

인간 사고력 한계에 부딛히면 신에게 떠넘긴다~

[@gojust9818]

공감합니다. 왜 자꾸 신을 급조하는지

[@5pm_Hazyblue]

데우스 엑스 마키나ㅋㅋㅋㅋ

[@RedOperationable]

이게 정답임ㅋㅋ

[@토미베스트]

@@곽자의-g3e교통 사고로 팔다리 잘려나가고 내장이 흘러나오면 살려달라고 울부짖을거다. 니가 무시하던 그 신한테

[@rffooo2]

@@곽자의-g3e 유식하신 님께서 증명해보시면 해결될 것을 어찌 말만 그리 많으십니까.

[@sunshine-xn4jh]

감사합니다. 올만에 보니 ...날잡아서 첨부터 봐겠다는 생각이😶드네요. (?→절대 무리수가 신이라는건가 🤔거기에 존재하는 무언가가 신이라는건가...🙄 따지고보면 자연수부터 시작하는거 같은데... 머리에 지진이가... ㅡㅡ;)

[@JohnKim-jx4kw]

인간이 추리하고 이해할 수 있은 한계까지가... 신이 인간에게 허용한 한계이고... 절대 무리수가 신이 아니라... 절대 무리수를 만들고(창조의 수학적 접근의 이해일뿐...)... 그 안과 밖에서 ...(절대 무리수를 만들기 전이나 없어진 후에도...) 섭리하시고 존재하시는 존재(?)가...창조주 신... 고로... 피조물인 인간은 창조주 신을 스스로 알 수 없고... 종교적이던... 신앙적이던... 수학적이던... 과학적이던... 체험적이던... 티끌같은 정도의 한계에서...(보여주는데로...) 곧, 보이는 우주와...보이고 겪는 삶을 ... 인생(자신의 우주)으로 여기며 사는 것이다... 그런 유한한 인간 존재가... 신이 어쩌고 저쩌고하는 자체가... 교만과 오만이고... 무지혜인 것이다...

[@goodjob2808]

데이터로서 무한을 확인할 방법은 없다. (끝을 확인할 수 없기 때문에) 하지만 동일한 매커니즘이 (무한)반복한다면 무한으로 의심해볼수 있지않을까요?

[@user-Donky]

동일한 메커니즘이 무한반복된다면, 새로운 법칙이 생긴게 아닐지

[@kairojagger]

이래서 수학자들이 철학자가 많음ㅋㅋ

[@lightands-a-l-t]

그런데 자연수 1, 2, 3... 등을 역수인 1/1, 1/2, 1/3... 에 일대일로 대응시킬수 있고, 이때 자연수의 역수가 아닌 유리수가 2/7 등과 같이 무한히 존재하는데 유리수 집합과 자연수 집합의 크기가 어떻게 같을 수 있나요?

[@lightands-a-l-t]

1을 분모로 하는 1/1가 아닌 유리수는 n-1개로 일차, 2를 분모로 하는 1/2가 아닌 유리수도 일차 ... 등 다 더하면 유리수의 총 개수는 일차와 일차식의 곱인 n^2의 스케일이 되지 않나요?

[@finalFinalfinalFinal]

무한기수는 거듭제곱해도 크기가 원래것이랑 같아요. 그리고 자신을 유한번 더해도 크기가 그 대로에요. 그래서 n을 자연수집합의 크기라 하면, n^2= n , n+n=n이에요. 상당히 좋은 얘기 (n^2스케일)해주셨는데요. 여튼, n^2+n = n+n =n, (n은 자연수집합크기) 이라서 유리수 집합크기가 n^2의 스케일이라 해도 이 것의 크기가 자연수집합의 크기와 같은 것에는 문제 없어요.

[@withnotbrain]

무한 집합에서는 1/n로 모두 대응시켰다해서 남는 자리가 없다고 말할수 없습니다.. 1에다가 2/7를 대응시킨후 2부터 1/n 집합을 대응시키면 됩니다... 그리고 2에다가 11/233을 대응시킨후 3부터 1/n을 대응시킬수있고 그 과정은 무한대로 가능합니다... 하지만 이런 식이면 어떤 유리수가 언제 대응할지 보장할수 없는것이고 그것을 가능하게 하는 방법이 영상에 나온 방법입니다.

[@lightands-a-l-t]

@@finalFinalfinalFinal 그렇다면 집합의 층위에는 다항함수, 지수함수, 팩토리얼만이 존재하는 건가요?

[@imscion]

오랜시간 태양을 신으로 모시던 인간의 시선은 어느새 태양신을 벗어나 우주 저편으로 향하고 새로운 신을 찾고 있다. 태양은 여전히 범접할 수 없는 존재이지만 막연한 신적 존재에서는 내려온 것 같다. 무한이라는 신은 얼마나 오랜시간 동안 존재할까. 이미 존재 하던 것을 이제서야 발견한 것 뿐이니 인간의 시선과는 별개일 것 같기도 하다. 그것을 지식으로나마 접 할수 있어서 기쁘다.

[@singclair8814]

유한에서 무한으로~!

[@fuga9]

인간의 이성과 상상 유리수와 무리수로 나늘수 있을까요 아니면 무한으로?

[@bryanss716]

분식집 메뉴는 무한, 식욕은 절대무한 ~~칸토어는 엄청난 금액이 적힌 끝없는 계산서 같아요 ㅋㅋ 죄송합니다. ^^너무 어려워요ㅠ

[@finalFinalfinalFinal]

분식집 메뉴: 분식집의 이름은 칸토어의 낙원이다. 분식집메뉴는 무한을 포함한 수학의 모든 내용이다. 식욕 : 칸토어 분식집의 단골 손님 힐베르트의 식욕은 엄청났다. 절대 무한만이 그의 식욕을 채워줄 수 있었다. 끝없는 계산서 : 괴델은 칸토어의 분식집의 계산서가 무한히 길 수 없음을 발견한다. 그리고 괴델은 분식집에서 힐베르트의 식욕을 채우는 것이 불가능함을 증명했다.

[@bryanss716]

@@finalFinalfinalFinal 감사합니다 ^^

[@wincup]

항상 감사할뿐. 올때마다 머릿속이 넓어지네요.

[@mindisnoting]

무한을 체득하는 법 점을 버리고 선도 버리고 공간을 버리고 시간을 버리고 반복을 버리면 무한에 도달한다

[@mathadmission1742]

속았다...5분인줄 알았는데...

[@Dokgo96]

무한이나 0도 사실 같은거라고 볼수있다고 생각합니다 어느 테두리안에 있어야만 무한 또는 0이라고 하죠 하지만 이러한 테두리 밖에 그자체로 존재하고 어느 방식으로 활동하는 원리 또는 법칙이 신이라고 생각합니다. 불교적인 해석으로도 해탈해야된다고 하지만 우린 인연이라는것이 모여있는 존재라고하죠 그럼 인연이라는 논리가 부서지는데 여기서 하나의 생각이 듭니다 인연이라는게 모여서 세상을 이루고 모든것을 이룬다(양자역학으로도 설명하면 원자가 이룬다라고도 할수있죠) 그럼 이러한 인연이 모이는것은 연쇄라고할수있죠 즉 사슬같은것이죠 그럼 연쇄의 고리를 끊는게 곧 해탈이라고 한다면 우린 결국 인연 그자체가 된다는것이고 그럼 인연이 모인 연쇄마저도 곧 부처라고하고 인연이 그대로 존재하는것만으로도 부처라고할수있죠 그럼 무한으로 존재하는 인연은 결국 아무것도 존재하지않는것도 되죠 테두리안에서 본다면 그렇지만 이러한 테두리 밖에서 보면 무의미 합니다 즉 저에게 있어 신은 오로지 이 법칙 원리라고 생각이들고 이러한 신은 저희를 이루고 또한 모든걸이루며 테두리 밖에있는 연쇄되어있지않은 인연또한 신이지 않을까라고 생각해봅니다 그럼이만 총총총

[@류-u2i]

무한합니다..공간은 끝이 있을수 없습니다..

[@평길-c1j]

ㅎㅎ 영살 잘 감상했습니다

[@더게투피해쏘]

정말로 이성능력으론, 여기 남다른 수준님들의 댓글들을 알 수 없을것 같단 개인적 생각.

[@정승제사촌동생]

재밌어요!

[@purplemelon07]

넘나 재밌네요. 학생때는 재미없었는뎅

[@JK-ii1nw]

수고하셨습니다

[@spp2444]

감사함당!

[@shinestone1975]

매 회 놀라움.. 5분 만에..

[@bjhbjhbjhweeee]

오직 생각만으로 우주의 팽창 경계 너머를 생각하는 인간 상상할 수 없는 개념을 상상하려 드는 인간

[@eeyy8195]

감사합니다

[@준서-k1j]

참고로 사람은 죽으면 무한의 세계로 간다 무한의 세계는 현실과는 달리 영원함을 가질수있다. 특히 동화속 판타지 와 비슷하다.

[@침돌이-m9p]

신이 존재한다고 믿는게 나쁜게 아니라, 설명이 안될때 신을 끌어들이는게 나쁜거 같습니다. "설명"이 들어가야 할 자리에 "나는 설명할 수 없지만 신은 설명할 수 있다"는 "믿음"으로 은근슬쩍 채워놓고는 뭔가 설명된듯한 우월감에 빠져 있는 지적 게으름

[@Wannabe2023]

아인슈타인도 "신은 주사위놀이를 하지 않는다" 고 보어에게 패배를 인정했죠. 물론 아직 승부가 완전히 난 건 아니지만.

[@user-qz2vu2wy6b]

칸토르는 자신이 신이라는 것을 몰랐을 뿐.

[@awesome-mz2lj]

무한에도 등급이 있다면 신들의 존재에도 등급이 있겠군요. 철학자 분들 조금만 더 분발해 주세요.

[@xhyeit]

안녕하세요 고등학교 수학 시간에 주제 탐구 활동 발표를 하면서 해당 영상을 사용하고 싶은데 가능할까요?

[@5philosophy]

물론입니다. 도움이 되면 좋겠습니다.

[@xhyeit]

@@5philosophy늦게 확인했네요 이 영상 덕분에 발표 잘 마무리했습니다. 좋은 영상 감사합니다!!

[@haileykim9764]

글씨 밑에 만 자막넣어면 안되나요 큰글씨 때문 집중이 안되네요 늘~감사합니다

[@vezitamax]

무한은 그냥 무한일 뿐인데..아주 큰 수라는 개념과는 다릅니다.

[@구현국-p9d]

신은 관측자이다

[@Rorty35]

한신대 철학과 김상일 교수가 강의한 오징어게임과 원방각, 칸토어의 대각선논법 편을 보고 왔습니다^^

[@킬러구구콘]

오늘 제목 엄청 쎈데용