Kathetensatz des Euklid - Dreieck Anwendung

Kathetensatz des Euklid
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man in einem rechtwinkligen Dreieck die Länge der Hypotenusenabschnitte und Katheten berechnen kann. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Dreieck
2:36 Kathetensatz anwenden
4:14 Beispiel 2
6:16 Bis zum nächsten Video :)
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[@saschat.7210]

Sowas ähnliches hat mich neulich jemand gefragt. Die Herleitung über Satz des Pythagoras finde ich wäre für einige sehr lehrreich. Damit erklärt sich auch, warum immer die zusammengehörige Kathete genutzt werden muss.

[@dorkilschan3788]

Um mal diesen Bot-Kommentaren am Anfang entgegenzuwirken: Vielen Dank für deine aufschlussreichen Videos! Durch deine verständlichen Erklärungen hab ich es irgendwie in der 11. Klasse auf 12 Punkte in Mathe geschafft (und ich bin eigentlich sehr schlecht was Mathe angeht 😅) Bitte hör nicht auf mit den Videos, hab noch die 12. Klasse vor mir und muss irgendwie die Matheprüfung schaffen 🫣 VG

[@teejay7578]

Für alle, die an der Herleitung interessiert sind: Pythagoras sagt a² = h² + p² und b² = h² + q². Der Höhensatz von Euklid sagt h² = pq. Einsetzen liefert a² = pq + p² = p(q + p) = pc und b² = pq + q² = q(p + q) = qc ✅

[@hierkonnteihrewerbungstehe13]

Mathe Abi geschafft❤ Danke für die Hilfe! Ohne Dich wäre es fast unmöglich gewesen

[@Birol731]

Herzlichen Dank für diese Frage aus der Geometrie 🙂🙏 Lösung: Kathetensatz des Euklid: a²= p*c a= 4 m c= 6,4 m ⇒ 4²= p*6,4 6,4 p= 16 p= 2,5 m q= 6,4 - 2,5 q= 3,9 m b²= q*c q= 3,9 m c= 6,4 m ⇒ b= √3,9*6,4 b= √24,96 b≈ 5 m Höhensatz des Euklid: h²= p*q p= 2,5 m q= 3,9 m ⇒ h²= 2,5*3,9 h= √9,75 h= 3,12 m 2. Aufgabe: b²= q*c c= 25 m p= 1,96 q= 25-1,96 q= 23,04 m ⇒ b²= 23,04*25 b= √576 b= √2⁶*3² b= 2³*3 b= 24 m Höhensatz des Euklid: h²= p*q p= 1,96 m q= 23,04 m ⇒ h²= 1,96*23,04 h= √45,1584 h= 6,72 m Kathetensatz des Euklid: a²= p*c p= 1,96 m c= 25 m ⇒ a²= 1,96*25 a²= 49 a= √49 a= 7 m a²+b²= c² 7²+24²= 25² 49+576= 625 625= 625 ✅

[@Wolfgang-c1z]

Alles sehr schön erklärt! 🤠

[@robertscherer9000]

Wieder etwas dazugelernt 🙋

[@Nikioko]

Und addiert man beide Kathetensätze, bekommt man den Satz des Pythagoras: a² + b² = pc + qc = (p + q)c = c²

[@kuerbisbauerrulz]

Uh, cool, interessant, dass man es auch so machen kann.

[@DreynHarry]

p & q.... Erfahrungsgemäß überhaupt kein Problem für Dyslexiker 😀 Nett erklärt -wie immer 🙂

[@rivenoak]

soweit ich weiß, soll der "Bauch" des Buchstaben nach außen zeigen, weswegen q tunlichst links ist und p rechts.

[@DreynHarry]

@@rivenoak ich lass die Angaben meiner betroffenen Schüler in Großbuchstaben schreiben (wenn sie das wollen), zumindest bei Prüfungen, da habens eh schon Stress genug

[@erwinlattemann]

@@rivenoak Wo steht das?

[@rivenoak]

@@erwinlattemann ist eine Eselsbrücke wegen a²=p*c b²=q*c

[@HannesNaturfreund]

💯

[@marcusave2305]

Das hatte ich schon wieder vergessen.

[@georgtrakl8319]

ՇՆՈՐՀԱԿԱԼՈԻԹՅՈՒՆ․ Ich bin ein musiker, ineteressiere mich für Mathematik und lerne viel von Ihren videos.

[@bachglocke3716]

Musik und Mathematik ! Das paßt immer gut zusammen! In der Musik steckt mehr Mathematik als mancher glaubt! Denken Sie nur mal an die verschiedenen Stimmungssysteme....! Susanne macht ja auch Musik !

[@georgtrakl8319]

@@bachglocke3716Danke. Komposition ist die höchste Mathematik, aber die darin enthaltenen Gleichungen werden auf eine andere Weise wahrgenommen als in der „gewöhnliche“ Mathematik.

[@bachglocke3716]

@@georgtrakl8319 Das ist richtig! Ich bin auch ein Musik-Hörender und dabei kein in Bit oder Logarithmen Rechnender ! 🙂

[@bobmvideos]

Interesting problem. I don't think this approach is taught in the USA, so it seemed oddly specific to me. I guess I'd have approached it using similar triangles and set ratios of the side lengths so 4/6.4 = p/4 then solve for p. I couldn't find an English translation for "Kathetensatz" but from googling it looks like an application of Euclid's Book VI, proposition 31

[@roland3et]

@bobmvideos: as far as I know, you're absolutely right. The "Kathetensatz" _is_ the ratio of side lengths of the two similar triangles as you described it: 4/6.4 = p/4 or 4² = 6.4 × p (Kathetensatz) Like the other German phrase "Höhensatz", it's all part of Euklids original proof of Pythagoras' theorem. If there is anybody out there, who is more familiar w/ an appropriate English translation or description of these two 'German phenomenon', pls let us know! 🙂👻

[@rishiraj2548]

🙂🙏🏻

[@teejay7578]

2:30 Die Länge der letzten Kathete wäre mit dem Kathetensatz jetzt aber wesentlich einfacher als mit Pythagoras zu berechnen. 6:00 Die negative Lösung habe ich bei Geometrieaufgaben immer so "wegerklärt": "b² = 576 ⇔ b = 24 (positiv, da Seitenlänge)"

[@rivenoak]

da Seitenlänge immer mit einer Maßeinheit daherkommt und negative Meter, Zentimeter oder wasauchimmer sofort als technisch unmöglich auffallen, erledigt sich das eigtl. von selbst

[@teejay7578]

@@rivenoak Das ist so, aber viele Lehrer und Prüfer wollen halt irgendwie sehen, dass man die theoretisch mögliche negative Lösung nicht einfach nur vergessen hat.

[@janfriker]

cool

[@coolcycles]

Ich hab da tatsächlich mal ne Frage: Wie wird der Kathetensatz hergeleitet? ...und der Höhensatz? ...und Pythargoras?

[@saschat.7210]

Pythagoras. Einmal für das komplette Dreieck, jeweils für das kleine rechtwinkelige der Kathetenseite. Über die Höhe, die gemeinsame Seite, quadriert gleichsetzen und dann die jeweils andere Kathete bzw. anderer Teilabschnitt der Hypothenuse ersetzen. Dann nur noch kürzen und fertig.

[@roland3et]

@coolcycles: eine einfache Herleitung des Kathetensatzes am Beispiel der Aufgabe: das große Dreieck und das kleine Dreieck rechts sind ähnlich, weil sie in zwei Winkeln übereinstimmen (der unten rechts und jeweils ein 90°-Winkel). Ähnliche Dreiecke stimmen auch in ihren Seitenverhältnissen überein. Hier also: 4/6.4 = p/4 Einfach umgestellt nach der Kathete des großen Dreiecks (Länge 4) ergibt sich der Kathetensatz mit 4² = 6.4 × p also Kathete² = Hypothese mal Hypothenusenabschnitt p q.e.d. 🙂👻 P. S. Mit dem Höhensatz funktioniert das so ähnlich und für den "Pythagoras" kann man sich einen von mehreren hundert Beweisen aussuchen 😉.

[@stschr]

Herleitung Kathetensatz ist einfach vier Gleichungen aufstellen (1) a^2 = h^2 + p^2 (2) b^2 = h^2 +q^2 (3) c^2 = a^2 + b^2 (4) c = p + q aus (3) und (4) folgt (5) a^2 + b^2 = (p + q)^2 Subtrahiere Gleichung (1) - Gl (2) (6) a^2 - b^2 = p^2 - q^2 = (p + q) * (p - q) Addiere (5) und (6) (7) 2a^2 = (p + q) * (p - q) + (p + q)^2 ausrechnen und kürzen ergibt 2a^2 = (p + q) * 2p a^2 = p * (p + q) = p * c

[@hans7831]

Ich hatte den Kathetensatz nicht mehr am Schirm. Ich sehe aber, dass das ganze und das rechte kleine Dreieck ähnlich sind. Deshalb: 4/6,4 = p/4 p = 4²/6,4 = 2,5.

[@andrewgraeme8429]

Tscha! Und ich dachte, Thema Katheter hätte nur 'was mit Pinklen zu tun!

[@teejay7578]

Nein, ein Katheter ist das Produkt aus der Kathete und dem Radius. 🤪

[@hmderka]

Finden Sie sich wirklich originell?

[@porkonfork2024]

a² + b² = c² ⇔ a² = c² - b² (Pythagoras) a² = pc und b² = qc und c = p + q (Euklid) Probe: pc = c² - b² = c (c - b²/c) p = (c - b²/c) = c - qc/c = c - q p + q = c ✅

[@rivenoak]

4:00 öh ? der Kathetensatz funzt natürlich auch für die bisher unbekannte Kathete, sobald man q kennt. mit Höhensatz könnte man nun wiederum h berechnen, was uns h als die Kathete des Teildreiecks gibt; q kennen wir sowieso. die bisher unbekannte Kathete des großen Dreiecks ist auch Hypothenuse dieses kleineren Dreiecks und schon können wir diese wieder berechnen, diesmal mit Pythagoras.

[@Linuxdirk]

Ich frage mich bei solchen Formeln immer, wie die Leute auf so was gekommen sind.

[@rivenoak]

Mathe vor >2000 Jahren muss wild gewesen sein: all das war damals noch ganz neu. Euklid war auch der schlaue Kerl, der uns die Irrationalität von "Wurzel aus 2" bewiesen hat.

[@roland3et]

​​​​​​​@@rivenoak das mit den irrationalen Zahlen, also im damaligen Sinne einfach konstruierbare Größen, die sich nicht als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen darstellen lassen (wie z. B. auch sqrt(2)) hatte bereits Hippasos heraus gefunden, ein "Pythagoräer", der ein paar hundert Jahre _vor_ Euklid lebte und von seinen Kumpels ertränkt wurde, um das Geheimnis zu wahren. Ist offensichtlich nicht wirklich gut gelungen 😉... 🙂👻

[@Jana3971]

Kein tiktok, wenig Beischlaf... 🤷

[@adlibitum9624]

Also mit dem Kathetensatz kann das ja nun wirklich jeder. Hab das Ganze (p, q, h und b) deshalb ohne Tricks berechnet. Dauert natürlich ein paar Stunden länger.

[@karlbesser1696]

Schade, dass du bei deinem ersten Kathedralensatz vor 8 Jahren noch nicht im Bild warst.