Kettenlinie - Herleitung einer Funktionsgleichung

Welche Form hat eine durchhängende Kette bzw. ein durchhängendes Seil? In diesem Video werden die Funktionen bestimmt, deren Graphen den Verläufen solcher Ketten und Seilen entsprechen.
Dass es sich dabei nicht um Parabeln handelt, wird im folgenden Video experimentell gezeigt: • Kettenlinie - Ist es e...
In diesem Video werden Bogenlängen von Funktionsgraphen benutzt. Videos dazu findet man hier:
1) Bogenlänge bei Funktionen - Berechnung mit Integralen:
• Bogenlänge bei Funktio...
2) Bogenlänge mit Integralen - Ein möglicher Beweis:
• Bogenlänge mit Integra...
Zur Lösung des Problems werden Erkenntnisse aus der Theorie der Differentialgleichung verwendet. Zugehöriges Material findet man hier:
1) Differentialgleichungen - Lösung mit Kehrwert und Umkehrfunktion:
• Differentialgleichunge...
2) Differentialgleichungen - Beweis für das Verfahren mit Kehrwert und
Umkehrfunktion: • Differentialgleichunge...
Im folgenden Video werden Ketten und Graphen der hier hergeleiteten Funktionenschar in Deckung gebracht:
Kettenlinien - Funktionen im Experiment: • Kettenlinien - Funktio...

[@1962ralf]

Wow, da hätte ich ne weile gebraucht, die Differentialgleichung ging noch gut herzuleiten, aber die letzten 5 Minuten musste ich dann doch staunen

[@renesperb]

Eine andere Herleitung geht via Variationsrechnung : die gesuchte Kurve muss ihren Schwerpunkt möglichst tief haben , bei gegebener Länge . Das ist ein Variationsproblem mit einer Nebenbedingung . Das führt auf eine Funktion F[y , y'] = y*√(1+y'^ 2)+ p* √(1+y'^2). Der erste Term kommt von der Schwerpunktsbedingung , der zweite von der Bedingung der gegebenen Länge mit einem Parameter p. Da F unabhängig von x ist ist ein erstes Integral der Euler-Gleichung ∂F/∂y - y' * ∂F/ ∂y' = const . Diese Gleichung führt dann in wenigen Schritten zur Gleichung der Kettenlinie.

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Danke für die Erläuterung. Ich kenne die Methode der Variationsrechnung mit der Minimierung der potentiellen Energie. Das finde ich etwas naheliegender als die Minimierung der Höhe des Schwerpunktes, wobei sich beides ja nur um einen konstanten Faktor unterscheidet.

[@renesperb]

Es ist genau dasselbe : minimale potentielle Energie und tiefster Schwerpunkt .

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

@@renesperb Konstanter Faktor! Das eine ist minimal, wenn es das andere ist. "Dasselbe" ist zu stark, denn es sind verschiedene Größen.