KLAUSUR BEWEIS Jede reelle 2x2 Matrix mit negativer Determinante ist reell diagonalisierbar

[@MathePeter]

KORREKTUR: Die Diagonalisierung lautet streng genommen A=S*D*S^(-1). Allerdings ändert das nichts am Beweis.

[@danastinson292]

Ohne dich hätte ich mein Studium nicht geschafft 😅

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank!! 🥰

[@Takin2000]

Es fühlt sich immer ein bisschen geschummelt an, wenn man komplexe Zahlen für Lineare Algebra benutzt, weil es meiner Erfahrung nach dann meistens auch reell geht. Daher mein Ansatz: Wir wissen, dass das charakteristische Polynom die Form f(x) = x^2 + px + q hat, wobei q die Determinante ist. Da diese negativ ist, ist f(0) < 0. Da f für x gegen unendlich aber unendlich groß wird, können wir auch ein x finden mit f(x) > 0. Also muss es nach dem Zwischenwertsatz ein x geben mit f(x) = 0. Damit haben wir einen der Eigenwerte. Der andere Eigenwert kann analog erhalten werden, da f für x gegen -unendlich ebenfalls gegen + unendlich geht. Also haben wir zwei verschiedene Eigenwerte gefunden

[@luei9965]

Frage : wenn A und B denselben Zeilenraum haben , wie zeigt man , dass es eine invertierbare matrix P existiert so, dass B=PA

[@eisbar2polar246]

Hi,kann mir jemand helfen? Also wenn man 6^-3*3^-5 hat ist es ja eine Möglichkeit es in 1/6^3*1/3^-5 um zu schreiben damit man das Minus weg hat.dan mit dem Kehrbruch arbeiten damit man 1/6^3*3^5 hat also 3^5/6^3. Warum kann man 1/6^3 nicht auch noch hochziehen damit man 6^3*3^5 hätte was ja falsch ist 🤔

[@MathePeter]

Du hast vergessen das Minus wegzulassen, nach dem du den "Kehrbruch" erzeugt hast. 6^(-3) = 1/6^3 und 3^(-5) = 1/3^5. Also ist 6^(-3) * 3^(-5) = 1/(6^3 * 3^5)

[@eisbar2polar246]

@@MathePeter oke danke

[@MyGamerB]

det(A)

[@MathePeter]

Auch von größeren Matrizen kann die Determinante negativ sein. Nur kannst allein schon z.B. bei n=3 nicht mehr auf reelle Eigenwerte schließen, wenn die Determinante negativ ist.

[@Takin2000]

Ich frage mich allerdings, ob es auch einen Beweis gibt, der ohne komplexe Zahlen oder das charakteristische Polynom auskommt

[@vermin6107]

Ich hätte argumentiert das die Determinante für eine Matrix A 0 wird wenn der Rang der Matrix A kleiner als n ist. Wenn die Determinante also nicht 0 ist muss der Rang der nxn Matrix n sein und ist somit invertierbar.

[@MathePeter]

Und wie schließt du von Invertierbarkeit auf reelle Diagonalisierbarkeit?

[@hannessteiner6241]

Des sieht ja nach einer rech chilligen Klausur aufgabe aus Ich kann mich erinnern, ich musste in meiner LA2 Klausur zeigen, dass die eigenwerte einer schiefsymmetrischen Matrix rein imaginär sind

[@MathePeter]

Was studierst du?

[@hannessteiner6241]

@@MathePeter Mathematik und Physik auf Lehramt

[@MathePeter]

Sehr schön! Ich muss nur aufpassen, dass die Beweise nicht zu anspruchsvoll werden. Sonst schaut keiner mehr die Videos. Außer dir natürlich 😂

[@hannessteiner6241]

@@MathePeter das stimmt natürlich. Ich hab in meinen ersten 2 semester sehr viele von deinen videos geschaut und die waren echt super hilfteich und haben mir wirklich sehr im studium geholfen Danke dafür und mach weiter so 👍🏼

[@maspofu2538]

Beweis ist falsch, die Determinante lässt sich nur auf diese Weise von ihren Eigenwerten berechnen, wenn sie auch wirklich diagonalisierbar ist was du ja im vorhinein nicht bewiesen hast. Ein Gegenbeispiel ist 01 10

[@MathePeter]

Deine Matrix {(0,1),(1,0)} ist kein Gegenbeispiel, sondern bestätigt noch mal die Rechnung. Denn die Eigenwerte dieser Matrix sind 1 und -1. Das Produkt der beiden entspricht der Determinante.

[@maspofu2538]

@@MathePeter oh stimmt du hast Recht sorry

[@MathePeter]

Aber danke für deinen Kommentar. Den Beweis, dass die Determinante einer Matrix gleich dem Produkt der Eigenwerte ist, liefere ich mal in einem anderen Video.

[@louishauger3057]

War es vorher nicht S*D*S^-1

[@MathePeter]

Du hast vollkommen Recht, das hab ich aus Versehen verdreht! Zum Glück ändert es nichts am Beweis :)