ЭКЗАМЕН КАНАДА. Покажи, как нужно решать!

Дана описанная равнобедренная трапеция, расстояния от точки O до вершин B и D равны 15 и 20. Найти площадь трапеции.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ДЗ ответ и решение: kzbin.info/www/bejne/n6HYlHygdtpjf5osi=NylekJXqLE2UkZ5z

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за подробное объяснение решения.

[@user-bd4ic1nl6v]

Я исходила из двух вещей: - сумма противоположных сторон у четырехугольника, в который вписана окружность, равна сумме других противоположный сторон. А тут равнобокая трапеция, что существенно облегчило дело - провела высоту через центр и построила прямоугольные треугольники; - высота - два радиуса. А дальше решала как вы. 600

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@ForRealOpusheni]

Начал смотреть ваш канал, стал решать такие задачи устно🎉, спасибо вам!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень приятно.

[@igorrromanov]

По Пифагору диаметр окружности 24 Два параллельных отрезка 18 и 32 (18 + 32)/2= 25 25 × 24 = 600

[@user-ho7fp4ye7h]

Сложное решение, могу предложить проще. Соединяем точку О с вершинами трапеции (ОА...ОД) и с точками касания окружности трапеции. Получим 8 треугольников 2-х размеров, т.е. 4 малых треугольника "вверху" и 4 больших "внизу". Заметим, что один малый и один большой составляют треугольник АОВ или СОД. Площадь трапеции = 4 площади треугольника СОД, который прямоугольный и площадь которого 15*20/2=150.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я еще проще: S=pr=4сr=4S(COD)=4*0,5*15*20=600

[@user-ip6lb8pw2e]

Здорово, что удалось повторить столько дополнительного материала, но....после 4.20, когда красиво "привязали" площадь трапеции к C и R (Sтр=2cr) перейти к тому, что 1/2сr - это площадь прямоугольного треугольника COD, а она же равна половине произведения катетов, т.е. 1/2*15*20. Тогда сразу же Sтр=600

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-yf1zt2dg8m]

Уже такое "резал" по вертикали... Переворачиваем половину и площадь ромба с диагоналями 30 и 40 600.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересно. Только рановато дали креативное решение. Но здорово.

[@user-yf1zt2dg8m]

@@GeometriaValeriyKazakov Кто хочет решить - вначале решает а потом смотрит ролик и комменты (или не смотрит :). Кто сразу смотрит решение - пока только учится решать.

[@vladymyrchavdar57]

классное решение, у меня мозг более шаблонно сработал, как у автора видео только менее структурировано. Где учат нестандартным решениям?

[@vkr122]

Вроде и задача простая, но вы продолжаете нас радовать красивыми поворотами😀

[@user-yf1zt2dg8m]

@@vladymyrchavdar57 Нестандартным решениям не учат. Они же нестандартные ;) Попробуйте решать чисто в уме, просто глядя на экран с умным видом. Чтобы не запутаться в числах придется вначале предельно упростить задачу. Поначалу получается медленнее чем Пифагором напролом. Собственно во времена Пифагора решали чисто построениями - римские цифра для расчетов сложнее плюс-минус - тихий ужас. Но упрощение срабатывает далеко не всегда. Представьте что трапеция неравнобедренна и даны три расстояния до углов... Сразу Пифагор и куча квадратных уравнений... Все как любят индусы :) В данной задаче именно симметрия - подсказка где искать короткий путь.

[@viktorsd8301]

4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ∠2 способ с выкрутасом - т.к.биссектрисы трапеции от одной боковушки перпендикулярны, то получается шикарный египет !. И боковушка = 25. А вот далее - "выкручиваем" трапецию как белье, двумя руками за концы, и по серединной вертикали фигуры правую половину разворачиваем вверх ногами. Получился описанный параллелограмм - ромб, плошадь которого не изменилась, а диагонали нам известны - длинная = 2 х 20 = 40, короткая = 15 х 2 = 30. Площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (здесь sin 90⁰ = 1), т.е. Sпр.= (40 х 30)\2 = 600

[@user-bd4ic1nl6v]

Сделала домашнее задание. Достраивать полную трапецию не пришлось - я обратила внимание, что AC отсекает от MD одну пятую. Дорисовала я внутри окружности прямоугольник с длинной стороной 15, обозначила центр О, соединила АО, ВО и МС. Получилось куча подобных треугольников, из которых я два часа искала нужную пару. И нашла! Это был CMK и AO(и не обозначенная буква). У первого коротенькая сторона была 3, а у второго 6 (что было вычислено при помощи достроенного прямоугольника DMC(и неуказанная буква). В итоге получилось, что MC вдвое меньше АО, MB - это четверть от AB. Поскольку центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а в нас трапеция, то треугольник АОВ прямоугольный, а гипотенуза у него делится высотой (она же радиус) в соотношении 1:3, то несложно посчитать, что это очень удобный треугольник с углами 30 и 60. В итоге у нас получились углы: BAD 60 и ABC 120. Мне было лень считать площадь трапеции, поэтому я перекинула BOC вниз вправо, и у меня получился равносторонний треугольник со стороной 20. Ну, со стороной 15 AMD у нас есть, я накинула пятерку (третью часть). Может быть, в расчетах ошиблась, спать хочу, но получилось сто корней из трех.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Посмотрите ответ в ролике и решение. Я прикрепил ссылку.

[@GeometriaValeriyKazakov]

S=pr=4сr=4S(COD)=4*0,5*15*20=600

[@alexandertokarev2097]

ДЗ получилось S=100√3, что достаточно необычно для канала. Где египетский треугольник? Идея - соединить отрезком A и центр окружности O. Пусть H - точка пересечения AO и MD, h = AH. Из подобия AHK и CMK следует MC=2/3h, кроме того, OH= MC/2=h/3. В прямоугольном AOD высота DH=7.5=√( h•h/3) = > h=15•√3/2 и AO=4/3•h=10√3. Поэтому площадь AMOD=15•10√3/2=75√3. Так как линейный коэффициент подобия дельтоидов AMOD и OMBC равен 1:√3, то площадь OMBC=25√3. Их сумма дает искомую площадь. Отзеркаливать трапецию не пришлось, но решение, наверное, покажется слишком заумным, с учётом того, что AMD - получается равносторонним!

[@GeometriaValeriyKazakov]

ЭТо ЕГЭ. Там редко красивые ответы.

[@user-np1oq2vz7n]

сумма площадей верхнего и нижнего треугольника равна сумме левого и правого, не надо искать радиус и даже гипотенузу, 15×20×4/2=600

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, но все равно придтся доказать прямоугольность треугольников. И доказать все-таки, если экзамен, что утверждение верное. Но идея - замечательная.

[@user-np1oq2vz7n]

@@GeometriaValeriyKazakov да, первым пунктом по тому что биссектрисы, то угол 90 градусов, но это ж должна быть уже аксиома

[@user-ou3jn8lt3d]

Так же решил, ещё глядя на превью к видео, в уме.

[@user-sc1zy5yl6o]

Ответ 60. Решение не тпкое красивое как у Вас, зато сама, зашла "огородами" по теореме о касательной и секущей, громоздкие вычисления, но до финиша доковыляла! Хорошо-то ка СПАСИБО!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично, что сами.

[@GeometriaValeriyKazakov]

S=pr=4сr=4S(COD)=4*0,5*15*20=600 - это красивое

[@viktorviktor5820]

Устная, на знание свойств описанной трапеции. Любимый Египет. S=24*25.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно, я и сказал 30 сек.

[@user-kd9wl9mt5k]

поскольку COD - прямоугольный треугольник, а таких 4шт в трапеции, значит площадь трапеции 15*20/2*4=600

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вообще прямоугольных 2: слева и справа. А верхний и нижный не прямоугольные. Но действительно можно доказать (!), что S=4S(COD). Это д-во по длине будет то же, что к=12, h=2r и с=(a+b)/2=25. На это красиво, согласен.

[@user-hr5vv3nm3x]

Способов тут много. Тр-ки АОВ=СОД(и прям-ные). Сл-но, АВ=СД=25. К(О)М=высота. Все 6 прям-ных тр-ков подобны и соответ., египетские(через биссект. и прям. углы). Сл-но, АМ=МД=16, АК=СК=9,ОК=ОМ=12. Sabcd=(32+18)*24*1/2=600

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен, очень много! Поэтому и хороша задача. Мы шли чисто по школьному пути, опираясь на теоремы, которые есть в учебнике.

[@user-yr2jg7cm5r]

Проводим биссектрису СО , угол СОД - прямой , так как углы С и Д в сумме составляют 180* , то их половины , делящееся биссектрисами СО и ОД пополам в сумме составят 90* ( ( 2С+2Д= 180* )/2 , С+Д=90* ) , следовательно угол СОД = 90* . ПО теореме Пифагора СД=\/СО*2+ОД*2 = \/15*2+20*2 = 25 . ВС+АД = 2хСД (трапеция равнобедренная - АВ=СД) ВС+АД=2х25=50 , Проведем высоту через центр окружности , обозначив при пересечении с верхним основанием - с нижним основанием , соответственно точками К и М . Из т - ков СОК и ДОМ , так как они прямоугольные , высота трапеции КМ перпендикулярна ее основания , определяем квадраты половин высот КО и ОМ и приравниваем . КС=ВС/2 , МД=АД/2 , КО*2=СО*2-(ВС/2)*2 , ОМ= ДО*2-АД*2 (обозначим АД=а , ВС=в) 15*2-(в/2)*2 = 20*2-(а/2)*2 , 225 - (в/2)*2 = 400 - (а/2)*2 , 900 - в*2 = 1600 - а*2 , а*2 - в*2 = 1600 - 900 , а + в =50 , в=50-а , поставляя - а*2 - 2500 + 100а - а*2 = 700 . 100а = 3200 , а = 32 , в = 50 - 32 = 18 , КМ = Н - высота Н*2=\/а х в = \/32х18 = \/ 4 х 4 х 2 х 3 х 3 х 2 =4х3х2= 24 . S=(а+в)/2 х Н = 25 х 24 = 600 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@user-yw6nd4rq3i]

Но зачем считать сторону трапеции и радиус? Ведь площадь трапеции выражается через площадь треугольника OCD, а его площадь можно посчитать и иначе, поскольку известны его катеты.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. полностью согласен: S=4сr=4S(COD), но в других задачах придется искать другие эл-ты. Нужно было помянуть про S=pr - время ролика огр. Но есть такие зрители как вы и все-все прочитают.

[@user-hf7ki7bz1i]

Проведём ОM⊥AB, OK⊥BC, OH⊥AD, О-центр описанной окружности. ∠ADB=∠BAD=2𝜶, так как трапеция равнобедренная. ∠ABC=180◦-∠BAD, ∠ABC=180◦-2𝜶, так как сумма внутренних односторонних при AD∥BC и секущей АВ, равна 180◦. ОВ-биссектриса угла ∠В, ОD-биссектриса угла ∠В, ∠СDО=∠ADO=𝜶, B ⊿DHO, OH=OD*sin𝜶, OH=20*sin𝜶. ∠ABO=∠CBO=(1/2)*∠B=(1/2)*(180◦-2𝜶)=90◦-𝜶. B ⊿BKO, OK=OB*sin(90◦-𝜶)=OB*cos𝜶, OK=15*cos𝜶, OK=OH=r-радиус окружности, 15*cos𝜶=20*sin𝜶, sin𝜶/cos𝜶=15/20=3/4, tg𝜶=3/4, sin𝜶=3/√(3²+4²)=3/5, cos𝜶=4/√(3²+4²)=4/5. B ⊿DHO, OH=OD*sin𝜶, OH=20*(3/5)=12, OH=12. KH=2*OH, KH=2*12=24-высота трапеции. DH=DO*cos𝜶, DH=20*(4/5)=16, AD=2*DH, AD=2*16=32. B ⊿ВКО, ВК=ОК*cos(90◦-𝜶)=OK*sin𝜶, BK=15*(3/5)=9, BC=2*BK, BC=2*9=18. S(ABCD)=(1/2)*(AD+BC)*KH, S=(1/2)*(32+18)*24=25*24=600, S=600. Ответ: S=600.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@adept7474]

Простенько, но зачётно. Ликбез в разгаре. Так держать.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, спасибо. Нужно же и для школы что-то давать.

[@viktorviktor6503]

Устно 3 секунды. 2*15*20=600. Посмотрел. Много лишних вычислений. Зачем было вычислять радиус и боковую сторону? Площадь трапеции равна с*2r, или 4*(c*r/2), выражение в скобках - площадь треугольника ОСД, а её можно и найти перемножив катеты, итого имеем S=4*OC*OD/2=2*15*20=600. Кстати, попутно доказали, что площадь этой трапеции равна 4 площадям треугольника.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Теперь ДЗ

[@alexnikola7520]

Валерий уморил) я сижу, смотрю большой рисунок, развесил уши... но на рисунке ничего не происходит... только рассказ про решение... странно, думаю... ну ладно, пока и так все понятно.. минута прошла... две... а потом смотрю - а рисует он справа мелко на мелком рисунке... раньше ж всегда на большом рисовал... казус какой... ну ладно) решение хорошее, все методы классические, как отработанные приемы карате

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, на смарте мелковато, но объем инфы большой. То есть крупным однозначно лучше?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Про каратэ приятно. Спасибо.

[@alexnikola7520]

да, на крупном хорошо видно. мелкие не очень удобно рассматривать. ну темы, о которых я в курсе, как в данном случае, то ничего. но если б незнакомые мне вещи давали - то затруднительно на нечетких и маленьких рисунках разбирать

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, понял.@@alexnikola7520

[@adept7474]

Можно повыпендриваться? Не нужно радиуса, не нужно высоты, не нужен даже Пифагор, нужно, кроме числовых параметров, только одно условие: трапеция - описанная. МN - средняя линия. Продлить СО до пересечения с АD в т. К. ▲КСD - равнобедренный (ОD - биссектриса и высота), его S = h(трап) × КD/2. АВСК - трапеция, её S = h(трап) × (АК + ВС)/2. (АК + ВС)/2 = МО = ОN = КD/2. S(АВСК) = S(КСD) = 15 × 20 = 300. S(АВСD) = 600.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, в любом описанном 4-ке суммы площадей противополных равны из a+b=c+d, S=pr. Тогда S=4S(COD)=2*15*20=600. Но это для 5% учеников.

[@adept7474]

Именно поэтому стоило привести это решение, чтобы таких учеников стало не 5%, а 50%.@@GeometriaValeriyKazakov

[@pojuellavid]

Вроде решал неправильно, но решил. 1. Обозначим полуоснования А и В, радиус R. Тогда высота 2*R, основания 2*А 2*В и площадь S=2*R*(A+B). Задача решена (шутка) 2. Боковушка (А+В). Опустим из верхней вершины высоту. Получим треугольник, в котором (А+В)^2 - (А-В)^2=4*R^2. Значения полуоснований через радиус найдем из пифагоры, опустив перпен из ц. окружности на основания. А^2=400-R^2 B^2=225-R^2. 3. Подставляем, приводим, находим R^2=144. R=12, A=16, B=9 Ответ:600

[@GeometriaValeriyKazakov]

СПАСИБО.

[@GeometriaValeriyKazakov]

S=pr=4сr=4S(COD)=4*0,5*15*20=600