ОЛИМПИАДА ПОЛИТЕХА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ. Круг и два квадратика. Найди радиус!

Два квадрата с площадями 1 и 4 стоят на прямой вплотную друг к другу. Окружность касается этой прямой и проходит через вершины квадратов как показано на рисунке. Найти радиус окружности.

[@wakawaka239]

Уравнение окружности с центром (0;R): x²+(y-R)²=R² запишем для точек касания с квадратиками в систему x²+(1-R)²=R² и (x+1)²+(2-R)²=R², которая имеет решения (x;R): (-1;1) и (1;5). Подходит под рисунок только R=5

[@OrenDiSel]

Решение x=-1; R=1 не противоречит вашей трактовке условия. Просто рисунок будет другой, но все условия исходной постановки задачи будут выполняться: окружность касается оси x, касается верхнего левого угла малого квадрата и верхнего левого угла большого квадрата

[@Творческаяматематика]

Лучше не переходить к иррациональным уравнениям, а записать систему на R и x которую легко решить вычитая одно уравнение из другого: R^2=(R-1)^2+x^2 , R^2=(R-2)^2+(x+1)^2

[@GeometriaValeriyKazakov]

СПАСИБО ЗА ВАШЕ МНЕНИЕ. Моя цель была - повторить решение иррационального.

[@valeraag5634]

Без иррациональности. Выбрав начало координат в центре жёлтого круга, запишем ур-ия х² + (1 - R)² = R², (x + 1)² + ( 2 - R)² = R². Приравняв левые части ур-ий, получим х = R - 2. Подставив это значение х в 1 или 2 ур-ие, получаем кв.ур-ие R² - 6R + 5 = 0. R = 5, корень R =1 нас не устраивает (левые верхние углы квадратов будут внутри окружн., а не снаружи). ДЗ. В общем виде получаем ур-ие: (в/а - 1) R - в²/2а)² + (R - a)² = R². Очень хотелось бы посмотреть как Валерий Владимирович его решит. Или решит своим способом. Ведь ДЗ даётся всегда не от фонаря? В комментах никто не решил ДЗ, а В.В. уже неделю молчит. А зачем тогда задание?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. К сожалению, нет времени решать. Подождем зрителей.

[@Fovila]

Без систем уравнений и квадратных уравнений. Проводим хорду по точкам касания обоих квадратов до пересечения с касательной имеющейся на рисунке. по теореме пересекающихся хорды и касательной находим и X =3 и Y=4. Дальше R = (R-2)²+16. и все😃

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Olga-fv6jy]

Хорошая задача. Но! Каюсь, не люблю, когда в геометрической задаче появляются такие иррациональные уравнения или уравнения третьей степени. Я продлила стороны квадратов вверх от точек касания до пересечения с окружностью. Получила равнобедренную трапецию, вписанную в окружность. Назовем ее ABCD, начиная от вершины зеленого квадрата против часовой стрелки. В трапеции проведем высоту BH и диагональ BD. Зачем? Я буду искать радиус R как радиус окружности, описанной около ∆ABD. Есть такая формула R=ab/(2h) (стороны a, b и высота h выходят из одной вершины). AB=√2, BH=1, BD=√((2R-3)^2+1^2); R=√2*√((2R-3)^2+1^2)/(2*1). После возведения в квадрат получим квадратное уравнение R^2-6R+5=0; R=5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Но моя цель совсем другая - прокачать алгберу через геомтеоию, т.к. ученики сейчас готовятся к экзаменом. Математика - единая наука. Тцум мы с Декартом едины. Но только тут.

[@donkeyia4337]

Кажется, вы немного кликбейтите. Для олимпиады очень простая задача.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, и практически во всех роликах, я уже об этот говорил. С другой стороны, есть разные уровни олимпиад. И эта задача - точно не тривильная из учебника без звездочки. Решите ее при S1=Q, S2=G и тогда посмотрим. Она жэ усложняется на раз.

[@santashmyakus8516]

@@GeometriaValeriyKazakov Аналитически если решать, то нет. Задача сводится к решению квадратного уравнения. Из системы исходных 3-х уравнений известных точек на окружности всё-равно получатся линейные уравнения связи координат центра окружности и радиуса.

[@вениаминмельников-т7р]

решил используя свойства пересекающихся хорд

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@santashmyakus8516]

Через три точки можно построить лишь одну окружность. Если симметрично отразить и решать, то радиус не изменится. Т.о. имеем систему из 3-х уравнений окружности с 3-мя неизвестными для 3 точек: (2;2);(3;1);(b;0): (2-a)^2+(2-b)^2=r^2 (1-a)^2+(3-b)^2=r^2 a^2=r^2 a>0;b>0;r>0 Подставляем a вместо r, вычитаем из первого второе, расписываем разности квадратов, получаем линейное: b=a+1. Дальше решаем квадратное для a, находим r. Решаем, получаем: a=5; b=6; r=5. Центр окружности (6;5). Примечание: кубики влево симметрично для удобства перекинули перед решением. Ответ:r=5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@constantinfedorov2307]

Есть окружность, проходящая через точки (0,0) (а,1) (а+1,2), причем в нуле она касается горизонтальной прямой, что "замыкает" условие. У задачи есть два решения, одно из ролика R=5 и второе "паразитное" R = 1, при котором точки (-1, 1) и (0,2) лежат на окружности. На чертеже в ролике такая окружность будет расположена так - центр в середине левой стороны большего квадрата, там, где вершина меньшего, а проходит она через те же вершины квадратов, касаясь горизонтальной прямой в точке С (обозначения из ролика). Вполне себе решение, имеющее геометрический смысл.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@КосМал-р4ш]

Пишу замечательный комментарий

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@AlexeyEvpalov]

Геометрически при R=1, центр окружности находится в в правом верхнем углу зелёного квадратика. Спасибо за аналитическое решение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам. Да, если дать текстом без рисунка, то его нужно бы засчитать тоже.

[@user-Alexander-1950-Ufa]

Вы меня опередили.. Со вторым решением R = 1. А засчитывать в любом случае нужно оба.

[@alexnikola7520]

посмотрел... ну мой подход похож на маэстро... небольшие различия... а треуги рассматривали одни и те же... спасибо)

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Сторона малого квадрата =1, сторона малого квадрата =2 .К малому квадрату - R*2=(R-1)*2+X*2 , большему - R*2= (R-2)*2+(X+1)*2 , преобразовав уравнения и вычтя из второго первое , получаем 4+2Х-2R=0 , откуда X=R-2 , подставляя в первое уравнение - R*2=R*2-2R+1+(R-2)*2 , -2R+1+R*2-4R+4=0 , R*2-6R+5=0 , R1,2=3+-\/9-5=3+-2 , R=3+2=5 . Второе значение не может удовлетворять условиям задачи .

[@user-Zi9]

x^2+y^2 = r^2, т.А(0;-r)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@AndranikAdamyan-f3b]

х расстояние до зеленного, у хорда от красного вверх. Квадрат касательной(х+1)^2=4+4*у, х^2=у+3. х=3, у=6. имеем длину хорды 6 и расстояние до нее 4. R=5.

[@adept7474]

Сложновато с радикалами. Без букв сложно, но я попробую. Соединил центр с т. пересечения верхней стороны зелёного с левой стороной розового. Нетрудно показать, что продолжение этого отрезка попадёт в середину нижней стороны розового. х = R - 2. (R - 2)² + (R - 1)² = R². R² - 6R + 5 = 0. R = 5. Хотя бы без радикалов.

[@barsa2701]

точно так же решал как у вас, ну и еще одним способом, похожим на автора, но без радикалов, они там ни к чему

[@alexandermorozov2248]

«продолжение этого отрезка попадёт в середину нижней стороны розового» - это частный случай, когда линия идёт углом 45°. как будете решать, если значения площадей квадратов будут другими?

[@adept7474]

@@alexandermorozov2248 Будем решать проблемы по мере их поступления😁

[@denisseredych9090]

Спасибі!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отл

[@dmitriystankiewich516]

Ну виден же Египетский. 3-4-5....😅

[@GeometriaValeriyKazakov]

А если не виден: S1=Q,S2=G, что тогда?

[@Olga-fv6jy]

Супер-задача!! Я нашла еще два отличных решения. Но зачем писать, если вы не читаете.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Как это, не читаю, акститесь Ольга. Вас читаю в первую очередь!! Всегда (не всегда отвечаю).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Для вас же задачу и придумывал!

[@Olga-fv6jy]

@@GeometriaValeriyKazakov Отвечать на все комменты - не будет времени работать. Я не про ответ. Просто намекните, что прочитали. Этого мне будет достаточно.

[@OrenDiSel]

Почему корень R=1 не подходит? Центр окружности будет лежать на середине левой стороны большого квадрата в точке касания с малым квадратом, а сама окружность будет касаться указанных по условию задачи точек

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Подходит, если задача дана текстом.

[@alexnikola7520]

если обозначить расстояние от нижней точки касания окружности до левого нижнего угла единичного квадрата за t, то пропифив два треуга (продлив налево верхние грани квадратиков ) имеем: r^2=t^2+(r-1)^2 и r^2=(t+1)^2+(r-2)^2... то есть t^2-2r+1=0 и t^2+2t-4r+5=0... то есть, приравнивая 2r, получаем t^2+1=t^2/2+t+5/2... умножаем на два обе части, получаем кв ур-е t^2-2t-3=0... t=3... r=5

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@RescueMe-o7j]

а у меня вышло только что R = x + 2

[@МаксимНосовец-у3ь]

А я другим путём решил: сначала провел радиус параллельный касательной, далее из точки на окружности (этого радиуса) опустил перпендикуляр на касательную, доказал этот перпендикуляр пересекает касательную ровно в середине стороны (лежащей на касательной) большего квадрата квадрата . Исходя из этого получил что величина аналогичная "y" на рисунке равна R-1. Там получается прямоугольный треугольник диагонально семитричный розовому. У него катеты R-1, R-2 и гипотенуза R. По теореме Пифагора получаем то же самое квадратное уравнение причем сразу без сложных подкоренных выражений.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@vkr122]

Продлим вертикальную сторону большрго квадрата и получим хорду z, вертикальную сторону маленького получим хорду z+2 , т, о касательной и секущей даст х*х=z+3 и z=х*х-3, второй раз та же теорема (х+1)(х+1)=2(х*х-1) и квадратное уравнение х*х-2х-3=0 положительный корень х=3 и теперь посмотрим на треугольник с катетами z и 2у , z=6 2у=8 значит диаметр=10 а радиус=5 !

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@ОлегПолканов-д1н]

Тоже сделали 2 треугольника. Но решали в другом порядке. По Пифагору имеем 2 уравнения: R^2 = (R-1)^2 + x^2, что после приведения получается что x^2 = 2R-1 И второй R^2 = (R-2)^2 + (x+1)^2, что после приведения даёт x=R-2 Подставляем х в первое полученное и получаем R^2-6R+5=0 Корни 1 и 5 Если картинки нет, а просто сказано, что есть некая окружность которая касается прямой на которой лежат квадраты и одинаковые углы каждого квадрата (например левый верхний) а квадраты лежат на одной прямой и вплотную друг к другу. То оба варианта верны. Окружность будет тогда в точке правый верхний угол маленького квадрата и вторая с радиусом 5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Монологиожелезках]

Вот вам задачка посложнее: назовите хотя бы 1 практическое применение задачи из видео. Опишите, в каком таком практическом случае вы можете к некой оси, валу, трубе, шару пристыковать без зазора два кубика или прямоугольника, но не можете напрямую измерить диаметр.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за красивые идеи!

[@gfffoto5787]

А вы уйдите от кубиков, а перенесите задачу на план местности, когда обозначены габариты от объектов, а нужно построить дугу дороги...

[@Монологиожелезках]

@@gfffoto5787, отлично! Ещё штуки три применения и можно будет победителя среди решений задач определять. План местности - принимаю как решение без вопросов!

[@WalerijSchmidt-g4d]

Соединим т.А с т. касания большого квадратика и окр. в т. М , получим тр. АМС . где 2МС=АС , откуда АМ =2*^из 5. Опустим перпендикуляр из ц. окр. т. О на АМ в т. N . Тр.AON подобен тр.АМС , 2AN=ON . AN=^из 5 . По т. Пифагора R=5 .

[@user-Alexander-1950-Ufa]

По фактическим данным и результату, да: 2*MC = AC, но это потому, что (AB) = 3. Но это ещё надо найти, однако.. Если будут другие сочетания длин сторон квадратов, то и (AB) - будет другого сочетания. Кстати, надо решить в общем виде..

[@WalerijSchmidt-g4d]

Проведем прямую из т. М через вершину маленького квадратика до пересечения с АС, она пройдет под углом 45 , проведем линию по верхней грани маленького квадратика , она разделит МN пополам, также эту среднюю линию пополам , откуда АС=2МС

[@ЕгорСопожников]

Способ посчитать x: соединить прямой вершины квадрата, что на окружности и пересечь с касательной в точке S. Тогжа SA^2=√2*2√2 (квадрат касательной) тогда SA=2, AB=3 и 2R-1=3*3=9 и R=4

[@ЕгорСопожников]

Точнее R=5 и в общем случае можно повторить способ этот же, только там будет что-то чуть более неприятное

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@ЕгорСопожников Согласен.

[@Snuryus]

Как-то слишком запутано. При данных размерах квадрата АB=R-2 И можно просто записать R^2 = (R-1)^2 + (R-2)^2. Если все раскрыть получим то же самое уравнение R^2 -6R + 5 = 0. Оба корня являются решениями, но именно для этого рисунка подходит только 5. (С радиусом 1 центр окружности должен лежать на 1 выше точки С)

[@GeometriaValeriyKazakov]

R=1 тоже проходит, но без рисунка если. Чужое решение после своего всегда кажется похуже и запутанным. Поверьте мне, как тренеру: у нас САМЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, которые годятся для всех случаев. Решите при S1=Q,S2=G.

[@СергейФедоров-у3с]

@@GeometriaValeriyKazakov Ну совсем не оптимальные! Пожалуйста - 4 действия без радикалов. x1 = x y1 = 1 - R x2 = x + 1 y2 = 2 - R RR = xx + 1 + RR - 2R RR = xx + 1 + 2x + 4 + RR - 4R xx - 2R + 1 = 0 2xx - 4R + 2 = 0 xx + 2x - 4R + 5 = 0 xx - 2x - 3 = 0 R = (xx + 1)/2 D = 4 + 12 x = 3 R = 5

[@mikepaderin2619]

Осталось только доказать, что АВ=R-2. Поскольку мне, например, это не очевидно...

[@Snuryus]

@@mikepaderin2619Если соединить две точки касания квадратов с окружностью, и в получившемся равнобедренном прямоугольном треугольнике провести высоту - то продолжение этой высоты пройдет через центр окружности (перпендикуляр к середину хорды) и через середину нижней стороны квадрата с площадью 4. Тогда расстояние между А и серединой нижней стороны квадрата R, а АВ = R-2

[@mikepaderin2619]

@@Snuryus последнее вновь не так очевидно, как хотелось бы (почему большой треугольник стал вдруг равнобедренным со сторонами = R?)

[@ravillatypov2816]

Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@user-Alexander-1950-Ufa]

Обойдёмся без иррациональных уравнений, однако будет система 2-х уравнений, и 2 неизвестных. От (B) - вертикально вверх 1 до окружности, и по Пифагору, R^2 = x^2 + (R - 1)^2 То же от точки (C): R^2 = (x + 1)^2 + (R - 2)^2 Две точки, и два уравнения. Раскрываем скобки, приводим подобное, и: x^2 - 2*R + 1 = 0 // Умножаем на 2 x^2 + 2*x - 4*R + 5 = 0 // вычитаем из умноженного первого, уничтожая (R) x^2 - 2*x - 3 = 0, x1 = -1, x2 = 3, откуда из x2 - подстановкой в первое - получаем R = 5. Это Ответ. Лёгкая задача. Неужели это олимпиада? Исключительно из любви к искусству..

[@user-Alexander-1950-Ufa]

Как-то пролетел я на простоте задачи.. Центр окружности (A0), верхние левые углы квадратов, соответственно, (B1) & (C1). Система координат. Точка (A) = (Zero). Толкуем x1 = -1. Тогда подстановкой - получим R = 1. Положение центра окружности A0 (0; R) = A0(0; 1). Но (x) - это положение точки (B) на оси, оно будет тогда B(-1; 0), положение C(xB+1; 0) = C(0; 0). Соответственно, точки углов квадратов, принадлежащих окружности, будут B1(-1; 1); C1(0; 2) То есть, (CC1) - это будет диаметр окружности, точки (A) & (C) - совпадут, (A) - как и раньше - точка касания, точка (B1) - левый край горизонтального диаметра. Два решения! R1 = 1, центр A0(0; 1), левые нижние углы квадратов B(-1; 0), C(0; 0) = A И второе, основное: R2 = 5, центр A0(0; 5), левые нижние углы квадратов B(3; 0), C(4; 0)

[@Григоров_Алексей]

Отличная задача!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. САААААМ придумал!

[@КоонстантинКасильяс]

решил так: пусть точка А - начало отсчета в системе координат. Тогда уравнение окружности с центром (0,R) и точки с кoординатами (m;1); (m+1;2) (m=AB) принадлежат окружности. 2уравнения с m,R -> m=3 R=5

[@alexl6671]

Устная задача. R = 5

[@kostyabah3569]

Блин ожидал я геометричнское решение((( не нужно иметь талант что все привести к одному уравнению и решать алгебру)). А вот были у вас задачи нетривиальные найти угол. И говорили, можно косинусы синусы вспомнить но мы пойдем ИНТЕРЕСНЫМ путем))) примерный сценарий СУММА УГЛОВ НАМ НИЧЕГО НЕ ДАЕТ. АГА ПРОВОДИМ РАЗ ЛИНИЯ ДВА ЛИНИЯ. ТУТ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ТАМ РАВНОБЕДРЕННЫЙ. ВОТ МЫ И НА ФИНИШНОЙ ПРЯМОЙ. Не ролик а детектив какой-то))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так задач у нас - море! Есть всякие решения. Здесь я порокачал иррац ур, а геому оставил зрителю. Найдите вот чистое геометрическое, но свое.