КЛАССИКА ЖАНРА! Гениальный способ.

На гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построен квадрат. Найти расстояние от вершины прямого угла тр-ка до центра квадрата.
#геометрия_8_класс #теоремаКосинусов #теоремаПтолемея

[@AlexeyEvpalov]

Последний способ наиболее простой. Спасибо за все три решения.

[@Sergey_Voytovich]

У меня сразу 3-й способ в голове вылез. Просто, красиво, изящно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@user-kh2kr1yw5f]

У меня тоже. Наверное потому что через много лет после окончания школы, решил доказать теорему Пифагора. На удивление долго привозился, но доказал. Рисунок получился один в один, ну и сразу всплыл в памяти..

[@user-cq5si8kw3v]

+

[@valerykamaev8931]

Объявляем С началом координат. Строим перпендикуляр от О к АВ. Получаем точку Д. Её координаты - 4;3. Длина ОД равна 5. От точки О строим линию вниз , от точки Д линию вправо, до их пересечения в точке Е. Треугольник ОДЕ подобен ВАС. Следовательно при ОД равном 5 получаем ДЕ=3, ЕО =4. Прибавляем эти цифири к координатам точки Д и получаем координаты точки О - 7;7. Отсюда длина СО равна 7 корней из 2. Длинновато конечно, но зато логика простая...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@akr749]

боюсь показаться назойливым, но, похоже, нашел еще способ: пусть СА - ось ординат, а СВ - ось абсцисс. т.О - середина отрезка (любой из диагоналей). координаты вершин квадрата найти легко - (0;6), (8;0), (14;8), и (6;14). значит координаты т.О (7;7) откуда длина СО = 7V2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Кто тут назойливый! Да, так это Леня Эйлер! Давай-давай!

[@user-sk4zg4eo5l]

Последнее решение самое красивое и изящное! Тоже продлил отрезки CA и CB, но дальше по другому - Через точку О проводим прямую параллельную AB до пересечения с продолжениями отрезков CA и CB. А, также из точки O опустим перпендикуляр на AB. В результате получим кучу подобных ABC треугольников, и из пропорций подобия и теремы Пифагора легко найдем искомое.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@Andrej_rybak]

Благодарю. Можно опустить перпендикуляр из точки О на АВ и продлить его за АВ. Потом опускаем на продолжение этого перпендикуляра ещё один перпендикуляр из точки С. Точку пересечения этих препендикуляра и продолжения перпендикуляра обозначим К. Получим прямоугольный треугольник СОК с гипотенузой СО и катетами КО и СК, которые легко найти: КО=сумме высот треугольников АВС и АОВ=4,8+5=9,8 КС=Половина стороны АВ - проекция катета СА на гипотенузу АВ в треугольнике АВС=5-3,6=1,4 Далее из треугольника СОК находим гипотенузу СО: СО=√((1,4^2)+(9,8^2))= 1,4√(50)=7√2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@piece_o_shi...]

У меня получилось sqrt(114-80sqrt(2)*cos(arctan(3/4)+pi/4)). Решал своим способом. Все способы по своему хороши.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@akr749]

в тригонометрическом способе можно по-другому: CAO=(beta) CO^2=6^2 + (5V2)6^2 - 2*6*5v2*cos(beta) CO^2=8^2 + (5V2)^2 - 2*8*5V2*cos(180 - beta)=8^2 + (5V2)^2 + 2*8*5V2*cos(beta) откуда находим косинус САО

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@dtrvno]

Дважды по теореме косинусов. Провести высоту OH к AB. К - точка пересечения OC и AB. OCH равнобедренной с боковой стороной 5. Угол CHB находим по теореме косинусов = -7/25. Тогда сos(CHO)= -24/25. Далее опять по теореме косинусов в ОСН. СО**2= 25 +25 +50*24/25=98

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@smirnov-49]

Повернул 90° против часовой с центром в О. Получил равнобедренный прямоугольный с гипотенузой 6+8... Спасибо за задачу. Кто решает просто увлекает за собой массы.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@viktorviktor5820]

Класс!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.@@viktorviktor5820

[@AlexanderSokolov]

Браво, Андрей!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@akr749]

наверное, можно еще и так: т.О лежит на пересечении окружности с центром А и радиусом 5V2 и окружности с центром В и радиусом 5V2 пусть СВ - ось абсцисс, а СА - ось ординат. записываем уравнения окружностей решаем систему - получаем координаты т. О зная координаты С и О находим длину СО

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@AlexandraMarchenkova]

А тангенсовать можно? Решение за счёт построений -- это высший пилотаж. А мне, как бабушке русской авиации, это уже не по силам. Я хочу ударить по этой задаче тригонометрией. 1) Соединим (.) О с вершинами А и В ∆-ка АВС tg(^ABC)=AC/CB=6/8 tg(^ABO)=1, т.к. AO=OB=5√2 (АО и ОВ -- полудиагонали квадрата, построенного на гипотенузе АВ ∆-ка АВС). В соответствие с формулой сложения для тангенсов мы можем записать tg(^CBO)=tg(^ABC+^ABO)= [tg(^ABC)+tg(^ABO)]/[1-tg(^ABC)×tg(^ABO)]= [6/8+1]/[1-6/8×1]=7 2) Опустим из (.) О перпендикуляр на СВ. Назовём точку пересечения перпендикуляра со стороной СВ ∆-ка АВС точкой В1. Тогда мы можем записать в соответствие с теоремой Пифагора ОВ1^2+В1В^2=ОВ^2 или ОВ1^2+В1В^2=(5√2)^2 (2.1) Из пункта 1) мы получили tg(^CBO)=7, но tg(^CBO)=ОВ/В1В ➡️ ОВ=7×В1В (2.2) Поэтому нам остаётся решить систему из 2-уравнений (2.1) и (2.2) Решив ее, мы получим ВВ1=1 и ОВ1=7 Тогда СВ1=СВ-ВВ1=8-1=7 ➡️ СО=7√2 ☑️☑️

[@GeometriaValeriyKazakov]

Все можно!

[@ndpsgu]

Второй способ очень красив, хотя до третьего и не дотягивает :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@user-og6jm4nu9f]

Как-то так у вас получается, что 7-8 классники умнее, чем получившие более серьезное образование! ))) Вот лично мне пришел в голову 2 способ, как самый очевидный, но Андрей показал нестандартность мышления! Тоже что-то такое крутилась в голове, но... нишмагла я, нишмагла! )))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Это я так придумываю. На самом деле нет.

[@user-og6jm4nu9f]

@@GeometriaValeriyKazakov если бы это было в первый раз, то я не написал бы! ))) Я подозревал, что ваши "ученики" вымышленные, но дело не в этом - вы все же сопоставляете их уровень знаний с реальным, и вот так получается, что многие задачи можно решить более простыми способами, которые проходили в 7-8 классе! А ваша подача материала прямо показывает, что младшие гораздо умнее и находчивее, чем старшеклассники. Ну, со стороны кажется именно так... )))

[@katajator4114]

Интересное решение, тем более, что решала теска. Спасибо. А я решала, как Максим

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@viktorviktor5820]

Устно. Ответ 7√2. Смотрим. Решил тремя способами. Первый тригонометрический, как у Кати. Второй через систему координат. Третий - с правого угла квадрата ( точка Д) опустим перпендикуляр на продолжение СВ - точка К. Тогда ВК=6, ДК=8. Из т О опустим перпендикуляр на СК. (Точка М). О - середина АД, тогда СМ половина СК=7, а ОМ - среднее между АС и ДК и равно 7. Треугольник АОМ прямоугольный, равнобедренный и СО=7√2. Очень понравился способ Андрея - достроение до квадрата, да и способ с теоремой Птолемея очень неплохо. Тригонометрическое решение - когда нет времени думать, решение в лоб.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Теперь отрзите квадрат на другую сторону от AB и найдите расстояние.Будете удивлены.

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov ответ √2, решал в уме, самое трудное было в голове нарисовать правильный чертеж. Интересная задача. Особенно если её дать через пару месяцев не связывая с основной.

[@user-ny8gg1tm3x]

Решение Андрея самое красивое!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@alexslater506]

Мой способ провёл высоты в обоих треугольниках и получил подобные треугольники с коэффициент подобия 0,96. По Пифагора нашел однудиагональ и умножил на кожфициэнт получил ваш ответ. Решение школьника лучше моего- не додумался

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-hm4ns5pn4h]

Здравствуйте. Очень нравятся Ваши уроки. CO нахожу по т синусов. R =половине АB, sin и cos углаCAB в треугольнике ABC

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно подключить т. синусов.

[@user-yp2gv3nd4m]

Вариант 3 способа. Из вершины квадрата, симметричной А относительно О опускаем перпендикуляр на продолжение СВ вправо (точка С'). Получаем равнобедренный треугольник СОС'. Если кто-то после этого скажет, что СО не равно 7sqrt(2), пусть первым выстрелит в меня.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. все будут живы.

[@viktorsd8301]

не - математически - кто нам мешает со сторогны В пристроить к квадрату еще один такой же тругольник, и у него провести такую же красную линию длиной х? Тогда мы получим большой прямоугольный равнобедренный треугольник с красными катетами и основанием внизу 6+8 = 14. Основание - прямая линия,т.к. сумма углов в точке В = 180 гр.,а угол катетов прямой, т.к.клон строится на квадрате. Нам совершенно не интересно, что малый треугольник египетский 3 :4 :5 (х2), и что сторона квадрата 10, потому что по Пифагору 2 х квадрат = 14 в квадрате = 196, или х= корень кв.из 98

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, спасибо, Можно сводить к трапеции или к равнобедренному, хотя это менее красиво, чем квадрат.

[@Alexander--]

Моё решение похоже на 3-й способ Введём систему координат с началом в точке C. Тогда вектор AB имеет координаты (8; -6). Координаты перпендикулярного вектора, имеющего такой же модуль, инверсны и одна из них отличается знаком, т.е. это (6; 8). Если его отложить от точки A, мы попадём в верхнюю вершину квадрата (точка P), координаты которой (6; 8 + 6) = (6; 14). Теперь, координаты точки O (центра квадрата) - это координаты середины отрезка DB и равны ((6 + 8)/2; (14 + 0)/2) = (7; 7). Искомый отрезок - это модуль вектора CO, т.е. он равен 7√2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@valerya1600]

Благодаря задачам Валерия, регулярно тренирую свой мозг.Большое спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@pojuellavid]

Я решал "по Линдгрену". Обкладываем желтый зелененькими до квадрата со стороной =14 Ответ: 7 корней из двух --------------------- Если олимпиядная, то для 6-го класса

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот-вот!

[@user-kr4im3ct5e]

Мне кажется третий способ самый простой и очевидный и конечно же эта задача не для 9 класса. Решая с племянницей разного рода математические задачи сталкиваюсь с тем, что практически одни и те же примеры попадаются во всех классах подряд и решать их нужно (или приходится) тем способом, тему которую проходят в данном классе.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@user-yr2jg7cm5r]

В выпуклом четырехугольнике , вписанном в круг ( противоположные углы составляют 180* ) , произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон ( теорема Птолемея ) . Выгодский стр. 293 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это наш 2-й способ.

[@user-df2lk2lq9d]

Блеск! Третий!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мне тоже!

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@user-it6fh7hy6t]

Все способы хороши . Кстати, в третьем способе совсем не обязательно проводить СF.Ведь CO и без этого прекрасно вычисляется.Двукратный олимпийский чемпион по кулачному бою Пифагор не даст соврать.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно. Правда, сложно тогда доказывать, что точка O - центр одновременно двух квадратов.

[@Snuryus]

Сразу подумал описать окружность и попробовать использовать либо теорему Птолемея, либо теорему о отрезках пересекающихся хорд. :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. О пересекающихся врдя ли получится.

[@Snuryus]

@@GeometriaValeriyKazakov Ага, я потом тоже понял что с хордами сложно. Но в некоторых задачах бывает и срабатывает :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вообще-то можно. Ведь CO бисссектриса. В заданом прямоугольном ABC все можно найти и бисс, и части на кот она делит гип. Попробуйте. @@Snuryus

[@user-uu5xx6tb4d]

⁠​⁠​⁠@@GeometriaValeriyKazakovздравствуйте! Не совсем поняла, что вы имеете ввиду говоря „части на кот“? Может, это описка. И вы имели ввиду „катеты“ или же „катет»?

[@GeometriaValeriyKazakov]

В треугольнике 6,8,10 найдите биссектрису и части, на которые биссектриса делит гипотенузу. По свойству биссектрисы. И попрообуйте применить затем теорему об отрезках хорд.

[@user-yf1zt2dg8m]

От серединки АВ до О 5, до С 1,4 в сторону А и 4,8 до С. Диагональ ломаной ✓((5+4,8)^2+(1,4)^2)=✓98=7✓2 ЗЫ третий способ КЛАСС!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@dmitryushakov9144]

Ну это классическая задача. Интересно, что способы её решения (почти что ровно такие же) разобраны Романом Григорьевичем Хазанкиным вот здесь: kzbin.info/www/bejne/hKCzd5V-rct1nJI Он, кстати, ещё говорит о том, что квадрат можно строить и во внутреннюю сторону (тогда там сопряжённый ответ появляется).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, это известный олимпиадный факт, конечно, еще до рождения Хазанкина. Но Хазанкин - гений из Белорецка № 14., Тут я согласен.

[@alexl6671]

Методом координат. Точка С (0, 0), Точка B (8, 0), точка D (6, 14) тогда точка O ((8+6)/2, (0 + 14)/2)) или (7, 7) значит отрезок CO равен 7sqrt(2)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-vt7xj4oj4q]

Не эксперт конечно, но по-моему Катя воспользовалась знаниями 9 класса, а Макс так вообще 8 класса геометрии.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Если не эксперт зачем пишете? Я экперт. И а втор учебников по геометрии. И олимпиадный тренер. Косинус суммы - 10 кл 1-я четверть. Теорема Птолемея - 9 класс - олимпиадное свойство вписанного 4-ка. Доказывается (сложно) теоремой косинусов опять конец - 9-го. Так что лучше этот метод рассматривать в 10-11 кл. Думаю лучше порлучать удовольствие от задач. ане тягаться со мной в знании программы олимпиадного курса. Я вас обожаю!

[@user-kr4im3ct5e]

Почему современные дети не могу сразу сказать (написать и тд) что угол альфа равен 60°, ведь это также очевидно как и угол 45°, который вы сразу указали?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Нет там угла в 60. Лбое утверждение в геометрии должгно иметь обоснование. "Сразу" - это не обоснование.

[@adept7474]

Мой выбор - Птолемей. Одна формула - и вопрос закрыт.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мой тоже!

[@adept7474]

👍@@GeometriaValeriyKazakov

[@pojuellavid]

заголовок: "Найти угарный газ"

[@GeometriaValeriyKazakov]

думаю, душно.

[@pojuellavid]

@@GeometriaValeriyKazakov СО

[@alexnikola7520]

ну навскидку конечно, можно сделать и тупо включая тригу - ОВ=5корн из2, а косинус ОВС найти из суммы косинусов СВА и АВО. а потом по теор косинусов вычислить ОС.... громоздко конечно... но как есть... ща Валерия гляну

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну, и как?

[@alexnikola7520]

птолемея не знал. а малой гений. пусть начинает потихоньку браться топологию. будем душить перельмана

[@samsungsmart7131]

Понравились способы Андрея! ,и Макса.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@hefneryung2783]

Помогите. Никак не могу разложить на множители: 2x³+6xy²+z³-3x²z+3y²z

[@MrDill100]

(2x+z)(3y^2+x^2-2zx+z^2)

[@hefneryung2783]

@@MrDill100 большое вам спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

И от меня!

[@user-uv4jp8yd8e]

Через теорему косинусов, чтобы не долго мучиться с выбором способа решения

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. В общем понятно. Но главный вопрос - реализация.

[@user-uv4jp8yd8e]

@@GeometriaValeriyKazakov как четвертый способ : продлить СВ вправо на 6 и достроить до равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой СЕ=14. Тогда катет СО=7√2

[@MrArcan10]

решил в уме по теореме косинусов

[@mypointofview4159]

На какой минуте можно посмотреть правильный ответ?

[@GeometriaValeriyKazakov]

На любой.

[@mypointofview4159]

Очень остроумно. Желание подписаться на ваш канал сразу пропало

[@natashok4346]

🤣🤣🤣🤣

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@natashok4346

[@canis_mjr]

1. Сторона квадрата. 2. Диагональ квадрата. 3. Угол в исходном треугольнике. 4. Теорема косинусов. Геометрическое решение не придумал(( Доп. После проведения диагоналей сразу пришло ещё одно решение, если площадь выпуклого четырёхугольника равна произведению диагоналей))

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@user-hf7ki7bz1i]

Координатный метод: Точку А поместим в начало координат, Ось ОХ направим вдоль гипотенузы АВ, Ось ОУ направим вдоль стороны квадрата. АВ²=АС²+АВ², АВ=√(6²+8²)=10. На ось ОХ из точки С опустьм перпендикуляр СН, СН⊥АВ, АН=х, ВН=10-х, В ⊿АСН, СН²=АС²-АН², СН²=6²-х²=36-х, В⊿ВСН, СН²=ВС²-ВН², СН²=8²-(10-х)²=64-100+20х-х², 36-х²=64-100+20х-х²; х=3,6; СН=√(6²-3,6²)=√23,04=4,8; С(3,6; 4,8)-координаты точки С; О(5; -5)-координаты центра квадрата. Квадрат расположен под осью ОХ. ОС²=(Х(О)-Х(С))²+(У(О)-У(С))²; ОС=√((5-3,6)²+(-5-4,8)²)=√((1,4)²+(-9,8)²)=√(1,96+96,04)=√98=7√2, ОС=7√2. Ответ: ОС=7√2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@innaveltman5646]

Никогда не участвовала в олимпиадах. Что здесь одимпиадного? Пририсовать ещё 3 треугольника , получить квадрат 14×14, посчитать его полдиагонали: 7 sqrt2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. А как вам в голову пришло пририсовать? Осенило, яблоко, чуйка ... ? Я ведь сказал, что это олимпиадная классика. Первые два способа на технику, последний креативный. В этом суть олимпипадных задач, и если вы никогда не участвовали, то почему вдруг судите об этом?

[@GeometriaValeriyKazakov]

И так для интереса докажите, что центры этих квадратов совпадут, иначе на олимпиаде из 6 баллов получите всего 4. Кроме того, задача дается там в текстовом виде и сказано "на гипотенузе построен квадарат ..." Но не сказано в какую сторону. Так что вам придется рассмотреть еще один случай, когда точка C и O лежат в одной полуплоокости отн. AB. Итого: от ваших 6 баллов остается 2 б. И вы - без диплома. И зубрите ЕГЭ. Такая жизнь. Так что, лучше не давайте советы профи, а получайте удовольствие от его задач.

[@innaveltman5646]

​@@GeometriaValeriyKazakov Во- первых, я не давала советы. Во- вторых, не участвовала- не значит не решала. Вы же математик! В старшей школе задач с рисунками вообще не было. И я бы получила 6 из 6. Единственность центра доказывается от противного, подсчётом углов , каким- нибудь преобразованием. И я тоже профи, что делать. Я вижу. У меня всё это вращается в голове, практически все ваши задачи решаю устно, просто глядя на картинку. Задачи красивые, как в детстве. У нас сместили акценты в преподавании геометрии, по- моему, не в ту сторону. Надо менять. Олимпиады не люблю, имею право. По нескольким причинам.

[@AlexandraMarchenkova]

Так и надо было писать: "Никогда не участвовала в олимпиадах, но олимпиадные задачи щёлкаю как орешки". 😂 Не ленитесь, выкладывайте по-чаще результаты ваших щёлканий. Я, как тугодум, буду рада ознакомиться с изящными устными решениям и, особенно решением задач, которые вроде бы требуют вычислений не в уме, а на бумажке.

[@AlexandraMarchenkova]

​@@GeometriaValeriyKazakov Я люблю более подробное изложение, как говорится, от идеи в жизнь.😂 Только это для меня является настоящим решением. Мой лозунг: "Выложи и обоснуй". Тут можно и за руку поймать, если где-то допущена логическая ошибка. Есть повод и пошутить и подумать 🎉

[@second3160]

/ 3 часа назад Все олимпиадники должны знать в 7 классе, что центр О лежит на биссектрисе угла аСв /

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это хорошо получается после анализа углов в окружности. И после способа 3.

[@MonicaMariya1987]

Понравился 2 и3 способ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@comdo777]

asnwer=6cm lol

[@GeometriaValeriyKazakov]

!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Noy!

[@user-mn8io5xc2w]

расположить С в начало координат, и точку пересечения диагоналей найти, составив уравнения диагоналей квадрата. Получим систему 14у-2х=84 и 2у-14х=112 откуда решение (7;7) тогда расстояние 7sqrt (2) это то, как я решал, решения не смотрел, если честно

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!