La matematica 1. I numeri e il calcolo

[@thewronganswer]

0:00 - contributo video n.1: presentazione generale 2:14 - la domanda del neurofisiologo Warren McCullogh: cos'è il numero e cos'è l'uomo (che può capire il numero) 3:18 - interroghiamo le civiltà che hanno introdotto il numero: la domanda presente nel libro dei morti egiziano e la corrispondenza tra il numero e le dita. 4:34 - il problema di capire il legame tra la rappresentazione concreta del numero (es. il dito) ed il concetto astratto del numero 5:36 - le dita come primo strumento di calcolo: la corrispondenza biunivoca tra numero e dita e l'origine etimologica del concetto di 'digitale' alla base della moderna scienza e tecnologia informatica 7:47 - metodi per fare calcoli con le dita 9:13 - dita e sistemi numerici 11:25 - gli svantaggi dei calcoli basati sull'uso delle dita: la necessità di registrare i risultati dei calcoli 12:34 - contributo video n.2: lo sviluppo di metodi per la registrazione dei risultati di calcolo 14:55 - nascita dei metodi di calcolo: l'uso delle pietre (pietra=calcolo) di diverse dimensioni, forme, caratteristiche... 16:25 - i primi sviluppi nel paese egizio di Elam, le pietre rinvenute e la "bolla" di accompagnamento (ecco l'origine di questa espressione usata nelle spedizioni di merci e prodotti) 20:50 - dalle pietre ai segni: circa 5000 anni fa inizia la rappresentazione del numero con la nascita del linguaggio e della scrittura 24:33 - lo sviluppo (indipendente) presso la civiltà dei Sumeri del sistema sessadecimale: il retaggio di questo sistema nella comune misura degli angoli e dell'ora. 26:15 - contributo video n.3 - I sistemi numerici, i Babilonesi 29:23 - numeri in posizione. Sistemi numerici additivi: numeri romani 31:25 - nascita dei sistemi posizionali presso i Babilonesi, la potenza della base è determinata dalla posizione del simbolo, il problema di rappresentare "l'assenza" di una certa base. 33:55 - contributo video n.4 - La matematica degli antichi egizi 36:00 - i numeri e gli egizi 39:40 - i nomi dei numeri. L'uso delle parti del corpo 41:40 - l'invenzione dell'alfabeto da parte dei fenici 43:30 - uso dell'alfabeto per rappresentare i numeri 49:05 - la prima calcolatrice: l'abaco 52:24 - lo sviluppo del concetto di abaco da parte dei cinesi: il pallottoliere 54:29 - contributo video n. 5 - L'abaco 57:05 - la creazione dello zero e dei numeri negativi da parte degli Indiani, le influenze filosofiche 1:02:07 - lo sviluppo del concetto del nulla e dello zero in modo indipendente da parte degli Indiani e dei Maya

[@antoniofrancescato6737]

Complimenti Odifreddi, tutti i ragazzi dele medie dovrebbero essere obbligati a vedere questi video, prima di essere rovinati sa centinaia di biologi che insegnano soprattutto alle scuola medie, lì infarciscono solo di equazioni e gli fanno oduare la matematica, non avendone le conoscenze ne la visione storica. Se ne faccia Lei promotore. Grazie

[@ominollo]

E’ sempre un piacere leggere e ascoltare il prof. Odifreddi! Peccato che la divulgazione scientifica in Italia sia così carente.

[@mariannacilluffo838]

Sono felice di trovare su KZbin video come questo. Complimenti, interessantissimo. Ne vedrò certamente altri. Grazie.

[@ivavukadinova1208]

@@gladiatordision6168 bisogna essere dei dementi per rovinare una lezione del grande Odifreddi con un commento cosi idiota !

[@matildebianco7572]

@@gladiatordision6168

[@gigimancinelli]

1. La nascita del pensiero numerico 0:00 2. Il numero e la sua origine 1:40 3. Il primo strumento di calcolo: le dita 5:32 4. Tagli, nodi e grani 12:34 5. L'uomo inizia a fare i calcoli 14:47 6. Dalle pietre ai segni 20:40 7. I sistemi numerici 26:06 8. Numeri in posizione 29:18 9. La matematica degli antichi Egizi 33:49 10. I numeri e gli Egizi 35:50 11. I nomi dei numeri 39:37 12. Numeri e alfabeto 43:26 13. La prima calcolatrice 48:55 14. L'abaco 54:22 15. La creazione dello zero 56:58 16. La diffusione del nulla 1:01:59 17. L'egemonia degli Arabi 1:04:58

[@giampaoloagnella9026]

Buongiorno Prof. Grazie infinite per le sue lezioni !!! E per farmi appassionare nuovamente alla matematica

[@anwen17]

Video del genere andrebbero trasmessi a reti unificate h24

[@yuccayucca29]

Ma no!!! Poi il popolo bue diventerebbe intelligente! E tutto cascherebbe giù come un castello di sabbia....

[@CuccioloLives]

CONDIVIDO! Alla "giovane età" di 50 anni (con oltre 20 passati a studiare...) è la prima volta che sento il "metodo delle mani" per contare. Per mia fortuna i calcoli a mente mi vengono facilmente fin dalle "elementari", ma averlo saputo mi avrebbe fatto cmq piacere. Saluti e W i BRAVI professori!👍👍👍(che NON SOLO sappiano le cose, ma siano in grado di spiegarle!)

[@albertogricia5233]

⁰0

[@NablaSAR]

@@yuccayucca29 tu ritieni di essere un bue soltanto perché non ti hanno spiegato la Matematica?!

[@yuccayucca29]

@@NablaSAR scusa ma che c entra questo? Io parlo di popolo bue quando accendo la tv ( ormai sempre meno) e vedo il livello bassissimo di cultura. Veniamo nutriti da grande fratello vip, da isole dei famosi, quizzoni e cagate varie…cervello totalmente spento, niente cibo per i neuroni solo cicche da masticare. Mettere Odifreddi a reti unificate toglierebbe dal torpore le masse e questo darebbe fastidio. Odifreddi non parla solo di matematica..

[@GiuseppeBonfichi]

scusa piergiorgio, ho visto tutto il video e ho capito che sei molto bravo a spiegare e finalmente ho compreso la lezione. grazie di cuore❤️

[@cesarinamonga6436]

Fantastico Odifreddi é un piacere immenso ascoltarla grazie!

[@filosofogreco7889]

Ogni volta che vedo quest'uomo maledico il fatto che non è stato il mio professore di matematica al liceo.

[@martinodeangeli3940]

Ringrazia che non è stato il tuo professore, prova a fare una semplice moltiplicazione seguendo il suo primo esempio....6 x 7=42 se togli 5 da 6 viene 1.....poi togli 5 da 7 e viene 2....poi sommi 1+2 e viene 3.....cagata straordinaria!

[@metius66]

@@martinodeangeli3940 prima di arrivare alla tua conclusione "fantozziana": somma 1+2 +1(che è la prima cifra di 4×3) e accosta il 2 e il giochino funziona! vuoi provare con 6×6? Continua a funzionare se scorpori in 2 cifre il risultato della moltiplicazione....insomma: NON è una cagata pazzesca e ha ragione chi avrebbe voluto Odifreddi come professore mentre tu andavi a vedere la corazzata potemkin....

[@reshyn]

@@metius66 90 minuti di applausi

[@FaYtb00]

@@martinodeangeli3940 il calcolo che stai facendo è corretto, se in una mano ti rimane alzato un dito e nell'altra mano ti restano alzate due dita, sommale! Otterai 3, sono le decine. Prendile e mettile da parte. Fa 30. Adesso pensa alle dita chiuse, in una mano ne hai 4, (dove hai contato il numero 6) e nell'altra mano hai 3 dita piegate (dove hai contato il numero 7). Ora moltiplica 4 x 3 e ottieni 12, sommato al 30 fa 42. Il tuo ragionamento era inizialmente corretto ma ti eri "bloccato" aspettandoti un "4" dalla somma delle dita alzate ;)

[@claudiominelli4140]

Meraviglioso, dovrebbe essere presentato in tutte le scuole.

[@Sara-lk2yr]

Lezione bellissima... Grazie 😊🙏

[@atoutart73]

Wooooow io che ho difficoltà adesso a fare i calcoli e anche le tabelline per me sono difficili devo provare la tecnica delle dita 😊, credo mi sarà di grande aiutooooo, che bella scoperta il suo canale, credo che ascolterò tutti i suoi video

[@robertoincani]

Un interessantissimo riassunto di oltre un'ora sui numeri e quello che alcuni vedono (tra l'altro erroneamente) è che "7X6 e 6X6 calcolati con le dita non danno il risultato corretto" .... La prego, non si scoraggi Professore! 😪

[@martinodeangeli3940]

Eh già, se uno non riesce a fare l'operazione come spiegata dal professore ( dei miei cojoni ) ecco subito l'intelligentone che arriva a supporto leccando il culo al suddetto. Le decine, le centinaia, le virgole... allora facciamo una bella cosa, lasciamo perdere le cretinate e usiamo il regolo, oppure il calibro, o semplicemente una calcolatrice.

[@robertoincani]

CVD

[@antoniocarrese8339]

30 + 12 = 42 20 + 16 = 36

[@jacopokorompay3433]

Professore ma come mai ha fatto una cronostoria dei numeri e delle loro rappresentazioni senza mai parlare della virgola e del concetto di numero razionale? Sarebbe stato interessante capire i popoli di una volta come si approcciavano al rigurado.

[@francescogelio4451]

Un piacere da ascoltare! Ps. Qualcuno sa dirmi come si chiama la canzone al 0.13?

[@MatteoSorini]

Odifreddi ha sempre la capacità di tenermi incollato allo aver schermo. Grazie Professore

[@FantaClown]

Non me la dimentichero' l'origine della Bolla di Accompagnamento ! Bellissimo !

[@marisarossi8498]

Perfetto nelle sue spiegazioni! Grazie

[@dalm8714]

Ovvio...ogni matematico tende alla perfezione e alla pignoleria!

[@francoloccisrl3635]

Grazie per le belle lezioni e soprattutto ... per avermi spinto a vedere il film su Ramanujan. Ne avevo letto nel libro "L'enigma dei numeri primi" di Du Sautoy. Molto bello.

[@giuseppeambrosi4040]

(E' la prosecuzione dell'ultima risposta a che cosa è un numero?) La stessa OPERAZIONE del CONTEGGIO esprime la possibilità di rappresentare OGGETTI la cui TIPOLOGIA consista: a) di essere INSIEMI di 1 (UNI), b) la cui QUANTITA’ di 1 corrisponda sempre allo stesso NUMERO R che chiamiamo RAGIONE. c) Avremo chiaramente TIPOLOGIE DIVERSE quando utilizziamo RAGIONI DIVERSE. Consideriamo ora un INSIEME di OGGETTI appartenenti ad una particolare TIPOLOGIA suddetta, quella per cui R = Ri; Per conoscere la QUANTITA’ che rappresenta il NUMERO degli OGGETTI, possiamo utilizzare il PROCEDIMENTO del CONTARE come per gli OGGETTI appartenenti a qualsiasi INSIEME contenenti un qualsiasi TIPOLOGIA. Una OPERAZIONE di CONTEGGIO consiste nel prendere in considerazione un OGGETTO non ancora CONSIDERATO e nel farlo corrispondere al NUMERO NATURALE SEGUENTE, SUCCESSIVO nella CRESCITA NATURALE, rispetto all’ULTIMO già utilizzato all’operazione di CONTEGGIO ULTIMA precedente; questo NUMERO NATURALE rappresenta l’INDICE (che inizia col primo valore 1) dell’OGGETTO appena contato e NATURALMENTE le VOLTE in cui l’OGGETTO si è preso in considerazione. Dovremo considerare conclusa l’operazione di CONTA quando non avremo più OGGETTI DISPONIBILI in quanto gli appartenenti all’INSIEME sono stati già tutti considerati. L’ULTIMO INDICE RAPPRESENTA la QUANTITA’ degli OGGETTI. Una QUALITA’ della TIPOLOGIA considerata in precedenza è quella che gli OGGETTI siano sempre INSIEMI di 1 (UNI) e facendo parte della stessa TIPOLOGIA siamo nella possibilità di poterne eseguire l’OPERAZIONE di UNIONE. Quanto detto esprime che l’INSIEME di 1 (UNI) risultante è la stessa NOTAZIONE INSIEMISTICA della QUANTITA’ di 1 (UNI) che indico col N e l’INSIEME di 1 che lo rappresenta può essere disposto proprio per l’altra QUALITA’ che ciascun OGGETTO è un INSIEME di 1 (UNI) in QUANTITA’, cioè gli UNI dell’INSIEME si possono disporre in: FORMAZIONI RETTANGOLARI Niente, quindi ci impedisce di contare OGGETTI ciascuno costituito da uno stesso INSIEME di 1 (uni), cioè considerare un numero NATURALE (MOLTIPLICANDO) come fosse la TIPOLOGIA di OGGETTI da CONTARE. In questo modo potremo riconoscere la QUALITA’ di un numero NATURALE N, espresso in notazione INSIEMISTICA di essere un MULTIPLO di un altro numero NATURALE R, quando, avendoli espressi entrambi in notazione INSIEMISTICA risulta essere un modello di divisione esatta in SOTTOINSIEMI PARTI di N di cui anche l’ULTIMA PARTE corrisponde al MODELLO R. Un qualsiasi numero NATURALE N che sia MULTIPLO corrisponderà almeno ad una possibilità di rappresentare l’INSIEME di 1 (UNI) che lo costituiscono disposti in FORMAZIONE RETTANGOLARE costituito cioè: da RIGHE composte da 1 (UNI) disposti orizzontalmente e da COLONNE composte dagli stessi 1 (UNI) disposti verticalmente agli incroci fra RIGHE e COLONNE, con l’obbligo che sia le RIGHE che le COLONNE non siano costituite da un solo 1. NATURALMENTE avremo che la FORMAZIONE complessiva degli 1 (UNI) corrisponderà ad un RETTANGOLO solo se, obbligatoriamente, ogni COLONNA fosse costituita dallo stesso numero (QUANTITA’) di 1 (UNI) e se altrettanto avvenisse per ogni RIGA; infatti, l’INSIEME che rappresenta N trova piena corrispondenza con l’UNIONE dei SOTTOINSIEMI contenenti gli 1 (UNI) delle RIGHE o dei SOTTOINSIEMI contenenti gli 1 (UNI) delle COLONNE. Noto che l’espressione grafica RETTANGOLARE dei MULTIPLI corrisponde alla PROPRIETA’ COMMUTATIVA del PRODOTTO, cioè al PRINCIPIO ARITMETICO che: “scambiando l’ORDINE dei FATTORI il PRODOTTO non CAMBIA”. I MULTIPLI di 2 sono PARI che vuol dire che se N è MULTIPLO di 2 cioè: N è uguale alla SOMMA di M VOLTE 2 è anche uguale alla SOMMA di 2 VOLTE M; cioè per qualsiasi MULTIPLO di 2 esiste il suo Valor MEDIO M Nel caso in cui la QUANTITA’ di 1 (UNI) di ciascuna COLONNA fosse uguale anche a quella di ciascuna RIGA la FORMAZIONE corrisponde ad un QUADRATO. Diremo invece che N è PRIMO quando, avendo espresso il numero N in notazione INSIEMISTICA per qualsiasi numero NATURALE Mi, INFERIORE di N e diverso da {1}, risultasse essere impossibile eseguire UNIONE ricorrente dell‘INSIEME rappresentativo di un qualsiasi Mi per ottenere l’INSIEME rappresentativo di N; cioè: N=Σi=1N (1) è l’unica possibilità di ottenere N come somma di parti uguali. Un numero N è PRIMO quando esiste un solo modo per ottenerlo dall’UNIONE di (numeri NATURALI) PARTI fra loro UGUALI, cioè che ciascuna PARTE sia {1}. Sarà bene tener conto di tutte le DEDUZIONI LOGICHE oltre che dei VANTAGGI che conseguono dall’utilizzo dei NUMERI espressi in NOTAZIONE INSIEMISTICA perché da queste vedremo come si possano trarre altre NOTAZIONI per la rappresentazione dei NUMERI con altri VANTAGGI DIVERSI.

[@giovannigalli2362]

Che bella la Matematica...! Grazie Sommo Prof.

[@marcomarcolin4667]

Il prof. Odifreddi si segue che è un piacere.

[@rosaklebb6435]

Ho deciso di rieducare mia moglie alla matematica che ha fatto il classico e poi la profe di lettere come in Arancia Meccanica, legandola alla sedia e faendole vedere Oddifreddi

[@sergiocatalano7370]

hahhhaaah

[@melinamerlino5142]

Sempre molto piacevole.

[@dcastrog80]

Come si fa a scrivere ciclopentanoperidrofenantrene in endecasillabi?? Scherzi a parte... grazie professor Odifreddi. Sempre un piacere ascoltarla.

[@irmalatina5337]

E' possibile mettersi in contatto col prof. Odifreddi? Ho metodologia e questioni importanti da sottoporre alla sua attenzione. Sono ricercatrice dilettante. Provengo da formazione filosofica. Grazie per eventuale risposta.

[@fabiocurti9097]

ma quante ne sai Piergiorgio! complimenti... un pozzo di saggezza, tanta stima

[@Raimen-m7o]

Comunque mi sono appena iscritto 👍💯

[@IlicSorrentino]

Ancora, ancora, mettetene altri così...! 😋... La metto subito ai miei studenti, peccato io non sia il loro docente di matematica ma solo di Scienze Motorie.

[@adolfodegennaro4638]

A 80 anni mi sono appassionato ad un argomento che fino a poco tempo fa ritenevo noioso. Favoloso professore Odifreddi.

[@IlicSorrentino]

@@adolfodegennaro4638 Complimenti, non è mai troppo tardi per un po' di sana razionalità... in questo paese non ne abbiamo certo in abbondanza...! 👍

[@ivavukadinova1208]

Prof complimenti per tutto ! Mi saprebbe dire quando i popoli del far east hanno @scoperto@ lo ZERO. In Giappon e/ Cina ? Grazie

[@hermesnovazzi2641]

Molto interessante. Grazie mille dal Brasile.

[@jayjayita7649]

La nonchalance con cui il prof evita di riferirsi all'era comunemente detta prima di Cristo sostituendola con "prima della nostra era"... 😂 Prof a noi va bene anche "prima dell'era volgare" 😀😀😀

[@serenellapelaggi]

straordinario! il 'calcolo', la 'bolla', stupendo

[@AldoParente-b8h]

Bellissimo grazie

[@pinoloru]

Mille grazie Prof. Odifreddi una storia meravigliosa.❤️

[@marcelloriservati6985]

Video molto interessante. 👍

[@brunoghe]

Professore, lei conosce (ma temo che sia una domanda retorica) la "Storia universale dei numeri" di Georges Ifrah, uno dei libri più belli che io abbia mai letto?

[@carlobaroncini949]

Grazie, interessantissimo!!

[@Ottoross52]

Molto interessante. E siccome ho viaggiato in Oriente per parecchio tempo, porto testimonianza di 2 cose. 1) In thailandia ed India ancora si usano anche le falangi per contare cosa che faccio pure io visto che offre più possibilità. 2) Vedere un Cinese che usa l'abaco e fa calcoli anche complicati in pochissimo tempo è uno spettacolo. Ma devo dire che lo scoprire come fare le moltiplicazioni usando le dita è stato molto affascinante.

[@cescofran76]

grazie professore..adoro la matematica anche grazie a lei !

[@CuccioloLives]

Utilizzanto simpatici aneddoti, ha spiegato più cose Lui in poco più di un' ora, di tanti "insegnanti" di scuola dell' obbligo in 3 anni di "annoiate" lezioni. Credo che, PROPRIO per l' aritmetica, così ostica per molti, questa ora e un quarto potrebbe essere davvero illuminante! DATE ai nostri figli bravi insegnanti e avremo bravi studenti; dategli professori "noiosi e svogliati" e avremo "figli" svogliati e impreparati! GRAZIE Prof. Odifreddi👍, ma DOVE ERI 30 anni fa???😢😢 P.S. min 51:21 Credo che "abaco" non derivi dalla parola sabbia ma da tavoletta. Detto questo, è un errore veniale di una mente GENIALE!😉

[@marcorossi2182]

Grazie Prof. Odifreddi! :-)

[@cronachedaroma]

46:30 Il garbo di quest’uomo nel non pronunciare YHWH...

[@italy88ghr8]

Ci sono due tipi di spettatori di questo video: chi non aveva la minima idea di cosa rappresentasse la "Bolla" e chi mente...

[@andreacomignani1199]

Grazie prof la conosco per i libri di logica ma sto studiando anche storia filosofia, scienze etc

[@luigimontanaro141]

buongiorno Professore, volevo sapere per cortesi, su quale dei vostri libri potrei trovare gli argomenti trattati in questo video??

[@francospiga9447]

Abbiamo bisogno di un presidente della Repubblica. Io la vorrei come tale❤😉

[@Alfakkin]

Grazie mille per questo video 😍

[@massimopagano1797]

L'unica cosa che non apprezzo di Odifreddi è il taglio di capelli.

[@maradalsanto421]

Come si scrive il nome di colui da cui deriva la parola algoritmo????? Grazie se qualcuno mi risponde. Magnifica lezione mi sono sempre chiesta come fosse nata la matematica, ora sto imparando.

[@podifreddi]

it.wikipedia.org/wiki/Mu%E1%B8%A5ammad_ibn_M%C5%ABs%C4%81_al-Khw%C4%81rizm%C4%AB

[@giuseppeambrosi4040]

E' la prima prosecuzione dell'ultima risposta a che cosa è un numero? Ma che succede quando avrò esaurito i frutti della pianta disponibile? La potrò sostituire con un’altra che mi procura gli stessi frutti ma anche eventualmente frutti diversi di piante diverse. La sostituzione comporterà sicuramente azioni fisiche diverse ma il concetto espresso in precedenza che riguarda la SIMULAZIONE VIRTUALE rimarrà utilizzabile invariato. Proprio invariato? Potrebbe sembrare di no. Infatti, vorremo rappresentare in modo preciso e diverso l’eventualità che ciascuno di due canestri risulti riempito con QUANTITA’ diverse di frutti perché per la prima pianta ogni frutto è un arancio e per la seconda è un’anguria. Ma come abbiamo già detto all’inizio potremo parlare di quantità solo dopo aver riconosciuto l’IDENTITA’ degli OGGETTI che appartengono all’INSIEME che stiamo considerando. Allora, altre deduzioni. APPROFONDIMENTI sul concetto di QUANTITA’: Il concetto di QUANTITA’ è legato al riconoscimento di IDENTITA’ dell’OGGETTO e perciò potremo parlare di QUANTITA’ di OGGETTI in un INSIEME solo dopo aver definito il criterio per riconoscerne l’IDENTITA’; tuttavia le QUANTITA’ di OGGETTI contenuti in due o più INSIEMI sono confrontabili indipendentemente dalla IDENTITA’ di oggetti contenuti. L’uomo si è accorto di questa possibilità quando ha trasferito per la prima volta semplici problemi relativi a QUANTITA’ di OGGETTI sulle DITA delle MANI Semplificando al massimo non mi sembra possibile concepire un essere vivente senza attribuire allo stesso la propria POTENZIALTA’ di PERCEZIONE che lo renda CAPACE di fare DISTINZIONE fra sé stesso e l’ambiente NATURALE. Dobbiamo accettare la difficoltà insita nella semplificazione che risiede nella situazione che, quel sé stesso, fa parte dell’AMBIENTE NATURALE e la PERCEZIONE risulta modificata dal PUNTO di VISTA in cui l’ESSERE VIVENTE riesce a porsi. Spero di utilizzare al meglio la CAPACITA’ di OSSERVAZIONE che l’EVOLUZIONE NATURALE mi ha concesso, utilizzandola come STRUMENTO per capire. Entriamo nel merito: Ci conviene eliminare qualsiasi ambiguità nel modo di esprimerci: Un numero NATURALE è l’espressione simbolica della QUANTITA’ degli 1 contenuti in un INSIEME; quando un numero NATURALE corrisponde a un INSIEME costituito da una PLURALITA’ di 1, e non da un unico 1, avremo la POSSIBILITA’ di esprimerlo come UNIONE di INSIEMI ciascuno costituito da un solo 1. Allora, se riteniamo impossibile definire un INSIEME VUOTO perché un CONTENITORE VUOTO si potrà definire INSIEME solo quando conterrà un insieme di OGGETTI, diventa non POSSIBILE esprimere l’EGUAGLIANZA di un INSIEME contenente un solo 1 con una UNIONE di INSIEMI ma lo stesso risulta EQUIPARABILE solo a un altro INSIEME EQUIVALENTE cioè contenente ancora un solo 1. Poiché col numero NATURALE 1 facciamo riferimento all’INSIEME {1} che contiene un solo 1 diremo che il numero NATURALE 1 è non SCOMPONIBILE, INDIVISIBILE. Se riteniamo, come già detto, priva di significato espositivo l’esistenza di INSIEME VUOTO, non avremo possibilità di esprimere una QUANTITA’ di 1 inesistente e perciò per il numero 1 esiste unicamente l’EGUAGLIANZA: 1=1, {1}={1} che è la PROPRIETA’ RIFLESSIVA del numero NATURALE 1. Un qualsiasi numero NATURALE è per definizione l’espressione simbolica della QUANTITA’ degli 1 contenuti in un INSIEME; possiamo quindi confrontare due qualsiasi numeri NATURALI che indico con A e B esprimendoli col formalismo INSIEMISTICO e mettendo gli uni di A in corrispondenza 1 a 1 con quelli di B; potremo quindi dire che: - A=B quando l’operazione precedente esaurisce contemporaneamente gli uni dei due numeri. Questo significa che per ogni numero NATURALE vale la PROPRIETA’ RIFLESSIVA - A>B quando l’operazione precedente esaurisce prima di B rispetto a quelli di A. - A

[@giuseppeambrosi4040]

Il procedimento prosegue nello stesso modo per I numeri NATURALI successivi senza che possa essere posto LIMITE SUPERIORE. Il modo più immediato per indicare un numero NATURALE è esprimerlo con l’INSIEME degli 1 dai quali è costituito; avremmo quindi la SUCCESSIONE dei numeri NATURALI rappresentati in NOTAZIONE INSIEMISTICA: {1};{1,1};{1,1,1};…… I puntini hanno il significato di poter proseguire senza limite superiore a generare SIMBOLI NUMERICI cioè che sono utilizzabili per il confronto fra QUANTITA’ in quanto resi riconoscibili mediante i nostri organi di percezione e memorizzati e memorizzabili con il sussidio di operazioni celebrali. Dopo aver stabilito il criterio di appartenenza degli OGGETTI per i quali si vogliono riconoscere le relazioni confrontabili di QUANTITA’ in gioco, ogni simbolo precedente è funzionale all’intendimento di rappresentare le QUANTITA’ degli INSIEMI di OGGETTI mediante l’operazione di corrispondenza biunivoca (CONTEGGIO) degli stessi con i NUMERI come prima rappresentati. Per rendere efficace il criterio pensiamo che la figura costruita graficamente con gli 1 (uni) sia riferita con il simbolo rappresentativo (cavallo, pecora, sedia, matita, convegno, pensiero, arancio, anguria, ecc.) della TIPOLOGIA di OGGETTO, e che quindi è la modalità fissata in memoria simbolica che permette di compiere operazioni virtuali a distanza dagli oggetti reali che si esprimono trasformando VIRTUALMENTE con le OPERAZIONI ARITMETICHE le figure numeriche rappresentative invece o prima di trasformare concretamente le situazioni reali. Le mani e le loro dita si sono prestate a rappresentare un modello organizzato disponibile. I SOTTOINSIEMI di dita delle due mani confermano quanto detto in precedenza e danno, perciò, la possibilità di rappresentare sulle due mani quanto avviene concretamente operando sugli oggetti appartenenti ad INSIEMI di OGGETTI biunivocamente confrontabili con le QUANTITA’ dei SOTTOINSIEMI delle dieci dita delle due mani. Ogni DITO ha quindi assunto il significato di 1 nell’INSIEME MANO e può partecipare alle corrispondenze biunivoche con gli 1 di un qualsiasi INSIEME di OGGETTI costituito da non più di DIECI oggetti. L’esercizio continuato delle tecniche di conto sulle dita delle mani ha portato alla acquisizione piena dei concetti di QUANTITA’ e di NUMERO che la rappresenta, di modo che, le entità che li rappresentano assumono il significato di particolari OGGETTI (QUANTITA’ e NUMERO di DITA, cioè di UNI) che potranno rientrare ancora nelle logiche del CONTARE. Non credo che gli UOMINI abbiano fatto grandi manifestazioni di soddisfazione per essersi impossessati dei PRINCIPI di BASE dello strumento, ARITMETICA. Infatti, prima che si affermassero le TECNICHE ARITMETICHE saranno sicuramente esistite MODALITA’ ISTINTUALI che di rado fallivano; probabilmente proprio chi, usando l’ISTINTO, sbagliava più volte, si sarà posto il problema di escogitare MODALITA’ nuove più redditizie e perciò avrà dovuto sperimentare PROCEDURE e scegliere, fra queste, quella più VALIDA. L’UTILIZZO della PROCEDURA più VALIDA è stato l’ESEMPIO agli altri UOMINI per comportamenti diversi, sempre più spesso accettati perché anche più comodi. La preponderante moltitudine degli INDIVIDUI della SPECIE UOMO si è trovata ad usare i nuovi comportamenti apprendendoli in sostituzione degli ISTINTI come fossero questi, semplicemente perché il risultato si rivelava buono. Possiamo quindi, riconoscere che la SPECIE UOMO ha accelerato il proprio PROCESSO EVOLUTIVO NATURALE sospinta dalla propria CULTURA, pressoché completamente a produrre quei BENI che prima si procurava faticosamente utilizzando gli ISTINTI ma anche altri BENI perché comodi. Dovremmo anche interessarci di sapere se i nuovi ISTINTI soppiantando i vecchi abbiano fatto perdere allo strumento dell’EVILUZIONE UMANA qualcosa che riguarda la SOCIETA’ nel senso della sopravvivenza della SPECIE. Abbiamo soltanto il RISULTATO che è il NOSTRO SAPERE e la NOSTRA SOCIETA’. Ma torniamo alla ARITMETICA.

[@jackrussell7390]

Dopo me stesso, la persona piu intelligente e colta che conosco....

[@luigicasolari6440]

Grazie Prof: seguire le sue lezioni è davvero fantastico !

[@rossanaszamko7236]

Molto interessante, grazie prof. Odifreddi

[@claude8145]

I "non mi piace" sono di zichichi e adinolfi (o brosio).

[@ermesvio9082]

Ha ha ha!

[@paolorossi1956]

Queste cose andrebbero dette a scuola fino dai primissimi anni

[@francescoballetta7945]

Molto istruttivo e formativo. Grazie Prof Odifreddi e complimenti

[@nadiaciancilla8808]

Fantastico

[@dottclaudiopurpura4113]

μαθηματικός significa "incline ad apprendere"

[@lucianolamarca9697]

Non sempre i matematici sanno spiegare ( il mio professore al liceo faceva capire i numeri reali anche alle pietre) .Questione di capacità razionali e logiche.E lui aveva la cattedra di logica.

[@Gilgamee]

Bellissimo. Grazie.

[@francescospezzanoarchimove6226]

Grazie mille video incredibili

[@bruno68berretta53]

Complimenti. Chapeau

[@dvddvd4560]

È bellissimo vedere come gli antichi avevano una soluzione per i loro problemi quotidiani, e come queste soluzioni hanno permesso nuove soluzioni a sua volta

[@karimhassan9530]

Peccato che non si puo mettere un milione di like a questo video

[@matsy7450]

Bellissimo, grazie. E' un piacere ascoltarla, qualsiasi sia l'argomento.

[@tt60able]

Spero che gli insegnanti dalla 3a el. alle medie usino questo video come libro di testo.

[@micves8671]

Dunque siccome l'uomo ha dieci dita viene naturale pensare che il sistema decimale derivi da quello. Se fossimo stati dei cavalli, che hanno solo un dito-zoccolo, avremmo una matematica basata su un sistema binario di 0 e 1, come fanno gli informatici

[@kuroryudairyu4567]

Prof, quando ha tempo e voglia, potrebbe please rispondere a tutti coloro che credono che una collana rotei in senso orario ed antiorario per energie, mentre invece ignorano l'effetto IDEOMOTORIO, thanks 💪

[@anwen17]

Anche Polidoro se n'è occupato, se ti può interessare

[@uomoscarpia]

La cosa curiosa è che il sistema sessadecimale viene usato ancora in topografia

[@mariamele2731]

E la storia continua...un mistero che la mia mente non potrà penetrare?

[@redfelipe6565]

Un grazie al Professore.

[@mariellabosio136]

Grazie davvero, professor Odifreddi, una grande ammirazione per lei (da una cuneese) e che rimpianto non aver avuto insegnanti così

[@fabiomaggioni9761]

Video di un'ora fa, commenti vecchi di 3 anni. Ecco la relatività secondo Odifreddi.

[@martinodeangeli3940]

Effettivamente!....comincio a credere che più che un divulgatore sia un gran mistificatore....prova a fare 6 x 7 = 42 con il suo esempio, non quadra per nulla!

[@alessandrominoli4010]

@@martinodeangeli3940 3x1=3 (quindi 30) 3x4=12 30+12=42

[@poseydon321]

Grazie Professore, veramente bello, da divulgare!

[@geggiodeffi]

Bellissimo tutto ,meraviglioso direi ma fa sorridere il fatto di ricordare i sumeri,i babilonesi,gli Inca , i Fenici ecc. e poi nominare " la nostra era" pur di non dire "avanti Cristo"... A professo',mica mozzica!

[@luigiconte7323]

Molto interessante bravo prof

[@annalisamarafioti5210]

Ancora oggi, specialmente per bambini con particolari modalità di apprendimento,a scuola usiamo l'abaco,per rendere evidente il cambio tra unità e decine e poi da 9 decine al centinnaio

[@andreaforlani2262]

Perchè a scuola non iniziano a spiegare così la matematica??

[@lucianobatteri]

di chi è la voce narrante?

[@NablaSAR]

Sì, ma queste sono le basi della Matematica. L'alta Matematica è stata sviluppata esclusivamente nei Paesi europei (Inghilterra, Italia e Francia), così come la Geometria ha trovato i suoi più alti sviluppi soltanto a partire dai Greci. Teniamo sempre in considerazione la superiorità intellettuale dei Popoli europei, e releghiamo nei bassifondi della sottocultura quelli africani, asiatici e medio-orientali.

[@giuseppeambrosi4040]

Che cosa è un numero? Cercherò di dare una risposta epistemologica invece che storica, anche se le conoscenze storiche naturalmente aiutano. Rispondiamo a questa domanda spiegando a che cosa serve il numero. Il numero serve all’uomo a renderlo capace di operare le scelte vitali che lo accomunano a tutte le altre specie viventi, cioè: acquisita conoscenza mediante i propri organi di percezione dell’esistenza, nell’ambiente che lo circonda, delle cose che il proprio organismo gli chiede di acquisire o rifiutare per vivere, deve rendersi capace di operare scelte vantaggiose avvicinandosi alle prime in quanto favorevoli alla vita e allontanandosi da quelle sfavorevoli. Naturalmente la gradualità del favorevole e dello sfavorevole di ogni cosa rende tutto estremamente più complicato. Gli espedienti escogitati dalla vita sono di unire alla percezione di esistenza delle cose, le sensazioni del vivere dell’organismo che siano di piacere o dispiacere col risultato di attrazione o repulsione. Però, sia gli organismi viventi che l’ambiente in cui gli stessi vivono evolvono in continuazione e questo rende la dinamica dei cambiamenti dei percettori di piacere molto spesso in ritardo rispetto alle necessità capovolgendo il risultato di piacere e dispiacere rispetto alla vera necessità. Abbiamo quindi che il troppo stroppia e il poco indebolisce mentre per inerzia degli organismi il troppo può ancora piacere oppure il poco dispiacere. Questo esser fuori tempo degli strumenti naturali produce malessere. L’uomo si è creato lo strumento per riconoscere le proporzioni fra le cose esistenti nell’ambiente ed ha cominciato (in realtà è solo all’inizio di questa operazione complicata) a mettere in relazione le cose, opportunamente classificate, esistenti in ogni ambiente a misura d’uomo in modo diversamente ricorrente, quantificandole in assoluto e in proporzione e diventando così capace di farne storia di esperienza vissuta concomitante luogo per luogo con benessere o malessere. Il numero è quindi lo strumento per misurare le quantità degli INSIEMI di oggetti indipendentemente dagli oggetti che si stanno considerando e quindi senza essere influenzati dalle sensazioni di piacere o di dispiacere che abbiamo visto poter essere fallaci.

[@giuseppeambrosi4040]

La genesi del NUMERO NATURALE Il concetto di QUANTITA’ è legato al riconoscimento di IDENTITA’ di un OGGETTO e perciò: potremo parlare di QUANTITA’ di OGGETTI contenuta in un INSIEME solo dopo aver definito il criterio per riconoscerne l’IDENTITA’, cioè: l’appartenenza ad una tipologia che ne determina la possibilità o impossibilità di poter appartenere all’insieme; tuttavia, le QUANTITA’ di OGGETTI contenuti in due o più INSIEMI sono confrontabili indipendentemente dalla IDENTITA’ di oggetti contenuti nei vari INSIEMI. Nel tentativo di capire mi sono posto questa domanda: che cosa intendiamo dire con la parola UNIVERSO? Forse potrei chiamare OGGETTO UNIVERSO il risultato di questa mia operazione complessiva: eseguire per quanto ne sia capace, la percezione e deduzione di ogni cosa possa osservare al mondo in qualsiasi direzione e verso; allora alla fine dell’operazione che sarà stata UNIVERSALE non avrò la possibilità né di vedere un altro oggetto di uguale TIPOLOGIA UNIVERSO né di vedere oggetti che non siano già stati considerati nella OPERAZIONE UNIVERSALE e perciò potrò dire di avere definito il mio UNIVERSO e dire che è UNO. Come faccio allora a dire che un oggetto è UNO? Mi è venuta la strana idea di pensare a un organismo nascente e potergli domandare: che cosa possa essere per LUI l’UNIVERSO? Presumo che il bambino appena nato se potesse rispondere, direbbe che è il suo primo respiro, cioè la sua prima esperienza e che però man mano che le esperienze si susseguono, la risposta si ridimensionerà acquisendo nel suo UNIVERSO le nuove esperienze; allora per un essere vivente l’esperienza di tutte le esperienze raggiunte è il suo UNIVERSO ed è contemporaneamente l’INSIEME di tutte le esperienze fatte a partire dalla NASCITA. Risulta quindi che l’esperienza può essere collegata ad ogni data della vita a partire dalla nascita, ma possiamo delimitare l’esperienza facendola partire da una data che corrisponde ad un istante di vita e finire ad un altro istante dell’esistenza ed inoltre la stessa esperienza può essere collegata ad una attività; mi sono così accorto che l’esperienza è diventata un OGGETTO al quale mi posso riferire parlandone con altri individui che hanno la stessa esperienza e l’insieme delle percezioni e deduzioni ne forniscono la TIPOLOGIA e che le TIPOLOGIE definite in modo diverso permettono di far appartenere o non appartenere ogni OGGETTO ad un INSIEME la cui definizione perciò risulta legata senza eccezione alla TIPOLOGIA degli OGGETTI contenuti. Le considerazioni precedenti corrispondono a poter dire che se adottiamo il criterio di apporre un SEGNO su ciascun oggetto man mano che lo abbiamo percepito o dedotto avremo fatto in modo da non poter cadere nell’errore di percepirlo o dedurlo ancora una volta e potremo rispondere alla domanda di quante volte l’OGGETTO di quella TIPOLOGIA è contenuto nell’INSIEME presentando i SEGNI utilizzati. È chiarito così che QUANTITA’ ha il SIGNIFICATO di OGGETTI presi INSIEME e il NUMERO ha il SIGNIFICATO delle volte in cui si è eseguita l’operazione di prenderli INSIEME. Un NUMERO non è altro che il SIMBOLO proposto per quante volte un OGGETTO di una particolare TIPOLOGIA è stato preso insieme ad altri. Ben presto l’uomo ha compreso che il NUMERO è cosa diversa sia dall’INSIEME che dalla sua QUANTITA’ perché questi si riferivano agli OGGETTI tenuti insieme mentre il NUMERO unicamente ai SEGNI che danno indicazione di averli messi insieme ciascuno uno diverso ogni volta. Quando vengono raccolti i frutti dagli alberi è la stessa operazione di raccolta che obbliga a prendere un OGGETTO, il frutto, alla volta senza ripetizione ma rimaniamo nella situazione di non poter dare indicazione dei frutti raccolti senza ripetere l’operazione. Sappiamo che oggi ovviamo a questo inconveniente contando i NUMERI per ogni singola operazione di raccolta. La comodità attuale di contare i NUMERI è il risultato di un processo evolutivo che immagino possa essere stato il seguente: fare corrispondere il frutto raccolto con un SEGNO che, ad esempio, può essere una tacca su un pezzo di legno e quindi il risultato del raccolto dei frutti è tanti quanti i SEGNI, le tacche, sul pezzo di legno. Questo non è altro che quello che oggi chiamiamo criterio di rappresentazione INSIEMISTICO. Ma quale vantaggio abbiamo quando utilizziamo il SISTEMA DI RAPPRESENTAZIONE INSIEMISTICO se questo non è altro che la copia della REALTA’? MOLTISSIMI VANTAGGI.

[@giuseppeambrosi4040]

In conclusione, abbiamo riaffermato che vale senza ombra di dubbio quanto detto all’inizio: Potremo parlare di QUANTITA’ di OGGETTI contenuta in un INSIEME solo dopo aver definito il criterio per riconoscerne l’IDENTITA’, cioè: l’appartenenza ad una tipologia che ne determina la possibilità o impossibilità di appartenere all’insieme; tuttavia, le QUANTITA’ di OGGETTI contenuti in due o più INSIEMI sono confrontabili indipendentemente dalla IDENTITA’ di oggetti contenuti nei vari INSIEMI. L’uomo ha cominciato ad accorgersi di questa possibilità quando in conseguenza dei cambi di stagione o di territorio si è dovuto rifornire dall’ambiente in modo diverso ma sempre per le porzioni di cibo necessarie a nutrire la propria famiglia. Le quantità, quindi, risolvono il problema della sussistenza della famiglia quando ad ogni componente della famiglia corrisponde il contenuto della porzione di cibo soddisfacente in modo indipendente dal suo contenuto; si trattava però in ogni caso sempre di cibo. Ma i bisogni della famiglia potevano già riguardare altro rispetto al cibo, per esempio, ciascun componente ha partecipato sia alla raccolta della frutta munendosi di bastone e recipiente per raccogliere la frutta, sia alla caccia munito di un sacco da riempire con le pelli degli animali che gli sarebbero servite per coprirsi e soffrire meno il freddo….,ecc. e sia col cibo che con le pelli, che con ciascuno strumento si sono messi in relazione biunivoca a UNO a UNO con la medesima QUANTITA’ di COMPONENTI della FAMIGLIA. Le modalità precedenti ci hanno dato indicazione che se ogni componente la famiglia si reca a raccogliere il cibo per sé stesso; la famiglia avrà tanti canestri quanti sono i componenti della famiglia; è però incontestabile che bastoni, canestri e sacchi non sono roba da mangiare o per coprirsi. La pratica del vivere ha continuato a fornire esempi del concetto di QUANTITA’ distinto dagli oggetti messi in relazione; per esempio, in moltissimi casi quanto fatto da una PERSONA insieme ad un’altra PERSONA può essere fatto anche da una sola, ciascuna delle due, potendo usare le sue due MANI, questo mette in relazione le due MANI di qualsiasi PERSONA con qualsiasi insieme di due PERSONE ed anche con l’insieme delle due MANI di qualsiasi altra PERSONA ed infine anche con due canestri. Ho potuto esprimere questo concetto arzigogolato perché ho introdotto il concetto che gli INSIEMI messi a confronto corrispondono alla stessa QUANTITA’ che corrisponde alle volte di percezione degli oggetti negli insiemi diversi delle mani, delle persone e dei canestri corrispondenti cioè nel caso in esame percepiti in ogni caso per la QUANTITA’ di due volte. Per spiegarci compiutamente alla MANO sinistra corrisponde UN CANESTRO e alla MANO destra UN ALTRO CANESTRO e insieme: come DUE MANI così DUE CANESTRI. Ogni volta che per il contenuto di un INSIEME percepiremo un solo oggetto diremo che contiene la quantità uno. Ogni volta che per il contenuto di un INSIEME percepiremo in sequenza due oggetti diremo che contiene la quantità due. Il concetto di percepire in sequenza a UNO a UNO due oggetti è del tutto equivalente alla operazione con cui abbiamo in precedenza percepito due oggetti; è come dire cogliere un frutto dalla moltitudine dei frutti di una pianta e collocarlo in un canestro che al momento conterrà un solo frutto e dopo ripetere la stessa operazione con un altro frutto; avremo così eseguito l’unione di due frutti in un canestro che è l’INSIEME, che conterrà due frutti. Il fatto stesso di aver potuto esprimere quanto appena detto è significativo di essere in condizione come uomo (dico come uomo perché la mia esperienza è umana) di esprimere una successione di avvenimenti mediante l’apposita terminologia della lingua; però sono stato costretto ad introdurre altri termini nella terminologia già esistente oppure ad utilizzare in altro modo quella già esistente. La pianta risulta essere un INSIEME indefinito di frutti che potrò raccogliere per riempire il canestro le volte che ne avrò bisogno; è interessante la considerazione che so di averli a disposizione quando ne avrò bisogno. Che significa? Che posso far precedere quelle attività fisiche dal pensiero di farle e quando le avrò eseguite potrò constatare la piena corrispondenza del risultato con quanto concretamente realizzato. Per fare riferimento al concetto appena espresso mi riferirò allo stesso chiamandolo “SIMULAZIONE VIRTUALE”

[@alvarofedeli]

interessante

[@orlandinabellini395]

Bollla.di accompagnamento fantastico.! e poi tavolette che piu' conosciamo' e poi.... Quante cose non si conoscono che interesserebbero molto se sostituissero le varie baggianate televisive . Quanta intelligenza degli antichi viene oggi perduta

[@ghusollive1563]

Dobbiamo uscire da questa Europa il prima possibile

[@antoniomonaco3033]

Mitico prof

[@soniaborghini9478]

4x9 con le dita..non l'ho capito.Scusi ma continuerò a seguirLa!

[@corradoblondi9792]

Ah ma il fregarsi a vicenda in Italia è proprio una cosa storica allora.

[@paultheta9973]

Paul Theta In YT Le ali del brujo...ho messo in breve e piccolo manuale per fare un esperienza di O.B.E.,per chi volesse. Namastè.

[@libxsem]

👍

[@marcobaldari7031]

Dire che i Babilonesi avevano un sistema numerico a base 60 e posizionale e poi esemplificarlo con numeri scritti in base 10 come si fa in questo filmato (al minuto 32:10) non ha senso ed e' fuorviante. Per scrivere 900 in base 60 i babilonesi avrebbero dovuto scrivere qualcosa che indicasse "15 sessantine", no ? Sarebbe dunque bene mettere nel filmato un esempio reale della loro notazione, magari evitando di provarci proprio con il 900 (15 sessantine e 0 unita'), visti i problemi con lo 0 ...

[@giuseppeambrosi4040]

Nel sistema in base 60 tutti i numeri inferiori a 60 comunque abbiamo deciso di scriverli devono essere considerati cifre come siamo abituati a fare col sistema decimale con 1,2,3,4,5,6,7,8,9; lo 0 ha due funzioni quella di rappresentare la potenza di 10 nella scrittura posizionale di modo che 10 significa (9+1) uni e 10+5 =15 significa quindici uni come anche 25= (2x10) +5 allo stesso modo nel sistema in base 60 il 15 anche se scritto in sistema decimale per comodità, deve essere inteso come la cifra (15) e perciò l'unico modo per scrivere 900 decimale nel sistema in base 60 è (15)0. In qualsiasi sistema numerico un numero deve corrispondere aduna unica modalità di scrittura,

[@giuseppeambrosi4040]

Quindi d'accordo

[@Anton-fw2wb]

Questa lezione è utile per far capire che la scrittura, derivata dai primi segni grafici ha un valore tecnico; è uno strumento pratico utile per l'immagazzinamento e le transazioni commerciali, oppure, per condividere procedure tecniche matematiche. La parola non è nata col compito di indagare il mistero o l'essere trascendente delle cose. È un significato che ha assunto solo in seguito per effetto dei benefici percepiti, prodotti dal sistema tecnico sulla società in termini di benessere e longevità. Per comprendere "dio" o l'essere del mondo, o la verità, la parola è uno strumento insufficiente. E qui c'entrano gli ingannatori, i maghi e i sacerdoti associati al potere regale.

[@luigimontanaro8695]

grande Prof :)

[@SonusVolvebatur]

conplimenti per quell'articolo vomitevole che ha scritto sulla stampa di montagnier

[@aranbenjo2695]

1:01:50 in Indiano. Sarebbe più corretto dire in sanscrito, visto che non esiste l'indiano come lingua

[@Nelka-el8jk]

🎉

[@harisuno3295]

Bellissima lezione e bellissima idea fare una intera serie sulla matematica. Grazie Prof.

[@filipporabito3765]

Minuto 19 in poi.......C'è collegamento con le monete

[@marcoromano6475]

Che lezioni affascinanti! Grazie professore!