33. Rotação de Eixos. | Geometria Analítica.

Nesta aula nós vamos determinar como fazer uma rotação de eixos.
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[@filipecomaccio9376]

Olha professor Aquino.... Mesmo após 10 anos do lançamento do vídeo ele me ajudou bastante, ainda mais agora que estou cursando engenharia elétrica pela UFG, o trabalho que o senhor fez é de excelente qualidade, parabéns.

[@LCMAquino]

Obrigado Filipe!

[@Rafaelsilva-o3o]

Professor Aquino vim agradecer ao sr pela qualidade muito boa das aulas, elas estão sendo uma chave muito boa pra completar meus estudos de geometria analítica

[@LCMAquino]

Fico feliz em saber disso!

[@pauloslferes]

Prof. Aquino; tive que ajudar a minha filha a resolver um problema de geometria cuja solução era a intersecção de duas parábolas. A primeira parábola estava bonitinha ( aprumada no eixo y ). A segunda estava inclinada e distante da origem da primeira . A sua aula foi fundamental para eu fazer a equação da segunda, rotacioná-la e transladá-la para a origem da primeira. Obrigado

[@WendyAlex100]

Gosto muito do seu canal. Senti a vontade de deixar uma crítica para que ele fique ainda melhor: Mesmo sabendo que é matemática básica, seria de grande ajuda se tivestes estendido os passos que te levaram ao desenvolvimento em 8:10, visto que é um assunto que requer um pouco de técnica (alunos que estão tendo o primeiro contato com matemática de ensino superior costumam confundir ao separar os termos certos para colocar em evidência, uma expansão nos passos e um aprofundamento de visão ajudaria bastante). Apesar disso foi a melhor aula de rotação de eixos que encontrei no KZbin, bom trabalho.

[@LCMAquino]

Olá Wendy, obrigado por sua crítica.

[@tiagoafonso3675]

Concordo bastante, diverso momentos tinha que pausar o video pedir ajuda a alguém pra desenvolver as equações e isso dificultou um pouco,mas de resto tá ótimo.

[@LCMAquino]

Alguns cursos de Geometria Analítica são construídos utilizando um foco matricial. Nestes cursos, a rotação é aplicada baseada em um produto de matrizes (que pelo que parece você acha "mais simplificado"). Entretanto, o meu curso de G. A. (como tantos outros) não segue este foco matricial. Eu (bem como outros autores) prefiro deixar este foco matricial para a disciplina de Álgebra Linear, na qual também são abordadas as rotações.

[@crownwell12]

Nossa cara, muito bom, e o melhor é que tenho prova dessa matéria ai amanhã e estava meio perdido, valeu :D

[@LCMAquino]

Fico contente que tenha gostado da videoaula. Eu espero que ela possa lhe ajudar.

[@FreudArvoreSeca]

Obrigado professor! , seus vídeos são ótimos, sua ajuda é divina!

[@LCMAquino]

Eu fico contente que tenha gostado da videoaula!

[@ederdourado9884]

Parabéns professor, Deus te abençoe.

[@LCMAquino]

Não importa qual é a cônica. O procedimento será o mesmo! Se você seguir o mesmo procedimento irá obter a reposta.

[@IaggoCorreia]

Explicação bem detalhada, bom video!

[@LCMAquino]

Olá Iaggo, valeu! :)

[@LCMAquino]

Na videoaula "35. Geometria Analítica - Aplicação da Mudança de Coordenadas", eu exibo a relação cos 2α = (A - C)/(A1 - C1). Já que você tem A, C, A1 e C1, usando essa relação você pode obter o ângulo de rotação.

[@MsBrunoveloso]

Muito boa a aula! Obrigado

[@Boooommerang]

Sensacional o seu vídeo!!!!!

[@LCMAquino]

Na verdade, tanto faz! Você escolhe "qual é qual" conforme sua conveniência (ou conforme o formato exigido no exercício). O que acontece é que cada escolha estará associada a um ângulo de rotação. No caso do Exemplo 1, a escolha A1 = -4 e C1 = 16 implicará em uma rotação de 60°, já a escolha A1 = 16 e C1 = -4 implicará em uma rotação de 150°. Como foi ilustrado no Exemplo 1, isso mudará apenas o formato da equação reduzida e o sistema de coordenadas, mas a cônica em si não é alterada.

[@LCMAquino]

Sim, eu pretendo. Veja mais informações sobre meu projeto no video "Apresentação do Canal". Para acessá-lo, entre na página principal de meu canal, no endereço youtube[ponto]com[barra]LCMAquino.

[@AlanAlmeidadeAndrade]

Obrigado, e teria como saber facilmente qual angulo foi escolhido ou como no X maior escolheu o menor angulo ou tem que desenhar no grafico para ver o angulo?

[@LCMAquino]

Obrigado!

[@andrevasconcelos9568]

Olá Professor! Gostaria de saber se voce pretende fazer aulas de algebra linear tambem? Abraços, e sucesso ai pra voce.

[@daniel_san3123]

Mestre, sobre 13:08, recomenda algum material para eu entender melhor o provesso da dedução desse resultado de A1 e C1 como raízes da equação dada pela matriz?

[@LCMAquino]

Eu não tenho uma indicação com a dedução pronta desse resultado, mas dá uma olhada nas dicas que deixei nessa postagem: www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=19&t=4059

[@LCMAquino]

Obrigado! :)

[@lekcity85]

Muito bom professor

[@AlanAlmeidadeAndrade]

Na resolução final, eu acho A1 e C1 usando a equação simplificada, mas como são duas raizes, qual é qual, a maior fica em A1 ou é o contrario?

[@LCMAquino]

No fim da videoaula eu comento uma forma de reduzir a quantidade de cálculos. Mas não se iluda: efetuar uma rotação de eixos é trabalhoso de qualquer maneira. Por favor, vide o que foi abordado na videoaula "35. Geometria Analítica - Aplicação da Mudança de Coordenadas".

[@wesleymdo]

Muito bom.

[@joaovictorboaratideoliveir9566]

Professor Aquino, poderia me explicar na parte 4:57, como chegou nos valores de x1 e y1?

[@LCMAquino]

Na parte 4:57 temos o seguinte sistema de equações: x = x1cos(α) - y1sen(α) y = x1sen(α) + y1cos(α) Desejamos isolar x1 e y1 nesse sistema. Eu vou mostrar como isolar x1. Vamos multiplicar ambos os lados da primeira equação por cos(α). Além disso, vamos multiplicar ambos os lados da segunda equação por sen(α). Vamos ficar com: xcos(α) = x1cos²(α) - y1cos(α)sen(α) ysen(α) = x1sen²(α) + y1sen(α)cos(α) Somando os membros dessas duas equações, veja que vamos ficar com: xcos(α) + ysen(α) = x1cos²(α) + x1sen²(α) Colocando x1 em evidência, temos que: xcos(α) + ysen(α) = x1(cos²(α) + sen²(α)) Agora usando a identidade trigonométrica fundamental cos²(α) + sen²(α) = 1, podemos escrever que: xcos(α) + ysen(α) = x1 Pronto! Temos x1 isolado. Para isolar y1 o procedimento é semelhante. Nesse caso, podemos multiplicar ambos os lados da primeira equação por -sen(α) e multiplicar ambos os lados da segunda equação por cos(α). Tente fazer essas contas. Se ficar com dúvida, comente aqui.

[@joaovictorboaratideoliveir9566]

Sensacional professor!!! Estou aprendendo GA por conta própria pela minha curiosidade e beleza que vejo nessa matéria.. e você está me ajudando muito com seus vídeos! Gratidão prof!

[@joaovictorboaratideoliveir9566]

Consegui isolar o y1 também

[@LCMAquino]

Muito bem! Eu fico feliz que minhas videoaulas estejam lhe ajudando a estudar Geometria Analítica.

[@naosoutaobom3855]

(1)Para eu resolver exercícios de rotação no qual é pedido o Ângulo, eu tenho que toda vez, substituir o x por aquela expressão da rotação, desenvolvê-la e fazer aqueles coisas todas ou posso ir direto por essa expressão da tg2a??

[@LCMAquino]

Isso é você que escolhe o que fazer. Ambos os caminhos são válidos.

[@victorbastos2954]

Muito boa

[@LCMAquino]

Exatamente sobre qual parte da videoaula (minuto e segundo) você está com dúvida?

[@naosoutaobom3855]

Se num exercício uma cônica tiver transladada e rotacionada ao mesmo tempo, para eu resolvê-la, nesse caso, tenho que substituir os coeficientes de xy , x e y por 0?

[@LCMAquino]

Não é simplesmente "substituir" os coeficientes originais (ou seja, do sistema "antigo") por 0. Você precisa determinar a translação e a rotação de tal modo que no sistema "novo" os coeficientes dos termos lineares e do cruzado sejam 0.

[@luanadesousapereira6176]

que questão é essa!!!

[@regis023]

como eu uso as identidades trigonométricas para reescrever a equação? fiquei perdido nessa parte

[@andrel4dw]

tendi foi nada, vou pegar dp em GA mesmo..

[@LuizFernando-je2lx]

KJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ EU

[@superlivelyrics2463]

pegou?

[@LuizFernando-je2lx]

A p3 deu ruim, bora pra sub terça kkkk

[@GladsonVBraga]

minha prova é em 28 minutos, hoje é dia 26/06/2019, 17h32. vou pegar dp. boa tarde a todos

[@frreis]

@@GladsonVBraga Espero que esteja fazendo uma boa prova, mano

[@gravebrasil5146]

professor estou procurando aqui em varios vidoes uma materia >>> é atraves de uma matriz (cosΘ - senΘ) (aΘ bΘ) senΘ cosΘ bΘ/2 cΘ minha professora passou para prova mas nao entendi, espero que possa me ajudar, ou recomendar um video seu que fala sobre o assunto

[@LCMAquino]

@SoundeXtremeBR , procura aqui no KZbin por '"matriz de rotação". Eu não usei no meu curso de G.A. essa abordagem matricial.

[@gravebrasil5146]

@@LCMAquino obrigado

[@joaohelio3768]

Gostaria de saber se Existe um método mais simplificado para a resolução. Obrigado.

[@gabrielecampelodealmeida3414]

Professor e para achar o novo foco depois da rotação?

[@LCMAquino]

Você usa a equação no novo sistema. Por exemplo, se a equação da hipérbole no novo sistema for (x1^2)/8 - (y1^2)/2 = 1, então temos que a^2 = 8 e b^2 = 2. Lembrando que c^2 = a^2 + b^2, temos que c = sqrt(10). Portanto, os focos no novo sistema serão F1 = (-sqrt(10), 0) e F2 = (sqrt(10), 0). Ficou mais claro? Comente aqui.

[@gabrielecampelodealmeida3414]

@@LCMAquino siiiiim, muito obrigada professor

[@VaiSemNomeMermo]

quando depois do desenvolvimento aparecem tbm termos c x1 e y1 igualo a 0 tbm para removê-los?

[@LCMAquino]

Olá Ewerton, para eliminar os termos lineares (isto é, do tipo x1 e y1), por favor veja a videoaula "32. Translação de Eixos. | Geometria Analítica." (kzbin.info/www/bejne/fWS5fmNqpt1mr5Y).

[@jgabrielfes]

Luis, tenho q fazer uma questão em q da os focos e percebo que a elipse esta rotacionada e transladada. Como faço para achar o angulo?

[@LCMAquino]

Olá Nonin, para tirar dúvidas sobre exercícios que estão fora das videoaulas eu recomendo um fórum mais geral, como o www.ajudamatematica.com.

[@beneditomiguel7865]

A tangente de dois alfa é igual a menos raiz de 3, então dois alfa seria 60 ou 150, não alfa. Se poder explicar eu agradeço! Valeu pela aula, ajudou mt.

[@LCMAquino]

Olá Benedito Miguel, como tg(2a) é igual a -raiz(3), temos que o ângulo 2a está no segundo quadrante ou no quarto. Note então que 2a é igual a 120° ou 300°. Portanto, o ângulo a é igual a 60° ou 150°, como foi indicado na videoaula.

[@beneditomiguel7865]

Ah, agora entendi LCMAquino. Obrigado LCMaquino, parabéns pelo excelente trabalho!

[@CyelAngelCGE]

tem como você colocar um exemplo com elipse

[@carlosfelipe53]

o angulo alfa não seria de 30° graus ? visto que é tag(2ø) = -√3, então 2ø= -PI/3, logo ø = -PI/6, estou certo ou fiz besteira ? kkkkk

[@LCMAquino]

Prezado Carlos, como tg(2ø) = -√3, temos que o ângulo 2ø está no segundo ou no quarto quadrante (já que o resultado da tangente desse ângulo é um número negativo). Dos conhecimentos de trigonometria, sabemos que tg(120º) = -√3 e tg(300º) = -√3. Desse modo, temos que 2ø = 120º ou 2ø = 300º. De onde obtemos que ø = 60º ou ø = 150º. Para entender melhor esse desenvolvimento, eu recomendo que você faça uma revisão sobre a resolução de equações trigonométricas.

[@carlosfelipe53]

peguei o raciocínio, muito obrigado

[@Marcelotop]

Aquino. Como faço para rotacionar um ponto, em torno de um vetor no R3?

[@Marcelotop]

A única forma que consegui até agora é ir multiplicando o vetor pelas matrizes de rotação para colocá-lo em um eixo do sistema de coordenada, rotacionar em cima do eixo, e depois multiplcar as matrizes inversas para levá-lo ao ponto de origem novamente + rotação. Existe alguma forma mais simples?

[@LCMAquino]

Olá Marcelo, faça uma pesquisa sobre Fórmula de Rodrigues. Por exemplo, veja a página 16 do material homepages.dcc.ufmg.br/~vgs/downloads/cg/04-transformacoes.pdf.

[@RGLMSALVADOR]

Olá Professor,gostaria de ver a resolução do último slide.Há algum vídeo ou link com a resolução?Obrigado

[@LCMAquino]

Olá Roberto, eu não gravei um video com esta resolução. De qualquer modo, é um ótimo exercício de trigonometria. Eu dei algumas dicas e lembretes nesse link: www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=19&t=4059

[@gutodarruda]

+LCMAquino como você achou os valores de 2raiz(2) e -2raiz(2) em 11:15

[@LCMAquino]

Olá Augusto, note que no sistema x1Oy1 a hipérbole tem equação x1^2/8 - y1^2/2 = 1. Qual é a interseção dessa hipérbole com o eixo x1? Ora, para descobrir isso basta fazer y1 = 0 em sua equação. Faça então as contas e você encontrará x1 = 2raiz(2) ou x1 = -2raiz(2). Se a dúvida continuar, poste aqui.

[@gutodarruda]

LCMAquino Ahhh, agora faz todo o sentido. Obrigado, foi de muita ajuda.

[@pancada2010]

Muito bem explicado.... mas oh coisa longa.... cansativa..... mas obrigado por ter explicado...

[@LCMAquino]

+Wanderley Tiowann, de nada. :)

[@jhonatancarvalho5978]

se eu tiver no plano os seguintes pontos, (1,1) e (-1,-1) depois de eu rotacionar como fica ?

[@LCMAquino]

Olá jhonatan carvalho, para tirar dúvidas sobre exercícios que estão fora das minhas videoaulas por favor use um fórum mais geral, como o www.ajudamatematica.com. Desde já agradeço sua compreensão.

[@fabiocosta2589]

Por favor, pode esclarecer de onde saiu o termo -20cosa.sena. xy, nao consegui entender.

[@LCMAquino]

Olá Fábio, você teria que desenvolver toda a equação que aparece aos 8:02 da videoaula. Por exemplo, do termo 11(x1cos(α) - y1sen(α))² irá aparecer -22x1y1cos(α)sen(α). Já do termo (x1sen(α) + y1cos(α))² irá aparecer 2x1y1sen(α)cos(α). Desses dois termos, teremos então -20x1y1cos(α)sen(α).

[@patriciadomingos4092]

Gente pelo amor do senhor, de onde saiu esse -20? Me perdi bem ai😢

[@LCMAquino]

Você fala de -20 que está no termo -20cos(α)sen(α) aos 8:08 da videoaula? Note que desenvolvendo a equação antes dessa parte na videoaula, na primeira expressão vai aparecer -22cos(α)sen(α)x1y1 e na última expressão vai aparecer 2cos(α)sen(α)x1y1. Quando colocar x1y1 em evidência vai aparecer -20cos(α)sen(α).

[@rodrigoappendino]

Não entendo porque ele usou "tabelas" em vez de usar matriz de rotação, aplicando um assunto que ele explicou antes.

[@LCMAquino]

Olá Rodrigo, eu prefiro desenvolver o curso de Geometria Analítica sem utilizar a representação matricial da equação das cônicas (e consequentemente sem usar a matriz de rotação). Entretanto, alguns autores preferem utilizar a representação matricial. Principalmente quando a disciplina de G. A. vem junto da disciplina de Álgebra Linear (que é o caso em alguns cursos de graduação). Utilizar ou não a representação matricial é uma questão de preferência pedagógica (ou até de contexto do curso).

[@estudoseprojetos9636]

É possível aplicar este conceito em um braço mecânico como este? kzbin.info/www/bejne/maOtiYiir69sZ5o

[@LCMAquino]

Olá Leandro, sim, é possível. Neste vídeo que você indicou é bem provável que o programa esteja internamente usando esses conceitos (além de outros, claro).

[@renatosilva8794]

infelizmente tem que estudar isso.

[@olevisampaio]

Não seria 22 ao invés de 20?

[@LCMAquino]

Você fala no termo -20cos(α)sen(α) aos 8:08 da videoaula? Note que desenvolvendo a equação antes dessa parte na videoaula, na primeira expressão vai aparecer -22cos(α)sen(α)x1y1 e na última expressão vai aparecer 2cos(α)sen(α)x1y1. Quando colocar x1y1 em evidência vai aparecer -20cos(α)sen(α).

[@olevisampaio]

@@LCMAquino obrigado, prof se poder depois fazer um passo a passo depois desse exemplo vai ajudar muito, grato!