15. Posição relativa entre Retas. | Geometria Analítica.

[@frazao-dutra]

valeu professor por disponibilizar isso de graça, os professores da faculdade são uns vaidosos e o senhor envia esses vídeos explicando com toda calma e atenção, muito obrigado.

[@LCMAquino]

Oi Pedro, de nada! Uma observação: eu também sou professor de faculdade, mas não sou vaidoso. 😉

[@geovannaholanda9815]

Não canso de admirar o trabalho feito pelo professor, é evidente sua dedicação e o resultado é um trabalho objetivo, simples e de fácil compreensão, meus parabéns! Professores como você nos inspiram a continuar.

[@LCMAquino]

Muito obrigado!

[@tronicway1]

Nossa, salvou minha vida! Não entendi nada que a professora passou. Obrigada!!!

[@viktorjohannes1725]

parabéns e obrigado amigo, essa iniciativa tem sido uma mão na roda pra mim. é ótimo ter um tutorial sem desperdício de tempo quando o assunto é grande.

[@LCMAquino]

Olá viktor johannes, fico feliz que as minhas videoaulas estejam lhe ajudando! (:

[@LCMAquino]

Prezado Leonardo, o ideal é que a seção de comentários da videoaula seja utilizado para tirar dúvidas sobre os exercícios/textos específicos da própria videoaula. Para outros exercícios ou dúvidas, eu recomendo um fórum de discussões mais geral, como o Ajuda Matemática (por favor, vide o que eu indiquei em "Geometria Analítica - Apresentação do Curso"). Desde já eu agradeço sua compreensão quanto a isso. Vale lembrar que o endereço deste fórum é "ajudamatematica . com".

[@LCMAquino]

Obrigado pelos parabéns. Quanto ao exercício, não é necessário encontrar o cosseno do ângulo entre as retas. Ao invés disso, basta seguir o roteiro proposto na videoaula. Mas se você decidir seguir esse caminho, encontrará cos alfa = 4raiz(65)/65 (e não o que você disse). Já que esse cosseno é diferente de 1 e de -1, temos que alfa não é 0° e nem 180°. E como as retas estão no plano, temos que elas são concorrentes. Note que não precisamos determinar o valor de alfa, mas apenas de seu cosseno.

[@LCMAquino]

Escolhendo dois pontos quaisquer da reta, podemos determinar um vetor diretor para ela. Note que por conveniência vamos escolher os pontos que forem mais fáceis de calcular! Nesse sentido, escolhendo x = 0, podemos obter y = 1/6. Portanto, já temos o ponto A = (0, 1/6). Em seguida, escolhendo y = 0, obtemos x = 1/4. Temos então o ponto B = (1/4, 0). Agora basta calcular o vetor diretor representado pelo segmento orientado AB. Ou seja, temos que dr4 = B - A = (1/4 - 0, 0 - 1/6) = (1/4, -1/6).

[@douglascarvalho9470]

Ah entendi melhor agora, obg

[@LCMAquino]

Por favor, vide as indicações na videoaula "Geometria Analítica - Apresentação do Curso".

[@LCMAquino]

Obrigado por seu comentário! :)

[@Milanyjs0]

As videoaulas estão me ajudando bastante, até indiquei para outros colegas. Parabéns, Professor! Grata! = )

[@LCMAquino]

As aulas sobre distâncias ainda serão enviadas. Assim como outras aulas sobre posições relativas. Para saber a ordem dos conteúdos, por favor vide a ementa exibida na videoaula "Geometria Analítica - Apresentação do Curso".

[@wagnercfernandes]

Muito boa explicação, tá de parabéns!!!

[@LCMAquino]

Eu presumo que você esteja falando sobre o Exemplo 2. De fato, como 6 = 7 é uma falsidade temos que as retas são reversas naquele caso. Por outro lado, você também poderia substituir os parâmetros nas equações das retas. Substituindo t = 2 na equação de r, temos o ponto P = (-1, 2, 6). Já substituindo m = 1 na equação de s, temos o ponto Q = (-1, 2, 7). Como P e Q são diferentes, concluímos mais uma vez que r e s não possuem interseção.

[@MarcusVinicius-so7qy]

Caralho, se eu tivesse vindo procurar antes aqui não ia ter pego exame, explica bem demais. Ótimo trabalho Mestre !

[@LCMAquino]

Olá Marcus, valeu! :)

[@Allybonny05]

Muito bom, belo vídeo antes de um prova final de geometria analítica. Vlw !!!

[@LCMAquino]

Fico contente que tenha gostado! (:

[@theobaldolindolfo1547]

Professor faço o curso de licenciatura em matemática presencial, estou fazendo como desafio, pois nunca fui bom, mas também nunca detestei. Apreciável e formalidade clássica vejo que o senhor apresenta.Todavia fico intrigado guando mostra o resultado, sem antes mostrar como fez para chegar, pois falo isso já que eu tenho uma percepção visual. Mas desde de já agradeço a sua contribuição, pois vetores em livros são complicados e sua aula serve como apoio extra classe. Abraço...

[@LCMAquino]

+Theobaldo Lindolfo, obrigado por seu comentário. A estratégia pedagógica de "não mostrar como chegar" é proposital. A ideia é que a pessoa tente desenvolver as partes que faltam, para assim desenvolver sua aprendizagem. E caso haja alguma dúvida nesse processo, basta deixar aqui nos comentários!

[@alanya.oliveira]

excelente explicação!! ;) ta me ajudando mtu!! obgda por disponibilizar esses videos, um verdadeiro tesouro!

[@LCMAquino]

Olá Mateus, obrigado por avisar. De fato, há um erro de digitação no momento indicado. Onde há "esses sistema" deveria ser "esse sistema". Eu vou colocar um balão de anotação no vídeo. Quanto a Cálculo III e Álgebra Linear, estes cursos serão abordados no futuro. Por favor, vide o que foi exposto no vídeo "Apresentação do Canal".

[@prof.abelteixeira7257]

Muito bem organizada a exposição da aula. 👏

[@LCMAquino]

Obrigado! 😃

[@LCMAquino]

Olá Milany, obrigado por sua indicação! Eu fico contente em saber que as minhas videoaulas estão lhe ajudando. Eu espero que elas possam ajudar seus colegas também.

[@tejairo]

Olá LCMAquino,primeiramente parabéns pela iniciativa e realizada com a maior qualidade. Uma dúvida no exercício proposto, onde desejamos conhecer a posição relativa entre r1 e r2, eu devo encontrar o cosseno do ângulo certo!? posso admitir que módulo de dr1 . dr2 sobre módulo de dr1 multiplicando o módulo de dr2, assim encontramos 4 sobre raiz de 75, racionalizando chego em 4 multiplicando raiz de 3 sobre 15. Esse raciocínio está correto? e este valor de cosseno não consegui encontrar.

[@MATEUSLEAO10]

13:09 - o correto seria "esse sistema não tem solução". Video-aulas muito interessantes. No futuro, há possibilidade de terem video-aulas de Cálculo III e/ou Álgebra Linear?

[@kristyemanuelfontes7168]

Gostei, professor. Obrigado

[@edsonluizdourado5866]

Muito bom, obrigado por compartilhar.

[@ernanieugeniobaltazarferre101]

Parabéns pelo trabalho Professor.

[@LCMAquino]

Valeu Ernani! :)

[@kamyllaferreira1885]

Aula muito boa!

[@LCMAquino]

Sim, você está correto. Mas ao que parece você está fazendo confusão com o seguinte trecho do texto da videoaula "coincidentes: dr = k*ds e há um ponto em comum entre r e s". Note que não foi dito "há *apenas* um". Ora, se existem infinitos pontos em comum, é claro que podemos afirmar que "há um ponto em comum". O que não poderíamos afirmar seria que "há apenas um ponto em comum".

[@petebest8682]

Professor, em 1:46 se as retas são paralelas e coincidentes todos os pontos de uma serão pontos da outra e então elas terão mais do que um ponto em comum? Ou estou errado? Grato pelas video-aulas!

[@felima999]

Olá Professor, primeiramente parabéns pela iniciativa e qualidade do trabalho. Após assistir a aula 16, tive um pensamento para o Ex 2 deste vídeo (15) que acredito estar correto. Mas ainda sinto certa insegurança. No momento de formar o sistema (que caso verdadeiro apontaria a existência um ponto em comum entre r e s) em vez de substituir x, y e z pela soma presente na equação de s, achei mais simples substituir simplesmente pelo ponto (1,0,2) formando 1=-2+m; 0=5-3m; 2=8-m. Isto está correto?

[@LuanCMoreira]

Olá novamente professor. Fiquei com um pouco de duvida, na parte de achar se as retas reversas tem um ponto em comum. Eu igualo as duas retas, com as duas primeiras equações eu "achei" os valores de "m" e "t" e depois "substitui" na terceira equação em que da 6 = 7, como esse valor é falso eu já posso afirmar que essas retas não são reversas? E para achar esses pontos em comum, eu posso também substituir cada valor de seu parametro na sua equação da reta como no próprio sistema, certo? TKS.

[@luispaulo2075]

Consegui entender, obrigado.

[@tejairo]

Obrigado pelos esclarecimentos!

[@RisadariaTotal]

Professor, como o senhor chegou a t = 2 e m = 1 em 13:00 ?

[@LCMAquino]

Na segunda equação do sistema, temos t = 5 - 3m. Substituindo t na primeira equação do sistema, obtemos 1 - (5 - 3m) = -2 + m. Resolvendo essa equação, obtemos m = 1. A partir daí, usando t = 5 - 3m, obtemos t = 2. Por fim, temos que testar se m = 1 e t = 2 é solução da última equação do sistema (o que no caso não é, indicando então que o sistema não tem solução).

[@LCMAquino]

Colocando a equação das retas na forma simétrica, temos que r : (x - 1)/(-1) = y/1 = (z - 2)/2 e s : (x + 2)/1 = (y - 5)/(-3) = (z - 8)/(-1). O que você está chamando de "o valor tem que ser igual as 3 igualdades"? E depois você diz que "no primeiro já não é igual ao segundo". Do que você está se referindo? Por favor, explique um pouco mais a sua dúvida.

[@eduardosilva351]

Aquino, no último caso, para verificar se as retas são reversas, eu poderia isolar o parâmetro m e colocar na forma simétrica para verificar se as retas tinha um ponto em comum? Obrigado!

[@LCMAquino]

Eduardo Silva, Não sei no que isso vai lhe ajudar, pois para verificar se há ponto em comum você teria que analisar o sistema exibido aos 12:23 da videoaula. Mesmo que você colocasse a equação de s na forma simétrica, depois você teria que montar o sistema do mesmo jeito.

[@eduardosilva351]

LCMAquino É verdade, não tinha percebido isso, é que eu confundi com o feito no minuto 6:43

[@LCMAquino]

Sim, esta é a regra.

[@shanks6544]

Professor, o primeiro exercício, dividido em itens a,b e c, eu fiz através do plano cartesiano. Eu marcava o ponto correspondente as coordenadas x0 e y0 e depois o ponto correspondente as coordenadas do vetor d que como vimos tem que ter a mesma direção que a reta r. Depois disso eu apenas ligava e teria a reta r representada. Fiz assim e deu certo, o senhor poderia me dizer se fazendo desse modo eu poderia ter complicações em outros exercícios ou esse modo também é uma alternativa para a resolução desse tipo de exercício ?

[@LCMAquino]

Olá +Rodrigo Alves, a rigor, confiar tão somente num desenho pode levar a erros. Sua visão pode lhe pregar peças e retas aparentemente não paralelas podem ser na verdade paralelas. Se você procurar por "ilusões de ótica" vai encontrar vários exemplos disso.

[@jonasrufino7823]

Aula excelente, como sugestão o senhor poderia dizer em que nível cada exercício está.

[@LCMAquino]

Olá +Jonas Rufino, acredito que o nível dos exercícios está compatível com os dos livros citados como bibliografia do curso (veja a lista de livros na videoaula "Apresentação do Curso. | Geometria Analítica.").

[@vitoriamalu8856]

Obrigada por esse vídeo maravilhoso

[@LCMAquino]

De nada, Vitória!

[@cesarestaemcasa3159]

Olá amigo,eu estou tendo muita dificuldade para estudar cálculo e GA.E gostaria que você me desse uma dica de como ser produtivo em cálculo e em GA. desde já agradeço.

[@LCMAquino]

Olá Josué, dá uma olhada no que eu discuti nesse vídeo: kzbin.info/www/bejne/onaWlZ9pnsylprc Acho que lá tem umas dicas que podem lhe ajudar! De qualquer modo, fique firme no estudo aí! Nesse momento inicial todo o conteúdo de Cálculo e G.A. pode parecer "pesado", mas com estudo e prática você vai superar!

[@ouagaby]

Prof, em 5:02, por que dr1 é (-1,2)? eu pensei que o d seria metade de -1,2 (que acompanha p t)

[@LCMAquino]

A reta r1 no exercício está com sua equação no formato vetorial. Nesse formato, um vetor diretor da reta vai aparecer multiplicando o parâmetro t. Para ficar mais claro isso, eu sugiro que você veja a videoaula sobre equações da reta: kzbin.info/www/bejne/qpXRpIp7psyfnLs .

[@LCMAquino]

Isto está errado. Pense mais um pouco: o sistema que você montou serve *apenas* para verificar se o ponto (1, 0, 2), que pertence a r, também pertence a s. Mas note que se esse ponto não pertence a s, não significa necessariamente que as retas r e s são reversas, já que o ponto de interseção poderia ser um outro diferente de (1, 0, 2).

[@programacaojajava]

Professor, muito bom a sua explicação! Entretanto, não entendi quando vc fala que "para todo escalar k" kr1 é diferente de kr2, sendo que eu poderia achar um k pertencente aos reais que faça essa igualdade valer. Fiquei confuso. Aguardo sua resposta. Abraço.

[@LCMAquino]

Olá Mateus, você se refere aos 5:00 da videoaula? Se este for o caso, temos que dr1 é diferente de kdr2 para todo escalar k. Note que temos dr1 = (-1; 2) e dr2 = (2; 3). Não importa o valor do escalar k que você escolher, sempre teremos que (-1; 2) será diferente de (2k; 3k).

[@skateboard2910]

13:00 - Se os valores encontrado para m e t satisfazem duas das três equações e se não atender a uma terceira. Automaticamente eu posso afirmar que esse sistema não tem solução professor? A regra seria: encontrar dois valores q satisfaçam duas equações inicialmente, se esses valores atenderem a terceira equação, esse sistema tem solução. caso não atenda a uma equação, o sistema não tem solução. É isso? Obrigado!

[@CyberneticEagle]

Professor em 8:50, nesse caso sempre temos que atribuir x e y = 0?

[@LCMAquino]

Olá +RizukeGoldslein, nem sempre. Você poderia escolher outros valores. Por exemplo, escolhendo x = 1 na equação de r4 ficamos com 4·1 + 6y - 1 = 0, de onde obtemos y = -1/2. Teríamos então o ponto (1; -1/2). Já escolhendo, por exemplo, y = 2 na equação de r4 ficamos com 4x + 6·2 - 1 = 0, de onde obtemos x = 11/4. Teríamos então o ponto (-11/4; 2). Note que o vetor diretor ficaria dr4 = (-11/4; 2) - (1; -1/2) = (-15/4, 5/2). Agora perceba que esse vetor diretor tem a mesma direção do vetor dr4 encontrado na videoaula.

[@ruanwilliam1]

Professor queria tirar uma dúvida, pois na prova dos pontos na reta reversa, ao invés de fazer todo o sistema, apenas peguei o ponto P da reta " r " e substituí na equação da reta s, mesmo assim o resultado foi igual, está correto se caso faça assim?

[@LCMAquino]

Olá Ruan Willian, não está correto que você faça assim. Se você pegar o ponto P = (1, 0, 2) da reta r e substituir nas equações da reta s, você vai chegar na conclusão que P não pertence a reta s. A partir disso você pode afirmar que r e s são reversas? Não! Porque o fato de P não pertencer a reta s não implica diretamente que r e s são reversas. Por exemplo, as retas poderiam ser concorrentes e isso acontecer.

[@ruanwilliam1]

Obg professor, ajudou muito !!

[@ione010203]

se um exercicio pede..... Analise a posição relativa entre retas r: x-2/2 = y/3 = z-5/4 e s:{ x=5+t y=2-t z=7-2t o que eu devo fazer??

[@eu23]

conseguiu?

[@marcelomartins8676]

Em 7:12, você colocou errado os valores da reta R1 em R3 para verificar se são paralelas e coincidentes não colocou? O vetor diretor R1 era (-1 ; 2) e vc jogou em em R3 como sendo (1; 2) estou correto?

[@LCMAquino]

Cuidado para não fazer confusão! Eu coloquei o PONTO (1, 2) da reta r1 na equação da reta r3. Não confunda esse ponto com o VETOR DIRETOR (-1, 2) da reta r1. Ficou mais claro?

[@LCMAquino]

Obrigado. Eu faço o melhor que posso para disponibilizar uma videoaula de qualidade!

[@bmchd-up3cj]

Na letra C do exercício 1 não entendo pq dá o par ordenado (1/4, -1/6)... Meu Y= +1/6 e não negativo

[@LCMAquino]

Olá b. mchd, note que dr4 = (1/4; 0) - (0; 1/6) = (1/4; -1/6).

[@guibarreta1993]

professor não entendi porque subtrai.

[@guibarreta1993]

deixa pra lá agora entendi, equação cartesiana hehe

[@LCMAquino]

Qual seria a parte "mais chatinha"?

[@marianemendes4403]

ola , gostaria de saber pq o valor pra y no vetor diretor da reta r4 fica negativo (-1/6) pois quando passo o -1 para o outro lado ele fica positivo. agradeço desde já

[@LCMAquino]

Olá +Mariane Mendes, como A = (0; 1/6) e B = (1/4; 0) são dois pontos de r4, temos que o vetor AB é um diretor de r4. Ou seja, temos dr4 = AB = B - A = (1/4; 0) - (0; 1/6) = (1/4; -1/6).

[@marianemendes4403]

Muito obrigada!

[@NetinhoOpi]

Para determinar se existe um ponto em como entre as retas , do ultimo exercicio , se colocarmos na forma simetrica o valor tem que ser igual as 3 igualdade , certo ?! mas no primeiro já não e igual ao segundo logo , a interseção e vazio , ou sja nao existe ponto , são reversas , esse raciocionio está correto

[@NWplayBR]

Mano mostra a resolução vei. Fica foda assim. Mas fora isso aula foi boa.

[@LCMAquino]

+NWplayBR, a ideia é que o próprio aluno tente completar a resolução. Desse jeito ele pode aprender mais. Caso fique alguma dúvida nesse processo, basta perguntar aqui na seção de comentários.

[@denadaisicari]

LCMAquino muito bom!!

[@LCMAquino]

Obrigado Danilo de Nadai Sícari​! :)

[@LCMAquino]

Não há uma videoaula específica sobre isso.

[@CyberneticEagle]

Professor, no ultimo exemplo nao consegui achar os valor de t= 2 e m = 5

[@LCMAquino]

Olá +RizukeGoldslein, escolhendo as duas primeiras equações do sistema, temos 1 - t = -2 + m e t = 5 - 3m. Substituindo o t na primeira equação, note que teremos 1 - (5 - 3m) = -2 + m. Ou seja, teremos 1 - 5 + 3m = -2 + m. Arrumando essa equação, ficamos com 3m - m = -1 + 5 - 2. No final, teremos m = 1. Substituindo então m na segunda equação original, ficamos com t = 5 - 3·1 = 5 - 3 = 2.

[@paulom8305]

Professor, no 8:28 acredito que o senhor errou, pois o vetor diretor de r4 é (1/4,1/6) e nao (1/4,-1/6).

[@LCMAquino]

Para determinar o representante do vetor partindo de (0, 1/6) e chegando em (1/4, 0), note que devemos efetuar a operação (14/, 0) - (0, 1/6), que terá como resultado (1/4, -1/6).

[@brunoevil5]

Como eu calculo esses Drs?

[@LCMAquino]

Olá +brunoevil5, analisando a equação da reta que for dada. A partir da equação, você precisa saber extrair o vetor diretor da reta. Eu sugiro que você estude o formato das equações para saber reconhecer o vetor diretor. Veja a videoaula "13. Equações da Reta. | Geometria Analítica." (kzbin.info/www/bejne/qpXRpIp7psyfnLs)

[@Moisevic]

Professor pq o vetor diretor de r4 ficou (1/4 e -1/6) sendo que o calculado deu 1/6 positivo?

[@LCMAquino]

Moisés Brian, lembre que se desejamos encontrar um vetor indo de P até Q (ou seja, PQ), devemos calcular Q - P. Sendo assim, o vetor dr4 indo de (0; 1/6) até (1/4; 0) será dado por dr4 = (1/4; 0) - (0; 1/6), de onde obtemos dr4 = (1/4; -1/6).

[@pauloricardovalentim1585]

LCMAquino olá professor suas aulas são ótimas ,no exemplo q deu vc partiu de P até Q,sendo assim Q-P ,não poderia partir de Q para P? assim invertendo sentido será que ficaria errada a resposta ,se puder responder fico grato desde já,um abraço !

[@LCMAquino]

Olá Ricardo Valentim​, não teria problema. Partindo de Q para P teríamos o vetor QP. Isso não mudaria a resposta final do exercício (ou seja, a posição relativa entre as retas).

[@pauloricardovalentim1585]

Mais ae o vetor diretor seria (-1/4,1/6 ) e mesmo assim não mudaria a resposta ?

[@LCMAquino]

Olá Ricardo, as retas r2 e r4 continuam concorrentes. A resposta não muda. Faça um esboço das retas e dos vetores diretores para exercitar.

[@josedasilva8484]

professor nao entendi o por que de 1 meio.

[@LCMAquino]

Você se refere aos 06:18 da videoaula, onde aparece dr1 = (1/2)dr3? Se aí está sua dúvida, note que o produto do escalar 1/2 pelo vetor (-2, 4) será igual a (-2*(1/2), 4*(1/2)), ou seja, (-1, 2).

[@viladocarlinhosmaia4295]

Eu to ficando doido com esse curso de engenharia civil se eu soubesse teria dado a vaga pra outro espermatozoide 😭

[@lucastavares4888]

no final compensa

[@enoquerocha1424]

muito bom

[@brunaluizabeloni6355]

Meu dr2xdr4 não deu 0, fiz o det da matriz e deu -16k/12. Refiz mil vezes e não consegui encontrar esse resultado.

[@LCMAquino]

Olá Bruna, ao que parece, você está tentando fazer um produto vetorial quando na verdade temos o produto interno: dr2·dr4 = 2(1/4) + 3(-1/6) = 1/2 - 1/2 = 0.

[@brunaluizabeloni6355]

LCMAquino ah sim! Era mais simples do que eu imaginei, obrigada

[@lucastavares4888]

polado é você?

[@LCMAquino]

Olá Lucas, não. Eu sou o Prof. Aquino.

[@SuperAndrewalker]

não seria t -1 = -2 +m ?

[@LCMAquino]

Olá +André Walker, não seria. Por favor, reveja seus cálculos. Se a dúvida continuar, então poste aqui.

[@SuperAndrewalker]

LCMAquino percebi meu erro. Obrigado!

[@ramon1930]

LCMAquino Professor que livro vc indicaria com essa matéria de R3?

[@lannanovais4280]

CARALHO esse assunto é bem dificil

[@madson_luis]

Muito boa sua aula, só acho q poderia ser um pouco mais simples o modo de falar, para melhor entendimento '-'

[@LCMAquino]

Olá Madson, fico contente que tenha achado boa a minha videoaula. Quanto ao "mais simples", infelizmente isso é algo muito relativo. O que é "mais simples" para você pode não ser para outra pessoa (e vice-versa). De qualquer modo, tenha certeza que eu sempre tento expor o conteúdo com a máxima precisão que eu consigo e da maneira mais acessível. Obrigado por seu comentário e espero que minhas videoaulas possam lhe ajudar!

[@adrianaadriana6976]

Alguém em 2020??

[@EremGames]

Eu To Com Pena De Mim, Eu Nao Entendi Nada!!. É Minha Prova Na Escola E Hoje!! #EstouFerrado!!

[@LCMAquino]

Olá Erem Games, esta aula é voltada para o Ensino Superior e não para o Ensino Básico. Seria interessante você assistir uma aula voltada para sua etapa escolar. Eu acredito que isso possa ajudar!

[@EremGames]

obrigado!!!

[@fuibancontafake3057]

Se você planeja entrar pra área de Exatas depois do ENEM, se prepara, que Geometria Analítica é umas 100x pior do que o quê você escuta sobre Cálculo 1.

[@EremGames]

FuiBanContaFake obrigado pela dica

[@rodrigoresbi]

meu deus algebra linear é muito chataaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

[@joaomarquezini9478]

eu n entendi oq ele falava fala de uma maneira mais coloquial pelo amor de deus

[@BeatrizSantos-ys1kl]

tanta explicação e não entendi nada !!

[@sannyalves3674]

gostei um pouco da sua aula.. sem querer ser chata.. mas.. podia fala direito, pq parece um robô e isso atrapalha..

[@LCMAquino]

Bem, eu estou falando direito, mas sem gírias ou vícios de linguagem. :/

[@natanaeligor5531]

Esse cara da muito sono, meu Deus!!!!!

[@LCMAquino]

Olá Natanael, o jeito é tomar café ou mudar de professor. Ainda bem que tem várias opções no KZbin. :)

[@guilhermeandrade401]

Odeio matemática pqp

[@LCMAquino]

Que pena! 🙁 Com ela podemos fazer coisas incríveis! Toda a tecnologia atual foi desenvolvida usando (muita!) Matemática.