Le théorème de Goodstein | Infini 14

Le théorème de Goodstein est un étrange théorème qui concerne les nombres entiers naturels bien finis, mais dont la preuve nécessite de sauter à pieds joints dans l'infini...
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[@ElJj]

Une analogie que j'aime bien (due à Delahaye) qui permet de se faire une idée du fonctionnement de la "machine" de Goodstein est celle d'un compte à rebours (de la forme h:m:s) qui, chaque seconde, diminue de une seconde (logique), mais où chaque seconde, la durée en seconde d'une minute augmente (et la durée en minutes d'une heure augmente). Ainsi, si on lance ce compte à rebours depuis 1 minute et 3 secondes, il affichera 00:01:03 (avec 1 minute = 60 s) puis 00:01:02 (avec 1 minute = 61 s) puis 00:01:01 (avec 1 minute = 62 s) puis 00:01:00 (avec 1 minute = 63 s) puis 00:00:63 on peut se convaincre de ce compte à rebours finira bien par atteindre 0 après un certain temps, même si les "minutes" sont de plus en plus longue.

[@jercki72]

je t'aime :)

[@InstrumentalStudio]

Excellent !

[@houssam7930]

😧

[@seiryn3082]

Le sujet me rappelle un peu le théorème de l'hydre que vous avez couvert.

[@SavageJunky]

c'est fou a quel point je comprend rien mais je peut pas m'arreter de regarder tellement c'est interessant...

[@jeremyplu5772]

SavageJunky ta raison. ;)

[@rogerfoxtrot4306]

Moi je comprendre tout moi.. mais j'en fait rien.. bah c Pas mieux.. je vais le prendre comme prof..

[@papiseckfr]

bah c cela la beaute

[@Khwartz]

Toujours Aussi Impressionnant En Qualité Didactique ! :) J'adore ta façon de "mettre du drame" dans tes explications :D ainsi que ton Humilité :P

[@ClaraCougoulat]

Bonjour, je suis en L et je ne sais pas ce que je fous la...

[@jonhdoe4119]

Clara C. En effet... Qu'est-ce que tu fous en L ?

[@eminnaranji3322]

POPOPOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

[@pab-millionnaireen5ans724]

Plus grand que le nombre de Graham ? Ouah, ça fait mal... M'enfin bon je suppose que dès qu'on commence à s'intéresser aux nombres transfinis le nombre de Graham devient alors ridiculement petit ^^ En tout cas, super évolution du contenu comme des sujets au cours de la chaîne, continue comme ça !!

[@quentinsarrazin5721]

Très bonne vidéo ! Cette suite de Goodstein me fait penser au problème de l'hydre de Kirby..., la démonstration est assez similaire d'ailleurs.

[@Elara_____]

Toutes tes vidéos sont formidables Lê, je ne m'en lasse pas depuis que j'ai découvert cette chaîne, comme quoi même des matières que certains peuvent trouver barbantes peuvent nous faire rêver...

[@chillselect4995]

Un petit KZbinr parle de toi " Professeur Culture Précieuse " Et tres bonne video au passage meme si je ne suis pas en mesure de vérifier se que tu me dit ^^

[@qvdm8906]

Salut, je ne poste pas souvent de commentaires youtube (je fais parti de la masse silencieuse :p ) mais quand je vois un excellent travail, en particulier en math et en physique, j'ai envie de le féliciter ! Actuellement je suis des cours de Master en Sciences physiques à l'Université libre de Bruxelles (en Belgique) et j'ai été surpris de voir avec quelle rigueur, simplicité et envie tu arrives à expliquer les thèmes super compliqués. Tu as déjà pensé à une carrière d'enseignant à l'université ? Enfin, bref je te souhaite un bon courage pour la suite !

[@malogsr3959]

génial !

[@Micky_Tick]

Passionnant

[@rservajean]

Super vidéo !! ("controversé")

[@sentenzablondin8996]

Super vidéo, j'ai envie de bien comprendre les maths je suis en ba1 polytech en Belgique que me conseille tu ?

[@Mylok_]

O_O o_o ._. .. . *aled*

[@LesCrocsSepulcraux]

besoin d une petite explication,si possible : Pourquoi la suite An traitée ici est strictement décroissante alors que on voit au début que cette suite est croissante puis décroissante?

[@augustinvoisin-marras6235]

salut super vidéo comme toujours. seulement, il me semble qu'en base 3 les seuls chiffres sont 0, 1 et 2 de la même manière qu'en base 2 on a 0 et 1 etc...

[@MagicSerwyn]

Chouette vidéo :) La conclusion de Goodstein signifie-t-elle qu'il existe un modèle dans lequel l'Arithmétique de Péano est consistante et pour lequel la suite ne tombe pas à 0 ?

[@chamb6509]

Serwyn On ne peut pas prouver qu'elle tombe à zéro... Ça veut pas dire prouver qu'elle n'y tombe pas! (personne n'a prouvé ça il me semble...)

[@MagicSerwyn]

chamb6 Ce n'est pas tout à fait la question ^^' Après réflexion je pense qu'en effet certain modèle de l'arithmétique non standards peuvent satisfaire l'opposée du theoreme de Goodstein. Il me semble d'ailleurs que le théorème de complétude énonce que les formules prouvables dans une theorie sont exactement les formules vraies dans tous les modèle de la théorie.

[@le_science4all]

Excellente question !! D'après le théorème de complétude de Gödel, la réponse est oui ! Par contre là, je marche un peu sur des oeufs... J'ai envie de dire que ces modèles ont forcément des branches parallèles, mais j'ai peur de dire une connerie ^^

[@Nasreddiin]

@Science4All: les bétises sont excellentes comme les paradoxes. Grace à eux, on avance... ;)

[@jeremyplu5772]

c'est vrai mais il en existe déjà 1 qui fait la taille d'un arrêt de bus déjà très puissant! mais au fond tu a entièrement raison.

[@gdmw09051994]

Superbe vidéo comme d'habitude! :D Mais je me demandais quelque chose: penses-tu qu'on peut tenter de prouver la conjecture de Syracuse, en utilisant un procédé, qui ressemblerait à celui utilisé pour la preuve du théorème de Goodstein? =)

[@le_science4all]

Héhé... Moi j'en sais rien. Mais ça ne me surprendrait pas si l'arithmétique ne suffisait pas à prouver la conjecture de Syracuse... voire si toute la théorie ZFC ne suffisait pas...

[@gdmw09051994]

Ouais tu n'as pas tort, ça ne m'étonnerait pas non plus ^^ Comme dirait Paul Erdös: " les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes" x)

[@florentperiat8619]

Si la conjecture de Syracuse est décidable, je verrais plutôt une démonstration par l'absurde de la fonction inverse, ou de sa surjectivité.

[@nopainnoglucide7498]

TOP !

[@michelthayse5928]

Ce qui est vraiment étonnant c'est qu'à première vue (et je dis bien à première vue) il semble qu'on peut décrire le comportement des ordinaux utilisés dans la suite de Goodstein avec de la simple arithmétique (de Peano). J'ai donc du mal à me convaincre que l'on ne peut prouver ce théorème dans l'arithmétique de Peano, (mais je fais confiance en la rigueur de la chose et des mathématiciens qui l'ont vérifié, cette vérification dépassant mes compétences).

[@SpectreVocal]

Bonne vidéo ! Merci. La chaine est super intéressante et très pédagogique ! Par contre, je croyais qu'en base 2, il n'y avait que les chiffres 0 et 1 (d'où 2 en base 2 s'écrirait 10). Etc pour toutes les autres bases.

[@algorythmis4805]

Bah c'est ça en fait. Il s'est planté.

[@dranoel8177]

Algorythmis non non pas du tout, en base 2 ce sont les facteurs des puissances de 2 qui valent 0 ou 1. Quand t'ecris 101 en base 2 par exemple, qui vaut 5 en base 10, ca revient a ecrire 1 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0 en base 10

[@algorythmis4805]

+Léo Krief ah d'accord, donc il écrit pas vraiment en binaire mais en somme de puissances de 2... c'était pas très clair. merci.

[@dranoel8177]

Oui cest ca

[@bastienschneuwly621]

Salut, j'ai une petite question. Existe-t-il des nombres tels que 0,0000...0001 ou 0,141414...141456 avec une répétition infinie puis un nombre fini d'autres chiffres? Merci d'avance pour ta réponse

[@jchristian3775]

Waouh ça c'est de la question.Et ça m’intéresse aussi Oméga(Ω) 0,00000{..................}0001. ça fait vraiment tout petit comme chiffre et pour l'autre ça serai un truc du genre (1/3) + (1/Ω) = 0,3333......3334 mais es qu'il est possible de faire un truck du style 0,333333.....335555555.......?

[@matthieuribeaucoupnahon8040]

Si ces décimales se terminent par une sous-suite finie , ça ne voudrait pas dire que la sous-suite des décimales est finie ?

[@jean-baptistehontoir6862]

Bonjour à tous j'ai envie de te dire que tous les nombres existent. Une manière de le prouver et avec un nombre "universel" (si je ne me trompe pas de dénomination), qui contient dans toutes ses décimales toute suite de chiffre possible (comme par exemple pour faire comme toi 14141414...14156). Pour obtenir le nombre que tu veux, tu cherches la suite de chiffres que tu veux, tu multiplies par 10^x jusqu'à ce que le premier chiffre de ta suite soit le chiffre des dixièmes, tu ne garde que la partie décimale, ensuite tu multiplies par 10^y pour que le dernier chiffre de ta suite soit le chiffre des unités. À partir de là, du enlève la partie décimale. Tu as donc maintenant seulement ta suite. Tu la multiplies/divisé comme tu veux pour avoir le nombre voulu. Cette démonstration est assez complexe mais je pense qu'elle permet de vérifier relativement rigoureusement que tous les nombres sont "fabricables". C'est compliqué comme marche à suivre, mais,... c'est les maths. Si tu veux démarrer, on suspecte pi comme étant un nombre universel (ce n'est pas prouvé), mais il y a sûrement moyen de trouver en tapant sur Google d'en trouver d'autres. Je te souhaite bonne chance et bon courage ;)

[@le_science4all]

J'en ai parlé dans les commentaires de l'épisode 3 : kzbin.info/www/bejne/lXLXnHymnpt-hpI La réponse est oui pour les nombres dits "hyperréels". Mais pas pour les nombres réels.

[@jchristian3775]

Mais ....mais a quoi peut bien servir cette machine ????? Sinon super épisode. Et pas mal ta vidéo en anglais sur l'aléatoire en plus y a des sous titres, mais je m'attendais a ce que tu nous parle de pi, pour savoir si il à était bien testé et a quel point il est random.

[@jean-francoisguilbo7833]

Je ne crois pas aux nombres transfinis, mais cette video est quand meme top

[@divalarose]

👍🌹💗

[@esperi_senfine]

Fleurter avec l'infini c'est impossible non ? Le nombre que tu as dit, aussi immense soit-il pour nous n'est rien par rapport à l'infini... donc j'ai envie de dire que finalement, il est vraiment tout petit ce nombre dans l'absolu :3

[@lucPIERROTalias01]

A compter de ce fait que les coefficients numériques admis en base U vont de : zéro à (U-1) ce qui revient à dire qu'on peut aligner le SIGNE + depuis zéro fois à (U-1) fois à chaque rang d'ordre et ce depuis [U° = 1 fois le signe + appliqué à U ] on n'est pas davantage dans le Vrai que dans l'Absurde LORSQU'ON FAIT : TOTAL ["N" = N fois le Signe +] de N.

[@lucPIERROTalias01]

Si donc l'on n'est pas + dans le Vrai que dans l'Absurde pour QUALIFIER N : N n'est ni un FINI ni un INFINI de base U. C'est un TRANSFINI de U c'est-à-dire " de la Règle à prétention UNIVERSELLE " sur TOUT-OBJET "marqué de U" en numération basique du Système Bourbaki sous CNS de tenir l'Ordre du Coefficient comme inscrit dans l'Ensemble-vide concerné par l'OBET MARQUE de U dans l'Ensemble E. Tout OBJET de E est nécessairement sous obligation critique dite du PARADOXE DE CONDORCET s'appliquant à la cohérence réelle des désignations par U des objets et non des coefficients.

[@glignier69]

J'arrive avec retard sur cette excellente vidéo, mais cette suite m'a intéressé quelque peu il y a quelques mois, on peut aussi l'étudier de manière graphique. Sauf pour les plus petites graines, toutes les suites de Goodstein se ressemblent, on peut les représenter sur un tableau de coordonnées x et y telles que x = 100 et y = 50 par exemple et les mesurer par pourcentages du nombre d'étapes pour arriver à 0. Le nombre d'étapes est toujours égal à k.2^n - 1. On peut négliger le -1 de ce total, très faible par rapport au nombre d'étapes. Alors entre 50% et 100% du total le graphique est de pente -1, la suite diminue d'une unité à chaque étape vers 0. Entre 25% et 50% le graphique est de pente 0, le maximum atteint par la suite est donc constant sur ce plateau. Entre 12,5% et 25% la pente est +1, la suite augmente d'une unité sur cette partie du graphique, entre 6,25% et 12,5% la pente est +2, etc... Pendant longtemps la pente est de plus en plus forte, passant de +2 à +3, puis de +3 à +4, etc..., l'augmentation est ensuite plus rapide, même si le graphique ne peut plus le montrer. Avec une loupe sur un graphique plus précis on verrait un mur vertical dans les débuts des suites... Autre remarque : pour la graine égale à 4 voire 5 on peut estimer le nombre d'étapes pour arriver à 0, au-delà on se heurte à un mur, d'abord pour ce nombre lui-même, puis pour écrire les étapes du calcul proprement dit, aurait-on assez d'encre dans tout l'Univers pour le faire, hé bien non ! Après quoi, pour les graines suivantes, je n'ai pas assez de neurones pour oser imaginer comment faire...

[@StratosFair]

Super vidéo, tu t'améliores d'épisode en épisode ! Par contre, j'ai une question sur la relativité (désolé de demander ça ici mais j'ai peur de ne pas être lu si je poste ça sur une ancienne vidéo) : Si je prends une balle dans mes mains et que je la lâche, elle "tombe" à mes pieds. Mais en fait non, c'est le sol qui accélère vers le haut. Du coup je devrais me sentir en train d'être poussé vers le haut ou quelque chose comme ça nan ? Pourtant c'est pas le cas, pourquoi ?

[@erwile]

En fait si , ce que tu sens comme "gravité", c'est cette poussée vers le haut, je pense que tu sens bien que tu dois beaucoup t'élever pour sortir du lit, comme pour échapper au lit qui monte avec le sol, c'est vraiment amusant de penser à l'envers x)

[@biggoogleiswatchingyou2244]

Tim. Alb. Ben c'est une question de "point de vue" Le sol continue à accélérer vers le haut de la même manière qu'avant que tu aies lâcher la balle. Donc tu ne sens rien de particulier d'avoir lâcher la balle

[@StratosFair]

D'accord mais quand-même, durant toute la phase où elle quitte ma main et que je la vois se diriger vers le sol, puisqu'elle n'est soumise à aucune force, je devrais observer le sol en train de "monter" vers la balle nan ? C'est pour ça que je dis que moi aussi je devrais "monter" de autant que la distance qui séparait la balle du sol

[@StratosFair]

Ok, je pense que je comprends à peu près, c'est très déroutant quand-même...

[@pierrelelama1829]

Les physiciens en tendance à travailler dans au moins 2 référentiels différents afin d'observer les différentes propriétés d'un objet physique; en générale dans un référentiel inertiel et non inertiel. Tout n'est qu'une question de point de vue. Ainsi dans le référentiel en chute libre (référentiel inertiel) de la balle donc soumis à aucune force (en négligeant les effets de l'air, ect...) la balle "voit" le sol avoir une accélération orientée dans la direction opposé de son mouvement c'est donc le sol qui accélère. Alors que dans ton référentiel et celui du sol (référentiel non inertiel :soumis à la force de poussé du sol) c'est la balle qui accélère vers le sol , en clair ton référentiel est immobile par rapport a celui du sol (en considérant que tu ne bouge pas) . En conclusion tu es "poussé vers le haut" dans le référentiel de la balle mais dans le tien tu es immobile (par rapport au sol) car la gravité ( force gravitationnelle) te donne une accélération dans une certaine direction et orientation alors que le sol te "repousse", ainsi la réaction du sol sur tes pieds te donne une force dans la même direction mais une orientation contraire qui est égale à la force gravitationnelle qui t'es exercée, les forces s'annulent, tu es "coller" au sol donc immobile par rapport a celui ci...Pour répondre a ta question non tu ne te sent pas attirer vers le haut . J'espère t'avoir aider sinon tu peux t'adresser a silvain duriff ou eddy malou . =)

[@lucPIERROTalias01]

C'était pour "marquer" d'un script spécifique le "rang ordinal" de la puissance de la base en numération basique SANS avoir à "écrire" la série globalement (visualiser in extenso) ce Nombre. On pourrait dire aussi : pointer le rang ordinal. C'est le problème du déchiffrement linguistique entre les signes à valeurs "consonnes" ou "voyelles" : on pointe les diphtongues ou les linguales. Ainsi on distingue entre les coefficients et les puissances correspondantes sur le rang d'ordre voulu "pour faire varier les coefficients" en limite des leurs valeurs possibles (dans l'Ensemble-vide) entre zéro et (base - 1).

[@Kolinnor]

Salut, y'a t'il des gens qui ont fait la prépa du lycée Blaise à Clermont ? Pour savoir un peu comment ça se passe

Obscu je connais pleins de monde qui l'a font si tu veux. Tu peux peut être les demande sur fb

[@Kolinnor]

Non je vais pas les embêter sur facebook xD Si tu pouvais leur demander vite fait si les profs sont bien, si la vie en prépa est très vivable ou non, s'ils sont internes, etc

[@guillaumecodevelle451]

2*10^4 abonnés bravo :)

[@ToursMagique]

Salut à tous, j'ai une question qui n'a pas de rapport avec la vidéo mais avec les maths en général. Je suis étudiant en maths et aujourd'hui en correction d'un DM sur les séries entières j'ai utilisé le fait que 0^0 était égale à 0 et certains ont dit que ça n'avait pas de sens de dire ça. Existe-t'il un moyen propre de le démontrer ou c'est juste une convention (J'ai tenté de le démontrer en disant ; Fn(x)=x^n, on a alors F'n(x)=nx^(n-1) et pour n=0 on voit que la dérivée est nulle ce qui implique que Fn(x) est constante, or on sait que 1^0 fait 1 alors pour tout x on a x^0=1 d'où 0^0=1, mais je pense que cette petite démonstration manque cruellement de rigueur et que j'ai pas le droit de dérivé Fn pour n=0 ^^ / J'ai aussi pensé à le faire en utilisant Exp(ln(x^n))=Exp(n(ln(x)) et pour n=0 et x qui tend vers 0 on trouve tout le temps 1, mais ça existe pas pour x=0, d'où le fait que ce soit une convention ? ) Merci d'avance si vous pouvez m'aider :)

[@cyrilpujol2047]

Au lieu d'utiliser ω on peut juste utiliser un nombre très grand (il faut qu'il reste très grand tout au long des transformations, il doit rester très grand par rapport à n'importe quelle étape ) cela devrait marcher aussi et éviter d'utiliser des ordinaux.

[@turtlecraft7996]

La logique Shadok existe?

[@kbuenotwitch8327]

Très bonne vidéo :) Par contre j'ai eu une terrible envie de mettre en boucle la réaction a 11:43 que tu as faites ^^ Ca serait assez marrant :)

[@illuzionnistfr8936]

100% hors sujet mais est ce que vous pourriez faire d'autres épisodes de la série des génies ? Merci d'avance

[@kariboo84]

peut on envisager une arithmétique en base infini ?

[@quentind1924]

Je sais pas Si oui c'est compliqué pour inventer les symboles...

[@lamortensia3691]

Comme l'univers ce comprimera sur lui même :)

[@quentind1924]

2:51 pourquoi 2^2 et pas 2⬆️⬆️ 2 ou 2*2

[@hugog6897]

j'accroche les 5 premières minutes et après je suis largué mais j'ai trop intéressant

[@michelfinisi]

moi aussi pareil mdr!! ;)

[@denjam2423]

je te cite: "...mais j'ai trop intéressant". Là tu peux mesurer toi-même les dégâts mentaux causés par ces 5 premières minutes :D

[@Ilestun]

Oui en fait c'est le théorème fondamental des ordinaux avec lequel que j'ai du mal, encore une fois.......comme avec le problème de l'hydre en fait.

[@adissounegus-nagast2640]

en fait, ce qui se passe, ce n'est pas tant que les cette suite ne puisse pas être prouvée par l'arithmétique, c'est au contraire, qu'elle ne peut être prouvée uniquement dans une autre théorie arithmétique (plus puissante) que c'elle de Piano !

[@ccoderproject]

Ha, pigé enfin! Le truc sur hydra ça m'a dépassé. Reste a grokker le théorème fundamental

[@lt3533]

Pardon de te reprendre sur un petit détail sans rapport avec ce sujet passionnant, mais l'étudiante en Lettres que je suis a tilté sur l'usage que tu fais du mot "controverse" au début de la vidéo. "Controverse" est un nom commun ; il me semble que si tu veux utiliser l'adjectif il faut dire "controversé" :-)

[@mikelenain]

Je ne savais pas où te mettre le lien, donc j'ai pris une vidéo au hasard dans ta playlist sur l'infini. Donc, je pense que cet article pourrait t'intéresser : www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-mathematiques-deux-infinis-differents-sont-en-fait-de-meme-taille-38824.php

[@jean-baptistehontoir6862]

Je me demande : cette suite augmente de quelle façon jusqu'à son max ? Elle a une constante géométrique ? Ou il n'y a pas de logique dans l'augmentation du nombre lors de deux sorties de machines ? Bref, juste pour m'imaginer un graphique dans ma tête quoi...

[@le_science4all]

Ça croît très, très vite au début. Si la graine est grande, la croissance est super-exponentielle au début.

[@jean-baptistehontoir6862]

Ok merci, si j'ai bien compris, ce sera lors des premières sorties de la machine que le nombre augmentera le plus... C'est fou! Il faudra quand même des millions de millions de... de millions de fois pour atteindre le maximum. C'est... au dessus de toute pensée rationnelle. En tout cas, merci pour cette vidéo!

[@syvisaur7735]

1:45 3 en base 3 vaut 3 ? Mais 2 en base 2 s'écrit 10 pourtant...non?

[@raph2550]

C'est juste des notations, mais cela désigne la même chose. Dire que 2 s'écrit 10 en binaire, ça revient à décomposer le nombre ainsi : 2 = 1 * 2^1 + 0 * 2^0. De même, 3 en base 3 s'écrit aussi 10. Tout ce qu'il faut comprendre, c'est qu'on écrit les nombres que l'on reçoit comme somme de puissances de 2. J'espère que c'est clair ^^

[@syvisaur7735]

Raphaël ah oui d’accord j’avais pas compris ça...merci!

[@kingsimbaunicorn2310]

au niveau de la vitesse de croissance, ça donne quoi en comparaison avec une exponentielle?

[@Djorgal]

Bah rien du tout puisque les suites de Goodstein ne sont pas croissante. Elles ne croissent qu'au début mais sont constantes égales à 0 à partir d'un certains rang. Les croissances comparées de suites ça se fait à l'infini.

[@kingsimbaunicorn2310]

Effectivement, j'avais omis que les croissances comparées se faisaient à l'infini... mais ce n'est pas comparable sur un intervalle relativement important?

[@Djorgal]

KingSimba Unicorn Bah non puisque tu peux toujours mettre un coefficient. Par exemple on peut dire que la suite 1.0001^n croit beaucoup plus vite que la suite n^1000, la première est exponentielle, la deuxième polynomiale, exponentielle gagne. Mais si tu fais quelques calculs, ça prend un bout de temps avant que cette exponentielle gagne, elle commence tout doucement, alors que n^1000 commence violente. Les premiers termes, même s'il y en a beaucoup n'interviennent pas dans les croissances comparées. Alors ce qu'on peut toujours faire c'est comparer les nombres individuellements et remarquer que les suites de Goodstein donnent des nombres très grands, très vite tandis qu'exponentielle prend beaucoup plus de temps avant d'atteindre de tels valeurs.

[@kingsimbaunicorn2310]

Djorgal​ ha d'accoooord Merci pour l'explication ^^

[@Kolinnor]

Petite question qui n'a pas trop de rapport avec les maths (à priori ?) : pourquoi ne peut on pas bronzer à l'intérieur d'une pièce ?

[@Djorgal]

Parce que les ultraviolets ne traversent pas les murs....

[@Kolinnor]

Je vois pas pourquoi la simple différence de longueur d'onde empêcherait certaines radiations d'entrer dans un milieu, et d'autres non ? Enfin je te crois volontiers hein

[@cyrilpujol2047]

Personnellement , je ne suis pas étonné que la suite retombe à 0 , je.avais déjà vu la video de Jj sur l'hydre et le problème est globalement le même . On trouve des nombres immenses, mais ce n'est que parceque on utilise des exposants d'exposants... pour le problème de l'hydre (quand on coupe une tête , il en repousse n plus bas,ou n augmente de 1 à chèque fois) je me souviens que j'avais trouvé une manière assez intuitive : au lieu de couper les têtes "une par une" on se concentre pour éradiquer un "noeud/cou à la fois" . Chaque noeud va comporter des milliards de têtes , mais à chaque fois un nombre fini, et comme les noeud ne repoussent pas, on finira bien par tuer l'hydre. Pour faire avec ton problème , il faut voir que quand on a une somme de puissance à laquelle on soustrait 1 , on "détruit " le plus petit exposant en exposants plus petit , jusqu'à "l'eradiquer" si c'est 1. Petit à petit le x^x^x se retrouvera en x^x (avec x beaucoup plus grand) puis en x (x très très grand mais toujours fini) jusqu'à arriver à 0. Ce à quoi servent les ordinaux c'est pour dire que w^w > w^n + n' (Ou w signifie ω et n et n' sont des entiers aussi grand que l'on veut). J'espere que cela peut aider quelqu'un à se représenter le problème .

[@anaisvernet5729]

Je ne sais pas s'il est encore temps de faire des commentaires sur cette vidéo de l'année dernière, mais bon... J'ai quand même un gros problème avec ces nombres transfinis. Si on prouve que la suite de Goodstein finit par décroître pour toute graine avec les nombres transfinis, cela veut dire que pour certaines graines, il faut peut-être "attendre" d'atteindre ces nombres transfinis avant de décroître. Du coup, il faut d'abord atteindre l'infini. ==> donc la suite croît potentiellement à l'infini... non ? J'ai l'impression que les nombres transfinis ne prouvent rien de cette manière. Mais est-ce que je comprends mal le concept de transfinis ? Je viens de découvrir Science4All et j'apprécie beaucoup, ça fait beaucoup réfléchir. (le sol accélère vers le haut !!! ^^)

[@le_science4all]

+BlueCyana c'est plus subtile que ça. Les nombres transfinis prouvent que le suite décroît après un temps fini. Ils ne donnent pas de bornes sur le temps qu'il faut attendre. Mais ils garantissent que l'attente sera finie.

[@anaisvernet5729]

Ok, j'ai compris le concept de la démonstration (enfin !). Mais du coup cela me tord la tête à l'envers (^^) On montre que la suite majorante est strictement décroissante (là j'ai pas tout suivi mais admettons). Donc, la suite majorante s'annule forcément. Ca je comprends, c'est intuitif. Par contre je me retrouve avec le même problème que j'avais dans le commentaire précédent, à savoir que vu qu'on part d'un nombre avec des w (omega), on peut compter une inifinité d'itérations avant d'arriver à 0. Du coup, si je numérote les lapins de l'équipe Fibo avec les éléments successifs de la suite de goodstein de graine x, et qu'en parallèle la suite majorante associée converge vers 0 pour chaque itération, je n'arrive pas à me dire que forcément un jour je verrai la suite de numérotation de mes lapins décroître. Cette décroissance forcée me paraît aussi lointaine que omega est loin de 0. Même si je comprends que les termes en omega décroissent, eux, en parallèle de mon attribution de numéros à mes lapins ! En gros, si quelqu'un numérote les antilopes avec les numéros de ma suite majorante en parallèle de ma numérotation de mes lapins, je devrais arriver à 0 avant les antilopes mais... dans une infinité de temps. Les antilopes sont peut-être numérotées avec une suite décroissante mais à une infinité de moi et mes lapins, donc j'ai le temps de diverger à l'infini avant de me heurter au plafond de la suite majorante... Je ne sais pas si je suis claire. Mais je me doute que je n'ai pas tout compris. Dans les démonstrations que j'ai trouvées sur internet, les gens écrivent que la suite est strictement décroissante et donc tombe vers 0 et donc "pouf !" en un nombre limité d'itération (c'est ce dernier point qui me bloque et pour lequel je n'ai pas trouvé d'explications plus détaillées). En tout cas merci pour ces vidéos, je me replonge dans des sujets auxquels je n'avais pas touchés depuis longtemps :) C'est très intéressant.

[@eniotnayssaneb3442]

si j'ai bien compris, à l'atteinte du nombre le plus grand obtenu par la machine de goodstein avec un nombre donné, la décroissance jusqu'à 0 se fait un par un à chaque itération? sinon ça n'a rien à voir mais est-ce que les observations ou résultats des expériences en physique ou en biologie par exemple peuvent être considérées comme des axiomes? par exemple je vois machin donc si ce que je vois est vrai et si mes yeux voient bien alors machins (avec les si en tant qu'axiomes)

[@Djorgal]

Oui la décroissance se fait 1 par 1 alors que la croissance se fait par sauts monstrueux. Et encore même lorsque tu commences à redescendre tu as toujours quelques nombres qui vont faire remonter la suite un grand coup. Le truc c'est que ça arrive de plus en plus rarement et tu finis quand même pas retourner à 0. En physique on commence par une approche expérimentale, puis on essaie d'en tirer des règles générales. On pose ces règles en tant qu'axiomes de notre théorie physique, puis on vérifie que les conséquences logiques de ces axiomes sont bels et bien les observations qu'on a faite et quelles autres observations ils peuvent permettre de prédire.

[@eniotnayssaneb3442]

+Djorgal d'accord et merci pour ces précisions

[@libellian]

il y a que moi qui ne comprend as comment écrire 2 en base 2 ? pour moi 2 en base 2 fait 10...

[@elodieriche1176]

Et au bout de combien d'itération la suite de Goodstein de graine nombre de Graham reviendra à 0 ? ; )

[@quentind1924]

...2348892348984328834283428352398244898959485495175531326175873534176431151568936195186168395358169138665389196583138136915836416398631394685139339999999999993141592653589793238462611111111111111111111111111111111111111... (avec beaucoup de nombre dans les )

[@dovagoth2880]

Oui

[@fededefe2177]

L'arithmétique ne permet pas de definir strictement en base 10 l'ensemble des int comme appartenant a une dérivée. Ceci pour des raisons simples. La multiplicative function non totale ne permet pas de reconstruire tous les nombres a partir de coprimes. Donc certains nombres ne sont pas sur la fonction derivable. De rien

[@ramdanehaouchine7109]

Dites on pourrait pas juste prendre comme nombre x tel que x appartient à l'ensemble des nombres entiers naturels après la première transformation on aurait x-1 après la deuxième transformation on aurait X-2 etc... Soit y le nombres qu'on soustrait a x on est sur que y finira par représenter tous les entiers naturel ( en valeur absolue ) et comme x appartient a l'ensemble des entiers naturels il y'aura forcément un moment ou x sera égale à y et donc un moment ou x-y=0 . Sinon très bonne vidéo merci.

[@valenting3316]

u_n = n - 1 ca converge pas. Là ton raisonnement c'est infini-infini = 0

[@gwendalbraun126]

les nombres transfinie peuvent être définit par les axiomes de péano ( w a pour successeur S(w) = w + 1)

[@dovagoth2880]

Oui mais t'a pas défini w Si t'arrive à le definir tu défini tous les autres, mais tu peut pas justement

[@XAdriMine]

Je me persuade de plus en plus qu'une "croissance positive vers l'infini" est en fait une boucle qui part de zéro, va très loin dans le positif, pour arriver instantanément au fin fond du négatif, puis continue de croître vers son point de départ : zéro.

[@kovex-pulthul]

Hello, ta miniature dit N°13 et ton titre N°14 :o)

[@le_science4all]

Merci !

[@pierre-antoineamiand-leroy9302]

4^4^4+3-> w^w^w+3 Mais on a aussi 4^4^4+3=4^4^4 +4-1 -> w^w^w +w-1 deux nombres egaux ont donc la même écriture Soit il manque une hypothèse ou une condition soit je suis passé à coté de quelque chose.

[@alois7678]

La notation héréditaire ne doit pas comporter de soustraction

[@thomasbrisson2085]

Pierre-antoine AMIAND-LEROY la première écriture doit correspondre à la décomposition de nombre en base 4 ! Tu n'as donc pas le droit d'utiliser le signe "-" :)

[@Djorgal]

Il existe une unique notation héréditaire simplifiée au maximum. C'est celle-ci qu'on utilise pour la fonction f.

[@arthurbelleville3641]

Ca ressemble beaucoup à l'hydre de kirby me trompes-je ?

[@le_science4all]

Oui ! L'article de Kirby et Paris qui prouvent que le théorème de Goodstein échappe à l'arithmétique de Peano prouve aussi que l'hydre de Kirby est dans le même cas.

[@aveuglel5863]

Sans vouloir faire preuve d'un esprit étriqué , y a t il des applications concrètes de ces théorèmes ? Ou est ce un simple jeu intellectuel de très haute volée ?

[@smon2881]

J'iniore pourquoi, mais j ai eu l intuition directe que les suites des Goodstein retombaient a 0

[@ugowhereiwent]

Je ne suis pas mathématicien. J'ai l'impression qu'il n’existe que des lois absolues en mathématique et des problèmes. Tout ce qui n'es pas absolu reste à définir quoi...

[@le_science4all]

+Ugo Carobene le but de cette série est justement de montrer que, contrairement à ce que l'on pourrait croire, il n'y a pas de loi absolue en maths. Tout dépend des lois (ou axiomes) que l'on s'impose.

[@jeromelaville8757]

Les lapins ont faim donc ils ont mangé les graines, c'est normal que ça retombe toujours à 0...

[@paveltos8508]

First ! (désolé c'était trop tentant...)

[@Abraccuda]

Axaal suprrime stp. C'est inutile.

[@paveltos8508]

Mais heu.... On a même plus le droit de s'amuser ici ! Le mal est fait. Et vive l'inutilité !

[@libellian]

ou si non supprime le 'r' comme ca en orthographiant différemment ca serra moins gênant...

[@jeremyplu5772]

l'ordinateur qubit le peux...

[@jean-baptistehontoir6862]

jeckmin gamecraft le qubit n'en est qu'à ses débuts. Il ne fonctionne pas tout à fait comme un ordinateur normal mais pour le moment, même si c'est en plein développement, un ordinateur non-quantique est meilleur à utiliser.

[@jeremyplu5772]

tu a raison . mais qui sait, dans 50 ou 100ans peut être...

[@jean-baptistehontoir6862]

jeckmin gamecraft oui là par contre ce sera sûr.

[@TheMaxtimax]

par contre tes remarques sur l'existence ou non des ordinaux sont un peu fautives :/ notamment ta remarque "pour le pessimiste"

[@le_science4all]

c'est-à-dire ?

[@TheMaxtimax]

Science4All (français) le fait qu'on ne puisse pas prouver que les suites de Goodstein atteignent 0 avec seulement l'arithmétique, et qu'on utilise les ordinaux pour le prouver ne veut pas dire qu'un pessimiste peut/devrait se dire que les ordinaux n'existent pas ou quelque chose du genre. Ou bien s'il se dit ça alors autant se dire que les entiers n'existent pas (ce qui se défend). Le fait que les ordinaux infinis, en particulier omega, existent est une conséquence de l'axiome de l'infini (de ZF) sans lequel on ne peut même pas prouver que l'arithmétique est cohérente. Donc ce que le résultat "on ne peut pas prouver Goodstein sans ordinaux" dit plutôt c'est "les données qu'on a sur les entiers seuls ne permettent pas de conclure, mais si on prenait un peu plus de recul, on pourrait". D'ailleurs, il y a une preuve du théorème de Goodstein qui n'utilise pas les ordinaux (mais qui n'est bien sûre pas réduite à de l'arithmétique), cf un sujet de concours d'info de 2002, à Ulm. PS : dans ZF moins l'axiome de l'infini, la consistance (et donc la cohérence) de Peano est équivalente à l'axiome de l'infini

[@regard-fk2hl]

seule question: comprenez vous au moins ce que vous racontez? comprenez vous réellement la moindres des démonstrations que vous présentez?

[@dovagoth2880]

Il est mathématicien de metier, donc oui