ОКТЧ 1. Основы теории множеств

[@mathismind]

Опа, ОКТЧ Подъехало

[@sobolevmath]

👍

[@AsSugar13]

а можно вторую часть выложить?

[@WikMar-t5i]

кажется, начало доходить, что пустое множество правильнее обозначать как { }. интересно, чем отличается множество, состоящее из единственного элемента от этого элемента.... Множество == оператор взятия в фигурные скобки ))))

[@GenrGenc]

Ну и что тогда такое оператор?

[@konstantinsamodurov436]

@@GenrGenc А так же: - Что такое "фигурные скобки"? (далее "Бывает ли "фигурная скобка"? и т.д.)) - Что такое "Взятие"?... - Входят ли оба вышеперечисленных понятия в Пустое Множество?... А оно - пустое Множество - точно пустое?...))

[@Tatiana-zs3dc]

@@konstantinsamodurov436 🤣

[@KirillKrolikov]

Получается, что каждый раз, когда мы конструируем какое-то множество, мы, по-хорошему, должны отдельно показывать, что для него выполняется аксиома регулярности? Иначе наш конструкт может не быть множеством. Т.е. нельзя говорить: "рассмотрим множество всех..." Правильно: "рассмотрим следующее построение... Покажем, что для его результата выполняются аксиомы теории множеств. ... Таким образом это построение определяет множество"

[@konstantinsamodurov436]

- "Получается, что каждый раз, когда мы конструируем какое-то множество, мы, по-хорошему, должны отдельно показывать, что для него выполняется аксиома регулярности?" Есть множества конечные, а есть - бесконечные. Последние обладают особыми свойствами - для них, например, не справедливо "положение", что целое больше своей части. Галилей рассматривал (в 1638 г. - скоро = ЧетырехСот-летие...)) вопрос: каких чисел больше - квадратов натуральных чисел или же всех целых чисел вместе - квадратов и не квадратов? С одной стороны, ясно, что множество квадратов является лишь частью множества всех целых чисел, с другой, поскольку каждое натуральное число можно возвести в квадрат, то между каждым квадратом и каждым натуральным числом можно установить взаимно однозначное соответствие. Тогда уже нет основания утверждать, что целых чисел больше, чем квадратов натурального ряда... ;) Если интересуетесь - по-гуглите "Парадоксы теории множеств"... парадокс Б. Рассела, парадокс Бурали-Форти, парадокс Ришара и т. п. Ну и куда же без Теорем Гёделя...)) Гёдель показал, что для арифметики, как и для большинства других дисциплин (геометрия является исключением), невозможно составить полную систему аксиом потому, что всегда найдутся истинные теоремы, которые, тем не менее, нельзя формально доказать, исходя из любой системы аксиом, - как бы мы эту систему ни расширяли. Гёдель показал, что имеется различие между истинностью и выводимостью - существуют теоремы истинные, но не выводимые, не доказуемые в рамках данной системы аксиом.