Beweis und Widerlegung, ob Funktion injektiv (3 Beispiele) | LernKompass - Mathe einfach erklärt

[@carloswarth3953]

so ein gutes Video, so gut verstanden in so kurzer zeit

[@boss-jc2zj]

top video, besser als von jedem uniprof erklärt. 😊vielen dank 🙏

[@lokopokochocolato7632]

Kann man dieses injektive Beweis-Ding nicht einfach überall anwenden? Beim 2 Beispiel würde es ja doch genauso funtionieren. Wenn eine gleichung gleich ist und nur die variable anders ist, ist es soch eh klar das a = b immer rauskommt, weil man alles einfach streichen kann. Ich verstehe nicht was das beweist

[@serhat_yes]

bei bei dem ersten Beispiel 1/2x-1 hat man ja nur a und b benutzt wobei bei dem zweiten Beispiel x hoch 2 +1 variablen eingesetzt wurden - da bin ich dann etwas verwirrt. denn wenn ich bei dem zweiten Beispiel a und b einsetze und gleichstelle kommt ja auch wiederum a=b raus

[@Lernkompass]

Das ist richtig. Das liegt daran, dass 1) surjektiv ist und wir es daher nachweisen können. Der Nachweis erfolgt wie im Video. In 2) hingegen ist es nicht surjektiv und wir müssen es widerlegen. Das macht man dann mit einem Gegenbeispiel. Nachweise erfolgen in der Regel ganz anders als Widerlegungen.

[@BjornMuller-kv4es]

mega gut!

[@voules1]

bei aufgabe 2: kann man das ohne Gegenbeispiel beweisen, dass die funktion nicht injektiv ist?

[@Lernkompass]

Das Gegenbeispiel ist der Beweis. Beachte die Logik: Surjektivität ist eine "Für alle"-Eigenschaft. Zum Beweis musst du es für alle nachweisen. Zur Widerlegung beweist du die Negation, diese wiederum ist eine "Es existiert" Eigenschaft. Und daher musst du die Existenz eines Gegenbeispiels durch konkrete Angabe auch nachweisen :-)

[@bernadetteashleytirtadji5672]

Vielen vielen Dank! ich verstehe dieses Konzept jetzt viel besser! 😁 aber ich habe eine Frage. Wie kann man x^3 für die Injektivität beweisen? (oder höhere Grad) Dankeee!

[@Lernkompass]

Wir können es über den Graphen machen: Der Graph von y=x^3 ist streng monoton steigend. Und strenge Monotonie erzeugt immer Injektivität. Ansonsten ist es in solchen Fällen etwas tricky, da es dann in die Fallunterscheidungen führt. Typische Strategie hierfür ist: 1) y=x^3 Ableiten zu y'=3x² 2) Feststellen, dass die Ableitung stets >0 ist außer an isolierten Punkten (wie hier der Null) 3) Daraus folgt strenge Monotonie 4) Daraus folgt dann Injektivität

[@aewfawef963]

"mit einem q.e.d. ein bisschen auf die Kacke hauen" 😂

[@unexpected8166]

3x|x| wäre eine Funktion, bei ich nicht wüsste wie man Injektivität und Bijektivität nachweisen sollte 😅

[@Lernkompass]

Das machst du mit Fallunterscheidung: x Funktionswerte =0 => Funktionswerte >0 Zeige, dass es dort injektiv und surjektiv (R+) ist Dann ist ganz R abgedeckt. Für Werte a0 gibt es ja keine gemeinsamen Funktionswerte.