Injektivität nachweisen | Methode mit Ableitungen | LernKompass - Mathe einfach erklärt

[@LebenWerden]

Super!

[@duesenberger]

Danke für das hilfreiche Video. Was in dem Kontext häufig auftritt, sind auch nicht Surjektivität und Bijektivität. Habt ihr da auch schon was?

[@Lernkompass]

Hallo Adrian, ja, wir haben zur Injektivität zwei alte Videos, wie man sie nachweisen kann: Standard: kzbin.info/www/bejne/Z4fJdptsYrCKfac Mit Ableitung: kzbin.info/www/bejne/rne7YYyde9iLiLc Neue Videos (auch zur Surjektivität) sind in der Pipeline und kommen voraussichtlich nächste Woche.

[@updatedotexe]

Wenn jetzt f'(x) nicht immer positiv bzw negativ ist, muss man dann zwangsläufig ein Gegenbeispiel finden, um die Injektivität zu widerlegen? Oder kann man sagen: "Die f'(x) kann sowohl positive Werte als auch negative Werte annehmen kann ==> nicht str. mon. ==> nicht injektiv" und fertig?

[@Lernkompass]

Tatsächlich kannst du aus nicht monoton noch kein "nicht injektiv" folgern. Stell dir dazu bitte eine Funktion vor, die zunächst linear nach unten geht im dritten Quadranten und dann linear nach oben im ersten Quadranten, dabei ist 0 eine Sprungstelle. Dann ist die Funktion nicht monoton, aber injektiv. Ist f' nun zeitweise positiv und zeitweise negativ, kannst du demnach nur unter gewissen Voraussetzungen (Stetigkeit etc.) etwas schlussfolgern. Praktisch ist es daher, die Funktion zu zeichnen oder direkt nach zwei x-Werten zu suchen, die das gleiche y haben.

[@LebenWerden]

Jedes y hat genau 1 x oder höchstens 1 x?

[@Lernkompass]

Injektiv: Jedes y hat maximal ein x Surjektiv: Jedes y hat mindestens ein x Bijektiv: Jedes y hat genau ein x

[@My_Neighbor]

Zählt die null jetzt zu immer positiv ode immer negativ?

[@My_Neighbor]

Die 0 in der erste Ableitung würde bedeuten dass die Funktion eine waagrechte Gerade wäre denn die Steigung wäre dann null und somit nicht injektiv.