Les complexes entrent en scène (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode III)

[@leporcquirit]

Cet inimitable petit frisson qui nous parcourt lorsqu'Antoine dit qu'« on va entrer dans le dur » 😂

[@laidkahloul322]

Bonjour Antoine Bourget. Merci pour vos vidéos. Je suis à la troisième vidéo. Vraiment passionné par ce que vous faites. Impatient pour voir, apprendre et comprendre encore.

[@antoinebrgt]

Merci, ça me fait plaisir !

[@antoinebrgt]

Merci, ça me fait plaisir !

[@victorlandor354]

Ah si mes profs de taupe avaient été aussi clairs! Vous m’avez donné le plaisir de replonger dans maths, avec un enseignement plus ouvert. .

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup ! Les profs sont malheureusement beaucoup contraints par les programmes, surtout en prépa, moi j'ai la chance ici de n'avoir aucune contrainte !

[@JeanAMEDJI]

Toujours un plaisir de voir une de vos vidéos. Un grand merci.

[@antoinebrgt]

Merci à vous !

[@tygrou1.041]

Je laisse un petit commentaire pour le référencement aha :) Sinon super série de vidéo, j’adore !mais j’avoue que les lives commencent à me manquer aha.

[@antoinebrgt]

Merci :) D'accord pour les lives, je note, et j'en referai prochainement :) sans doute pour le prochain sujet, la théorie des cordes...

[@sudoku1099]

Génial. Tout simplement. Merci

[@brunodoussau_from_tyumen]

C'est magnifiquement complexe.

[@Tgggsvsqf]

Bonjour, À 48:58 pour déterminer qu'il y a d(d-1) points d'intersection à l'aide des deux équations, vous utilisez implicitement le théorème de Bézout non ?

[@antoinebrgt]

Oui tout à fait, je l'utilise, car je suis dans le "bon" cadre (géométrie projective complexe). Je crois que je le mentionne à un moment dans la vidéo.

[@pascalneraudeau2084]

MAG-nif-IQUE ! Tu m'as projeté dans l'espace 😉

[@antoinebrgt]

Merci!

[@Igdrazil]

Exquise promenade ludique dans le Jardin de la Géométrie algébrique…bravo! Trois petites remarques : 1) g=2, 4, 5, etc => d irrationnel … 2) Riemann prend 2 n 3) Par delà un « confinement pédagogique » parfaitement compréhensible aux « nombres complexes » déjà vaste, si le but profond néanmoins est en effet de montrer in fine que la topologie parfois « trompeuse » est en fait subalterne aux invariants purement algébriques comme le genre algébrique, pourquoi alors se limiter aux nombres complexes CLASSIQUES (euclidiens) de forme algébrique a+ib avec i, matrice 2*2 de déterminant 1 : i=[0 -1 / 1 0], et ne pas considérer aussi les deux autres types de nombres complexes, hyperboliques, de forme algébrique a+jb et a+kb, où j et k sont les matrices 2*2 de déterminant -1 : j=[0 1 / 1 0] et k=[1 0 / 0 -1]. Et même plus généralement l’algèbre Diedrale toute entière engendrée par {1,i,j,k} ou celle des quaternions où i, j et k sont les matrices complexes 2*2 correspondantes? Car lorsqu’on se place justement du point de vue ALGÉBRIQUE, on ne restreint plus à priori la REPRÉSENTATION des variables d’une équation algébrique. Mais on cherche au contraire à la Résoudre avec un grand R, i.e. à trouver toute forme de solutions qui obéit à la STRUCTURE ALGÉBRIQUE de l’équation étudiée… 4) Et dans une telle perspective, que deviennent les « théorèmes » de Bezout et de d’Alembert, quand on ouvre précisément la porte ALGÉBRIQUE, par delà le corps « arbitrairement restreint » des nombres complexes CLASSIQUES, au moins à l’algèbre Diedrale ou Quaternionique? Car sur ces structures algébriques plus vastes, ne serait-ce ce qu’une équation toute simple comme x^4 + 4 = 0 par exemple, admet une infinité continue de solutions! Ce qui change tout…puisque sur l’algèbre Diedrale par exemple, on s’aperçoit que les quatre uniques solutions complexes CLASSIQUES {1+i, 1-i, -1+i, -1-i} n’étaient en fait elles-mêmes que les « sommets » antipodaux de deux feuillets (a= +1 et a= -1), d’un infiniment plus vaste hyperboloïde (non connexe à deux nappes, de révolution dans le plan j-k, autour de l’axe engendré par i), de SOLUTIONS! Par suite, les « invariants » algébriques, plus intrinsèques que ceux topologiques, deviennent eux mêmes conditionnels d’un regard « limité », au delà duquel se brise précisément leur « invariance », en d’autres mots, « catégorielle »…

[@pascalneraudeau2084]

Quand la ‘mécanique’ s’invite en mathématique, qu’on ne réinvente pas la roue, on peut construire de nouveaux mécanismes … et c’est beau ! Mais la beauté de la ‘recherche’ ça peut aussi être de redéfinir le légo de base … On cherche bien à atteindre l’infini de notre point de vue fini ! (?), Passer de Npuissance1 à Npuissance8, du dénombrable au continu. (au passage, le continu peut être construit sur du dénombrable ! comme du néant à la Présence). Alors pourquoi s’arrêter en chemin ? pourquoi juste les complexes (i, j, k,… ) ?

[@Igdrazil]

@@pascalneraudeau2084 Précisément, du point de vue ALGÉBRIQUE, on ne veut pas se limiter à certaines REPRÉSENTATIONS, mais chercher les solutions des équations algébriques, dans leur essence algébrique, dans toute leur généralité algébrique, dusse-t-elle être cachée. Cependant, ce qui distingue les Mathématiques de la Poésie, et en quelque sorte de la « Philosophie », c’est que l’on ne fait pas « ce que l’on veut »! Car une réalité « physico-mathématique », « métaphysique-matérielle » résiste et montre des Schémas, des Topos, des Structures, des Formes, des Contraintes, « INTERNES » au monde de l’esprit. En l’occurrence, il n’y a PAS 36 « nombres complexes » en dimension deux, mais SEULEMENT TROIS! Car l’algèbre Diedrale n’admet QUE TROIS sous algèbres (en outre abéliennes). Ce qui est remarquable! Et de même, dans le même registre des CONTRAINTES algébriques intrinsèques, nouménales, il n’existe que DEUX GROUPES NON ABÉLIENS D’ORDRE HUIT! Le groupe Diedral et celui des Quaternions. Enfin, on ne fait pas ce que l’on veut dans le cadre de la Géométrie Algébrique, dans la mesure où ce cadre impose précisément certaines structures. Notamment de travailler avec ce qui « ressemble » un minimum à des « NOMBRES » qui, bien que généralisables à priori, doivent alimenter entre autre, le Minotaure d’une MULTIPLICATION, et sont donc contraint par la Structure associée (stabilité, neutre, inverse conditionnel, associativité, commutativité, distributivité). Sinon, on sort du cadre fixé des équations algébriques, et donc de la Géométrie Algébrique. Enfin le problème du Discret au Continu est ouvert, archétype et omniprésent. Et dépend notamment des définitions que l’on adopte pour ces concepts, qui n’ont pas forcément de sens À PRIORI. Derechef, dans l’orthodoxie actuelle des Mathématiques, l’infini dénombrable ne suffit pas à « atteindre » le « continu ». L’axiome du choix jouant sur ce fleuve, le rôle de Sphinx face aux Œdipes rois, qui se hasardent à essayer d’en franchir le Rubicon… Même des sommités comme Alain Connes, cherchent en ce gué périlleux, la réconciliation plutôt que la fracture, l’unification plutôt que l’amalgame ou l’exclusion. Et les Opérateurs Hilbertiens fournissent un bon modèle SPECTRAL pour réconcilier précisément le Charybde et le Scilla, du « Discret » et du « Continu »…

[@pascalneraudeau2084]

​@@Igdrazil Waôw! ne devrions-nous-pas croire que la vérité, la Réalité, s'il y en avait une, ne serait qu'une proximité ? que 0+ et 0- créent la discontinuité et, par là-même, l’unicité … l’Entité. alors Tout est dans le point, le cercle, la sphère, l’hyper-sphère … le Grand-Observateur définit l’entité. Tu serais pas guitariste ? ou un zicos du genre ?

[@antoinebrgt]

Pour les nombres, le truc c'est qu'il est important que la structure soit un corps pour ce que je veux faire ici. D'autre part il est important qu'il soit commutatif pour ne pas entrer dans les complications, et c'est pour ça que Q, R et C sont les choix favoris, et on peut évidemment prendre tous les corps intermédiaires

[@pascalneraudeau2084]

@@antoinebrgt alors si toi tu ne l'es pas, musicien, quel dommage ! 't'façons j'aime qui tu es!

[@erwanaliguechi3876]

Très intéressant et enrichissant merci beaucoup pour ce travaille !! La suite requiert de maîtriser la topologie algebrique ? Sauriez vous où est ce que je pourrais trouver un bon cours qui revoie les bases de la topologie générale ?

[@antoinebrgt]

Non je vais essayer de ne pas supposer trop de prérequis !

[@baptiste-genest]

Juste incroyable, merci infiniment 🙏🙏🙏 il y aurait des bouquins sympa pour s'y mettre ? Possiblement en anglais et avec des exercices corrigés ce serait top🙏

[@antoinebrgt]

Merci ! Oui il y a pas mal de livres, après à ce niveau élémentaire c'est parfois difficile de trouver. Une bonne référence est le livre de Kirwan sur les courbes algébriques, et un autre est le livre de Perrin sur la géométrie algébrique. Je vais les rajouter dans la description en référence. Avec exercices corrigés je ne connais pas malheureusement !

[@gillesdagostini3650]

Le plan projectif complexe me fait penser en MQ quand les États sont représentés par des combinaisons linéaires a un coefficient multiplicatif près. Par les directions dans l' espace des États

[@antoinebrgt]

Oui c’est exactement ça !

[@yannickpezeu3419]

Merci !

[@anthonygauvan7020]

Superbe vidéo merci ! Donc il n'y a pas de surface de R déf par un polynome de genre 2 ?

[@antoinebrgt]

Je n'ai pas compris, qu'est-ce que tu appelles une surface de R, et un polynôme de genre 2 ?

[@anthonygauvan7020]

@@antoinebrgt je voulais dire, y a t il une surface de Riemann défini par un polynome, telle que son genre soit 2 ? vis-à-vis de la formule du degré..

[@antoinebrgt]

@anthonygauvan7020 ah oui il y en a ! Mais pas de surface lisse et définie par un polynome en deux variables, comme la formule le montre :) le plus simple est par exemple de prendre une surface singulière, ou alors de regarder une courbe de l'espace 3d au lieu de 2d (complexes évidemment!)

[@anthonygauvan7020]

Ok merci !!

[@sergepirriou4195]

Meme si je suis depassé par ce chapitre ainsi que par le 2eme ca fait du bien de vous ecouter pour faire travailler mes neuronnes veillissantes.

[@antoinebrgt]

N'hésitez pas à me dire s'il y a des endroits où c'était trop compliqué, ça m'aide à savoir ce qu'il faut que je détaille plus !

[@sergepirriou4195]

@@antoinebrgt Je l'ai deja dit par le passé,j'ai passé un bac "c" en 1967 et fait math sup en 1968 pour me rendre compte que mon bon niveau en math de terminale etait insuffisant pour continuer la filliere CPGE. Je suis pati en IUT qui ne s'appelair pas encoe ainsi en 1969. J'ai fait toute ma carriere pro en Belgique suite à une opportunité d'emploi que je n'avais pas en France à l'epoque.

[@cocohiv]

@@antoinebrgt Alors je profite de la remarque pour dire que tu m'as totalement perdu au chapitre des coniques complexes 😅 cette histoire de coupure et tout me passe allègrement au dessus de la tête

[@antoinebrgt]

@@cocohiv ah oui en effet... Tu peux regarder ma vidéo sur les fonctions elliptiques où j'explique en détail ces histoires de coupures !

[@pierrebizeul8166]

Salut, excellentes vidéos ! Je me demandais où tu vas aller avec cette série ? Variétés algébriques sur un corps algébriquement clos général ? Schémas ? .. ? Merci !

[@antoinebrgt]

Je ne peux pas aller trop loin si je veux rester élémentaire, mais la suite arrive bientôt (demain si tout va bien !). Le but est d'introduire les notions de diviseurs et d'énoncer le théorème de Riemann Roch, et peut-être que je parlerai aussi des singularités, et de leurs résolutions. Je pourrais aussi éventuellement mentionner les schémas de façon élémentaire, je n'ai pas encore vraiment tout prévu... A voir donc !

[@alexblokhuis]

🤩🤩🤩 j'aimerais bien liker le video d(d-1) fois

[@antoinebrgt]

Haha merci 😂

[@luchino9978]

Très bonne vidéo ! Juste je ne comprend pas pourquoi une fois qu'on a fixé x, le polynôme en y est forcément de degrés d ? (à 48 min) Car c'est le polynôme à deux indéterminées f(x,y) qui est de degré d, et comme il n'est pas homogène (à priori), il se peut très bien que vu comme un polynôme en y, il soit de degrés strictement inférieur à d non ? Ou alors y'a un truc que j'ai pas pigé x)

[@antoinebrgt]

Oui en effet, c'est une preuve pas complètement achevée que je donne là, disons qu'elle fonctionne pour le cas d'un polynôme "suffisamment général", donc on prend des coefficients génériques. Pour des cas particuliers alors ça ne fonctionnera pas (il faut aussi s'assurer que la courbe est lisse de toute façon). Une preuve "rigoureuse" fait intervenir les faisceaux et la cohomologie, j'en parlerai sans doute dans les épisodes suivants !

[@luchino9978]

@@antoinebrgt D'accord ! Merci pour ta réponse ! Hâte de voir la suite !

[@bertrand3055]

Comprendre enfin i²=-1 : kzbin.info/www/bejne/aHjahIh6osSFnZom43s

[@Talaria.School]

👏

[@christophem6373]

les moitiés de sphères on appelle çà des hémi...sphères ;-)

[@antoinebrgt]

Haha en effet!