Les mathématiques de l'impossible : COHOMOLOGIE

REMARQUE IMPORTANTE : cette vidéo sera peut-être déroutante, car contrairement à d'habitude, je montre des choses sans vraiment expliquer ! Lire dessous pour en savoir plus...
Cette vidéo est la première partie d'une série de deux, consacrée à la cohomologie. Ici, je présente surtout des exemples et quelques concepts de base, en utilisant uniquement des dessins et très peu d'équations. On montre d'abord que la cohomologie se rencontre dans des situations quotidiennes, bien qu'un peu artificielles (dénivelés en montagne, taux de change en économie). En mathématiques, elle est bien plus présente, par exemple dans la résolution d'équations différentielles.
Dans la seconde partie de la vidéo, je montre comment des calculs peuvent être effectués en utilisant des règles graphiques, sans aucune équation. On calcule ainsi les groupes de cohomologie pour le plan, le cylindre et la sphère.
Attention, je n'explique pas ce qu'est la cohomologie ici, pour cela il faudra regarder la deuxième partie, ici : [à paraître le 25 novembre]. Un bon exercice peut être, une fois cette deuxième partie visionnée, de revenir ici et de formaliser tous les exemples présentés !
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Références et liens :
L'article de Penrose concernant les figures impossibles : www.iri.upc.edu/people/ros/St...
Une vidéo parlant de ce sujet : • Basile PIllet - Cohomo...
Ma vieille série de vidéos :
- sur l'homotopie (groupe fondamental) : • Topologie Algébrique I...
- sur l'homologie (théorie) : • Topologie Algébrique I...
- sur l'homologie (exemples) : • Topologie Algébrique I...
- sur les formes différentielles : • Autour des différentie...
- sur l'utilisation des formes différentielles en physique : • Électromagnétisme et P...
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Plan :
00:00 Début
4:27 Idée de base et exemples simples
11:00 Taux de change
17:45 Intégration des fonctions
24:00 Comparaison avec l'homotopie et l'homologie
30:15 La cohomologie et la dualité
39:45 Cohomologie de de Rham
45:35 Calcul de la cohomologie pour le plan avec un jeu
1:05:30 Cas d'un cylindre
1:12:45 Cohomologie de la sphère

[@kaweyimhippoclite5880]

Merci pour cette vidéo . J'attendais impatiemment un thème de ce genre. Merci pour le sacrifice et le temps que vous mettez pour partager vos savoirs et savoir-faire avec nous.

[@antoinebrgt]

Merci, rendez-vous vendredi prochain pour la suite!

[@laurentg7893]

Bravo! Magnifique sujet et parfaitement introduit.

[@smurf3082]

merci beaucoup pour ces vidéos même si je n'y comprends pas tout ! En plus d'être une brute et un super pédagogue, on perçoit ta profonde gentillesse et c'est toujours très agréable

[@antoinebrgt]

Merci :))

[@sebastiensergenton1865]

Merci beaucoup de nous faire partager avec autant de patience et de pédagogie cette branche des mathématiques. J'avais déjà essayé en lisant du Jean Dieudonné, mais avec ta vidéo cela devient bien plus clair. Merci encore.

[@antoinebrgt]

Content que ça plaise, ça ne vaut sans doute pas le cours de Dieudonné mais je pense que c'est une bonne introduction pour mettre un peu l'intuition en place!

[@AH-jt6wc]

expliquer le vocabulaire avec des exemples tres simple est vraiment génial !!

[@antoinebrgt]

Merci, en effet c'est ce que j'essaie de faire sur cette chaîne :)

[@AH-jt6wc]

@@antoinebrgt oui je le vois sur chacune de tes vidéos. Tu es vraiment doué en pédagogie (en plus de tes compétences techniques)

[@misterdouchet7067]

Wahou ! la puissance de l'abstraction mathématique pour définir ce qui est impossible, bravo merci

[@antoinebrgt]

Oui c'est en effet assez impressionnant -- et dans la vidéo suivante on verra comment calculer tout ça!

[@MrHardgabi]

quelle chance d'avoir quelqu'un comme vous expliquer les mathematiques

[@antoinebrgt]

Merci, content que ça te plaise!

[@untrefri8945]

Brillant et inspirant, as usual. On l'attendait cette vidéo. Merci Antoine ! (Roman Ik.)

[@antoinebrgt]

Merci ! J'espère que la rédaction avance bien :) (et évidemment cette vidéo n'est que la partie 1, il y a aussi la partie 2, plus technique, dont le lien est donné dans la description)

[@ducdeblangis3006]

Une fois de plus, merci pour cette super vidéo; concernant le taux de change (je bosse dans le métier), l'idée est plutôt qu'on a une devise de référence, en général l'USD, qui va correspondre à ce que tu appelles la valeur intrinsèque (notion inconnue en finance), et la condition de cobord est reliée à l'absence d'opportunité d'arbitrage, qui est le paradigme de la finance moderne.

[@antoinebrgt]

Oui en effet, l'USD joue un peu le rôle que jouait l'or auparavant, si j'ai bien compris (avec les accords de Bretton Woods qui forment une sorte d'intermédiaire?)

[@ducdeblangis3006]

@@antoinebrgt Oui avec la nuance que la condition de cohérence -ce que nous appelons l'absence d'opportunité d'arbitrage pour les FX- n'existait pas pour l'étalon or, parce que les marchés étaient bien moins intégrés que maintenant. Et d'autre part, n'importe quelle devise peut jouer le rôle de pivot, alors que l'or avait un statut particulier.

[@Pradowpradow]

Merci pour ta vidéo ! Je connais rien au sujet, j'avais beaucoup de mal à faire le lien avec ce que tu avais pu expliquer dans des vidéos précédentes, "les cohomologies c'est quand y'a d²=0"

[@antoinebrgt]

Oui cette vidéo est un peu spéciale dans le sens où je n’explique rien formellement, je montre juste des situations, normalement tout deviendra clair et cohérent avec la suivante !

[@moulouchemoulouchie1340]

C'est très intéressant merci beaucoup.

[@ElJuliNumeroUno]

Super, merci beaucoup !

[@victorlandor354]

you are the best, don't worry..... et renvoyez dans les buts les ultracrépidarianistes.

[@MarcBourget-dq7ep]

Très bien !

[@patiluep4284]

Incroyable j'ai surkiffé

[@remijacolin6685]

Ça a l'air super intéressant. C'est certain que je prendrais le temps cette semaine pour ma regarder 😋. Mais est ce que tu n'avais pas fait une fois une vidéo dans laquelle tu parlais des oscillateurs harmoniques ? J'aimerais bien la revoir mais je ne la retrouve pas. Merci

[@clmasse]

kzbin.info/www/bejne/qHrYep6ga5yMrKM

[@PiRljn]

Sur ordinateur, il y a à présent deux onglets sur chaque chaîne: « vidéo » et « en direct », quelque chose comme ça. Peut-être qu'elle est dans l'onglet « en direct ». Je m'étais fait avoir comme ça la dernière fois 😇.

[@antoinebrgt]

Oui ca doit être dans les vidéos sur la théorie quantique des champs, comme le dit Olivier il faut aller voir dans l’onglet "en direct" !

[@nicauff5600]

Sublime 😊

[@leporcquirit]

Remarque hors-sujet : dans la version pour navigateur, lorsqu'on va dans VIDEOS de votre profil, il y en a pas mal qu'on ne voit pas. J'ai l'impression que ce sont celles figurant dans les playlists (à confirmer). Une option à cocher quelquepart de votre côté ?

[@antoinebrgt]

Non, c'est qu'il y a maintenant un nouvel objet appelé "en direct" où sont placées les rediffusions!

[@leporcquirit]

@@antoinebrgt Ah oui, merci, je découvre cette fonctionnalité, euh, ce bug de conception 🤨

[@antoinebrgt]

@@leporcquirit oui pour moi c'est pas super, car la majorité de mes vidéos tombe là-dedans!

[@labpharma7068]

Merci bcp .bcp

[@gaddour6322]

Merci pour vos explications. Est il prévu de faire une vidéo sur la géométrie non commutative et sur les topos de Grothendiek

[@antoinebrgt]

Pas pour l'instant, ce ne sont pas des sujets que je maîtrise actuellement, mais peut-être plus tard !

[@smartcircles1988]

Waw c'est passionnant S/O Alexandre Groteindick

[@antoinebrgt]

Je ne connaissais pas le sigle "s/o", tu m'as appris quelque chose !

[@smartcircles1988]

@@antoinebrgt C'est bien la première fois que j'apprends quelque chose à quelqu'un qui sait déjà autant de chose ;)

[@gerardzi7930]

Le théorème de Banach Tarsky ,ce théorème est bluffant ! Comment cela peu être prouvé mathématiquement.

[@antoinebrgt]

Oui c'est joli, il y a une vidéo de eljjdx qui est très bien et qui expose l'idée de la preuve.

[@achillemasson3235]

Bonne vidéo. Belle écriture 👍🤣

[@chainonsmanquants1630]

Merci, la règle me semble toutefois un peu sortie du chapeau. Pourquoi colorie ton le triangle en rouge uniquement lorsqu'on a 1 ou 3 bords jaunes ? Pourquoi cette règle en particulier ?

[@antoinebrgt]

On colorie un triangle si la somme des trois côtés vaut 1, comme ici on travaille modulo 2 ça correspond à un ou trois côtés coloriés.

[@antoinebrgt]

Mais en effet je crois que j’ai un peu buggé à un moment, et je n’ai pas énoncé les règles très clairement... Normalement tout sera clair avec les formules précises qui seront données dans la vidéo suivante !

[@chainonsmanquants1630]

@@antoinebrgt merci !

[@cryme5]

Je pense que l'idée c'est de regarder des fonctions définies sur les complexes (points, arêtes orientées, triangle) à valeur dans Z2. L'opération d c'est la "différentielle" qui associe à une fonction définie sur les points (telle que l'altitude par exemple) une fonction sur les arêtes (ici donc le dénivelé), ou à une fonction définie sur les arêtes (par exemple le dénivelé encore une fois) une fonction définie sur les triangles (là ce serait 0 puisque le dénivelé vient d'une altitude, mais sinon le "défaut" d'exactitude). C'est parce qu'on prend à valeur dans Z2 que la parité intervient de cette manière. Un truc que tu peux remarquer : coupe le cercle (vide) en plusieurs parties, une fonction constante sur les arêtes (càd un dénivelé constant entre chaque point) aura une différentielle nulle (c'est donc un cocycle) mais pourtant aucune fonction altitude ne saurait l'expliquer (donc ce n'est pas un cobord). L'existence d'une telle fonction t'indique qu'il y a un "trou".

[@antoinebrgt]

@@cryme5 parfaitement expliqué !

[@maths_blerd]

Bonjour. Tout va bien ? Nanti d’un travail méritoire et, ayant entendu parler de vous, je voulais savoir quelle est la différence entre les figures impossibles et les structures de Calabi-Yau ?

[@antoinebrgt]

Les variétés de Calabi-Yau sont simplement une sorte de variétés Riemanniennes sur lesquelles l'holonomie est restreinte (si je prends un petit vecteur et que je le transporte parallèlement le long d'une boucle, il ne reviendra pas forcément sur lui-même, mais il ne reviendra pas sur n'importe quoi non plus ; la différence entre les deux sera un élément de SU(n/2), au lieu de O(n) en général, pour une variété de dimension n paire quelconque). Je ne vois pas vraiment de lien avec les figures impossibles ici !

[@maths_blerd]

@@antoinebrgt Merci ! Autant pour moi

[@jamelbenahmed4788]

merci beaucoup pour la cohomologie de De Rham. Je n’ai pas eu besoin de trop réfléchir car j’ai une expertise en calcul différentiel. Par contre, d’après mes connaissances, une forme différentielle de degré n n’est pas la dérivée extérieure d’ordre n d’une fonction 🧐.

[@antoinebrgt]

La propriété fondamentale de la dérivée extérieure c'est que si tu l'appliques deux fois de suite ça donne 0, donc clairement c'est pas en faisant ça qu'on obtiendra des formes différentielles de degré n !

[@arthurs5099]

Waou😮 Est ce qu’on peut faire ça un cran au dessus ? Je pense à $\varepsilon \Delta u + b abla u =f$ avec epsilon->0 ? Parce que c’est vraiment pas pareil des deux côtés!

[@antoinebrgt]

Euh que sont u, f et epsilon ici ?

[@jamelbenahmed4788]

Tu as exactement mon écriture

[@antoinebrgt]

Merci, je suppose que c'est un compliment :D

[@AH-jt6wc]

19:09 moi j aurais dit primitive pas intégral non ?

[@antoinebrgt]

Toutes les primitives sont données par des intégrales de ce type, non ?

[@AH-jt6wc]

@@antoinebrgt oui si F(x0) = 0 ? Dans ce cas là on a bien l'intégrale égale à la primitive pour moi. Mais je suis pas aussi bon que toi en math

[@paris0175]

700 >100+250 donc même en terme de longueur ( segment de droite) le triangle n’est pas faisable !!

[@paris0175]

@Arthur Merci ! J’ai compris …

[@daniellippert540]

Ah mais bien sûr, le capitalisme est cohomologique !