Petite Introduction aux Séries Formelles

Cette vidéo est la première partie d'une description des séries formelles et des distributions formelles. Il s'agit d'objets qu'on peut écrire formellement comme des séries entières, mais sans se poser de questions de convergence. Cela permet d'aborder de nombreuses notions d'algèbre (structures de groupes, d'anneaux, de corps, d'idéaux) et de faire des liens avec la combinatoire et la géométrie algébrique. Dans cette première partie, on regarde les séries et les séries de Laurent.
La suite de cette vidéo est ici : • Petite Introduction au...
Errata :
- à 1:40:30 il faut évidemment lire xa appartient à I, pas à A !
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee.
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Plan
00:00 Début
9:20 Séries de Taylor
16:50 L'anneau des séries formelles
25:30 Principe de finitude
32:00 Éléments inversibles dans un anneau
39:22 Aspects métriques, complétude
47:40 Complétion de l'anneau des polynômes
52:30 Séries de Laurent
1:03:30 Idéaux de l'anneau local
1:11:20 Illustration en géométrie algébrique
1:18:20 Dérivation et intégration des séries formelles
1:22:45 Coefficients dans un anneau
1:26:50 Conclusion temporaire et distributions
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Références : Il s'agit d'un sujet très classique, que l'on peut trouver traité dans les livres d'algèbre élémentaire. Pour une synthèse récente et assez détaillée, on pourra consulter :
An invitation to formal power series
Benjamin Sambale
arxiv.org/abs/2205.00879v5

[@maxishere3831]

Merci infiniment, Antoine, pour ces vidéos gratuites qui nous permettent de mieux comprendre les mathématiques. Grâce à ton travail, peut-être qu'un futur génie aura regardé l'une de tes vidéos et que tu auras contribué à ses futures découvertes.

[@antoinebrgt]

Oui et dans une moindre mesure je suis déjà content de donner à certains le goût des sciences formelles !

[@valentinporceddu8733]

On ne parle pas assez du talent que tu as de récompenser ton public de son assiduité en donnant des informations en fin de vidéo qui décrochent la mâchoire ! J'adore cette conclusion et je suis dans une hype défiant toutes métriques pour en apprendre plus sur les distributions maintenant !

[@antoinebrgt]

Haha j'ai bien fait mon boulot alors :) Et prépare-toi parce que la fin de la vidéo suivante laisse encore plus sur un cliffhanger !

[@jpveneziani]

Exposé précis et très pédagogique. Bravo ! De plus tout le monde à souligné la belle écriture ,,(en particulier les majuscules )

[@antoinebrgt]

Merci ! La suite cet après-midi :)

[@fabienleguen]

À 1:11:00 ouaaah cette hype que j’ai ressenti pour la théorie des schémas ! Et je ne parle même pas de la hype finale pour les distributions formelles ! Hâte de voir le prochaine épisode ! MERCI 🙏

[@antoinebrgt]

Merci, content que tous les liens avec les différents domaines plaisent tant, la suite arrive bientôt !

[@alexandreocadiz9967]

Waaaaaaa cette hype de fin de vidéo ! Ma partie préférée des maths avancées cest quand on fait justement des choses interdites préalablement ^^ J'avoue que pendant toute la vidéo je me demandais qu'est-ce qu'il se passe avec les séries infinies des deux côtés de Z, et je ne pensais pas que tu allais l'évoquer. Ravie de vour ma patience récompensée ^^

[@olivierbegassat851]

Ton écriture est absolument magnifique 😮

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup!

[@leporcquirit]

Super vidéo pour un sujet passionnant et plutôt abordable ! J'attends le dénouement avec impatience, même si j'ai déjà une petite idée sur le meurtrier 😏

[@antoinebrgt]

Oui je pense que c'est une des vidéos les plus abordables que j'ai faites ! La suite va se corser petit à petit :)

[@yannzimmermann3734]

1:04:28 Je pense que dans la definition d'un ideal il y a une petite coquille et que c'est plutôt xa \in I au lieu de xa \in A Et merci pour toutes tes vidéos qui sont passionnantes.

[@antoinebrgt]

Ah oui évidemment, merci, je l'ajoute en description !

[@aaaa8130]

Je sais pas si je suis plus impressionné par la qualité du contenu ou par le teasing de la prochaine partie. T’es chercheur ou tu travailles chez Netflix?

[@antoinebrgt]

Haha excellent :D En effet j'admets que j'ai réussi à installer un beau suspense à la fin!

[@terminator1716]

Bon courage ❤

[@User-vy2py]

Vraiment tes vidéos sont d'une telle qualité, à la fois dans le fond et la forme, je te remercie vraiment. A terme, serait t il possible que tu te lances dans une série de vidéos sur un sujet en lien avec les probabilités ? Merci encore

[@antoinebrgt]

Merci ! Les probabilités ne sont pas ce que je maîtrise le mieux, mais j'en ferai peut-être en abordant le point de vue de la physique statistique. Ou alors je ferai une vidéo "fun" sur différents paradoxes probabilistes... Une autre chose que j'aimerais discuter un jour est l'analyse stochastique !

[@clmasse]

Pour les distributions, le produit de convolution est l'équivalent de la multiplication des séries formelles, et z^n correspond à la transformée de Fourier de la distribution δ.

[@antoinebrgt]

Oui, c'est ce que j'explique dans la vidéo suivante :)

[@observing7312]

J'aime beaucoup le fait d'avoir fait un lien entre la 'rigidité' d'une fonction et le fait qu'elle soit Cinfini.

[@algebrilleexceller3455]

Merci beaucoup pour ces explications très intéressantes et claires 🙏. C'est un super thème. Et je fonce de ce pas engloutir la 2nde vidéo (que je ne connaissais pas). Je me permets de mentionner deux suggestions. 40:15 Peut-être qu'il aurait été approprié de distinguer explicitement la notion de "norme" qui est utilisée ici. Elle est nommée de cette façon dans le document donné en source (un grand merci d'ailleurs, il est très intéressant 😁), mais usuellement ce n'est pas ce qui est appelé "norme" dans les situations topologiques les plus fréquentes rencontrées par les étudiants (ie les espaces vectoriels normés). Cela pourrait prêter à confusion (la "norme" ici ne vérifie pas l'homogénéité, donc on a pas une structure d'evn; même si on a bien un espace (ultra)métrique). D'ailleurs je n'ai trouvé que du contenu anglophone sur cette notion de "norme". Je ne saurais dire si elle est bien appelée comme tu le dis en fr 🤔 Mais peu importe, le tout est juste que ça soit clair pour tous. Et le 2nd est que je ne suis pas tout à fait fan d'expliquer C[[z;z^-1]] simplement en disant "qu'on inverse" z. L'idée intuitive est très bien, et il faut le dire (comme tu l'as fait 😊), mais si on veut vraiment comprendre ce qu'on construit algébriquement, on reste sur sa faim. J'ai peut-être zappé si tu l'as dit, mais décrire la construction par l'opération de localisation dans un anneau (ici de C[[z]] par {z^n}) aurait pu permettre de "mieux voir" l'objet qu'on manipule (du moins son fondement algébrique). Je précise cela, car j'ai d'abord pensé que c'était le corps des fractions de C[[z]], mais ça n'en est pas la définition; même si dans ce cas, le fait que C soit un corps fait que justement c'est le corps de fractions (à isomorphisme près) (généralisable pour tout corps d'ailleurs). Bon, on le percute avec les diagrammes à la fin et ta précision que A((z;z^-1)) n'est pas toujours un corps; mais justement ça fait buguer quand on a pas les bonnes définitions en tête. Dans le même ordre d'idées, je crois que tu l'as dit, mais peut-être qu'il aurait été intéressant d'insister plus sur le fait que C[[z]] c'est vraiment juste les suites avec une structure d'anneau. Je comprends tout à fait (et trouve tout à fait) légitime l'explication intuitive sur le "on ne considère pas la convergence"; mais j'ai l'impression (je peux me tromper) que ça sonne un peu "on fait ce qu'on veut sans trop de raison et là on ignore juste la convergence parce que osef en algèbre" dans la tête de ceux qui sont habitués à étudier les séries en analyse. Et dc préciser ensuite (je crois que tu l'as fait) que la notation en série est commode pour parler de "series où osef de la cv" (ds un 1er temps on identifie "x" à la suite (0;1;0;0...) et dc x^n à celle nulle sauf en n où elle a un 1), mais que finalement cette notation de séries prend un sens rigoureux, via la topologie de la distance ultrametrique que tu introduis après. C'est une façon de présenter qui m'aurait paru plus claire, mais je reprécise que je peux me tromper sur plusieurs points 😉. En tout cas, encore merci pour ce mini cours très intéressant et instructif! 🥰

[@Pradowpradow]

Ca se termine vraiment sur un cliffhanger haha

[@antoinebrgt]

Oui, l'occasion de couper là était trop belle :D

[@yusufhildevert1749]

Merci Antoine, pour ce nouveau partage de connaissances. Quel logiciel utilises-tu pour simuler le tableau noir ?

[@antoinebrgt]

Merci pour le com ! J'utilise Gimp pour le tableau.

[@Skryxioth]

Merci pour ton travail ! Penses-tu faire un jour une vidéo sur l'optimisation ? conditions d'optimalité, dualité, etc..

[@antoinebrgt]

C'est une bonne idée, je ferai peut-être ça un jour mais c'est pas prévu pour tout de suite, la liste des prochaines vidéos est longue déjà...

[@Papipomme]

Bonjour, rien à voir avec le contenu en tant que tel mais quel logiciel utilises tu et te sers tu d'une tablette graphique pour avoir une écriture aussi droite ? Merci beaucoup pour ce contenu d'excellente qualité !

[@antoinebrgt]

Merci ! oui j’utilise une tablette graphiqie avec gimp

[@monsieurhics4684]

Wow quel cliffhanger !! A dans une semaine

[@antoinebrgt]

Haha oui! La suite vendredi prochain!

[@YouandYoussYouandYouss]

Bonjour, je suis beaucoup plus agé que vous mais je vous trouve franchement très pédagogue. Je vous invite à faire une vidéo sur la factorielle de Bhargava!!

[@antoinebrgt]

Merci! Je ne connais pas cette factorielle, je regarderai...

[@samatarmoussa]

belle video. C'est quoi le logiciel que vous utiliser pour écrire. Merci

[@antoinebrgt]

Merci, c'est Gimp, cf vidéo FAQ!

[@Vannishn]

52:34 super video ! Dommage qu’il n'y aie pas un double like haha 😁

[@TheDjidjok]

Petite série qu'on va écouter en travaillant :), même si je vais rien comprendre! Question HS, bureau en 774 également?

[@antoinebrgt]

Oui !

[@yannickpezeu3419]

Haha je pensais que pour une fois on avait le droit à un petit cours tranquille de 1h30 et en fait il y a la partie 2 😂😂😂

[@antoinebrgt]

Haha oui, il fallait s'en douter !

[@Vannishn]

31:33 est-ce que ça fonctionne parce qu'il existe un voisinage de 0 tel que la norme du terme de plus petit degré (du résultat de la multiplication dans ce cas) est plus grande que la somme en valeurs absolues de tous les autre termes ? (z^a domine z^b au vois. de 0 pour tous 0

[@antoinebrgt]

On ne parle pas vraiment de voisinage ici, il suffit de multiplier les termes, la variable z est formelle!

[@matthr042]

1:24:47 Nilpotents ! A[z]* est composé précisément des polynômes dont le coefficient constant (=p(0)) est inversible et tous les autres coefficients sont nilpotents. Si l'anneau A est intègre, tout va bien.

[@antoinebrgt]

Ah oui en effet, bonne remarque, j'ai oublié ! Je vais le rajouter, merci

[@Vannishn]

41:39 definition entropique 😮🤩

[@yannickpezeu3419]

Je n'ai pas compris l'explication concernant le disque et le disque epointé. Si qqun peut m'expliquer pourquoi les séries de Laurent forment un disque épointé et pkoi les séries formelles forment un disque

[@antoinebrgt]

Alors je ne dis pas que les séries "forment un disque", je parle d'un objet précis qui s'appelle le "spectre d'un anneau". Je n'ai pas donné la définition donc c'est normal que tu n'aies pas vraiment compris. Mais l'intuition c'est que ces anneaux encodent ce qui se passe sur un disque infinitésimal autour de l'origine, en un sens qu'on peut rendre précis en géométrie algébrique.

[@yannickpezeu3419]

@@antoinebrgt merci !

[@Vannishn]

1:27:38 par la complétion selon une norme p-adique

[@Vannishn]

56:12 la ou le shift règne 😎 j'avais vu ça en systèmes dynamiques (maths)

[@Vannishn]

1:19:41 commute ! 😎

[@Vannishn]

1:11:15 je serai au rendez-vous 😍

[@Vannishn]

1:17:17 jadore 🥰

[@gegel718]

Ce fut une vidéo très intéressante, avec un sujet passionnant. Juste un petit point rigueur qui n'entache en rien la vidéo, c'est sur le passage avec les idéaux. L'idéal présenté, avec pour tout x dans I et tout a dans A, alors xa est dans I est ce que l'on appelle un idéal "à droite", pas simplement idéal. J'imagine que vous le savez, mais petit point de rigueur qui, finalement, n'a aucune importance et conséquence quant à la suite de ce qui est présenté.

[@antoinebrgt]

Merci pour le retour d'expérience ! Pour l'idéal, comme l'anneau A est supposé commutatif, il n'y a pas de différence entre les notions d'idéal et d'idéal à gauche / droite, c'est pour ça que je ne le mentionne pas, pour simplifier. En revanche il y a une typo dans cette définition, que j'ai signalée en description dans les errata.

[@gegel718]

@@antoinebrgt Ah oui, en effet, c'est vrai que l'anneau était supposé commutatif donc ç'aurait été superflu.

[@amar-ali6065]

A quand des vidéos qualitatives avec des animations 3D et des méthodologies pédagogiques? Les anglophones sont tellement plus avancés dans ce domaine.

[@antoinebrgt]

Science Clic fait ça et n’est pas anglophone...

[@rshawty]

35:58 Il y a un truc que je ne comprends pas. Prenons deux séries formelles Σa_nzⁿ et Σb_nzⁿ avec pour tout n∈ℕ a_n = 1 b₀ = 1, b₁ = -1, b_n = 0 si n≥2 alors on a (Σa_nzⁿ)(Σb_nzⁿ) = 1 ? Non ? Ou alors un truc m’échappe

[@rshawty]

bon j’ai regardé quelques secondes plus tard, désolé pour la question 😂

[@antoinebrgt]

@@rshawty En effet, j'avais écrit une bêtise !

[@Vannishn]

42:56 ok on travaille dans un (des deux) disque(s) 😉

[@Vannishn]

p=2 le premier favoris 😇

[@Vannishn]

1:17:57 on dit un époinçon ? 🙄🤣😁

[@Vannishn]

21:11 "l'addition eeesssstt (tu peux la faire "avant" ou "après" multiplier... mouais) enfin la multiplication est distributive 😢😂

[@Vannishn]

1:21:50 on ne spécule pas ici 🥸😂

[@Vannishn]

Le calcul de l'inverse est un peu pénible nan ? 😅

[@user-ur9jc2bk2e]

34:20 C'est la différence entre A^* (les éléments non nuls) et A^× (les éléments inversibles) fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_des_unit%C3%A9s

[@antoinebrgt]

Ah je n'avais jamais pensé que ça pouvait être la différence, et en effet j'ai bien déjà croisé A^x. Mais j'ai quand même l'impression que beaucoup de monde utilise A^* pour les inversibles.

[@Vannishn]

35.44 what about (1-z)(1+z+z²+z³+z⁴+...) ? Ce sont les deux des séries formelles nan ? Elles donnent 1 + z^infty ? 🥹☠️😭

[@Vannishn]

36:55 ah ouii

[@Vannishn]

44:42 il suffit de tendre vers 0 pour être "L1" mais les les boules fermées ne sont pas les fermetures de boules 🫨🤓🤯 topo sp3ciale 🤠