LES (TRÈS) GRANDS NOMBRES

🚨 Attention : j'ai trouvé plusieurs façons de construire le nombre de Graham sur internet, et visiblement, après recoupement des informations, il y a une petite erreur dans la construction du nombre de Graham dans la vidéo. En réalité, la fonction g (le g minuscule) est la fonction qui à n associe "3 → 3 → n", et on pose G(1) = g(4).
Cette erreur ne se voit pas à la première étape de la construction, car c'est rigoureusement la même chose. Mais dès que l'on commence à itérer la fonction g, le résultat n'est plus le même.
Jusqu'à quel point les nombres sont-ils grands ? Peut-on créer des nombres aussi grands que l'on veut ?
Aujourd'hui je te propose une petite promenade à la découverte des nombres grands, très grands !
On passera devant le gogol (googol), le gogolplex (googolplex), les puissances itérées de Knuth (Donald Knuth), les flèches chaînées de Conway (John Horton Conway), le nombre de Graham (Ronald Graham), et Tree(3). Mais on s'amusera surtout à composer des fonctions à croissance rapide pour créer des nombres immensément gigantesques, à la limite de l'inimaginable !
Pour ceux que ça intéresse, voici comment on peut définir de manière très formelle et rigoureuse toutes les fonctions que j'ai utilisées à la fin de ma vidéo :
drive.google.com/file/d/1toLl...
Et en ce jour, on souhaite un excellent anniversaire à mon papa ! 🥳
Je l'embrase G(64) fois ! 😘
Tous niveaux.
Découverte.
•--•---• Sources •---•--•
Hyperopérations | fr.wikipedia.org/wiki/Hyperop...
Nombre de Graham | fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_...
Tree(3) | fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...
Croissance rapide | fr.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%A...
•--•---• Sommaire •---•--•
00:00 | Introduction
00:53 | Cent et un milliard
01:55 | Puissances de dix et gogol
03:35 | Gogolplex
05:22 | Puissances itérées de Knuth
09:57 | Flèches chaînées de Conway
13:10 | Nombre de Graham
19:07 | Tree(3)
19:42 | Composées de fonctions à croissance rapide
24:35 | Nombres réels qui ne s'écrivent pas
26:39 | Conclusion
•--•---• Médématiques sur Internet •---•--•
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[@iralo6071]

C'est la première fois que je regarde conscienmment de mon plein gré une vidéo de 30 minutes de mathématiques

[@LeGnocchi]

Super vidéo 👍 Ce serait intéressant une vidéo sur la nomenclature de Conway pour nommer les nombres

Merci ! Bonne idée ! 😉👍

[@AZE000]

Et le pire dans tout cela.. c'est que tous les nombres cités jusqu'à la fin et même les nombres bien plus grands ne sont que des poussières (ou bien même rien du tout littéralement) comparé à ce qu'est l'infini ∞..

[@mdflkps]

la blague nintendo(64) ma fait tres rire

[@mohammedhassate3167]

Ce n'est pas malsain de copier sur d'autres chaines, surtout si la personne sur laquelle on a plagié a plus d'avance sur nous (Mickaël Launay, MicMath, en l'occurence), seulement il faut être fièle et faire référence à la source et aussi, il faut être précis dans ce que l'on raconte. Remarque ; 10^80 est le nombre de particules fondamentales dans l'univers et non pas le nombre d'atomes qui doit être nettement plus petit.

Et je n'ai plagié absolument personne ! La vidéo de Mickaël est totalement différente de la mienne, j'apporte une approche complètement différente ! Concernant le nombre de particules dans l'univers, puisqu'il s'agit uniquement d'un ordre de grandeur, ça ne fait aucune différence. La critique, c'est bien ! Et sinon ?

[@nicolaslhomme2117]

Merci

[@madvmadv4443]

Bonjour, As tu une idée de ce que vaudrait tree(3) dans ta construction de fonctions ? Il me semble que dans la hiérarchie de croissance rapide,la fonction tree() est au dessus de tout ça, mais on doit bien pouvoir rattraper au moins tree(3) non? Merci ! (un autre Médéric)

Enchanté ! 😁 J'avoue ne pas savoir où se situe tree(3) là-dedans, mais je suis certain qu'avec un tel procédé (présenté dans ma vidéo), on le rattrape au bout d'un moment, puisque l'on itère des processus de construction de fonctions à croissance rapide, là où tree(3) n'itère aucun processus, mais n'est qu'une évaluation d'une simple fonction. Mon intuition me fait même dire qu'on le rattrape d'ailleurs assez rapidement dans cette vidéo ; lorsque l'on itère la fonction G dans elle-même G(64) fois, où ce dernier G est lui-même itéré G(64) fois... C'est un nombre tellement inconcevable... Je suis pratiquement sûr que l'on dépasse tree(3).😅

[@madvmadv4443]

@ hello, Après une petite recherche, il semble qu'on ait au moins une borne inférieure pour tree(3), A(A(187196),1). Quand le nombre de Graham est proche de A(64,4). C'est à approfondir, car ces notations me semblent incompletes, mais il me semble que le nombre d'itérations nécessaires doit être gigantesque.

[@madvmadv4443]

@ et par ailleurs, on trouve des infos d'or une séquence de Friedman, SSCG, qui a l'air infiniment plus large que tout ça !

@@madvmadv4443 Il me semble qu'il y a aussi la fonction Busy Beaver qui donne des choses tellement grandes qu'elles sont algorithmiquement incalculables.

[@madvmadv4443]

@ effectivement... Ça sonne le tournis !

[@milrehe8783]

Je crois que ma tête à explosé sur la fin ! 😝 C'est marrant parce que au début tu disais "Grand G", et moi qui pense l'auteur de polars "Grange" 😂 Non plus sérieusement, c'était une vidéo super intéressante, j'ai appris plein de trucs 👌

[@user-vh1cp1xr2s]

Littéralement les plus petits nombres existant.

[@joelbays1989]

Il suffit d ajouter une unité aux nombres pour s apercevoir qu il y a des limites. Le reste, ça s appelle de l imagination et c'est en effet infini

[@quenpol538]

J'ai une question: disons qu'on tenterais d'écrire sur un ordinateur un gogolplex. Bien sur imaginons que l'ordinateur soit extrêmement rapide et ne bug pas on commence avec un seul 0 puis on répète copier coller tout sélectionner(ctrl c ctrl v ctrl a...). Combien de fois faudrais t-il le faire et combien de temps on mettrais et aussi quelle doit être la capacité de stockage de l'ordinateur?

[@youssef5666]

c est impossible materiellement temporellement meme en mettant tous les ordi de la terre dessus et ce depuis le debut de l univers

[@quenpol538]

@@youssef5666 j'ai pas demandé si c'était possible mais seulement combien de temps on mettrais THÉORIQUEMENT quelle serait la capacité THÉORIQUE de l'ordinateur...

[@kitesurf4life]

Nintendo (64) 😂 J'ai éclaté de rire :D

[@dindonfarci7049]

Je suis curieux de dériver ces fonctions

Oh oui, ça doit être pas mal ! L'intégration aussi, d'ailleurs... 😅

[@jamelbenahmed4788]

D'ailleurs, ca doit donner d'autres nombres...

[@z0ru4_]

J’ai un peu de mal à imaginer 😕

[@alphapolimeris]

Ma parole : il est encore plus affairé qu'un castor ! Petit jeu de mot sur les Busy Beaver... qui de ce que je comprends sont à la limite de ce que nous pouvons formaliser. Pour le moment en tout cas. Il faudrait une découverte mathématiques au moins aussi importante que l'informatique pour leurs faire concurrence. Grosso modo: BB(5) représente le travail maximal (mais non infini) qu'un ordinateur avec 5 instructions élémentaires (au sens informatique) est capable d'effectuer. BB(12) dépasse le nombre de Graham. Par définition, BB(n) dépasse allègrement Tree(n) pour n assez grand. Pour se faire froid dans le dos, cité de Wikipédia : En 2016, Yedidia et Aaronson ont prouvé qu'une machine de Turing à 7 918 états pouvait énumérer l'ensemble des preuves déductibles dans l'axiomatique ZFC, s'arrêtant si une contradiction était trouvée. Par application du second théorème d'incomplétude de Gödel, Σ(7 918) est incalculable (en n'utilisant que les axiomes de ZFC). Cette borne supérieure sur la calculabilité de Σ a par la suite été rabaissée à 1 919, en construisant une machine similaire pour l'axiomatique ZF. En gros, si tu connais BB(1919), tu as au passage démontré tout ce que les maths usuelles sont capables de montrer. Sans faire exprès !

Merci pour toutes ces précisions ! Je te suggère donc de chercher la valeur de BB(1919) pour devenir milliardaire ! 😏

[@mohammedhassate3167]

Tu as commis une erreur dans l'exemple relatif aux puissances itérées de Knuth. Il s'agit de l'opération 2-2flèches-2 = 4. C'est faut, il est égal à 2 puissance 4, soit 16.

Non ça n'est pas une erreur !

[@olfnar219]

zéro. désolé j'avais besoin d'écrire un petit nombre pour digérer. 😜 sinon c'est très interessant. Et dire que tous ces nombres sont très petit, par rapport à l'infini.

Effectivement ! Ces nombres sont ridiculement petits ! 🤏 Allez on va expliquer ça aux CE1 maintenant ! 😂

[@olfnar219]

@ tu es bien parti. à 5:40 tu dis 3 fois 3 en partant de la gauche... En plus vu que tu fais le lien entre l'addition et la multiplication, et que tu expliques ce qu'est une puissance, je pense sérieusement que les CM1 peuvent comprendre.

[@ezbolarq]

J'ai l'impression de revoir Micmath mdrrrr.

[@mohammedhassate3167]

Littéralement copié sur Micmath avec quelques erreurs

[@ezbolarq]

@@mohammedhassate3167 J'me disais bien ouais

[@trucbidule9997]

@@mohammedhassate3167 y a rien de copié du tout y a juste quelques exemples identiques mais sinon micmaths ne va pas aussi loin il ne parle pas du tout des dernières fonctions avec les lettres, il ne parle pas non plus de tree(3), ni des flêches chaînées de Conway, etc. et réciproquempent, y a des choses dont médématiques ne parle pas mais qui sont dans la video de micmaths !!!! et puis micmaths n'a rien inventé c'est pas lui qui a créé les maths donc faut arreter

[@trucbidule9997]

@@mohammedhassate3167 et la façon d'expliquer est différente aussi et c'est pas le même montage etc. bref c'est pas du plagiat

[@micper5507]

quand tu parles d'un même sujet, forcément ça se ressemble, ça n'est pas une copie.

[@david-melekh-ysroel]

Tu as totalement tort au nombre de Graham. Tu n'as pas suivi le cours, c'est pour ça que tu ne connais pas bien le nombre de Graham Le nombre de Graham, parce que tu lignores, commence par 4 flèches ⏫ pas par 5.

J'ai déjà mis un commentaire là-dessus dans la description. Je ne l'ignore pas, j'ai simplement fait une erreur dans la construction de départ, et je m'en excuse. La construction marche pour les deux premières étapes, mais plus après. Pas besoin d'être si vindicatif !