Lipschitzianità: spiegazione, condizione necessaria e sufficiente,significato geometrico ed esempi

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Ciao ragazzi! In questo video vediamo il concetto di funzioni lipschitziane , proprietà ed esempi
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[@sadevkokuhennadige5558]

Sei il migliore

[@MYMATEMATICA]

🙏🏻💪🏻

[@andreaq6529]

Chiarissimo, solo una domanda: perché nell'esempio di x^4 hai usato la doppia implicazione se il teorema vale soltanto in un verso?

[@MYMATEMATICA]

Semplicemente perché ho sbagliato 🤦🏻‍♂️🤦🏻‍♂️🤦🏻‍♂️, grazie mille per aver commentato così da chiarire questo fatto a chiunque dovesse avere lo stesso dubbio. f' limitata ---> lipsch.

[@andreaq6529]

@@MYMATEMATICA Ma allora il fatto che la derivata non sia limitata non dovrebbe essere irrilevante? Proprio per il fatto che la limitatezza della derivata è una condizione sufficiente ma non necessaria allora la sua negazione non implica la non lipschitzianità

[@MYMATEMATICA]

Vero, ma tieni conto che il teorema prevede che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e limitato e non in tutto R. Spalmare quella funzione su tutto il piano fa perdere il significato geometrico di lipsc.

[@andreaq6529]

@@MYMATEMATICA Ah giusto scusami, non ho tenuto conto di quella condizione. Grazie 😃

[@bernysaudino668]

La Lipschitzianità vale anche negli insiemi non ordinati, cioè dove non è definitivo l'ordinamento totale, ma si può definire l'ordinamento parziale e magari anche un buon ordinamento parziale un esempio di questo è l'insieme dei numeri complessi, in qul caso si parla di modulo di un numero complesso cioè la radice della somma delle componenti al quadrato, nel modulo si può definire un buon ordinamento e viene applicato in questo caso |f(x₁)-f(x₂)|≤L|x₁-x₂| L∊ℝ⁺ E si può generalizzare in uno spazio normato ||f(x₁)-f(x₂)||≤L||x₁-x₂|| L∊ℝ⁺ Ed anche per lo spazio metrico d(f(x₁);f(x₂))≤L•d(x₁;x₂) L∊ℝ⁺ Che nello spazio normato si applica la distanza indotta da norma.

[@MYMATEMATICA]

Questa è un'ottima osservazione

[@ilconsiglierfuggiasco3653]

Scusami, video chiarissimo, ma il coefficiente angolare non dovrebbe essere compreso tra -4 e 32 tecnicamente? perché -32? Oppure è la stessa cosa?

[@MYMATEMATICA]

semplicemente una limitazione dall'alto

[@dinochiari3647]

Ora che ci penso sen x e cos x sono funzioni lipschitziane. Se le derivo per 4 volte torno al punto di partenza. Derivando mi trovo in questa situazione: sen x→cosx→-sen x→-cosx→sen x Anche con senh x e cosh x la stessa situazione ma con ciclo infinito di due anziché di quattro: senh x→cosh x→senh x→cosh x e così via. La lettera h sta per iperbolico.

[@MYMATEMATICA]

Si assolutamente si

[@tommyangelo1314]

Adam

[@lorenzoliciniocarino502]

esempi di funzioni non lip?

[@MYMATEMATICA]

y=x² y=e^x

[@lorenzoliciniocarino502]

@@MYMATEMATICA ma solo in un intorno di infinito giusto? e alla x solo in più infinito

[@lorenzoliciniocarino502]

il mio prof di mate ha usato le lip per dimostrare la continuità delle funzioni goniometriche

[@MYMATEMATICA]

La lipschitzianita' è una proprietà NON locale.... Quindi non posso dire " La funzione in x=12 non è lipschitziana " ma devo definire un intervallo in cui studio "quanto si impenna la funzione".... Semplicemente se il suo impennarsi va fuori controllo la funzione NON è lipsc. L'esponenziale non è lip. in tutto il suo dominio (non sono ad infinito) ma solo in intervalli del tipo (-inf; a]

[@MYMATEMATICA]

Ok 😁non è la strada più semplice ma funziona.... Se una funzione è lipsc. allora è anche continua. Seno e coseno hanno crescita sempre molto controllata in tutto il dominio