Base di uno spazio vettoriale .Come verificare una base .Teoria ed esempi algebra lineare

Base di uno spazio vettoriale e sua verifica .
Dopo aver visto i concetti di spazio vettoriale , sottospazio vettoriale , generatori e vettori linearmente indipendenti ; adesso è il momento di introdurre uno dei concetti cardini dell'algebra lineare che riguardano gli spazi vettoriali (e sottospazi ): il concetto di Base , di cui si farà parecchio uso nel futuro .
Per un dato spazio vettoriale riusciremo a capire se un determinato insieme di vettori costituisce o meno una base , e successivamente realizzerò un tutorial su come determinare una base a partire da un sottospazio vettoriale .
Generatori e combinazioni lineari :
• Generatori di spazi ve...
Vettori linearmente indipendenti :
• Vettori linearmente in...
-Come determinare una base e dimensione di uno spazio (sottospazio vettoriale) :
• Come trovare una base ...
#salvoromeo #algebralineare #basespaziovettoriale

[@annalicito8003]

è incredibile come, a volte, una piccola accortezza in più cambi radicalmente la situazione. non ho MAI capito questi argomenti, ma il fatto di utilizzare diversi colori mi ha reso la situazione decisamente più chiara. ovviamente però il merito più grande va a lei e alle sue capacità di spiegare con molta chiarezza, la ringrazio 🙏

[@salvoromeo]

La ringrazio Anna .Sono consapevole che non sono concetti scontati , ma cerco di fare del mio meglio tramite i video .Preferisco di gran lunga spiegare davanti un pubblico reale . Grazie mille per l'apprezzamento .

[@gianlucacasaburi451]

spiegazioni semplici e chiare, nonostante gli argomenti possano sembrare ostici ad una prima visione.

[@sunnyvibes832]

If every professor would teach in this easy way, well everybody would love school and education. Thank you for being here! Buon lavoro, se prenderò 30 al esame di Algebra (ed lo faro) sarà soltanto grazie a Lei!

[@cristianpasin1207]

Grazie mille per tutti i suoi video, veramente molto molto chiari!

[@salvoromeo]

La ringrazio per l'apprezzamento .Buona continuazione con altri video presenti nella presente playlist .

[@Alex-li8bz]

Complimenti per la chiarezza, stò seguendo il corso di algebra lineare e questi video mi stanno aiutando tantissimo.

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento .Continua a seguire la playlist di algebra lineare che si sta arricchendo di altri contenuti .

[@Paco_dog_beagle]

Grazie, grazie e ancora grazie per tutto il suo bel lavoro che fa.

[@salvoromeo]

Grazie Barbara , al solito mi fa piacere che i miei contenuti siano (anche parzialmente ) utili .

[@giorgiotosi3384]

Lezione chiarissima (come sempre 😉). Una curiosità... preferisce l'analisi, l'algebra o la geometria? Io mi sono accorto che faccio più fatica nello studio dell'algebra... nell'immaginare strutture algebriche così astratte. Un caro saluto.

[@salvoromeo]

Buonasera Giorgio .La matematica ha il suo fascino in tutti i suoi aspetti .Adoro tantissimo l'algebra lineare , l'analisi delle funzioni a variabile complessa e la geometria differenziale . Algebra lineare può sembrare ostile , ma capito il meccanismo diventa molto tangibile e non più un concetto astratto .Solitamente analisi 1 viene più semplice dal momento che lo studente ha studiato qualcosa di analisi 1 (integrale e funzione a livello superficiale ) al liceo , e quindi la trova più familiare . Algebra lineare e tutte le matematiche superiori ovviamente sono discipline che a primo impatto sono traumatiche , ma con il tempo ci si abitua.

[@giorgiotosi3384]

@@salvoromeo Grazie mille per la risposta... tuttavia io intendevo l'algebra "pura" (non so nemmeno come definirla). Per capirsi: gruppi, anelli, campi ecc...

[@salvoromeo]

Ok ok ho capito , ti riferivi ad "Algebra " , dove una parte viene dedicata alle strutture algebriche .Si sono concetti strettissimi ma se ci fai caso anche senza accorgevi di tutto ciò , vengono utilizzati spessissimo .Poi quando si approfondiscono capisco le difficoltà iniziali .

[@christianfalavena1374]

Se tutti i professori universitari spiegassero così.... Grazie mille!

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento , cerco di fare del mio meglio .

[@danielmonther2505]

grazie mille per la chiarissima spiegazione, pero ho una domanda, come abbiamo fatto la combinazione lineare membro membro nel primo esempio? grazie ancora

[@salvoromeo]

Buongiorno Daniel La ringrazio per il commento . Mi può indicare in punto esatto (minuto/secondo ) in cui ha riscontrato il dubbio ? Quando avrò un minuto di tempo libero Le risponderò con piacere .

[@sebseb8060]

salve professore, perciò dei vettori sono delle basi se sono dei generatori linearmente indipendenti, basta fare il procedimento dei generatori ma verficandone l indipendenza lineare?

[@salvoromeo]

Buonasera .Una base genera lo spazio vettoriale ma in modo unico , ovvero ogni vettore dello spazio vettoriale si scrivere modo unico come combinazione lineare dei vettori di base. In pratica i vettori di base generano lo spazio , ma sono linearmente indipendenti .

[@ddm367]

buongiorno dove posso trovare un video spiegazione su massimale dei vettori indipendenti e minimale dei generatori?

[@salvoromeo]

Buongiorno nella playlist è presente sia la lezione in cui spiego cosa sia un set di "generatori" una lezione in cui spiego (tramite definizione) il concetto di vettori linearmente in dipendenti e a seguire la lezione in cui parlo di "base di uno spazio vettoriale " applicando la definizione . Sono ovviamente lezioni basilari .

[@alessioleo9257]

video molto utile e la ringrazio per i contenuti che offre a tutti gli studenti e non che studiano algebra lineare, però non capisco perchè in molti suoi video per certe cose usa dei metodi più lunghi rispetto ad altri più semplici, per esempio per determinare se i vettori sono dipendenti lei fa tutto un giro lungo mentre bastava mettere i vettori in matrice e vedere il rango, nonostante ciò è sempre chiaro, grazie

[@salvoromeo]

Buonasera Alessio accolgo con piacere il suo messaggio .Le critiche costruttive e fate con garbo le adoro e lo dico sinceramente . Il Suo punto di vista è rispettabilissimo ma mi permetta di dire alcune cose cosicché capirà la scelta che ho deciso di fare per questo video . Per verificare che i vettori sono linearmente indipendenti ho utilizzato apposta la definizione ufficiale di vettori linearmente indipendenti e quindi la verifica è stata fatta tramite la definizione .Sono un sostenitore della teoria e per tale motivo in questo video ho preferito fare così in modo che lo studente sappia applicare anche la definizione che un domani potrebbe cadere nel dimenticatoio. Se ci fa caso andando avanti con le lezioni della playlist dopo aver parlato di rango e determinanti ho rilasciato una lezione in cui sono io stesso in prima persona a dichiarare il metodo pratico su come verificare se due vettori sono dipendenti o indipendenti evitando la definizione . Ho evitato di rilasciarla direttamente all'inizio per scongiurare che lo studente non sappia la definizione (ufficiale ) di vettori linearmente indipendenti e di base di uno spazio vettoriale. Tanto per fare un esempio molti studenti (purtroppo ) sanno determinare il nucleo di uno spazio vettoriale ma non mi sanno spiegare cosa sia il nucleo e questo dal mio punto di vista è un punto a sfavore dello studente che si vede scalare l'esercizio ad un terzo del punteggio massimo .Lo stesso capita quando si parla di autovettori e autovalori ...molti studenti sanno calcolare gli autovalori meccanicamente ma non sanno cosa siano a livello teorico .Per tale motivo i miei video non sono solo incentrati sulla parte pratica (utile al 30 % ) ma soprattutto sulla parte teorica al costo di allungare il numero di lezioni nella playlist, ma tutto a vantaggio di una migliore preparazione per i futuri matematici ,ingegneri e fisici . Se continua con la playlist troverà una lezione simile e troverà la lezione in cui spiego come determinare a livello pratico una base e vedere come verificare (tramite rango o determinante ) se i vettori sono linearmente dipendenti o meno . Mi scusi se mi sono dilungato tantissimo nel messaggio e sono stato lieto di confrontarmi su questo punto . Le auguro una buona serata e per qualsiasi cosa a disposizione . 😊

[@eros5610]

Posso chiederle una cosa?È’ una scelta quella di considerare il vettore (0,0) come riferimento per la combinazione lineare o è una condizione obbligatoria?Ricordo che nel video sulle combinazioni lineari aveva preso dei vettori casuali come riferimento

[@salvoromeo]

Buongiorno quando scelgo la combinazione lineare nulla lo faccio esclusivamente per verificare tramite definizione se i vettori sono linearmente indipendenti .

[@sveva3915]

Grazie per la lezione ma ho ancora un dubbio. Se nella risoluzione del sistema c’è un’incognita libera vuol necessariamente dire che i vettori non costituiscono una base? Grazie mille

[@salvoromeo]

Esatto , più incognite libere ci sono e più vettori necessitano per ottenere una base .Con le lezioni a seguire (la playlist di algebra lineare è ordinata ) capirà meglio tali concetti .

[@sveva3915]

@@salvoromeo La ringrazio vivamente per la risposta e per l’aiuto che mi sta fornendo nella preparazione degli esami

[@AndreaPancia1]

Buongiorno professore così a freddo mi viene da pensare quanto segue mi dice se è corretto? 1- inR3 solo 2 vettori anche L.I non rappresentano mai una base perché giacciono automaticamente sullo stesso piano. 2- In R3 se n vettori giacciono sullo stesso piano non rappresentano una base

[@salvoromeo]

Buongiorno esatto .In R³ due vettori a tre componenti non formano una base così come n vettori dello stesso piano in quanto solo due sono vettori indipendenti e quindi non potranno mai essere una base di R³ . Per essere una base si devono verificare delle condizioni spiegate in uns lezione apposita di questa playlist .

[@annacassi5278]

Buonasera prof, volevo porle una domanda. V = {(x, y, z, t) in R4 | t-y =z+2x} in questo caso quante equazioni ho? V2 = {(x, y, z, t) : x + 2y = z + t = 3x = 0} e in questo?

[@salvoromeo]

Buonasera , nel primo caso ha una sola equazione .Nel secondo caso ha tre equazioni indipendenti .

[@annacassi5278]

@@salvoromeo grazie mille, se riesco a passare l'esame è solo grazie a lei

[@dinochiari3647]

Un esempio di vettori linearmente indipendenti potrebbe essere questo v' (-4;9) e v'' (7;-2). Invece un esempio di linearmente dipendenti sarebbe v' (1;3) e v'' (-5;-15) perché il secondo vettore e multiplo del primo.

[@salvoromeo]

Esatto , molto bene .Queste sono considerazioni pratiche ma non meno importanti

[@dinochiari3647]

@@salvoromeo vorrei capire per esempio se questi vettori sono dipendenti o indipendenti v'(-7;5) e v''(-5;7). Oppure questo altro esempio v'(1;-6) e v''(-6;1).

[@dinochiari3647]

@@salvoromeo mettendo i due esempi a sistema ho provato a calcolare il determinante. In v'(-7;5) e v''(-5;7) mi e venuto fuori -2v'=0 e 2v''=0. Quindi in questo caso v'=-v''. I due vettori hanno valori opposti. Nel secondo esempio v'(1;-6) e v''(-6;1) e venuto fuori -5v'=0 e -5v''=0. Deduco che v'=v'', quindi e venuto fuori il medesimo valore per entrambi.

[@salvoromeo]

Mettendo i due vettori in riga (o colonna) puoi calcolare il determinante poiché la matrice è quadrata .Non sempre è possibile fare ciò dal momento che mettendo i vettori in riga non sempre si ha una matrice quadrata .

[@dinochiari3647]

@@salvoromeo però penso che i due esempi siano vettori linearmente indipendenti. Nel primo esempio i due vettori sono invertiti di segno e di valore e nel secondo di valore. Basta fare un grafico e non sono paralleli.

[@lorenzopatti8755]

Se prima avevo perso le speranze ora sono convinto di farcela

[@salvoromeo]

Buongiorno Lorenzo , mi fa molto piacere che tramite un video tu abbia capito un concetto che apparentemente si presentava ostile . Mai perdere le speranze (indipendentemente dalla materia che si studia ).