[지식in] 바퀴의 역설

후원 | 우리은행 1002-031-127166 (이상엽)
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00:47 1. 일대일대응의 오해
2. 역설의 풀이
03:57 (1) 1단계 - 회전이동
06:36 (2) 2단계 - 점프이동
14:20 마치며
#역설 #paradox #해설
이상엽math.com

[@lsy_math]

인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 댓글에서 얘기 나오는 대로, 0에 수렴하는 무한한 점프는 곧 ‘미끄러짐’이라 봐도 무방합니다. 또한 역설을 해설하는 방법은 다양합니다. 다만 이 영상에서는 ‘무한’에 대한 조명을 목적으로 하였다는 점을 알아주셨으면 좋겠네요.

[@user-yh3jd5uc3j]

재미있는 강의였어요!!

[@finteqqq]

썸네일 보고 두뇌풀가동 하다가 무지를 인정하고, 도저히 안누를 수가 없었다......

[@SY-ds8vt]

동지여

[@alps4193]

야 너두? 야! 나두!

[@user-iu4ce5hv1f]

ㅋㅎㅋㅎㅋ

[@개악질]

ㄹㅇㅋㅋ 내 능지로 증명할수가없어서 들어옴

[@klavier9980]

ㅇㅈㅇㅈㅋㅋㅋ

[@박마간]

0:08 아히아이야 쌔입니다.

[@user-qm3hf5td9x]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@scho3180]

ㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 요새 진짜 상엽쌤 영상 볼 때마다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 웃고 시작하네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@geoni4]

0:00으로 바뀜

[@codygks44]

이런 역설이 있는지도 몰랐지만, 썸네일을 보는순간 궁금해 미쳐버림 ㅋㅋㅋ

[@일레기-x3d]

궁금당해버림ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@user-kr4fb6tu3g]

ㄹㅇㅋㅋ

[@hyeonsseungsseungi]

진용진당함...

[@NAES]

@@hyeonsseungsseungi 진용진당함ㅋㅋㅋㅋ

[@bosun7302]

@@hyeonsseungsseungi ㄹㅇㅋㅋ

[@kjw809]

'무한'이라는 개념에 있어서는 항상 우리의 직관적인 생각을 의심해볼 필요가 있는 거 같음...

[@김자운]

무야호 그만큼 개념을 정확하게 아는것이 중요하다는거지

[@ksomzd4593]

@@김자운 두개가 섞인 맛이 나네요

[@Unknown-qz6jn]

정말 좋은 말씀을 해주셨습니다. 무한, 극한을 포함해 우주의 정말 은밀한 곳은 직관에 의한 귀납적 추론을 맹신할 수 없고, 오로지 깊은 고민을 거듭한 연역적인 논증과 이성만이 빛을 발하는 건 같습니다. 이러한 직관과 현실의 괴리를 인정하고 깊은 성찰과 반성을 할 줄 아는 사람이 진정 현명한 사람이겠죠.

[@KOF-Tarma]

썸네일을 보고 당연히 '사이클로이드 이야기구나'라고 생각했는데 다른 관점으로의 접근이었네요. 재미있게 시청하였습니다.

[@I_am_9root]

살면서 처음으로 자의로 인강을 듣게 되네... 진짜 재밌게 들었습니다 고등학교 졸업 이후 오랜만에 이런 배우는 재미를 느껴보네요

[@sankwon6488]

이런 역설 처음으로 발견한 사람은 얼마나 궁금했을까 ㅋㅋ

[@user-wc3eg3ri7z]

아르키메데스가 무한에 대해 많은 통찰을 했지요...

[@uhkmygod]

그 유명한 아리스토텔레스 입니다

[@몰라-y2i3v]

전 그림자를 보고도 궁금해 한 기억이 있네요. 일대일대응으로 하면 길이가 같나? 라는 생각을 했었거든요. 근데 학교, 학원 선생님들이 이에 대한 해답을 주지 못했고, 점차 기억에서 묻혀 가고 있었는데, 마침 영상에 있었네요

[@정도운-w5i]

@@몰라-y2i3v 일상생활에서 통찰력이 깊으신 분이시네요 감탄하고 갑니다

[@user-rt1sz5cg7e]

@@몰라-y2i3v 저는 이세계가 실제로 존재하는가 왜 이런형태로 존재하는가 왜 오른쪽 왼쪽 아래 위가 구분되는가 등등.. 시덥잖은 질문 던지다가 뇌의 한계를 느끼고 놔줘버림..

[@maindormoon]

이런 역설이 있는지 첨봐서 ㅋㅋㅋ 토목전공이라 그런지 당연히 두 원이 그리는 궤적 길이의 차이니까라고만 생각했는데 선생님 설명이 상당히 흥미롭네요 ㅋㅋ 역시 같은 현상도 여러 시각이 존재하는거같습니다.. 재밌네요 수학의 세계.. 올리신 영상 다 볼 듯 ㄷㄷㄷ

[@Jughead-o1y]

00:07 아니야세야 쌔임다ㅋㅋㅋㅋ

[@한강에서재기하신분성]

ㅋㅋㅋㅋㅋ

[@이상명-k2i]

고등학교 2학년 당시 수학쌤이 알려주신 문제의 해답을 지금이라도 알게 되어서 후련한 기분이 듭니다. 이 문제의 답을 알려고 혼자서 끙끙대던 시간도 있었는데 어느샌가 잊어버리고 있었네요.

[@3Blue1BrownKR]

아 잘 봤습니다. 확실히 수학은 직관으로'만' 이해되는 학문은 아니죠

[@하태우-i2w]

오 미친 찐이당! 영상 너무 신기하고 재밌게 보고 있어요 ^^

[@jadekimin5698]

뭐야 진짜네..?

[@Reddeef]

와 본채널말고 한글채널이 있었구낭

[@lsggg123]

ㄷㄷ

[@i.am.jihoonk]

@@Reddeef 예 원본을 번역해서 올려주는 채널이에요

[@fall0914]

이 주제에 대하여 여러해 전에 토론을 했는데 명확하게 설명을 하지 못했습니다. 그런데 이 설명을 듣고 이제 명확하게 설명할 수 있게됐습니다. 감사합니다.

[@이히히-n2g]

어렸을 때 이 역설을 듣고 대충 작은 원이 미끄러져 이동한다고 이해 했는데 자세한 설명을 들으니 좋네요

[@emiliofermi9994]

님도 맞아요. 저도 님처럼 이해함. 작은 원은 큰 원과는 달리 미끄러져서 이동하죠. 큰원은 지표면과 정확히 일대일로 맞물려서 이동하는데 작은원은 정확히 맞물려서 이동하는 거리 뿐만아니라 미끄러져서 이동되는 거리도 더해야 하죠.

[@go9me]

이 당연한걸 이해 못한 저에게 가르침을 주신 당신은 참스승님이십니다 ㅜㅜ 감사합니다 ㅜㅜ

[@nope.goback]

1. 당연히 다른 거리지 2. 아니지 같은 거리지 3. 아니지 다르지 4. 아니 같은데 무한반복하면서 에러 일으키는 중 ㅋㅋㅋㅋㅋ

[@행복한양]

ㅋㅋㅋㅋ 귀여웡

[@김완기-f5e]

측도론에서의 관점. 실제로 원소의 개수는 실수와 동일하지만, 측도를 재면 안쪽 원이 바깥쪽 원보다 작습니다. 이는 원소의 개수와 우리가 재는 측도 (길이 넓이 부피)는 애초에 다른 개념이라는것을 알려줍니다. 정확한 측도를 재기위해 적분이 필수 불가결. 원의 둘레또한 어떤 함수를 적분해서 나온 결과일 뿐. 측도를 눈대중으로 비교하는 것은 말도 안되는 일입니다

[@hyeonsseungsseungi]

우리가 측도론을 배워야 하는 이유군요... 감사합니다!

[@정용석-o8h]

오호라

[@blcwellbc]

상엽쌤이 멈춰놓고 생각해보라는 동안 어렴풋이 이걸 검증해보고 싶었는데, 지식이 없어서 엉뚱한 삽질만 했습니다 ㅋㅋ;;

[@김완기-f5e]

측도론은 배울 필요 없고 그냥 저런 의문이 들때 수식 계산으로 값을 구하면 됩니다. 직관으로 수학을 보면 꼬이기 마련이거든요. 가령 지구둘레만큼의 밧줄에 10m만큼 늘리면 지구를 감쌌을때 아주 미세한 틈이 생길 것 같지만, 계산해보면 모든 곳에서 1.6m만큼의 틈이 생깁니다. 정의나 개념은 사람이 만든것인지라 어느정도 머릿속에 그리며 받아들여도 되지만, 실제 상황에서는 수식 계산의 결과만이 정답입니다

[@prob_stat]

흔히 영재수업에서 활용하는 역설(유한에서 이루어진 사고로 무한에서 생기는 오개념을 주제로한) 중 하나인데, 거속시로 풀이를 하다니 놀랐습니다 ㅎㅎ 학교에서 일을 하신다면 정말 옆에서 하루종일 수학을 논하고싶어지는 대단하신분이어요

[@prob_stat]

저는 고작 톱니바퀴(둘레를 유한개로 쪼개는)를 활용해서 설명을 했고, 결국 무한에 관한 논법을 펼치진 못해서 너무 부끄럽네요

[@withnotbrain]

가장 사실적인 구분.... 노란선은 회전길이(O), 이동길이(O)이고 빨간선은 회전길이(X), 이동길이(O)이다...그것이 뜻하는건 회전길이보다 이동길이가 많았다는것인데 그것을 상상해보면 미끄러지고 있다는걸 알수있다... 안쪽으로 갈수록 미끄러짐이 심해지고, 중심점은 회전없이 미끄러지기만 한다...

[@timetree4124]

이야... 한번에 이해가 팍 되네요.. ㅋㅋㅋㅋㅌ 중심점은 당연히 회전을 할 수가 없구나...

[@chromeboyy]

당신이 제 뇌를 구했어요

[@elecricecooker]

이게 젤쉽네요. 감사합니디

[@열럽]

@@timetree4124 기준점을 어디로 두냐에 따라 다르죠. 사실 바닥에 닿는 점들은 미끄러지지 않기 때문에 직선운동이 없다고 봐도 되지만, 무게중심을 기준으로 기술하면 직선운동은 앞으로, 회전운동은 뒤로 이루어지며 두 운동의 x성분(운동방향과 평행인 성분)이 정확히 상쇄된다고 보셔도 될 것입니다. 무게중심을 기준으론 회전축이 바퀴 중심이기 때문에 본인은 이동하지 않고 직진운동을 하는 것처럼 생각하지만, 바닥에선 전진속도와 회전으로 인한 후진속도가 정확히 일치하므로 순간 정지한것처럼 되는 것이죠. 반면 바퀴의 최상단은 전진속도와 회전 속도가 같고 같은 방향이므로, 2배의 속도로 앞으로 나아가게 됩니다. 즉 실제 운동은 바닥과의 접점에서 일어나고 있고, 최상단은 순간적으로 바퀴의 지름을 반지름으로 하는 큰 회전운동을 하는것으로 볼 수 있지요. 회전축 자체가 움직이기 때문에 전체적 움직임을 원을 그리진 않지만. 상대론에 대한 이해가 있으면 이해가 쉬울거고 아니면 정말 이해가 어려울거라 생각해요. 가운데 원이 도약점프를 한다는 것은 회전축이 움직이면서 바닥을 기준으로 회전운동을 한다 보느냐(이것이 도약점프), 무게중심을 기준으로 둬서 병진운동 요소를 없애고 오로지 회전으로만 기술해서 보느냐 차이인듯.

[@user-mc7ko8km4j]

사람의 인식이 유한에만 머물러 있어서 무한을 다룰때 오류를 범하기가 쉽군요. 직관으로 현상을 다뤘을 때생기는 오류!! 확통시간에 기저율의 오류에 대해서 배웠는데 둘다 직관에 의존했을때 오류를 범할 수 있다는 점에서 연관성이 있네요. 간단한 도형에서부터 확장시켜 설명해주셔서 이해가 잘됐어요! 영상 잘봤습니다

[@tutmaster3599]

Inner circle rotate 1 turn with certain amount of drift (jump) at the same time instantaneously and continuously What a brilliant explanation!!! Respect!!!!

[@ensutocer58]

How did you understand the korean?

[@열럽]

none of those points on the circle have the trace like that linear. every points of the outer circle has the trace called "cycloid" and the trace length is actually longer than the line(which has same length with the perimeter of the wheel). the center of the circle only maintains linear motion, so the motion of outer circle can be explained by the combination of two, "linear" and "rotating". every points on the wheel has the same overall linear movement, so the trace length of linear movement remains same regardless of the initial location. only circular(rotating) movement differs in regard of the direction toward the center of the wheel, when it's zero it has no rotation, and when it's maximized, it will draw the biggest circle equal to the wheel's shape. so inner circle will draw a half-sized circle inside. Those two circle never draws the same trace, which is pretty important in this situation.

[@111-w1m]

쌤 오늘도 흥미롭고 유익한영상 감사합니다!! 항상 응원해요😊

[@addase]

헐 오랜만에 왔는데 구독자 드디어 폭발하셨군요? ㅊㅋ드립니당. 계기가 뭐였는지 궁금하네용.

[@user-ti3cg4gl4l]

귀류법과 간접증명법의 차이에 관한 영상이 볼려고하니 영상이 사라졌는지 없네요 ㅠㅠ

[@timetree4124]

이것 때문만은 아니겠지만 라디안의 중요성을 다시금 깨달을 수 있었습니다 ㅋㅋㅋㅋ

[@user-cc1wu9ds7x]

40대 후반 아재입니다. 대략 20년 전 쯤... 이문제를 어딘가에선가 보고 도저히 이해할수가 없어서 이문제의 답을 알고 싶었는데... 그때만 해도 어디서 답을 찾아야 하는지도 모르겠고... 암튼 답을 모른체 지내다가 가끔 친구나 회사 후배들한테 이문제를 내면서 바퀴의 바깥원과 안원의 이동이 같으니 바깥원과 안원의 길이는 같다...!!! 라며 어디가 오류인지 설명해봐라며... 물론 저역시도 설명하지 못하면서 말이죠... 썸네일보고 깜짝놀라서 바로 보고 두번 봤네요... ㅎㅎ 대충 이해는 되는데 암튼 무지 어려운 문제였군요... 감사합니다.

[@zzangbike2524]

정말 재밌고 이해 잘됩니다... ㅎㅎ 감사합니다. 이렇게 쉽게 증명하는 방법이 있다니~

[@Total_Syntheses]

바깥 원과 안쪽 원을 연결한 뒤에 풀어 헤칠때, 안쪽 원이 쫘악 잡아당겨진 듯한 그런 느낌이네요. 대충 고무줄을 늘리면 고무줄 본래의 길이 + 늘어나면서 생긴 분자간 거리 = 회전이동 하면서 얻는 본래길이 + 점프이동 거리 고무줄은 단순히 풀어헤친 것 외에 늘어났다는 외부 요인이 있던 겁니다!

[@Snowflake_tv]

그럼 원래 서로 같은 똑같은 원인데 늘어난건강...

[@user-tw1jh2pd8k]

@@Snowflake_tv 비유를 1대1로 받아들이면 오류가 생깁니다

[@syldris]

와... 20분이 2분같이 느껴졌습니다.

[@김주민-l3j]

저는 이해하는데 2년걸릴거같아요...

[@Summer_isle]

와 고등학생 때 이후로 7년만에 의문이 풀렸다.. 수학쌤들이 다 무한이니까 그렇다고 대충 말해줬었는데

[@salfog8823]

ㅇㅈㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@gaszerg]

선생님들도 정확히 모릅니다. ㅋ

[@hisi5976]

@@gaszerg ? 수학과나 수학교육과 1학년때 집합론만 배워도 알수 있는걸 교사가 모를리가요. 거의 모든 대학 수학의 기초가 되는 과목입니다. 근거없이 선생님들 무시하지 마세요. (현직 교사시라면 반성하시구요..) 님들 생각보다 훨씬 어려운 공부했던 분들입니다.

[@박준혁-l5g]

@@gaszerg 유치원 선생님 아니였을까ㅋㅋ

[@gaszerg]

@@hisi5976 가서 물어보세요. 회전의 원리자체를 알아야되는건데 수학만으로 되는게 아닙니다.. 물리적 가정이 필요하고 회전에 대한 이해가 필요합니다. 다이나믹스에서 rigid와 no slip condtion 전제로 설명하는건데.. 집합론만 안다고 저걸 정확히 설명한다는점에서 웃고갑니다... 대략적으로는 수학 선생님들도 알수도 있으나 저걸 수식으로 표현해라고하면 못합니다. 오히려 물리선생님들 알겟죠.

[@user-xb3xp8yt9k]

문과출신에다가 대학 졸업하고 회사원인 내가 왜 관련도 없는 이 영상이 너무나 흥미로운것인가...

[@중학부과학토론-r4e]

초등학교 때 책에 보고 고민하다가 포기했었는데 영상으로 다뤄주시니까 그 기억이 다시 떠오르네요 ㅋㅋㅋ

[@성이름-p3c8s]

물리 배운 사람들은 이해가 더 쉬울것 같네요. 영상 잘 봤습니다.

[@MATH-jh1yb]

오! 신박한 설명입니다. 정말 멋진 설명입니다. 이상엽 선생님!

[@한보람]

아아, 이것은... "헛바퀴 돈다"라는 것이다...

[@user-qm3hf5td9x]

와 미쳐따 왜 이렇게 설레고 두근거리지 개재밌어...ㄷㄷ

[@hongbak4415]

점프라는 개념은 처음 들었지만, 원에서도 인식하는 방법은 있을거 같습니다. 저기 그림에서 가로선을 지우고 큰원과 작은원의 일대일 대응이되는 점을 두고 원이 굴러갈때 점이 이동하는 궤적을 그려보고, 그 아래에는 작은원과 똑같은 크기의 원을 그려서 그 원이 한바퀴 굴렸을때의 점의 궤적을 그린 뒤 위쪽의 작은원과 아래쪽의 작은원에서 생긴 두 궤적의 차이를 비교하면 점프의 길이가 인지될듯 합니다. 결론적으로 저 가로선에 의해 저 점들의 이동거리가 같은거 아닌가 라는 생각으로 생긴 일종의 착시(또는 착오?)였네요

[@I_am_9root]

와... 감탄하면서 봤습니다 학창시절 이후로 닫혀있던 수학에 대한 학구열이 다시금 꿈틀거리는게 느껴졌어요! 재밌게 봤습니다 좋은 영상 감사합니다

[@I_am_9root]

다만 0에 무한히 가까운 수가 무한번 반복되는데 어떻게 특정 실수가 나올 수 있는 지에 대해서는 아직도 말끔히 이해가 되지 않네요 이 부분은 더 찾아봐야겠어요!

[@kevink.2690]

이 영상 보고 바로 구독했습니다. 좋은 콘텐츠 감사합니다.

[@mathmelody583]

썸네일을 보고 그냥 지나칠 수가 없었어요... 썸네일을 뚫어져라 5분간 쳐다보면서 고민하다가... 결국 답을 못찾고 들어왔습니다 ㅎㅎㅎ 좋은 영상 감사합니다

[@PlainMint]

00:08 발음 너무 스무스하신데요??ㅋㅋㅋㅋ

[@Moon_Ko]

와 설명이 너무 좋아요

[@smosco1658]

간단한 물리적 실험으로 결과를 알수있습니다 바퀴의 축을 줄로 매달거나 고정된 위치에 올려놓고 제자리에서 축이 한바퀴 돌게 합니다. 이때 각각 작은바퀴와 큰바퀴에 롤러를 갖다 대고 그 사이에 종이 테이프를 지나가게 합니다. 그러면 실험 결과는 축이 한바퀴돌때 지난간 종이테이프의 길이는 각각 작은 바퀴와 큰바퀴의 둘레 길이와 정확히 일치합니다... 유튜브 영상들 참고하세요.. 물리적 실험으로는 당연한 결과를 수학적으로 이렇게 설명하니 되게 신기함 ... 수학은 대단한 학문임. ..... 시험결과를 보면 강사님 설명대로 실제 각 바퀴가 지면에 대하여 이동한거리는 바퀴 둘레길이 만큼임... 즉 작은바퀴는 큰 바퀴에 얹혀서 실려간거임.. 실려가는 간극과 실제로 이동하는 간극이 너무작다것임. 사람발로 치면 자전거를 타고 다리를 죽어라 땅에 댓다 들었다를 1초에 수천억번하면 우리눈에는 그냥 다리가 땅에 닿아 걸어가는 것처럼..ㅋㅋ

[@특목고준비하는사람]

이 어려운 개념을 이렇게 잘 설명해 주신ㄷ.. 진짜 존경합니다. 저 이제 중학교들어가는데 그 이후로도 계속 수학을 무작정 계산안하고 이런식으로 배우면 진짜 좋겠다, 오늘도 감사합니다

[@김진영-r5j2k]

세모바퀴와 네모바퀴의 궤적이 참 좋은 예이네요.

[@user-kh2nv6yb2s]

좋은 영상 감사드립니다

[@shimsw]

솔직히 물리문제라고 생각하고 들어왔는데 여기서 무한에 대해서 들을지 생각조차 못해봄. 생각해보면 중심 점이 그리는 궤적도 원둘레의 접선의 길이랑 같을텐데 회전에 해대 생각할 필요도 없이 중심에 대해 고려하면 이 선은 미끄러져 생기는 것이고 이러면 한 점으로부터 무한한 점들이 대응된다는 일이 생긴다. 그럼 한 점이 한 점이 아니고 무한이 많은 점이 한 위치에 있다고 해야한다던지 아니면 말대로 점의 개수보다는 농도를 얘기하는게 그나마 나은 상황이 되는것 같다. 그러니 바깥과 안쪽원이 고정되 있을때 서로 서로 대응되는 점들이 있으니 바깥원이 한번 도는 거리랑 안쪽원이 도는 거리랑 같아진다는게 이해가 됨!

[@user-xk3qu3ne9o]

형 나 지렸어... 멋있다 설명 개 잘한다

[@henryp9488]

자동차영상인줄알고 들어왔습니다. 죄송합니다 그냥 좋아요 누르고 나갈게요. .

[@BotrixNEO]

회전체의 순간 중심의 개념이 기하적으로 이렇게 명쾌하게 설명되네요

[@soongum]

아~ 재밌어 ㅎㅎ 너무 당연히 여겨왔지만 깊게 생각안해봐서 모르고 지냈다가 그림 하나 보고 엇~!! 이건뭐지??

[@박마간]

실제로는 안쪽에 있는 원은 Rotation + Translation이라는 거죠? 더 좀더 생각하면, 저 바퀴에 자동차의 차체가 달려있어 우리가 타고 있으면 회전은 전혀 하지않으면서, 평행이동만 하고 있게 되는것.이죠..

[@sowovertrainow]

이게 공간이동인가?

[@sungjaelim481]

@@Broken_Pencil translate은 어느 한 곳에서 다른 곳으로 이동한다는 뜻도 있습니돠

[@gaszerg]

굴러가는 원 모든점에서는 rotating motion 과 translating motion의 벡터합입니다. 밖의 원도요

[@elnino6321]

와… 이 어려운 개념의 설명을 삼각형, 사각형으로 설명해주시니까 원에서의 점프까지 연쇄적으로 개념이 연결되네요 ^-^. 사람의 유한성이 무한성을 생각할 수 있는 학문이라서 수학이 재밌나봅니다ㅎ

[@백화연몽]

이거 중딩 때부터 궁굼했던 내용인데 드디어 풀리네요...

[@KyujinSim]

흥미로운 주제 강의 감사드립니다.

[@Adhfhvd3k3n]

이채널은 썸네일이 진짜 중요한듯 이것도 썸네일보고 "어..?그러게..?" 하면서 홀린듯 들어옴

[@김삼수-x6s]

00:00 온노쇼쵸몬도에 이은 ㅇㄴㅎ하쎄임니다

[@moyksh]

결과적으로 안쪽 원은 슬라이딩하며 움직이는 형태이기 때문이라고 생각했는데 이것도 맞는 말이겠죵

[@송인국]

네

[@nol_jeon_gyoung_moo]

미끄러짐을 생각하고 들어왔는데 확실히 똑같은걸 말해도 선생님은 다르네요ㄷㄷ

[@user-yb8ew3lo2m]

처음 원 그림일 때는 잘 상상이 안되었는데 삼각형 그림으로 보여주시니 이해가 딱 되네요!! 좋은 영상 캄사합니다...

[@subin9211]

좋은 강의 보고갑니다ㅎㅎ

[@zoonghyun]

아직도 제대로 이해가 완벽히 되진 않았지만 뭔가 음?오!엥?오오!! 이러면서 봤네요ㅋㅋㅋ 늘 감사드립니다 선생님. 책 기다리고 있겠습니다~~~!

[@一妄一語]

최고!!

[@cherry-on-top]

이 강의 덕분에 무한이라는 개념에 한걸음 더 다가갈 수 있었습니다. 감사합니다. 초다각형의 점프에서는 0에 수렴하지만 일단 확실히 있는 아주 작은 굴곡들의 연속이 그려지지만, 이 무한각형이라고 불리우는 원에서는 각이 실질적으로 없거나, 무한개이기에, 직선이 되어버리는군요.. 어쨌든 앞으로 나아가는게 신기하면서도 정말 당연하게 느껴지네요.

[@GwameongE]

좋은 영상 감사합니다!

[@curspear]

이건 큰 원과 작은 원을 따로 분리한 뒤 똑같은 회전과 이동 거리를 비교하면 이상함이 보일 겁니다. 큰 원은 회전한 만큼 한 방향으로 이동하지만, 작은 원은 회전과 자체 이동이 있습니다. 작은 원에서 회전을 제외하면 그냥 이동만 있다고 생각하시면 됩니다.

[@열럽]

큰원도 정확히 말하면 한방향으로 이동하지 않습니다. 미끄러지지 않는 강체바퀴의 진행은 사이클로이드라는 특수한 궤적을 그립니다. 작은원은 원의 중심과 큰 원의 운동을 반씩 더한 형태를 띄고 있습니다. 그래서 실제로 두 원이 정지한 바닥을 기준으로 그리는 궤도의 길이는 같지 않으며, 바퀴 중심을 기준으로 볼때는 회전만 존재하기 때문에 정확히 2배의 궤도길이 차가 발생합니다.

[@열럽]

자체 이동만 있다고 표현하신 것은 큰원의 외곽이 아닌 무게중심을 가지고 기술하시는게 타당하다고 보입니다.

[@user-ef9rw7zl8k]

바깥원은 멈춘 지면을 밟고가고 안쪽 원은 움직이는 바퀴 내면을 밟고 가니 수평방향 벡터가 더해져서 이동하는거라고 생각해도 되나요?

[@netcare1dot152]

수학보다는 물리에 가까운 질문 일 수 있는데요. 자동차의 앞바퀴와 뒷바퀴가 크기(지름)가 다른 경우에 대해 설명 부탁드려봅니다. 1. 앞,뒤바퀴가 크기가 다르지만 전륜 또는 후륜 구동일 경우 크기가 같은 두개의 바퀴만 구동을 하고 나머지 두개는 단지 마찰에 의해 회전만 함으로 문제가 없다. 2. 사륜 구동의 경우 바퀴의 크기차이에서 오는 거리의 갭을 메꾸기 위해 근사치까지의 값을 회전축에서 바퀴까지의 중간에 기어(크기가 다른 톱니바퀴들을 맞물려서)를 이용해서 만들 수는 있지만 정확히 일치하지는 않을 것이다. 그럼 4륜구동 차량은 위험한 것일까? 3. 자동차 바퀴는 고무로 만들어져서 마모가 되는데 실제로 타이어의 마모는 균등하게 일어나지 않는 이유는 무엇이고, 그래도 이것은 안전하다고 할 구 있을까?

[@user-iy6bz7iy9m]

배움의 정도가 어느정도 인지 모르겠으나 답변을 드리자면 조향에 따른 바퀴 회전수나 크기 차이는 차동기어(디퍼런셜 기어)라고 불리는 기계식 장치에 의해 자동적으로 동력을 분배함으로써 해결됩니다. 특히 4륜구동의 경우 아우디의 콰트로가 유명한데 중앙 샤프트축에 센터 디퍼런셜 기어를 통해 동력을 제어합니다. 차동기어의 원리가 궁금하시다면 유튜브에 검색해보시면 더 자세하고 좋은정보 얻으실 수 있을 겁니다.

[@H3nry_B1ackburn]

4륜구동의 경우 그렇고 2륜구동 4륜차인경우 그냥 선속도는 같습니다 회전속도가 다를 수 있죠

[@klas_young]

재미있네요! 감사합니다

[@이선우-k6e]

잘 보고있습니다

[@TeDAN-gu6jz]

생각의 아름다움을 느낄 수 있는 채널....베르트랑의 역설도 부탁드립니다!

[@N138-t7e]

예전에 다루신 영상 있습니다. kzbin.info/www/bejne/Z3Ose4NoeLGFqM0

[@TeDAN-gu6jz]

오 감사합니다!

[@rlaalsgur5959]

하나 집히는게 있는게 있습니다. 원의 점은 무한하여 무한한 점프를 한다하고 한번 점프할때의 거리는 한없이 0에 수림한다고 했는데 아무리 0에 가깝다고 하더라도 결국 실수이고 실수를 무한히 더한다면 결국 무한이되어야 하는데 유리수가 되어 오류가 났다고 생각합니다. 만약 이와같으면 무한소수를 무한번 더하면 유리수가 된다는 말입니다. 끝이 없어야할 무한을 더했더니 끝이생긴 것이다. 그러면 무한은 끝없는 수가 아닌 인간이 해아릴 수 없는 수가 맞지않겠습니까?

[@crowelvengarde]

무한소와 무한대를 곱해서 유한이 되는 극한의 세계...

[@효오재]

무한소가 맞나요?

[@crowelvengarde]

@@효오재 lim(x→∞) (1/x)x = 1 같은 경우를 이야기한 거니까요. 댓글을 굳이 길게 늘려서 적을 필요까지야 없죠.

[@열럽]

무한소와 극한은 다른 세계관입니다. 무한소와 무한대는 비표준해석학 용어이며 극한은 표준, 즉 우리가 늘상 하고있는 수학의 세계죠. 근데 로피탈 정리나 dy, dx 같은 표기법 보면 사실 표준 비표준 구분이 의미가 있나 싶기도 하고 그래요..

[@뽀삐01]

아 ㅋㅋ 구심가속도는 rw^2이므로 주기 T가 같은 두 원이 각속도가 같고, 반지름이 다르기 때문에 같이 돌 뿐(주기가 같음), 도는 원주의 길이는 다를 수 밖에 없습니다. 이때 둘이 회전하는 가속도의 비율은 반지름의 비율과 같습니다.

[@dd6814]

잘먹었습니다 일용할지식 감사합니다

[@akasiay2115]

설명은 잘 들었습니다. 그런데 이상하다고 생각 되는 부분이 있어요. (8:17)바퀴를 굴려보면 처음 지면에 닿아 있는 부분은 궤적이 커다란 호를 그리고 바퀴의 중심(그림에서 작은 원을 극단적으로 작게 그리면 원의 중심이어서..)은 직선을 그리죠.. 그런데 그것을 지면에 그려진 부분만을 이동거리로써 표현하니 오류가 생긱는게 아닐까 싶어요.. 높이의 개념이 배제된 듯한 느낌이 들어요..(그래서 점프라고 표현하는건가...? ㅎ) 또 하나.,,. (12:29) 점프의 개념 설명 후 다음 구간 설명으로 이어질때 ... 동시에 다른 꼭지점의 이동도 일어나는데 그 부분의 설명이 없이 같은 포인트로만 설명한거 같아요.. 두번째 이동할때 방금 이동한 꼭지점이 삼각형 맨 위로 이동 되는데 그러한 부분의 설명이 없어서 의아스러워요,, 제가 수학적 개념이 부족해서 그런거려나요 ㅠㅠ

[@열럽]

물리학적으로는 너무 쉬운 문제인데 갑자기 무한과 집합론이 엮이면서 좀 어렵게 설명하신거 같아요.

[@geomeori1]

새로운 인식의 폭을 넓혀주셔서 감사합니다 너무 신기하네요

[@ain2943]

가산 무한. 자연수와 정수는 개수가 같다. 이를 증명한 칸토르는 온갖 명제를 만들었고 증명하지 못하고 미쳐버렸다고. 그리고 칸토르의 명제를 당시 수학으로 증명할 수 없다는걸 증명한 누구도 미쳤다고.. 수학에서 무한은 악마가 살고있는듯. 매력적이지만 쉽지가 않음

[@user-qh7vi7sg3s]

무한이랑 정수 0은 평생 미스테리로 남을거같네요.. ㅋㅋ 거의 제일 문제가 많은 숫자 둘이니

[@jjpark1914]

무한점프, 미끄러짐 재밌네요. 직선이동하면서 얻어지는 작은 원의 최하단 점들의 집합은 당연히 직선이고 연속이겠죠?

[@Redireeee]

아 그렇네요 미끄러짐이있는건 안의 작은원이고 미끄러짐이 없는것이 저 큰원이고 그에따라 큰원은 병진운동없이 회전운동만 하는 것으로 볼수있고 또한 밑부분의 순간속도는 0이므로 순간중심으로서 식을 설계할수있는거군요..

[@슉]

정확하게 말하자면 기본적으로 회전이라는 것의 기준을 원의 중앙으로 두면 당연히 두 궤적은 다른 거리를 (한바퀴에 정확하게 둘레만큼) 움직일테지만 여기서 말하는 회전의 중심은 바퀴의 최외각이기 때문에 궤적이 서로 아예 다른 문제가 된다고 볼 수 있습니다. 즉 문제를 애초에 잘못 이해해서 역설이라고 여기는 것이지요.

[@ajhappy12]

삼각형 예시부터 지렸음 ㄷㄷ

[@Jun-of2mr]

모델링..ㄷ

[@박시온-x9e]

삼,사각형의 점프를 보니 이해가 갔습니다 좋은 정보 얻어갑니다

[@wientertainer]

바퀴에 점 하나를 찍고 궤적을 추적해보면, 큰 ➿➿모양과 작은 ➿모양이 그려질 겁니다. 실제로 노란색 원이 이동하는 거리가 훨씬 크기 때문에, 같은 시간대비 이동거리가 큰 노란색의 속도가 더 큰게 되겠죠

[@사그님]

재미있게 잘 보고 갑니다.

[@yogi7138]

중학교때 학원선생님이 알려줬던 문제였는데 그날 밤 자기전에 곰곰히 생각했던 기억이 나네요. 점프로 설명하신 것은 굳이 0인 것을 1/∞ 로 설명하는 느낌이 듭니다. 그냥 이해시키기 위한 수단이라고 생각을 합니다. 저는 안쪽 작은원이 미끄러지면서 이동한다고 생각을 했어요. 공항에서 무빙워크에서 걷는것 처럼요. 이게 머릿속에서 시뮬레이션이 어려운 이유가 만약 바퀴를 상상을 해본다면 원과 지면이 1:1대칭으로 이동이 된다고 생각을 해서 앞으로 미끄러지면서 회전하거나, 헛돌면서 회전하는 상황이 잘 안그려지는데, 가령 지구가 태양 주위를 공전하면서 자전을 하는데 공전궤도 주행을 자전속도와 딱 맞춰서 할것 같지는 않아요. 더 빠른지 느린지는 몰라도. 이렇게 비어있는 3차원 공간에서 상상을 해보면 미끄러면서, 혹은 헛돌면서 주행하는 것이 상상이 쉽게 될거에요.

[@열럽]

실제로 달의 지구에 대한 공전주기와 자전주기는 거의 같죠

[@hyeonsikpark7477]

다각형의 설명을 통해 이해하기로, 바퀴의 회전이 실제로는 중심을 통해 이뤄지지만, 이동은 바퀴와 지표가 맞닿는 곳을 회전축으로 하여 이동하기 때문에, 그 회전축이라는 것에 대한 인식오류로 역설이 발생하는 것 같네요.... 따라서, 바퀴의 표면이 움직이는 동안, 표면과 내부원의 대응하는 점을 이은선을 반지름으로 하는 다른 가상의 원을 생각해야 하고, 그 원의 회전을 통해 얻어지는 길이만큼이 '점프'라고 표현하신 길이만큼 더 나오게 되는 것 같네요....

[@gaszerg]

바퀴의 회전이 실제로는 중심으로 회전한다는것 빼고는 다맞습니다. 바퀴도 지표와 만나는 포인트 중심으로 회전합니다.

[@co-musician640]

물리적으로는 각속도와 토크로 설명하고 있습니다

[@성이름-k7r5g]

토크는 나오지도 않으며 각속도가 같다느 전제하에 모순으로 보여 역설이라고 불리는 겁니다만 원나오고 굴러가면 다 토크 각속도 아닙니다~ 물2시간에 뭐 주워들은 거 같은데 잘 알고 사용하셔요~

[@co-musician640]

@@성이름-k7r5g 물리학과 졸업생입니다만...

[@열럽]

@@성이름-k7r5g 실제론 중력은 무게중심을 기준으로 작용하고 마찰력 수직항력은 접촉부위를 기준으로 작용해서 토크 작용하는게 맞는데, 마찰력이 없기에 토크가 0인 특수상황을 가정하는거고 그렇기 때문에 각속도가 일정한것.

[@silyjin2703]

처음 : 에이 이게 어떻게같아... 중간 : 아니 분명 다른데 뭐가 문제인거지 끝 : 아 ㅋ

[@한태웅-z6r]

이런 역설이 있는지도 몰랐네요ㅋㅋ 이 역설도 러셀의 역설에 대해 고민했던 시기와 동일한 시기에 나온 역설인가요?

[@user-zg2cl7st5k]

기원전 320년에 나온 역설이라네요..ㄷㄷ

[@한태웅-z6r]

@@user-zg2cl7st5k 덜덜 ㅋㅋㅋㅋ

[@user-rc6ph6bd5f]

역따봉은 정체가 뭘까. 이런 좋은 영상에

[@ponix1004]

직관으로는 저 점프로는 안쪽도형이 이동을 손해보고 반대방향에서는 바깥도형이 이동을 손해보는것 같은데 그 차로 인해서 총이동거리가 같아지는걸로 보이네요.

[@bkim7560]

미끄럼접촉과 구름접촉의 차이를 알면 도움이됨. 만일 안쪽원도 트랙위에 놓여있고 바깥원도 특랙위에 놓여있다면 바깥쪽원이 구름접촉만 하면서 굴러간다고 하면 안쪽 원은 구름접촉과 미끄럼접촉을 동시에하면서 트랙을 굴러가게됨.

[@coconenn3]

머릿속에서 그림이 안그려질 때 꿀팁. 안쪽 원을 기준으로 굴려보면 바깥쪽 원이 미끄러지듯 더 돈다. 그럼 반대로 생각하면 바깥원을 기준으로 돌 땐 안쪽 원은 미끄러지면서 돌아야 하는 양보다 덜 돈다. 마치 게임에서 캐릭터가 발은 느린데 이동한 거리가 먼 현상이랑 비슷한 그림이라고 생각하면 된다. 이를 이해하기 위해 응용하자면, 미끄러지는 이미지지만 실제로는 거리를 건너뛰는 현상이고, 이는 우리 '인지' 상태로는 관측(측정)이 불가능하다. 고로 점프라는 표현을 사용. 여기서 의문. 반대입장으로 안쪽 원을 기준으로 본다면, 바깥원은 점프가 아니라 스킵을 했는데, 두 원의 둘레 차는 n값이고, 스킵이 되었으니 -n. -무한대값*무한대값=-유한대값 이라는 생각. 점프시에는 무한대값*무한대값=유한대값 이었으니, 무한대값도 음수양수가 존재한다. 라는 생각까지 접어들 수 있다. 또한 음수값을 관측했다는 기분마저 들어 신기하다.

[@user-sx9wz8zb1t]

직관적으로만 미끄러진다고 생각했는데 설명을 듣고 어느정도 이해가 되었습니다

[@이종주-u1m]

거의 20년간 궁금해 했던건데!!!!! 대박!!!!!

[@cmj123cmj]

너무재밋어요

[@livepatiently]

이건 착시라고도 볼수있지요. 큰바퀴는 바닥을 기준으로 갔는데, 작은바퀴는 공중에 떠서 움직인것이죠. 사실 둘 다 바닥에서 돌면 도착지점이 다르겠죠.

[@새로운것에서영감을]

감사합니다~

[@injorumi6268]

지름 10센치 원이랑 지름100미터 원이라 생각하니까 작은원의 둘레랑 상관없이 큰원의 움직임을 중심축에 의해서 끌려간거네요. 궁금한거는 현실은 원자수의 한계때문에 1:1 대응이 안되니까 무한을 적용해서 같은길이라는건 모순이 생기는거 아닌가요?