【満点or０点】難関大で差がつく数学！入試演習LABO#1【一橋 2020 後期試験】

９月からは入試で差がつくor完答すべき問題を
「入試演習LABO」として扱っていきます！
どこまで出来たか、どこがわからなかったか
毎回コメントでアウトプットしてみてください！
受験生はもちろん、文系理系問わず
毎朝の１０分で学びをお届けします。
数学が苦手な受験生や高１高２生も
ぜひ毎回の入試演習LABOを通じて
数学を得意にしていきましょう！
問題のリクエストはコメントor TwitterのDMで！
動画で紹介した京大数学の類題はこちら(過去動画)
↓
• 【実験思考】40年前の京大入試（文系数学）←...
P.S.今日のパスチャレの解答はこちら
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[@passlabo]

スクショは本日20時にTwitterとKZbinのコミュニティで投稿しておきますね！ スクショタイム、リクエストありがとう😊今後設けていきます！

[@lancege8596]

中華流の解決策： 1　観察法で、目視でa4取得（実は余分なステップ、スキップなら、ステップ5は1から計算すればいい） 5　4と12の間に、5,6,7,8,9,10,11、わずか7個選択肢しかありませんので、総当たり攻撃方式で計算 6　計算の際に、5、7の場合、素数なので、2側の計算は不要、左側で十分　→　　学生への要求で、1000以内の素数は暗記必須 7　残る6,8,9,10,11はそれぞれ計算、最後11を特定 清華・北京大学・中国科学技術大学など1流大学に目指す学生なら、10分間以内で解決することを要求。 IMO参加目標ならば、文房具を利用せず、まず暗算で直接結果を取得必要、証明ステップは後ほど補完

[@matsura4239]

こういう企画マジで良い

[@user-xf8ge9tf2i]

すばるさんの強みは、勉強できない人にも寄り添いながら解説してくれるとこだ〜😭😭🙇‍♀️🙇‍♀️

[@user-hk6ss3mv3v]

相変わらず一橋には良問が多いですね。 問題演習でお世話になった大学TOP5に入る と思います。

[@YT-uj9kj]

鈴木貫太郎さんで数学的な思考を身につけ、PASSLABOで答案の書き方を身につける。これ完璧なルーティーンじゃね？

[@user-ku2xi6uh7q]

そしてヨビノリで予習（大学）をすると

[@user-gq3fj3fx3m]

マジでルーティン同じ笑笑

[@pauljohn9385]

WAKATTEで英気を養うもな

[@user-vl5vw8rc3p]

やっぱり高１高２の基礎が大事なんですね、、この１年大事にします！

[@user-hg3ly4vl4w]

すばるさん、いつも分かりやすくて素晴らしい解説ありがとうございます‼︎🤓

[@user-kj5ho1yw6v]

指数関数と二、三次関数の大小関係を示す時の数学的帰納法は頻出ですね

[@user-im6rz9ut9o]

67歳です🎵 すばるさんのファンです。 マイカーもスバルレボーグ。 頭の体操に使っています。 整数問題は特に好き。 一生懸命に受験生を教えている姿に感動☀️

[@user-jc6nm8tb3m]

aは合成数だと思いがちだけど、素数番目の素数じゃないメルセンヌ数を考えたときに11がすぐに出てくる。 あとはグラフを使ってa=11が唯一解であることを証明した。

[@user-jh2dm1ej8t]

いつもわかりやすい授業をありがとうございます。 数学好きなので、すごく楽しいです。

[@user-fu6it9yg5z]

数学得意な人はただ単に計算するのではなく、工夫して計算するんですね。

[@user-dt2oe2vf5y]

面白い動画見ようと思ってKZbin見てもいつの間にかパスラボ見てる笑

[@user-sk5jw4ck3c]

一橋大学ありがとうございます！！！！！！！！！！

[@user-ze4ky5of6q]

2016年の一橋前期の整数問題が全く同じ解き方で解けるの知ってたからこれは簡単だった

[@user-hs9xh6xx2t]

グラフを使って考えるのは分からなかったです。自分の知ってる形の式でも、整数問題となるとグラフが一切頭に浮かびませんでした。でも、一つ成長しました。ありがとうございます😊

[@vacuumcarexpo]

昨日の予告の段階でやってみた時、グラフから正の解が一つしかない事と剰余からa＝8k+3になる事から、後は根性で11を出すしか思い付かなかったけど、大体解法一緒で安心した。 正の解が一つしかないのをちゃんと示した方がいいかなぁ？微分かなぁ？と思ったけど、なるほど、帰納法でもいいな。

[@user-sq2sc9us5m]

数学的帰納法使ってからの平方完成は思いつかなかったなー 流石一橋ですねいい刺激になりました！

[@koooo9565]

整数⇒因数分解 範囲 倍数余り 指数関数と二次関数の大小関係証明 ⇒帰納法 難問は 予測実験

[@user-de5yv8ko4e]

質問です、 3:42のところで16以上と出ているのですが、aに1を代入したら28となるので、a^5=32からaは5以上となりませんか？ 何故唐突に16以上という数が出てきたのか分かりません。 また、aが5以上と分かったならば右辺を16でくくらずに32でくくってもよいでしょうか？

[@user-du4ic4fc6f]

32でくくるとa^2についての条件も考えなくてはならなくなるので16にしたんでしょうね。もちろん32でもできるとは思います

[@user-xt3bj8te9u]

2のなんじょうより大きいってのがだしたいので16にしたんですよ

[@OuenkaFan]

今日数Iの2次関数の授業で黒板に答え書く機会があったんですが、訂正なしでした！ これもPASSLABOのおかげです！ありがとうございます！

[@kamenneet]

なんとなく、aが大きくなると左辺が大きくなることはわかる。 でも指数関数の傾きは計算できないし、まして指数入りの関数の増減を調べるなどなおさらできない。 そこで改めてaについて見直すと実数ではなく限定的な自然数という情報がとても重要とわかる。 式変形はあまり使えずだけど整数という特性は使える大小関係の証明方法とは？ みたいな流れで数学的帰納法が思いつくのですね。 数ⅡBの範囲の限界を知っておくと正しいやり方を思いつく手がかりが掴めますね。

[@user-gq3fj3fx3m]

素晴らしい動画

[@user-wx7gv9yo1i]

合同式を使いました。aが5以上と求まり，両辺を2^a=16a^2+10a+2と変形し，16a^2，10a，2をmod32で取り，調べました。16a^2は32で割った余りが0もしくは2(aが偶数のときは0，aが奇数のときは16)になり，10aは余りが18,28,6,16,26,4,14,24,2,12,22,0,10,20,30,8(16周期)を繰り返していき，再び18,28,・・・と繰り返していきます。16a^2の余りが0のとき，10aの余りが30にならないといけないが，10aが余り30になるのはa=19,35,51となりaが偶数の条件に反する。16a^2が余り16になるとき，10aの余りが14になるのはa=11,27,43となりaが奇数の条件を満たす。a=11を代入し，両辺が成立したあとは数学的帰納法で12以上が無いことを示しました。

[@alk4ss73]

今日初めて動画を見させてもらいました！これから見ようと思います！

[@user-sg9mq9pn1k]

ほんとにわかりやすいです！これからもお願いします！

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録👏70G"【 指数関数と 2次関数の性質に注意して、】Pa＝ 2ª－1, Qa＝ ( 2a＋1 )( 8a＋1 ) とおくと、 a＝ 1, 2, ･･･,10 のとき、 代入し 表にすると、 Pa ＜ Qa ･･･①, a＝ 11 のとき、 Pa ＝ Qa ＝ 2047 ･･･②, a＝ 12, 13, ････ のとき、Pa ＞ Qa ･･･☆ とおく。 このことを数学的帰納法 で証明する。 [ Ⅰ ] a＝ 12 のとき、P12＝ 4095, Q12＝ 2425 だから、☆は成り立つ。 [ Ⅱ ] a＝ k (≧ 12) のとき、☆が成り立つと仮定･･･ 中略･･･ [ Ⅰ ], [ Ⅱ ] より、☆は成り立つ ･･･③ ① ② ③ より、求める a の値は a＝ 11 ■

[@user-fb9rl2lz8s]

今日は期末ですまた応援してください励みになります頑張ります

[@user-uj1qz1mm7h]

頑張ってください！

[@user-fb9rl2lz8s]

@@user-uj1qz1mm7h ありがとうございます目指せ８００点！

[@user-wb1il3pt9l]

頑張ってください！笑笑

[@user-fb9rl2lz8s]

@@user-wb1il3pt9l ありがとうございます

[@user-fb9rl2lz8s]

７時３０には学校に行くので返信が出来ませんご了承ください返信は全員ちゃんと見てます

[@user-zc6ru6kv1o]

3:49どうして16以上となるのですか？a=1を代入したとしたら28以上になりませんか？

[@Irhn_hht]

この企画助かります〜！

[@user-nobujyu829]

2^n/n>nの問題とか概要欄に貼ってもらえると初見の人は参考になるし、やったことある人も復習しよってなれるので良いと思います

[@passlabo]

ありがとう！早速概要欄に載せました^_^

[@user-nobujyu829]

@@passlabo わー！ありがとうございます！

[@user-cz8fe3de6x]

入試演習LABOノート作って頑張りますわ。数学できるようになりたいいい

[@user-um5zm7dl6i]

もし出来れば、板書のスクショタイム欲しいです。

[@user-vl5vw8rc3p]

それ欲しいですね！

[@passlabo]

リクエストありがとう！早速今後用意しますね^_^

[@user-um5zm7dl6i]

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe ありがとうございます！！ これからもお世話になります！！

[@primenumber2292]

① a が大きくなると ( 左辺 ) > ( 右辺 ) だから a = 10 で等号が成立しないか当たりをつける. 残念ながら成り立たない. ② a = 11 で等号成立. ③ a ≧ 12 で ( 左辺 ) > ( 右辺 ) を数学的帰納法で証明. という流れで解きました. aが9以下の時はゴリ押し計算で不適か確認！笑

[@user-vv1lv6nu2w]

ありがとうございます

[@user-bu8qz6wx6o]

まだ習ってないとこだけど範囲を絞っていって考えるのが大事だと思った

[@user-yj7cw7ci2s]

めっちゃたすかる

[@user-pu8wk3bx1w]

一橋前期の2016年では指数関数の発散速度に着目して解く問題も出題されていたので、a=1~11まで調べてから帰納法で解くという方法も有効になるかもしれませんね

[@keigoiwata7223]

毎日やってほしいな〜

[@user-sk8ym2qj6h]

6:11　らへんの指数関数と2次関数の手の動きおかしくない？って思ってしまうｗ

[@user-nw1jf6xf9f]

おはようございます！

[@user-qi9qx8wu5b]

a＝11が解の一つであることを確認した後、aが12以上の場合数学的帰納法で左辺が右辺よりも大きくなることを示すのはできました。a＝11を見つけるまでの過程が片っ端から代入しかできなかったのが反省点です

[@user-np6be4do2p]

2016年度の京大文系数学にも類題がありますね この一橋の問題よりはやや簡単な気はしますが

[@cafeelatte]

すばるさん、整数問題好きですね🎵

[@BB-iy4jb]

一度kを使っているので、帰納法では別の文字を使ったほうがいいと思います。

[@user-pm8cw5om3t]

久しぶりに痺れる問題でしたぁ！！ 毎回楽しみにしています！

[@INAKENinaken]

それぞれの学年に対応して分かりやすく説明してもらえる🙆

[@johnwilliams9242]

自分が高校の頃は数学が好きで高校数学を自分で進めて勉強していたのだけど、こういう動画は本当になかったなぁ。 まぁ自分で勉強していくことも大事だけど、やっぱり出来る人の考え方を盗んでいくのが圧倒的に早いんだよなぁ。 友人にも聞きにくいし。恵まれているというより羨ましいな。まぁ入試に関してはライバルも見ているだろうから関係ないですけれども。

[@sasa-ym8jl]

数学的帰納法のまとめ的なの欲しいです。

[@user-rg2nn6xz4g]

わかりやすすぎい

[@RayMizuki]

さすが一橋やな

[@user-kz9lb4iv9k]

ありがてぇっす

[@user-vy6wx2qt9u]

数列a_n=2^nとb_n=(2n+1)(8n+1)+1の評価をすると、a_(n+1)/a_n = 2なのに対して、 b_(n+1)/b_n=((2n+3)(8n+9)+1)/(2n+1)(8n+1)+1 < ((2n+3)(8n+9)+1)/(2n+1)(8n+1) =(1+2/(2n+1))(1+8/(8n+1)) + 1/(2n+1)(8n+1) nが3以上なら、この右辺は(1+2/7)(1+8/25)+1/(7*25) = 298/175 < 2で押えられるので、 この二つの数列は、nが3以上なら、１回交わったら２度と交わらない。 差で評価するより、比で評価した方が簡単だと思うけど、 どっちにせよ、指数関数 vs 2次関数なので、不等式の評価は、大雑把でよい。

[@meikai3316]

最初のグラフの時点で、解が一個なのは視聴者的にもピンと来るところなので、後になって微分しない論述を書くのが何か裏切られた気分

[@user-cp8uy8dg3l]

9:28のところは仮定を2倍して2^k+1にしたみたいなノリですか？ご教示ください。

[@toshi_46]

スクショから来ましたが、2016の一橋前期大問1に似ているなぁと(もちろんそれよりも複雑ですが)、もう大学生ですが受験問題思い出して面白いので時々見てしまいます！

[@user-ht3ck7xu9y]

このシリーズ最高です！！！

[@user-md9sb3qs5c]

ためになりました

[@user-oc6im6hu8u]

まじで神動画ありがとうございます

[@courage4692]

問題をもう一度解きたいので板書のスクショ時間を設けてもらえれば助かります！

[@user-nl4vn5si8o]

指数関数と二次関数の大小は帰納法 指数関数、自然数に着目してAの範囲絞る 互除法、倍数余り

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

6:16 個人的にすごい好き笑

[@user-mv7od1gx3c]

数学的帰納法が思い浮かばなかったので、f(a)=2^a-16a^2-10a-2とおいて、a≧16以上(2^4=16だからやりやすい)のときf(a)>0を示しました。 二階微分が必要だったり、対数を含んだ定数の評価が面倒でしたが、20分くらいで完答できました！

[@user-sm5pm5qp3d]

めっちゃわかりやすい

[@user-uw5xs6mb4c]

左辺引く右辺で微分して増減表書くのはどうですか？

[@user-uw5xs6mb4c]

左辺引く右辺を数列にしてn+1番目割るn番目で増減の評価の方が良さげですかね

[@jif7707]

a=11を暗算でやろうと思ったら計算ミスった （）の積はそのままで上手くいかなければ展開する 指数関数＝多項式の解は１こ見つけて他にないことを証明

[@user-tc8wh7le9p]

整数だけじゃなくて、数三とかもやってほしい

[@user-iv9qn5ox6p]

むずいなー

[@user-vy8op8bf4k]

数学的帰納法つかう！！、！

[@user-mr3rt7gv4i]

a＝11を仮に代入して見ようという形で代入してもいいのですか？

[@mathseeker2718]

私はmod4とらmod3を最初に考えて、aが6k+5として解きましたが、aが12以上のときに他の解がないことを示すために、微分してしまいました。数学的帰納法の方が簡便ですね。

[@user-kw1je3vp6e]

こんな先生が学生時代にいたらなぁ。

[@user-to2qv7mm6u]

微分するか(脳死)

[@goma_chaaaaan]

帰納法の前に5a+1=8K と置いていますが、このときは帰納法で使用する文字は変えた方が良いでしょうか？

[@user-xk8rd8dt2z]

変えた方がいい

[@user-zj5wo2wu1z]

指数関数と自然数から数学的帰納法かぁ……覚えておきます

[@nasagao2903]

整数問題は　はぁーい🙋‍♂️ で覚えろって言われたなぁ。 は→範囲 ぁ→あまり い→因数分解 10年以上前になるのか。はぁ😞ぃ

[@user-ji9nk3lh6g]

これは予習してから見た方が良いですか？

[@user-hx4tc2tb5i]

「10a+2が16の倍数だ」ってなるところ感動した

[@user-ed2jw8yh6h]

5(a-3)=8(k-2)のところをどなたか教えてください！

[@user-dv5wb2qn4c]

これってlog2で括れば証明なしで一発でできませんか？

[@25seno10]

とりあえず範囲を絞るって大事なんやな。

[@bayleef212]

与式を満たすa=11以外の自然数が存在しないことを証明する必要あるのでしょうか？ 自然数aをいくつ求めよ（とか1つしか存在しないことを示せとか）とは指定されてない以上、a=11のとき満たすことだけを示せば十分な気がしました。

[@bayleef212]

「自然数aを求めよ」という文は「自然数aを(1つ)求めよ」という意味にも「自然数aを(すべて)求めよ」 という意味にもとれるので問いが曖昧？入試原文のままじゃなかったらすいません

[@user-zq9ru1zm8o]

3:39で16a^2 +10a+2>16となる理由を教えてください

[@passlabo]

aが自然数なので、a=1を代入したら28となって16より上だとわかると思います。 16にしてるのは2^4に合わせるためですが、わかれば何でも大丈夫です！^_^

[@user-zq9ru1zm8o]

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe ありがとうございます！！！

[@user-vs7of1le7m]

やったあ新企画!!

[@goma_chaaaaan]

帰納法の(左辺)ー(右辺) 以下の式の意味が分かりません、、 a＝Kの式をどのように変形したのでしょうか、

[@goma_chaaaaan]

2のK乗をより小さい数に置き換えてるだけでした！！！

[@wizlark]

部屋が広くなったせいか声が響くようになって以前より聞き取りにくく感じます

[@user-im3iv4wq7s]

なんで2のa乗は16より大きくなって、その2のa乗は16の倍数ってわかるんですか？？

[@Reiha-914]

aが12以上で存在しないことを示す前に何故そうなるかの記述をどうかけばいいんだ よくわからんグラフかけがいいのかな

[@Mr-oe6hd]

数学的帰納法か微分のどちらかでは

[@user-xk8rd8dt2z]

aが1~11まではさっさと調べてそっから ここでa≧12の時..... ってやればええんちゃう？

[@user-xk8rd8dt2z]

d k 言葉足らずで申し訳なかった 愚直に調べるんじゃなくて動画のようにさっさと調べるということです でも最後の指数関数と二次関数の議論は流石に曖昧なので帰納法が無難かと思います

[@user-xk8rd8dt2z]

d k まぁ微分すれば行けますが

[@user-gj8wh7xt4o]

最初は3の倍数でとこうとしたけどできなくて6の倍数とかでときました。範囲は数3使ってごり押してだしましたw

[@sk8ilove756]

なぜ、最初の式が16より大きくなるんですか？ 自然数なら1からなので28以上かと思ったのですが… 助けてください！

[@user-nt9lq2qd2n]

aは自然数だからa>4でもa>=5でも実質的には同じだし、必要条件で範囲を絞りこもうとしてるから実際に求めるのより大きくても良い。今回は右辺に16a^2があって16の倍数で扱いやすいからわざわざ16を使ったと思う。

[@sk8ilove756]

と、思うじゃん??? なるほど！やりやすいようにしただけだったんですね！ありがとうございます！

[@victorymountain72]

勉強してれば、ミソッカスから始めても5分でこの問題解けるようになるよ。頑張ってね受験生💪

[@astronaut3785]

高1です。全く手足が出ませんでした…絶望

[@user-cu8hd2gb1l]

10a+2が16の倍数ってなぜですか？

[@user-fq2sb8mh9k]

3:45 で言ってるように、2のa乗は、aが4以上の時は16の倍数になって、(16に2をいくつかけても16の倍数になる) 2のa乗が16の倍数のとき、右辺の16a二乗＋10a＋2も16の倍数になります。そのためには10a +2が16の倍数でなくてはなりません。(16a二乗は明らかに16の倍数)

[@user-sm1wk4gg6d]

左辺の２のa乗が１６の倍数になるのは理解できていますか？右辺の１６a2はaがどんな数でも１６の倍数なので、１０a+2は１６の倍数でないと両辺が成り立たないのです。もうちょっとシンプルに例えば３の倍数で言うと9=6+Xの場合、左辺は3の倍数、６も３の倍数だからXは３なのですけど３の倍数以外の数では成り立たないのです。１でも２でも４でも成り立たないですよね？

[@user-cu8hd2gb1l]

お二人ともありがとうございます！なるほど！左辺とか全く見てませんでした、、

[@user-cd8yn4id2u]

これ本番ゴリゴリ数3使ってといたわ笑　なるほどこうやって解くのか！ちな4完半した！

[@user-cd8yn4id2u]

第三問が確か解き終わらなかった

[@user-xi4ds6ck8h]

25×97をどうして2500-75で求められるのですか。 お願いします🙇‍♂️

[@user-hc3ws2ex1w]

25×(100-3)=25×100-25×3 =2500-75 =2425

[@user-xi4ds6ck8h]

ありがとうございます

[@user-oz3xw4bc5v]

a=10で大体1000と1600、a=11で大体2000と23×90くらいだから計算してないけど11くらいって考えました

[@kazusaka4063]

a=10ではまだ左辺

[@hmrn162]

なんも思いつかなかったからa=1〜11まで気合いで計算してa=11を見つけてから12以上じゃダメなことを示したわ

[@bsxqoi]

a=11以外が当てはまらない証明 f(x)=2^x-1、g(x)=(2x+1)(8x+1)を考えると、y=f(x)とy=g(x)は互いに単調増加であるから2つのグラフがx=11で交点をもった後、x>11で交点を持つことはない。 したがって、a=11以外に与式を満たす自然数aは存在しない。 ではNGですか？