【奇跡の１問】１分で解ける”京大入試”｜数学の勉強法を学べ。

京都大学が受験生に贈るメッセージが込められた
2018年に出題された非常に解きやすい整数問題。
最後にお伝えした通り、１分で解くためにはmod以外の方法も使えます。
別解の素晴らしさも伝わる奇跡の良問だと思います。
京都大学の数学は１問３０点（３５点）のため、解きやすい本問で失点した人は、大きく差がつき、合否を分けたのではないでしょうか。
整数問題に限らず「実験をして手を動かし」「法則や規則性を見つける」
その日本語を数式に直して証明する重要性を伝えたかったのだと考えます。
京都大学入試は面白い、そして奥深い。
ぜひ今日から活用してみてくださいね！
P.S.今日のパスチャレの答えはこちら
note.com/pfsbr...
~~~~~~~~
PASSLABOのチャンネル登録
→ / @passlabo
■東大生たちと一緒に勉強したい方必見！
公式LINE@登録はコチラから
→ line.me/R/ti/p/...
■公式Twitterはコチラ
→ / todai_igakubu
#PASSLABO
#東大医学部発
#京大数学
朝６時半にほぼ毎日投稿！
一緒に動画で朝活しよう

[@passlabo]

modではない新解法に、僕は数学の面白さと奥深さを感じました。

[@user-uw3tm1fv6o]

@@tamashii_olympic ？

[@user-ul1ly9yg5u]

実際に本番で解いた者です。 僕は15分くらいで解いて結果間違ってて落ちたのですが1分で解けたみたいですね。 あざした。

[@user-cm6vt3lo3u]

最後の別解を試験本番で思いつく人はマジで尊敬できる

[@user-lp3ux1ro5o]

最高に頭が冴えてるときでさえ思いつくかどうかってレベルだよねw

[@monkey_fujita]

俺逆にそれしかわかんなかった

[@yaaaaayaaaaa1001]

@@monkey_fujita意味がわからない

[@tyty-cr7mf]

@@monkey_fujita それはそれでダメな気が……

[@monkey_fujita]

@@tyty-cr7mf まじか！

[@kojirokanie]

（ｎー１）ｎ（ｎ+１）！解答、美しすぎて感動しました。京都大学って、こういう数学の美しさも入試問題に入れるのですね。学びました！

[@rpatrick5650]

満点をとれる記述回答を毎回見れるようにしてほしいです！

[@user-xw6og7bb7j]

n^3-7n+9＝(n-1)(n-2)(n+3)+3からn＝-3,1,2が必要条件だからn^3-7n+9が素数としてとりうるのが3のみだと示せばn＝-3,1,2が答えである。 という方法で解きました。

[@user-ex2nb4cm1x]

解説ほしい

[@kaiton.981]

素数って言われるとつい、積の形にして1×(素数)にすることを考えてしまった… 倍数や余りに注目って分かってても使いどころが難しいなー

[@user-ui7nf5kq6l]

3次なので因数定理で試してみて因数分解できなそうなのでmodに考え方を変える感じですかね。

[@user-vy9fo9ig2d]

modの解法思いついてニヤニヤしながらみてたら、別解で予想の斜め上を行かれた

[@user-zu2sk6fg3f]

いつも思ってたけどパスラボは動画以外のサムネとかパスチャレとかにも力入れてるから好きになれる。

[@Mary-cm8hk]

別解の方しか思いつかなかった、、、余りにも注目して解いてみよっと！！ありがとうございます！

[@user-cx3ph1ft7u]

もう大学4年生が終わろうとしてる人だけど、 このチャンネル見ててまじでもっと数学勉強しとけば良かったな…と思う。 と同時に、数学って楽しいな。

[@Akabane-ue7wv]

最後の解法綺麗ですねぇ…

[@desuiniesta8946]

なんか自力では解けなさそうなのにパスラボ見ると解けてくる気するな

[@user-rt6si6pf5b]

f(n)=n^3-7n+9が素数 ※分からんから、とりあえずやってみる n=-4→-27 x (n≦-4では、f(n)が負数になる) n=-3→3 〇 n=-2→15 x n=-1→15 x n=0→9 × n=1→3 〇 n=2→3 〇 n=3→15 × n=4→45 × ※3の倍数ばっか→大体わかった気がしたので、ここまで消す nが1増えたときの増分を考える。 f(n+1)-f(n) =(n+1)^3-7(n+1)+9 - (n^3-7n+9) =3n^2+3n+1-7 =3(n^2+n-2) (n^2+n-2)が整数なので、f(n)の増分は必ず3の倍数で、 f(0)=9が3の倍数なので、f(n)は必ず3の倍数になる。 f(n)が素数になるのは3のときのみ。 f(n)=3を解くと n^3-7n+6=0だから (n-1)(n^2+n-6)=0 (n-1)(n-2)(n+3)=0より n=1, 2, -3

[@bbcc88338]

3の倍数は数学的帰納法で示しました。 式変形で3の倍数示す解法は感動しました。

[@user-zb9du5ds7g]

これって実験の大切さを教えてくれる問題だったと思う

[@user-zc9nx3uq7j]

逆に本番で出たら簡単すぎて余計な論証しちゃいそう。

[@MAGURO-P_study]

このコメント欄頭良すぎて俺には何言ってるかすら分からないんだけど

[@nm-jl3fo]

おっさんですが学生の頃にこんな先生に教えてもらえてたら数学をもっと好きになれてただろうなと思います

[@nagaimo1686]

僕はまだ中1で高校数学とか分からなかったんですが、この問題の様に知識をあまり有せずに解ける少々発展的な問題が増えてくれることを願っています。算数楽しスギィ！

[@user-lh4jx4pq1y]

パスラボの整数問題2周目が快適すぎる 1回やったからってのもあるけど、解けて嬉しい⇒もっとやりたいの最高のサイクル

[@user-lh4jx4pq1y]

おはようございます！パスラボが毎朝の習慣になってて、毎朝少しずつ頭が良くなってます🐰💗

[@y.-_-.y]

実験って大切ですね。 素数が3と分かればそこからは簡単ですが、実験しないと気づけなさそうなので、私も実験をしてみようと思いました(高二並感)

[@user-xh1xz7tg8u]

modを知らなかったのでどうせ見てもわからないだろうと思っていたら、、、 いい意味で裏切られました！ -7nを-nと-6nに分けるという発想が出てきたところから楽しすぎて手が止まらなかったです😆

[@chinchiropachinko]

n³-7n+9=(n-1)n(n+1)-6n+9 のほう最初に思いつきました！京大でもこのレベルの問題が出るってわかると少し安心しますねw

[@user-vt5rl1fj9l]

感動。

[@user-pv3mr7wt9l]

それ駿台の解答速報がやってたけど、5行くらいで解答出てたw

[@himajin_row]

なぬ！気づかなかった………

[@n.y.1506]

メタルクラスタホッパー 絶対ベイソン先生の仕業でしょう笑笑

[@aonovivace]

この年の受験生だったんですが、入試中有り得ないほどテンパってしまい、 「〜を満たす素数は±3しかない」 と中学1年生でも間違えないであろうミスをしてしまいました笑 その後（素数は負の整数を含むという勘違いの下で）、n^3-7n+9=−3の場合は不適であることを示したからかほとんど減点はされていなかったみたいですが、 とんでもないミスに気がついた瞬間のことを思い出すと今でもゾッとします笑

[@user-xr2uo1fm5y]

(3乗)±(3乗)の因数分解使いたいと思って、-7n+9があったから-7(n-1)を用意してn-1で因数分してみたら、 (n-1)(n-2)(n+3)+3 で、左が3の倍数だった笑 解答まで30秒

[@user-xr2uo1fm5y]

@ssy sky 整数nは3で割った余りで分類して、n=3m,3m+1,3m+2で表せるから、それぞれ代入すると、3つカッコのうちどこかで3の倍数になるから

[@user-yx7xh8wy7j]

n≧3においてn^3-7n+9が3の倍数だと数学的帰納法からでも示せました♡ またnが負の数のときは代入していくとn=-3も答えに該当することがわかり、y=x^3-7x+9がn≦-4において負の値をとることを増減表を書くことで示せました♡

[@akiru1000]

面白かったです。 目からウロコ感はやばいっす。 　思いつくの無理無理感もハンパないです。大学入試は奥深いですね。

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

なんか整数問題好きになってきたかも！！

[@inko1722]

なんか問題集とかやってて３の倍数がどうとか３と素数がどうとかっていう問題が多すぎるから、３に敏感になってる　から解きやすい

[@kyzchdance_bep2111]

社会人で数学を勉強し直しています。 考え方の確認するために見ましたが、別解は完全に目から鱗でした。

[@knt4925]

差し支えなければ何故勉強し直しているのか教えて下さい🥺

[@kyzchdance_bep2111]

@@knt4925 はじめまして。 資格の勉強をしているなかで数学の知識が必要であるのと、論理的思考能力(？)を鍛えるためです。

[@knt4925]

@@kyzchdance_bep2111 何の資格取得を目指しているのですか？ 個人的に社会人で勉強されてる方に興味があって…

[@kyzchdance_bep2111]

@@knt4925 証券アナリストという資格の勉強をしております。

[@knt4925]

@@kyzchdance_bep2111おお！ありがとうございます！参考にさせていただきます

[@vacuumcarexpo]

別解の方は、動画を途中で止めて💩しに行ってる間に思い付きました（笑）。因みに、下痢でした。

[@user-of3zt8ed8d]

きたなっ

[@user-xr2uo1fm5y]

すこ

[@user-xr3jr7gc7w]

快便の後ってトイレから出ると明るく感じるよな

[@pinofantasy8178]

なんの報告やねん

[@fukuokamarch1647]

不愉快です。

[@464907070734]

将来的には後者で答える学生のほうが欲しがられますね。数学の本質は論理性ではなく、同値性の維持ですからね。

[@happyyyatky5798]

ほんとにわかりやすくて整数問題が好きになりました！！確率が苦手なので確率の良問紹介もしていただきたいです！

[@user-se3mo3fn5j]

こういう問題って大体変形すると連続3数が出てくるから、それを意識しながら変形しますね。 (n-1)n(n+1)を展開して問題の式に合わせて行ったりします。そうすると調整部分が3でくくれたりするんですよね〜 ほとんど動画と同じですがw

[@clear_water_]

模試でズタボロになって数学のやる気も失せてたんですけど、やる気になりました やっぱり数学って面白いですね！

[@user-xt7em1bk4l]

中学数学でも出てくる連続する３つの整数で京都大学の入試が解けるってなんておもしろい！ こういうことがあるから数学の沼にはまっちゃうー

[@rjmmdmmd]

ほんとに数学苦手な自分でも、整数問題と二次関数はできるようになって少し自信がつきました！確率とかはまだまだですが笑 今日もお疲れ様です✌✌

[@sano1215]

この別解、試験で出来たら気持ち良すぎる

[@esptaka0430]

右の段階で3kが含まれている部分は3の倍数なので省略し 3kの場合　9 3k+1の場合　1-7+9=3 3k+2の場合　8-14+9=3 で全部3の倍数である って略してもいいんじゃない？

[@user-pv3mr7wt9l]

この問題の駿台の解答速報、ものの数行で終わってて草

[@me-xd5px]

n^3-n=(n-1)n(n＋1)という公式を先生に覚えさせられたのですが、結構役に立つんですね！

[@user-yz5lm7sz9p]

まあ公式っていうかそれ見たら括りたくなるわな

[@viewertubee6642]

現代文の勉強の進め方を教えていただきたいです！(高2) 現状: ・駿台模試の現文の偏差値が50-60を前後して安定しない(その時々の集中力で左右される) ・学校では慶應の小論文など難関大学の過去問を解かされるが、全く解けない ・現代文の勉強を本格的にしたことがない ・基本が出来ているのかさえ分からない 聞きたいこと: ・現代文を一から始めるやり方を知りたい ・現代文のレベル別の参考書などが知りたい 目標:現代文を理論的に解いて、駿台模試で偏差値65を安定させる 　 具体的なアドバイスが欲しくて細かく書かせていただきました、長文失礼しました

[@klm8953]

ほんとに1分というか30秒くらいでとけた、今まで見ててよかった

[@user-kp6we1vs8m]

modの解法を知ってほえーってなって、別解を知ってほえほえーってなった(語彙力)

[@user-hw4tc8jg9x]

別解の式変形も、結局は多項式にmod演算をしていると捉えることができますね

[@user-vl8if2lp3t]

余りで分類する前に元の式にmod3をする人でした。最近これに慣れすぎて余りで分類問題の核を忘れがちだったので助かります。(受験は終わってるけどw

[@user-it1zf4cb5n]

今年浪人のものです。整数問題苦手なのでとても助かります！有効活用させて戴きます！

[@user-it5rr9fc5u]

mod の方で解きました。連続3整数の積に持っていくやつ感動しました！

[@user-oz8zk5kf9x]

帰納法で解けますね n=1で　3の倍数　 n=kのとき3の倍数ならばn=k+1が3の倍数を示せばいいから p(k+1)-p(k)=は明らかに3の倍数 同様にn=kのときにn=k-1をやれば3の倍数とわかる。

[@ryomiyazawa822]

フェルマーの小定理もおすすめです 任意の整数に対し，n^3 ≡ n (mod 3) より （※特に n ≢ 0 (mod 3) のとき，n^2 ≡ 1 (mod 3) です。小定理はこれです。） 与式 ≡－6n + 9 ≡ 0 (mod 3) により与式は3の倍数かつ素数だから 与式 = 3 (以下略)

[@hiroyukinagamachi6114]

実験でn=1,2で素数、しかもどちらも3になったから比較的早く 与式=(n-1)(n-2)(n+3)+3 の式変形ができて、(n-1)(n-2)(n+3)の部分は(n-1)n(n-2)と同様に必ず3の倍数になる（nとn+3がmod3で合同なので） なので与式自体も必ず3の倍数で、素数になるのは3の場合のみ、という感じで解きました。

[@user-fn5in8gd2i]

なるほどーー！1分でできる解法は気づかんかった！

[@user-gu5wh6vu2c]

n=k+1の時k^3-7k+9+3k^2+3k-6になって帰納法で3の倍数と証明して 3k^2+3k+6=3（k+2）（k-1） で-2＜k＜1の時 kが1増えると値は減り、k=-2,1の時kが1増えても値は変わらず、k＜-2,1＜kの時、kが1増えたら値は増えるので、 k=2の時3であることから2＜kの時に3は存在しない、また3でない3の倍数なので素数ではない。 n=k-1の時も同様に考えてkが1減ったらについて考えたらk＜-3の時も素数が存在しないことが分かるので、後は-3≦k≦2の範囲で一つずつkを当てはめてったら条件を満たすnが見つかりますね

[@hrtkfuku5757]

解法の証明の仕方がとても勉強になりました😆 シンプルis Bestですね👍

[@leadingout]

確かにこの問題はmodを理解してれば京大にしては論証込みでもかなり簡単な部類に入るだろうけど、1分は盛りすぎじゃないの。 初見でこの問題を見て、まず因数分解を試みるでしょ、無理と判断するのに10秒、実験して3の倍数と予想するのに早くてここまででもう1分はかかるって。

[@yell3070]

整数嫌いだったけどこの動画みてると楽しく思えてくるんだよなあ、、

[@me-ci6ip]

別解めっちゃ感動しました( ；∀；) 数学やっぱ楽しいな！

[@user-zi5pb4tp7f]

動画を見る前に解いてみたところ、解説とは少し違ったのでコメントさせていただきます。 最初、与式= n(n^2 - 7) + 9と変形してみました。 「n^2 - 7」が「n^2 - (平方数)」なら綺麗な形になるかな、と思って試してみると (n^2 - 7)=(n^2 - 9 + 2)=(n + 3)(n - 3) + 2なので 与式=n{(n + 3)(n - 3) +2} + 9 =n(n + 3)(n - 3) + 2n + 9 となって手詰まり。 (n^2 - 7)=(n^2 - 16 + 9)=(n + 4)(n - 4) + 9なので同様に 与式=n(n + 4)(n - 4) + 9(n + 1) となりました。 ここで、n、n+4、n-4のいずれかは３の倍数なので与式は３の倍数となり、３の倍数である素数は３であります。 （連続する３つの自然数の積が３の倍数であるのと同様） よって、n^3-7n+9 = 3 を解けばnの値が求まります。 移行して因数分解すると (n-1)(n-2)(n+3)=0 となり、n=-3, 1, 2 が解となります。 （n=1が解の１つであるのは容易にわかるので、組み立て除法を用いて(n-1)で割りました） ※最初、n(n + 3)(n - 3)から試したのは一次の項が-7nに近くなるものを探していたからです。n(n + 1)(n - 1)を最初に試していれば動画の解説と同様の解法になっていました。

[@user-lx7dl5dj7w]

過去問で解いてた時京大の問題とわかっていたからこそ具体化類推かなとすぐ思えて解けましたー

[@user-ob2jv8oj3d]

どんなレシピでっていう表現すごい好きなんだけど…

[@scientiadisce8900]

連続3数への式変形は思いつきすらしませんでした。入試では出来るように、しっかり復習しておきます。

[@user-jc4ow5xk5f]

あえて微分を使います y＝nの3乗-7n＋9と置いて微分すると nが√(7/3)以上で単調増加、つまりnが3以上だと前の値より大きくなることが言える 次にnが3の倍数か、3で割って1余るか、3で割って2余るかで場合分けして合同式を使えばnがどんな値でも3の倍数になることは証明できる 最後にn＝1と2だけ計算してどちらも3、nが3以上のときはn＝2のときつまり3よりも大きい3の倍数だから素数にならない

[@user-jc4ow5xk5f]

と思ったけど、整数やん。もっとあるな

[@user-jc4ow5xk5f]

n＝-3のときも3になって、これより小さいと3より小さい3の倍数ので素数にならない

[@user-hn4gy7tz5z]

連続する3数の積は思いつかんかった！普段から柔軟な視点で式を見るようにしたらこういうのも見えてくるんかな？

[@user-hk6ss3mv3v]

2018年京大文系数学ジャンル 1,関数に囲まれた面積を求める問題 2,正方形で条件から最小値を求める問題 3,これ 4,四面体がネタのの証明問題 5,条件の下でボールの数が増えていく確率問題 パッと見たかんじだと俺は3→1→2→4→5の順に 解くかな？

[@user-mn1bc7mf3f]

江戸川こなん 123は確実に取りたいね

[@user-vl5vw8rc3p]

ヤバい、初めて見たけど俺整数の問題好きだから完全にファンになった！

[@user-mx7es3ir8e]

こういう動画って　へたなクイズとかよりずっとおもしろい

[@leonhardeular6976]

動画見る前に解答書きます。 P=n^3-7n+9=(n-1)n(n+1)-3(2n-3)とおく (n-1)n(n+1)は連続3整数の積より3の倍数 また、3(2n-3)も3の倍数 つまりn^3-7n+9は3の倍数 よってPが素数となるときP=3である n^3-7n+9=3 n^3-7n+6=0 (n-1)(n-2)(n+3)=0 よってn=1,2,-3 これから再生します。

[@fruit_juice100per]

すばらしい

[@user-lc8tw7pg7r]

n^3≡n(mod 3)なのでn^3-7n+9≡-6n+9=3(-2n+3)だから3の倍数って感じかな？

[@user-kn2sl1ch9n]

とても勉強になりました。 塾でも教える機会がありましたら、実践したいと思いましたw

[@Yas-ef3qm]

素晴らしい

[@junniwa715]

京大は昔から小問を作らないから、計算力でなく想像力や発想力を期待してるんだと思う。 ただ、受験生が対応できずにどんどん易化していった感じがする。

[@tt211653tt]

凄く楽しかったです。分かりやすかった。 ただ、ガヤはいらないかも、、、

[@user-sz6rq8xv6j]

とりあえず偶奇考えて絞れなかったから次にmod3で考えて絞るのは定石ですね そしたら一瞬で答え出てびびったし気持ち良かったです

[@user-of3zt8ed8d]

は？

[@user-ui7nf5kq6l]

全く同じ考え方でしたw

[@user-sz6rq8xv6j]

赤飯と歩く ですよね！

[@user-fy5zd4yf4s]

二次関数もやってください

[@user-tf7jm9cz4t]

p⁴＋14の問題から来ました！

[@user-yt5hz2xb8t]

別解の因数分解思いつけた！

[@abc5286]

この問題は何となく過去問を解いていた人はできなかったかもしれないが、京大対策をしっかりしてた人は絶対瞬殺で解けたはず。素数や3の剰余で分類するのは京大頻出

[@masakishimada7997]

nが3の倍数でないとき、n^2のmod3は1だから n(n^2-7)は割り切れるって考えました。mod4の動画に発想が引きずられていたｗ

[@user-pf5eq1ps1b]

どうやって因数分解するか？を考えたが。 言われてみればkを3の倍数としたらnはk,k+1,k-1のいずれかにしかならず、いずれの場合も与式定数項は3の倍数。 3の倍数たる素数はひとつしかない。 整数の範囲での因数分解はできない 問題なのだろうか？

[@lltmp7479]

2,3連続整数は結構強いですよね〜

[@hiest_rl]

この問題高校の先生が「連続3整数の積が職業柄見えちゃうんですよー」って言ってたの思い出した

[@user-yh5dg8fn7h]

最初見て因数分解できなさそうだったからmod3で考えた

[@user-zj5zx2jt5l]

この解き方かっけぇ

[@user-wd5xy4qb6o]

感動した！

[@user-qp8vw1ee9f]

modのくだり賢すぎんか笑

[@user-ud4vw5uv5m]

これ模試とか試験でできたら気持ちいいだろうなー！

[@user-is3tg7hr2c]

素数問題整数でも好きじゃなかったですが、少し得意になった気がします！

[@alumn8434]

解くのは簡単なのが多いけど、それをすべて１から省略無しに解かなければならないのがきついのが京大の本当の難しさよ

[@user-pv5ef9lu7d]

数学的帰納法で3の倍数であるって証明もできそう？？？(ちょっとめんどいけど) n=0のとき　9だから3の倍数。 n=k(kは整数)のとき3の倍数となると仮定したとき、k^3-7k+9=3m(mは整数)として、 (k-1)^3-7(k-1)+9 =(k^3-3k^2+3k-1)-7(k-1)+9 =k^3-3k^2-4k+15 =(k^3-7k+9)+(-3k^2+3k+6) (k+1)^3-7(k+1)+9 =(k^3+3k^2+3k+1)-7k+2 =k^3+3k^2-4k+3 =(k^3-7k+9)+(3k^2+3k-6) よって、n=kで成り立つときn=k+1,k-1でも成り立つ。数学的帰納法から任意の整数に対して題意が成り立つことが示された。

[@user-pv5ef9lu7d]

ハイパーでんでん虫 うんなもん分かってるわ

[@user-vl2vn7hd6f]

(n－1)n(n＋1) ｎに1を代入する場合 0×1×2となると積は0で3の倍数ではなくなると思ったのですが この場合どうなるのでしょうか！？ どなたか教えてい頂けると幸いです🙇‍♂️

[@user-xg1ym9qx4d]

0は全ての整数の倍数になるので3の倍数としても問題ないですよー

[@user-yv3fn1vi9e]

上級大学の入試の知識が中級で使えるかなぁ…。 2020年 佐大 前期 理学の第4問が京大受験生でも解けなかったらしいからやってほしいなぁ。

[@ssss-wz5uj]

MODって出てきてブラウザバックしそうになったけど、最後感動しました 数学クソ苦手ですが頑張ります

[@user-rw3jq2vp1c]

自分でもよくわからないまま無理やり式変形していったら (n-2)(n-1)n-6(n-1)+3(n^2-n)+3に変形できたんですが、これでも3の倍数と示せてますかね...？

[@ss-if8vy]

自分はホントに懐の狭いやつだなあと思ってしまいました！ 感動です…

[@CR-sz5hn]

n(n^2-7)を3k,3k+1,3k+2で場合分けしたらn(n^2-7)が3の倍数にしかならないことに気づいたので、n(n^2-7)=-6として解きました

[@odtsler423]

n^3-7n+9=n^3-n-6n+9=n(n^2-1)-6n+9=(n-1)n(n+1)-6n+9=0 (mod 3) かつ素数となるとn^3-7n+9=3 n^3-7n+6=0 n={-3, 1, 2}

[@user-ui7nf5kq6l]

nが整数のときn(n+1)(2n+1)が６の倍数を示せという問題で、(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)で連続する３整数から示せて感動したのを思い出す。

[@A_4210]

∑k²の6倍を考えるのも華麗な解答ですね

[@user-pc8ee7zi6h]

この年の京都大学を受験した者です。 全体としては例年よりやや難化した歯応えのあるパッケージだった中、この問題だけ拍子抜けだったことはよく覚えています。