Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 3.7. Множество всех подмножеств. Теорема Кантора

[@danielthetutor6389]

Несколько раз переслушивал и читал объяснение на вики. Наконец понял как оно работает. Допустим есть множество элементов А и множество всех подмножеств элемента А, т.е. множество всех комбинаций элементов в А. Обозначим множество подмножеств как P(A). Теперь, мы предполагаем, что наши бесконечные множества равновелики, обладают одинаковой мощностью. Это подразумевает, что мы можем каждому элементу А противопоставить каждый элемент P(A). Ну допустим, 1 {1; 2; 3;} 2 {4; 5; 6;} 3 {1;5; 2;} 4 {1;2;4;} .... до бесконечности. Теперь найдем такие элементы в А, отображение которых их самих не содержит. В записи выше это 2 и 3. В множествах, которые им сопоставлены, нет их самих. Обозначим это множество как B. Но вот в чем фишка! Множество B само по себе есть подмножество А, так как это просто очередная комбинация элементов из А. Поэтому, исходя из нашего предположения о равном размере двух множеств А и P(A) должен в А найтись такой элемент x, которому было бы сопоставлено множество B. Теперь - главное. А может ли х входить в множество B? Если х входит в множество B, то получаем противоречие: множество В состоит из элементов, которые не входят в свое отображение. А х получается в свое отображение входит! Значит в множество В х входить не может. Так значит, что х не входит в множество В? Не верно! Потому что если х не входит в множество В, то по правилу составления множества В х должен туда входить, так как является таким элементом, который не входит в свое отображение. Получается, что х не может ни входить в В, ни не быть его частью. Получается абсурд, а значит наше утверждение о равной мощности А и P(A) неверно. Очень красивое доказательство от обратного.

[@prydreamer1445]

Перечитал доказательство дважды и наконец-таки понял! Действительно красиво! Спасибо огромное, добрый человек!

[@besbogov9489]

понял. теперь получив титул математика, утверждаю что это ерунда какая то

[@orna.mental]

Спасибо тебе, добрый человек ^^ Ачивка "математик" получена с третьей попытки.

[@FoliKalim]

Получаю вышку на программиста, посмотрел все до этого эпизода все понимал. Сейчас когда формулы начались что тут описано что на вике что на виде, доменя не доходят. Я так понимаю, что я что то упускаю и не понимаю ничего

[@laov6881]

Если х не входит во множество В , то х входит во множество В( исходя из допущения о наличие биекции между А и Р(А) ,а именно что у В должно иметь F(x)). Если х входит во множество В ( множество В состоит из тех элементов ,которые не имеют F(x)) ,то х не входит во множество В(исходя из допущения о наличие биекции между А и Р(А) ,а именно что у В должно иметь F(x)) ?

[@slayrenegade]

В одном полицейском участке объявлен день борьбы с коррупцией. Собрали полицейских, и всем раздали бумажки с фамилиями тех, кого им поручено допрашивать. Вдруг некоторые из них встали и возмутились тем, что они нашли себя в своей бумажке. Тогда раздающий говорит:"Кто ещё обнаружил себя в своём списке?". Всем полицейским с такими бумажками сказали выйти. Все остальные остались. Тут надо сказать, что эти списки на самом деле были распечатанными всеми возможными комбинациями любых полицейских. Там была бумажка "Петров", бумажка "Петров, Сидоров", "Сидоров, Иванов", и даже "Иванов, Петров, Сидоров", и т.д. пока не закончились комбинации, поэтому там были все по нескольку раз. По заданию, абсолютно всем дали ровно по одной бумажке. Ни один полицейский не должен остаться без бумажки, никому не досталось две, и не осталось ни одной лишней. Итак, в аудитории сидят оставшиеся, скажем, трое - Иванов, Петров и Сидоров. Значит существует бумажка, в которой есть только эти трое. Однако выясняется, что она вообще не может быть ни у кого. Если она попалась кому-то из этих троих, то он должен был это обнаружить. Если же человек, которому она досталась, находится снаружи, тогда он нашел в ней себя, и значит он - один из этих трёх, сидящих внутри. Выходит, условия задания выполнить нельзя. Либо бумажка не существует, а значит не все комбинации использованы, либо она осталась лишней и куда-то делась.

[@kirillpupkov6314]

Супер пример!

[@aaa82yt]

я нашел противоречие: курс называется математика для всех но в этой серии утверждается что вот это не для всех

[@MickeyMaussTV]

Stede Bonnet если так утверждается, то «математика не для всех» в свою очередь является «математикой для всех», а значит математика, в принципе, ни для кого😂😂😂

[@КириллИванов-ч6л]

Лживость теории множеств Кантора. Левые товарищи пролезли и в математику с целью её изуродовать, как они уродовали физику. Вместо классической логики они хотят подложить в фундамент математики лживую теорию множеств. Смотрите ролик на канале «Владимир Истархов»: kzbin.info/www/bejne/e3a0c4p6ZbKcaas

[@artemtyumentsev9887]

Поздравляю множество тех, кто воткнул)

[@denchuesh3928]

Artem Tyumentsev походу я пустое подмножество множества тех, кто воткнул

[@MaximumDo]

Заранее извиняемся перед подмножеством тех, кто уаткнул

[@ivan100kg]

Это гениально! Но смог разобраться лишь после прочтения доказательства на Вики. Потом этот ролик заходит с первого раза.

[@user-kf3gk6fz6s]

Имеем два множества: A - некоторое бесконечное множество, P(A) - также бесконечное множество всех подмножеств A (которые в свою очередь тоже являются множествами) Чтобы лучше понять, пример конечного множества с Машей, Мишей и Петей и его конечного же множества всех подмножеств (т.н. булеан): A = {Маша, Миша, Петя} - множество, элементами которого являются ребята P(A) = {∅, {Маша}, {Миша}, {Петя}, {Маша, Миша}, {Маша, Петя}, {Миша, Петя}, {Маша, Миша, Петя}} - множество, элементами которого являются множества - подмножества множества A Конечные множества называют эквивалентными, если они содержат одинаковое количество элементов. {1, 2, 3} ~ {Маша, Миша, Петя}. Для бесконечных множеств некорректно говорить о равенстве количества элементов, поэтому для таких множеств эквивалентность означает, что между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (для конечных, вообще-то, тоже, но не суть). {1, 2, 3...} ~ {...-2, -1, 0, 1, 2...}, т.к. 1 0 2 1 3 -1 4 2 5 -2 ... Мы хотим показать, что A и P(A) не эквивалентны, то есть между ними нельзя установить взаимно-однозначное соответствие, типа такого: A P(A) x₁ y₁ x₂ y₂ x₃ y₃ ... Предположим, что множества таки эквиваленты и установим между ними взаимно-однозначное соответствие (произвольное, нет правил, что такому-то элементу должно соответствовать именно такое множество) Рассмотрим некоторое множество B. Оно будет состоять из элементов множества A, а именно таких, которые не принадлежат как элемент тем множествам из P(A), с которыми они состоят в соответствии Например, у нас есть элемент из A: x₁ и состоящий с ним в (произвольном) соответствии элемент из P(A) (напоминаю, что в P(A) элементы - множества): {y₁, y₂, y₃}. И ещё один элемент из A: x₂ и соответствующий из P(A): {y₁, y₂, y₃, x₂} A P(A) x₁ {y₁, y₂, y₃} x₂ {y₁, y₂, y₃, x₂} Элемент x₁ не принадлежит соответствующему ему множеству из P(A), а x₂ принадлежит, значит, x₁ будет элементом множества B, а x₂ не будет: B = {x₁, ...} Итак, множество B состоит из элементов множества A, следовательно, является подмножеством множества A, следовательно, принадлежит как элемент множеству P(A), следовательно, состоит в соответствии с каким-то элементом из A, например, с b: A P(A) b B ... Относительно любого объекта можно сказать, принадлежит он данному множеству или не принадлежит. Возможны две ситуации: 1. b принадлежит B. B состоит из таких элементов из A, которые не принадлежат соответствующим им множествам из P(A). То есть b является элементом состоящего с ним в соответствии множества, в котором по определению нет таких элементов 2. b не принадлежит B. То есть b не является элементом состоящего с ним в соответствии множества B, в котором по определению находятся ВСЕ такие элементы Противоречие. Предположение, что множество A эквивалентно множеству всех своих подмножеств P(A), неверно Собственно, что делать брадобрею, которому сказали брить тех, кто не бреется сам: брить себя или не брить? 🤷‍♂️

[@СергейСеров-е2у]

красава, спасибо за стенограмму, внатуре всё понял, кроме инварианта брадобрея!

[@ДаркШнайдер]

А почему парадокс брадобрея говорит о противоречивости теории множеств, а то же самое в доказательстве Кантора говорит о невозможности взаимно однозначного соответствия? Не получается ли, что доказательство теоремы Кантора построено на противоречиях теории множеств просто?

[@GoopyMr]

Спасибо, после прочтения стало всё понятно!

[@DRUMMATEC]

"АНТИНОМИЯ РАССЕЛА" - множество Рассела рекурсивно, декогерентно и мультикомплексно, оно также отражает принцип суперпозиции Шрёдингера в квантовой механике. Опять же множество Рассела и неполную систему Геделя можно рассматривать как две стороны одной медали. Множество Рассела - это парадоксальное множество, которое содержит себя как элемент, в то время как теоремы Гёделя о неполноте показывают, что любая формальная система, достаточно мощная для выражения элементарной арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной. Таким образом, как множество Рассела, так и теоремы Гёделя о неполноте демонстрируют ограничения формальных систем для точного описания сложности мира.

[@greentea9338]

Спасибо большущие!

[@barbaraalexandrova6680]

Спасибо огромное, лучшее объяснение в сети. Все понятно хоть и не совсем просто к пониманию :)

[@ВладимирИстархов]

ВСЕ теоремы Кантора - это УМЫШЛЕННОЕ засирание мозгов.

[@ka4an784]

Савватеев большой молодец, спасибо!

[@dima_math]

Пусть существует непустое множество людей, способных понять эту теорему...

[@ВладимирИстархов]

А чего тут понимать? Примитивное надувательство. Кантор в своей этой липовой теореме закамуфлировал в построении множества В известный парадокс полкового брадобрея.

[@miku-k8w]

@@ВладимирИстархов парадокс брадобрея решается тем, что такой брадобрей не может существовать (аналогично не может существовать множество биективное множеству своих подмножеств, а следовательно и множество всех множеств)

[@epsilon.sw_]

​@@ВладимирИстархов не смогли постичь математику - пошли в опровержение?)

[@ВладимирИстархов]

@@epsilon.sw_ Не можешь понять, что тебя примитивно обманывают тогда ты должен тупо верить в ту бредятину, которой тебе засирают мозги.

[@Существо-ч4о]

@@epsilon.sw_ доказательство содержит ошибку, которая заключается в скрытой посылке "подмножество В с данным свойством обязательно существует при наличии биекции". Эта предпосылка не доказана (по крайней мере я не нашёл ни в гугле, ни с помощью нейросетей). Следовательно из противоречивости В не вытекает отсутствие биекции.

[@renatsu_dev]

Слава богу, что наткнулся на ваше видео. Кокнуло)

[@jonkolen2481]

Блин круть! Вот бы вас в технарь. А то от однотипных заданий голова пухнет. Вот это прям интересно. Приятно щекотит ум.

[@Люсьена69]

Я где то час читала статью на Вики, потом комменты и пару раз пересмотрела видос и до меня кажется дошло. Завтра надо будет снова посмотреть видос и если не забуду понимание, то у меня вырос iq

[@Alex-hh9tw]

Математика - это когда написано три строчки, но чтобы понять нужно не один час думать. И это только после того как тебе уже Савватеев максимально все разжевал.

[@Agni-hl7yu]

Год назад понимал с натяжкой, пол года назад думал что хорошо понимал, сейчас понимаю

[@bluxer4225]

Не понял, как элемент из А может НЕ принадлежать своему подмножеству (03:40) - к которому он приписан, ведь это вроде как условие биекции.

[@alred9806]

Множество А (a,b,c). Его члену a соответствует подмножество (b,c), которое не содержит а.

[@bluxer4225]

спс) я тогда на 4й день понял.

[@PavelYakovleff]

Примерно на 4-й минуте очень много отвлечений на математическую нотацию, и эти отвлечения сбивают с мысли по поводу основного доказательства. То есть мысль течет, течет, всё в кратковременной памяти стройно укладывается, потом - бац! куда-то в сторону, 7 новых совершенно сущностей (условно 7), которые вытесняют из кратковременной памяти, все что там было уложено, и всё. Вы возвращаетесь к доказательству, а я такой - так, стоп, стоп! О чем там была речь только что? Давайте снова. Не мог ничего понять, пока на наловчился пропускать все побочное мимо ушей. 4 раза пришлось прослушать.

[@Математика5класс-о1ь]

тем и хороши видео, по сравнению с мелом и доской, что можно с любого места и сколько угодно раз слушать и вникать. Можно и 10 раз послушать.

[@ismirnoff]

К этой теореме есть забавная иллюстрация. Жил в деревне брадобрей, который брил всех, кто не брился сам. Брил ли он сам себя? Если брил, то есть брился сам, то не должен был брить себя. Но если не брил себя, то есть не брился сам, то должен был брить себя. Такой вот парадокс. Спасибо за видео.

[@glukmaker]

Полученный парадокс означает то, что исходное условие/предположение: "Жил в деревне брадобрей, который брил всех, кто не брился сам." само по себе является неверным.

[@ismirnoff]

@@glukmaker так работает с противоречиями, с парадоксами нет. Если логический вывод из посылки приводит к противоречию, значит посылка не верна. В случае с парадоксом то, что посылка приводит к парадоксу не означает, что она не верна.

[@lasoirinte9662]

Super!

[@Human__Science]

@Александр Корытко. Я имею ввиду определение В как множества, которое не содержит элемента из А, которому оно соответствует. Короче, то определение В, что задано в уроке.

[@shield8290]

Начиная с 00:01 до 08:14, с трудом понимал, после 08:15 вроде понял)))

[@ovverso.9197]

Здорово, понятно. Только не очень нравится, как в этом доказательстве бесспорно констатируется существование множества B с такими свойствами. Мне, вот, не очевидно, что B подсуществует во множестве подмножеств ЛЮБОГО множества. Ведь если ложь, что существует, тогда именно из нее мы выводим дальнейшее противоречие, потому и отрицать должны ложное суждение, а не первичное, о биекции между A и P(A). Может, это и несложно понять, но потребность такую обнаружил - постараюсь разобраться.

[@epsilon.sw_]

Быть может множество B пустое. Это ничему не противоречит. Пустое множество является подмножеством произвольного множества. Тогда для него тоже надо сопоставить некоторый элемент из A. Но дальнейшие рассуждения приводят к противоречию как и ранее. Доказательство работает.

[@Существо-ч4о]

@@epsilon.sw_ ты противоречишь сам себе, утверждая сначала что [Это ничему не противоречит] и на основании "этого" [дальнейшие рассуждения приводят к противоречию]. Эти два суждения не могут быть истинными одновременно. Хотя бы одно из них обязательно ложно.

[@msetracer]

Спасибо за лекции! Здесь более понятное Ваше объяснение этой теоремы: kzbin.info/www/bejne/haWZZX-rgKyZnbc Я не до конца понял почему должно существовать множество B (множество элементов каждый из которых не входит в подмножество своих отображений). Кто понял объясните.

[@СерыйБес-ф9ю]

Самый простой способ - привести пример, который покажет, что B по крайней мере не пустое: в множестве {подмнож. А} первый элемент является пустым множеством по определению (мы не выбрали ни кого из А), согласно нашему допущению метод "пси" сопоставляет этому элементу множества {подмнож. А} один элемент А, назовём его z, который не содержится в пустом множестве по определению, следовательно z принадлежит B, следовательно B существует.

[@ivangusev9556]

Спасибо за ссылку! Сначало показалось что B - это не множество, а множество множеств %) и это сильно сбило столку. Поглядев и то и то (кучу раз) понял доказательство. Потому что множество "B" гарантированно существует для конечного набора элементов. Это лехко проверить. Например, если смотреть на множество состоящее только из двух элеметнтов "1" и "2" и все наборы их подмножеств {1},{2},{1,2} а затем попробывать сопоставить "1"={1}, "2"={2}, ?={1,2} то очевидно что для последнего множества нам не хватило элемента, а значит нам нужно позаимствовать для него число кроме "1" и "2", вот тут и появляется перво множества которому в соотвевии стоит элемент, который не входит в него. Расширение списка элементов (вплоть до бесконечности) никак не решит эту проблему, ведь "1" или "2" мы по новой не добавим.

[@АлександрКорытко-и8г]

Множество В может быть как пустым, так и полностью совпадать с множеством А. Доказательство теоремы от этого не изменяется.

[@denisvorozhtsov2315]

Объясните, если B состоит только из одного пустого множества, то он не будет являться подмножеством A, (множество A не содержит пустого множества)?

[@glukmaker]

@@denisvorozhtsov2315 Пустое множество является подмножеством любого множества

[@НовокузнецкиеСомелье]

гениальная штука на самом деле

[@sh.dmitry]

Был на столько сосредоточен, что к концу доказательства забыл о чем вообще шла речь... Самое ключевое для понимания 6:42 - 7:00

[@maxgin3728]

Наконец понял это, спустя 1,5 года. Вернулся случайно к этому видео, и оказалось не так трудно понять, если аппроксимировать. Не можете понять, представьте схему множеств графически.

[@null-mj2vp]

А можешь объяснить, как ты это представлял?

[@maxgin3728]

@@null-mj2vp Давно это было, точно не помню, попробуй максимально упростить, и нарисовать связи, что откуда происходит, в конце доказательство от обратного станет наглядным. Я не смог удержать столько переменных в голове, для меня это был лучший способ, но детально описать не смогу, sorry

[@null-mj2vp]

@@maxgin3728, я уже вроде как понял суть, аж словил лёгкую эйфорию и эврику, спустя 2 дня раздумий. Но для более точного понимания, попробую это объяснить себе ещё и графически

[@maxgin3728]

@@null-mj2vp Я вас понимаю, тоже было приятно понять, хотя обидно, что Савватеев воспринимает невозможность понятия с отсутствием задатков в математике, но зато это работает как реверсивная психология. Я думаю если ты стараешься понять истину несмотря не на что, вот что говорит о наличие у тебя задатков к математике.

[@Жэк]

Суть доказательства тесно перекликается с таким феноменом, как парадокс брадобрея. Там устанавливающее свойство содержит в самом себе посыл об одновременной и истинности, и ложности этого свойства, если применять его к множеству ВСЕХ множеств. Именно из-за таких парадоксов ввели ограничения типа системы аксиом Френкеля. Не кроется ли и в данном тут доказательстве нарушение этих аксиом и, значит, доказательство некорректно?

[@stasyara81]

Не кроется. Тут конкретное множество и все выполнено

[@untantic]

Вот как я понял e1 соответствует (e2,e3,e4,e5), это множество всех тех элементов которые не принадлежат своему подмножеству, но тогда должно быть так - (e1, е2,e3,e4,e5), но тогда e1 не может входить в него, ведь он есть в своем подмножестве, а если убрать, то он там должен быть, и тд.

[@СмертьТупицам-ы1ь]

Уважаемый Господин Савватеев. Будьте любезны, чуть помедленнее и более внятно. Не торопитесь. Не испытывайте иллюзий - не все Ваши слушатели - выпускники 57 й школы. Вы делаете немалое дело, канализируя стихию русского народного гения в русло преемлимых инженерных решений. Но не насилуйте его блеском своей одаренности и у Вас появятся тысячи учеников. Прошу Вас - чуть яснее в устном изложении, чуть точнее в знаках на доске, позвольте себе пару пауз в самых, как вам кажется , эффектных местах - и все будет ладно. С уважением.

[@etojan]

Смерть Тупицам, ну я смотрю на двухкратном ускорении, в самых сложных местах опуская до 1.5x. Так что ты либо ник смени, либо коммент удали

[@СмертьТупицам]

Ян Ханов -- У меня есть знакомый, который часами на разных скоростях смотрел ролик ютуба "Как накачать пресс до кубиков". И очень хвалился этим. Правда не сообщал, появились ли кубики. Тарасик? Ты что ль?

[@Krylowandrey]

Банан велик, но кожура от банана еще больше )))

[@Alexander-cf3yf]

💯

[@Magiqm]

B может быть пустым подмножеством, тогда оно принадлежит подмножеству А, так как любое пустое подмножество принадлежит любому множеству, но не найдется такого b которое является прообразом множества B потому что элементов в B нет. Соотвествено вопрос почему из того что B принадлежит А следует то что найдется элемент который является прообразом множества B

[@alexeybukach282]

Как Кантор до этого додумался? 😀👍 сколько у него времени на это ушло?

[@Andrew_Petrovich_Zykov]

это очень простое доказательство, не знаю сколько он над этим думал, но это очень частый прием "от противного"

[@jack.jay.]

вы витиеватым языком математики выражаете одни и те же истины, что 0 не равно 1 )))

[@Human__Science]

А почему мы обязаны предполагать что хоть один член А будет соответствовать подмножеству, членом которого он не является. Это же только опция.

[@dmitry1976yt]

не обязаны, рассмотрите тот случай когда ни один член А не соответствует подмножеству, членом которого он не является. Тогда B будет пустое множество и проверьте принадлежит ли b множеству пси от b или нет.

[@Существо-ч4о]

@@dmitry1976yt не существует множества В с рассматриваемым свойством. А значит одновременно не существует пустого множества В и не пустого множества В. Но если множества В не существует, как его не существование опровергает биекцию? Оно может его опровергать только в том случае, если наличие подмножества с таким свойством обязательно при наличии биекции. Только вот это не доказано и эта связь выдумана.

[@dmitry1976yt]

@@Существо-ч4о делайте обзоры на игры, не забивайте голову

[@Существо-ч4о]

@@dmitry1976yt я понимаю, что у вас нет аргументов

[@dmitry1976yt]

@@Существо-ч4о я первый и последний раз вдумывался в эту теорему 4регода назад. И сейчас реально лень опять ее разбирать, но правильно ли я понимаю что вы пытаетесь опровергнуть эту базовую теорему?

[@sinator4]

Перед роликом стоит почитать википедию

[@ВладимирИстархов]

ВСЕ теоремы Кантора, включая и эту - это УМЫШЛЕННОЕ надувательство. Во-первых, наличие парадокса в построенном Кантором хитроумном множестве В никакого отношения не имеет к возможности или невозможности построения биекции между натуральным рядом и множеством всех его подмножеств. Во-вторых, сам парадокс в множестве В возникает из-за того, что Кантор это хитроумное множество строит с помощью самореференции, полностью аналогичной самореференции парадокса полкового брадобрея. В-третьих, ЛЮБОЕ множество, состоящее из элементов элементарно нумеруется и никаких множеств, имеющих мощность больше счётной НЕ СУШЕСТВУЕТ. Подробности читайте в моей книге "Лживость теории множеств".

[@dima_math]

Что значит человек не математик? Объяснять надо лучше)

[@epsilon.sw_]

Ну вот есть такие люди которые сидят на просторах интернета и рассказывают, что множество состоящее только из конечных чисел не может быть бесконечно, а по сему множество натуральных чисел также не может быть бесконечно. Такому человеку трудно что-то объяснить

[@СережаСУрала-е7м]

Если нарисовать схему то будет гораздо понятней

[@ПетрПетров-ж3ч1ц]

мне рисунки помогли и аналогичный, но немного другой видос

[@nikolaikuzmin8075]

@@ПетрПетров-ж3ч1ц а не могли бы вы подсказать что за видео а какие рисунки, где на них посмотреть?

[@ПетрПетров-ж3ч1ц]

@@nikolaikuzmin8075ссылку на видео скину, а рисунки сам рисовал

[@zaars4739]

Это конечно весело, но это жесть. Множество Шрёдингера. Не знал, что такое бывает в математике, что множество может и входить и не входить

[@epsilon.sw_]

Не может. Противоречие как раз получается

[@manymems]

а как в принципе могут существовать такие элементы, которые не подходят своей биекции?

[@vitusmurakov7377]

Могут. и придумать такие множества относительно несложно

[@Keller.Dominator]

Эта шиза по круче векторной алгебры))

[@evgeniypusser4562]

У меня есть два возражения против Кантора. Первое: а дальше? Множество подмножеств второго множества, которое состоит из подмножест первого, тоже не может быть приведено в взаимнооднозначное соответствие с элементами второго? И до каких пор будут расти кардинальные числа? Второе: словесное руководство при определении элементов множества может быть не единственным. И опровергнутое Кантором соответствие некоторого элемента множеству всех элементов, которые не входят в те подмножества, которым они соответствуют в допущенной биекции, может на самом деле быть, но при другой характеристике ТЕХ ЖЕ САМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, входящих в это подмножество.

[@ordevoir1331]

Evgeniy Pusser а что проблематичного в росте кардинальных чисел?

[@CBSD1972]

А пустое множество равномощно ли множеству своих подмножеств? XD

[@НикитаЛыкосов-ж6д]

Нет так как есть одно подмножество с пустым множеством

[@Human__Science]

Множестао его подмнож. содержит один член - подмножество с членом "пустое множество"

[@andriisoloviov7056]

@@НикитаЛыкосов-ж6д вообще-то, они равномощны - у обоих множеств мощность равна мощности счётного множества, а вот кол-во элементов у них разное - у пустого множества нет элементов, а у множества его подмножеств есть один элемент - пустое множество.

[@epsilon.sw_]

@@andriisoloviov7056 если множество конечно, то оно не обладает счетной мощностью, ведь множество обладающее счетной мощностью - бесконечное множества. То, что элементы всякого конечного множества можно сосчитать еще не означает, что мощность такого множества счетна.

[@core__dump]

Доказательство Кантора не корректно, так как использует две недоказуемые посылки, одна из которых постулирует абсурдную сущность. Абсурд сам по себе непродуктивен. Так ещё и никаким доказательством от противного это не является. Подробнее я распинался об этом тут: kzbin.info/www/bejne/b5yzqXmqh8qZl8U

[@mrynoplanetashka8988]

Я не понял кое чего: "пускай найдётся соответствие (пси)*А, которое поставит в соотствествие все элементы А с его подмножествами" B = { a E A | a не E (пси)(а) }; как я по началу понял (пси) сопоставляет все элементы одного множества другому, а что оно делает при передаче ей параметра я вообще невдупляю...

[@Bertrezenth]

Смотри на это как на функцию, входной параметр которой - это элемент множества А, а выходной - это соответствующее ему Подмножество А. пси(а) - Подмножество сопоставленное с a, пси(b) - подмножество сопоставленное с b

[@mrynoplanetashka8988]

@@Bertrezenth А понятно. Спасибо за объяснение.

[@itnoit]

Вы вводите 2 предположения: 1 - что такое соответствие существует. 2 - что такое B существует. Из этих двух предположений вы получаете, что В противоречиво, так как про него нельзя сказать принадлежит оно множеству А или нет. Вы делаете вывод, что предположение 1 не верно. Однако всё, что вы на самом деле доказали - это противоречивость утверждения B. В рамках предположения 1 оно фактически эквивалентно такому определению: B = { a in A | a not in A }, так как любое подмножество А может быть заменено на соответствующий элемент А. И это определение одинаково противоречиво независимо от предположения 1. С тем успехом вместо предположения 1 можно подставить любое утверждение и героически его опровергнуть. Например, предположим, что 2*2=4, пусть b = { a in КвадратыДвух | a not in Четвёрки }. Заменяем 4 на 2*2, получаем противоречие и далее по тексту. Известный парадокс брадобрея иллюстрирует ту же логическую ошибку, но на конечных множествах: кто бреет брадобрея, который бреет всех, кто не бреет себя сам? Знаете я много лет занимался математикой, побеждал на олимпиадах и всё такое, но именно теорема Кантора стала тем, что разочаровало меня в математике и научном сообществе вцелом. То есть проблема не в том, что я не могу понять. А в том, что я понимаю, но я не согласен с выводами.

[@АлександрКорытко-и8г]

Вы не понимаете, поэтому и наделали логических ошибок.)) И нотация у вас путанная. Никто не утверждал, что такая точка - прообраз множества В существует. В теореме как раз показывается, что такой точки в множестве А нет!)) С уважением.

[@itnoit]

@@АлександрКорытко-и8г давайте вы сначала разберётесь в парадоксе брадобрея, а потом уже будете рассказывать кто что не понимает. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B0#%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B5%D1%8F Всё, что в теореме показывается - это то, что множества B не существует, так как его определение противоречиво.

[@АлександрКорытко-и8г]

Думал уже удалить свой коммент, но не успел.)) Давайте тогда продолжим. В парадоксе Рассела говорится об объекте с противоречивыми свойствами. Множество множеств, которые не содержат самих себя в качестве одного из своих элементов. Само это множество множеств нельзя ни включить в себя ни исключить. Это множество множеств - вполне понятный объект, но с неопределенным свойством самовключения. Поэтому это множество множеств просто относят к другому виду совокупностей - к классу. Теперь все становится ещё более понятным. Класс автомобилей не относится к классу автомобилей. К нему относятся автомобили и их множества. То есть, в парадоксе Рассела говорится о странном, но понятном объекте. А в теореме Кантора никаких странных объектов нет. Теорема Кантора целиком решается в рамках классической логики. Объект с противоречивыми свойствами в ней просто не существует. Точка "в" не лежит ни в В, ни в оставшейся части А. Значит её вообще нет в А. Нет такой точки нигде!. А класс множеств не содержащих себя в качестве одного из своих элементов - существует, и по-моему вполне доступен мысли.)) Правда ведь?

[@АлександрКорытко-и8г]

Не существует точки (элемента) в множестве А, которой можно было бы поставить в соответствие множество В. А само множество В легко строится в любом множестве.

[@АлександрКорытко-и8г]

Как строится множество "В" Вам понятно?

[@dimatuzov256]

Друзья! кто не понял, но не сдался... Я понял вот тут: seminars.narod.ru/fall2005 Не сдавайтесь, вы можете это понять.

[@marabundo]

здравый смысл говорит мне, что никакое множество не может быть бесконечным, т.к. имеет границы бесконечность не может быть ограничена априори это не статичная константа, а нефиксируемый процесс любые операции с ней бессмысленны

[@wakeupgringo]

множество не обязательно должно иметь границы

[@andriisoloviov7056]

Это Вам не здравый смысл говорит, а ограниченный

[@epsilon.sw_]

Окей. Если так, то множество натуральных чисел конечно. Можно поинтересоваться сколько конкретно в нем элементов? Или множества натуральных чисел не существует? Вот это будет сюр конечно

[@worfect]

7:42 - в этом месте проходит другая грань на самом деле. Если человек не в состоянии "на пальцах" объяснить широкой публике столь, на самом деле, простую концепцию, мотивы которой предугадываются еще на середине предыдущего ролика, то он не педагог и не популяризатор. И ничего нельзя с этим сделать. В комментариях люди гораздо лучше расписывают принцип. Людям понятнее то, что написано на ВИКИПЕДИИ, чем то, что объясняется "для всех". Зачем эта математическая запись? Вы на надувных кругах детских топологию объясняли там чуть ранее. Ну какие к черту пси и Е перевернутые? Зачем рассеивать внимание людей на это, когда им просто надо немного сосредоточится и с помощью простенькой записи на доске это у себя в голове визуализировать?

[@epsilon.sw_]

Математическая культура а может и ее отсутствие А может математическая культура есть ее отсутствие

[@nart1ny]

А что мешает представить элементы А от 0/1 до ∞, как элементы подмножества А от 0/1 до ∞, а все смеси пустить в обратную сторону до -∞, то есть А {1:Маша; 2:Петя; 3: Саша} --> подмножества A {1:М; 2:П; 3:C; 0: никто; -1:МП; -2:MC; -3:ПМ; -4: все}. Тогда если элементов будет ∞ то элементов в А = количество элементов в N, а подмножеств А = количество элементов в Z. В предыдущем видео доказана возможность произвести их взаимооднозначное соотвествие.

[@anzarsh]

При малом количестве элементов это может быть не так очевидно, но например для 10 элементов количество их комбинаций уже 1 000, для 20 элементов - 1 000 000, для 30 - 1 000 000 000, для 40 - 1 000 000 000 000 и т.д. и теорема доказывает то, что взаимно-однозначного соответствия между такими двумя множествами установить невозможно, т.е. бывают бесконечности разной мощности. Для простоты сравнения двух бесконечностей можете сравнить бесконечное количество точек на плоскости и прямой. В обоих случаях количество точек бесконечно, но взаимно-однозначного соответствия (точка-в-точку) установить не возможно.

[@itnoit]

Вас вот самого-то не смущает, что вы фактически сравниваете концы того, у чего нет конца?

[@Human__Science]

Но вопрос остается: соответствие предполагаемое в теореме необязательно существует между двумя множествами

[@stasyara81]

Конечные под множества счетного множества А вы безусловно таким образом пронумеруете, но забыли про бесконечные под множества. Их то как раз и многовато))

[@Sokolov-family]

Я так понимаю смысл этого ролика показать, что в математике есть свой язык, обозначения, сокращения, понятия. Лекция же не для математиков

[@uuuummm9]

а почему с помощью этого трюка нельзя доказать, что натуральных чисел меньше, чем целых?

[@andriisoloviov7056]

А их не меньше, оба множества бесконечны и равномощны, существует взаимнооднозначный морфизм между этими множествами. Различие только в том, что множество натуральных чисел есть подмножество целых, но из этого не следует, что какое-то из этих множеств содержит больше элементов.

[@uuuummm9]

@@andriisoloviov7056 вы не ответили на мой вопрос.

[@samedy00]

@@uuuummm9 Потому что с помощью правильных рассуждений нельзя доказать ложное утверждение.

[@itnoit]

@@samedy00 следите за руками: 1. Предположим, что есть биекция между N и Q 2. Применим диагональный метод: число K, где k-ый бит является инвертированным k-ым битом рационального числа соответствующего натуральному k 3. Любое натуральное число имеет конечное число бит, а значит любое сгенерированное нами число тоже имеет конечное число бит, а значит является рациональным. 4. Поздравляю, мы получили рациональное число, которое не равно никакому рациональному числу, имеющему проекцию на натуральное множество, а значит оно само не имеет проекции на N, то есть Q > N

[@samedy00]

@@itnoit в 3-м пункте у вас ни одно из "а значит" не следует из предыдущего утверждения. Но не суть. К чему вы это написали? Вроде бы никто не спорит, что мощность R > мощности N.

[@Pudrikello]

Непонятно, но я и не математик. Хотя в прошлых видео было все понятно и наглядно. Допустим если я возьму бесконечное множество как в прошлом видео, Маша, Петя, Катя и т.д. до бесконечности, я же всегда смогу сопоставить их множеству всех подмножеств, т.е. пар Маша+Катя, Катя+Петя и т.д. разве нет ?

[@ОлегС-ь7и]

Почему Вы берете только пары, нужно брать все конечные подмножества.

[@Pudrikello]

Ну окей, какие не возьму, я же всегда смогу им сопоставить. Ну судя по всему не смогу, раз Алексей сказал что нельзя, но вот объяснение я не очень понял, если бы оно было в стиле прошлых объяснений, тогда другое дело)

[@ОлегС-ь7и]

Речь идет о взаимооднозначном соответствии, т.е. в одну сторону соответствие построить можно, но тогда всегда останутся "лишние" элементы множества подмножеств. И даже построили такое подмножество, которому не будет соответствовать никакой элемент исходного множества - это подмножество всех таких элементов исходного множества, которые не входят в соответствующее (поставленное в соответствие с помощью нашего взаимооднозначного отношения) каждому из них подмножество (т.е. не совпадают ни с одним элементом из которых это подмножество состоит).

[@physicsExp]

для бесконечных такой пример рассмотрим множество всех подмножеств действительных чисел, такое множество в частности включает в себя множество всех троек чисел, а множество всех троек чисел Это трехмерное декартово пространство.действительных чисел геометрическая интерпретация суть прямая, выходит что мне мне требуется поставить в соответсвие каждой точке прямой точку пространства, но это невозможно так каждой точке прямой я могу поствить целую плоскость из 3х мерного пространства(х,у,z)

[@Laptevwalrus]

Пусть дано множество A{1, 2, 3}. Число элементов A = 3, но число подмножеств F(A) = 2^A = 8 ( {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} ), то есть всегда больше: 2^A > A.

[@АндрейкаКрылов-й3у]

Значит не существует ни множества всех множеств, ни множества всех подмножеств.

[@Математика5класс-о1ь]

В целом нгеплохо, но автор не знает психологии восприятия, лучше если разобрать пример с конечными множествами и на ней отработать технику создания множества B, а затем формально и наглядно применить к бесконечным множествам.

[@jack.jay.]

Короче - всю математику можно подвести под противоречие 2-х к третьему "антогонисту" и наеборот. Абсолютно тоталная симметрия Мира: либо 010 и 101 (в варициях инверсии только по двум) либо 111 и 000. Всё! третьего не дано! Всё! Математика именно в этом - сколько-бы она не пыталась там разрастись...потом уже и идут все эти "простые" числа, формулы Эйлера и прочее, но основное "противоречие" заложено именно здесь! 1 = 0 потому как антагонисты и сопоставимы один к одному. 2 = 4 квадрат - тут тоже всё понятно. 3 - вот тут-то и незадачка выходит ... сопоставить и отобразить одно множество однозначно в другое - невозможно ))) Тотальный математический инвариант именно в этом числе и состоит, что невозможно инверсией в двух числах никакую из последовательностей состоящих из трёх чисел, из нулей и единиц привести к виду 000 или 111 ))) и это задачка про P=NP - просто подсказываю...

[@романайзерман]

вывод из этих множеств математика не мое

[@vadimjuchtenko]

А если так: Если я не ошибаюсь бесконечные десятичные дроби прекрасно могут быть пересчитаны: первая дробь начинается с 9, и все последующие позиции заняты так же девятками, вторая получают на первой позиции восьмёрку, третья - семёрку, одиннадцатая получает на первых двух позициях 9 и 8. Ну, принцип понятен. Абсолютно очевидно, что нельзя предъявить десятичную дробь, которая не была бы учтена при таком пересчёте. Красота рождается там, где хаос и порядок находятся в идеальном для долговременного развития эволюции сложности соотношении.

[@Alexander13Orlov]

Алексей молодец, хорошо разжевал. Три раза прокручивал эту лекцию, пока втыкнул)

[@ВладимирИстархов]

Причём втыкнул неправильно. Теорема лжива, а вы и не поняли.