26-1. Теорема Кантора-Бернштейна, полная версия.

[@alexiskra1180]

Формат супер! Не бросайте это дело, у Вас талант!

[@reisedurchdiemathe]

Спасибо! Стараемся

[@RestoredPower]

Потрясающее видео, всё четко и обосновано, благодарю

[@thesharipov]

Спасибо! В зориче было такое упражнение, я конечно тогда не осилил, но сейчас рад что понял)

[@дфлдфл-х4ь]

Отличная лекция. Спасибо большое.

[@93n3rat10n]

Просто шикарно, лучше доказательства я не видел!

[@fawerwer1016]

Благодаря вам все понятно

[@coderash_project]

Хороший разбор! Побольше бы таких!

[@ПавелБелявцев-х8ф]

Спасибо! Топовый контент

[@АлександрБеляков-п5ы]

Интересное доказательство, но требует формулировки весьма нетривиальной идеи. Это как ключик, который открывает только одну дверь. Традиционное доказательство доказывает в лоб, как и во всех других случаях. Оно не требует изобретательности, а только внимания. А как вам кажется?

[@reisedurchdiemathe]

А мне это доказательство нравится своей алгебраичностью в духе Гильберта, и еще тем, что не требуется использовать рекурсивное определение даже хотя бы вдоль омеги, как в классическом доказательстве. Это его никоим образом не делает сильнее, но придает некоторый шарм истинной математики)

[@АлександрБеляков-п5ы]

@@reisedurchdiemathe Понятно. Но на всё это можно посмотреть с другой стороны. Алгебраический подход хорош для экономии мысли, но только после того, как сама алгебра имеет неалгебраическую интерпретацию, как это можно видеть на примере группы. В квантовой механике популярен алгебраический подход, но без предположения о модели в виде функционального гильбертова пространства он вырождается в игру с буквами. В стандартном доказательстве рекурсивное определение позволяет ПОНЯТЬ, почему теорема истинна. PS. Что же касается самого статуса определения по рекурсии, то она вообще-то относится к конструктивной математике. Без нее невозможна математическая логика: формулы и термы определяются по рекурсии.

[@JohnSmith-pg3gw]

А нельзя ли просто построить эту биекцию по двум данным инъекциям? Показать, например, что f или g сюрьективны? Хотя, собственно, это и показано, но с построением функции H. Вопрос, в общем, в том, нет ли более простого доказательства.

[@reisedurchdiemathe]

f и g как раз-таки не обязаны быть сюръекциями, но на их основе можно построить биекцию. Есть доказательство через вложенные образы, оно в русской математической школе чаще всего и показывается. Мы там строим перекрестные итерации X[n+1] = g[Yn], Y[n+1]=f[Xn], отправляясь от X0=X и Y0=Y, тогда возникают убывающие последовательности множеств Xn, Yn, и им соответствующие разности Xn\X[n+1] и Yn\Y[n+1]. Вот эти разности можно связать друг с другом биективно: f:Xn\X[n+1]Y[n+1]\Y[n+2] и g^{-1}:X[n+1]\X[n+2]Yn\Y[n+1] для четных n. Получается, что мы f сужаем на четные разности образов, а g^{-1} - на нечетные разности образов. И еще там есть неподвижное ядро - пересечение всех Xn, которое биективно сопоставляется с пересчением всех Yn при помощи как f, так и g. Не назвал бы это доказательство более простым, но оно точно более распространенное, все ролики по теореме КБ как правило связаны с этим доказательством.

[@rd7614]

@@reisedurchdiemathe я видел варианты этого доказательства у Львовского в брошюре о парадоксе Банаха-Тарского и у Шеня, в книжке знаменитой; тяжело усваивалось. Доказательство на видео мне показалось более понятным, спасибо вам

[@JohnSmith-pg3gw]

@@reisedurchdiemathe спасибо за развернутый ответ

[@hi-nb7pv]

@@reisedurchdiemathe а почему мы можем сказать что ядро существует, почему мы можем сказать что есть пересечение всех? не получается понять этот момент

[@reisedurchdiemathe]

@@hi-nb7pv привет, а можете место в ролике указать, где это самое ядро определяется? а то я не совсем понимаю, о чем речь. Могу только предположить, что ядро - это корень уравнения H(A)=A. Но это решение у нас ищется явным образом - как объединение всех хороших множеств, то самое множество Z = \bigcup \{ A | A - хорошее \}. Множество всех "хороших" подмножеств множества X - это определяемая часть булеана P(A), значит, существует по аксиоме степени, ну а его объединение уже существует по аксиоме объединения.

[@skazariants]

Автор не сказал, что такие приемы можно сделать для бесконечных счётных множеств! С несчётными это не проидёт. Более доступное для понимания доказательство теоремы эквивалентности есть в книге Хаусдорфа - Теория Множеств.

[@qwrwefwertertertergwergwbwrbwr]

а можете конкретно указать где здесь требование счетности используется?

[@besbogov9489]

етить, понавыдумывают такое, а потом, сиди, мозг насилуй