Was kommt raus? - Wurzelgleichungen lösen

Wurzelgleichungen lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne)
wie man die Gleichung mit einer Wurzel nach x auflösen kann. Wir bestimmen die Definitionsmenge der Wurzelgleichung, quadrieren und machen die Probe, um Scheinlösungen zu erkennen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wurzelgleichungen lösen
0:25 Definitionsmenge Wurzel
2:08 Gleichung lösen
3:12 Probe
5:00 Bis zum nächsten Video :)
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[@adrianlautenschlaeger8578]

Du bietest persönliche Videonachrichten an? Was sprichst du denn da drauf? 😁

[@maxmiller9297]

@@adrianlautenschlaeger8578 Videonachrichten sind ja nicht nur Tonaufnahmen.... du solltest besser fragen, was da optisch geboten wird? 😉

[@adrianlautenschlaeger8578]

@@maxmiller9297 Was willst du damit andeuten? Dass du Susi als eine Camgirl betrachtest?

[@maxmiller9297]

@@adrianlautenschlaeger8578 Du glaubst doch nicht wirklich, dass irgendjemand eine Videonachricht von ihr kaufen würde, wenn sie zwar ein Mathematikgenie, aber ein hässliches Entlein wäre? Dann würden bestimmt nur ein paar Matheverzweifler nach schriftlichen Lösungen fragen.... Was ist denn ein Camgirl? Du kennst dich offensichtlich damit aus 😂

[@adrianlautenschlaeger8578]

@@maxmiller9297 Ja ich kenne mich mit Frauen aus. Das hast du richtig erkannt :-)

[@karlbesser1696]

Suzanne ist auch immer positiv.

[@maxmiller9297]

Dann hast du aber ein paar Videos von ihr nicht mitbekommen.... Mathespielchen sind zwar irgendwie ein netter Zeitvertreib, aber machen sicher nicht glücklich.

[@DieSchmierlaus]

Ach, das war ich 2021 auch sehr oft😂

[@wesselch]

Die Lösung hatte ich gleich gesehen/erkannt, aber die mathematische Erklärung ist super. Ja, eigentlich eine einfache Aufgabe, aber mit viel Potential. Vielen Dank!

[@ahrwin]

Zunächst habe ich diese Video angehalten, um diese Aufgabe selbst zu lösen. Trotz 5 Semeste beim damaligen DDR Grundlagenstudium an der TH-Magdebug konnte ich es nach so langer Zeit nicht mehr lösen. Dank dieser genialen Erklärung hätte ich sogar und sofort ab 8-Klassen-Niveau der DDR alles erstanden. Kurz um: Sie sind ein Bildungs-Superstar und ihre Band mit ihren Songs finde ich auch echt super.

[@Dancer51001]

Danke, liebe Susanne! Ich finde auch Deine Erinnerung sehr nützlich, wann es 2 Lösungen (+/- 16) geben kann und wann nicht.

[@baal1999]

4:51 Dankeschön! Ich weiß nicht wie oft ich Menschen schon versucht habe zu erklären, dass die Wurzel aus einer Zahl immer eindeutig definiert ist. Die Wurzel aus 9 ist z.B. 3 und nicht +/- 3.

[@NoSpeechForTheDumb]

Falsch, nur die WurzelFUNKTION ist eindeutig. Wurzeln gibt es viel mehr. Wählt man nämlich eine natürliche Zahl n, dann ist für k=0,1,...,n-1 die Zahl [9^(1/n)*e^(i*2*pi*k/n)]^n = 9. LOL

[@Birol731]

Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙏 Mein Lösungsvorschlag ist: √-x= 16 -x ≥ 0 x ≤ 0 die Zahl muss eine negative Zahl sein ! √-x= 16 (√-x)²= 16² -x= 256 x= -256 ist die Antwort, also c) 🙂

[@spikeb.3627]

Ganz genau so. ^^ Mein Vorschlag für deine Schreibweise: nutz Klammern hinterm Zeichen, das sqrt() oder bei höheren Wurzeln z. B. 3rd_root(). Wenn mehr als eine Zahl oder eine Variable unter deiner Wurzel stehen, finde ich es dann übersichtlicher. Hier ist es noch klar, da es keine Wurzel von nix und dann minus x geben kann. *xD* Aber ist ja eine subjektive Sichtweise. *(^_^)/*

[@Birol731]

@@spikeb.3627 Danke für Deine Rückmeldung 🙂🙏👍

[@lt-ganymed]

Schön mit der Plus/Minus Erlärung am Ende, gefällt mir! Den Unterschied vergessen ganz gern auch mal "die Profis" 😉

[@njr8029]

Das war mal endlich ein einfacheres Beispiel 😊😊😊

[@aymand989]

Danke so sehr ich schreib morgen eine KA und ich hatte nichts verstanden aber jetzt Weiß ich alles richtig gute Erklärung danke😊❤

[@hessijames342]

So eine liebe gut erklärende. Athelehrerin hätte ich mir gewünscht, statt den bekloppten Lehrer L. der den Besenstiel verschluckt hatte!!

[@arimatearocha6006]

Obrigado.

[@AlbertEinstein-me9mp]

Du bist so toll

[@albertweimann5378]

Ein echt guter Kanal, der bestimmt sehr vielen geholfen hat, durch wichtige Prüfungen durchzukommen. Und attraktiv ist sie auch noch. Danke

[@WotansProphet]

Denke ich muss deinen Kanal mal den Kollegen aus meiner Techniker Lehrstufe ans Herz legen; in der Hoffnung, dass sie dann die Wunderbare Welt der Mathematik vielleicht etwas besser begreifen. :D

[@iceagesiddy]

Die Lösung hatte ich schon vorher raus, war aber auf deinen Rechenweg gespannt (der wie meiner war ^^). Trotzdem habe ich wieder etwas neues gelernt, denn das mit dem "Wurzel 256 vs. x²=256" wusste ich noch nicht. Vielen Dank dafür! :)

[@roland3et]

Danke! 👍 🙂👻

[@ralflaola2173]

I 🧡 " Mathe´ " 😊 😉👋

[@RCcc2030]

Habs rausgekriegt im Kopf.

[@adrianlautenschlaeger8578]

Du hast 16*16 im Kopf gerechnet? Respekt! 😂

[@steinhirn5074]

Das ist Hexerei 😊

[@paynemax3825]

Könntest du das nächste Mal die so genannte imaginäre Zahl erklären? ❤

[@teejay7578]

Die sogenannte imaginäre Zahl i ist quasi die Wurzel aus -1; wurde so definiert, um diese mathematische Lücke zu schließen. Dadurch wird die Menge der reellen Zahlen ℝ auf die Menge der komplexen Zahlen ℂ = {x + iy; x, y ∈ ℝ} erweitert.

[@Birol731]

x²= -1 √x²= √-1 x= √-1 √-1= i x= i Beispiel-2) x² = -4 √x²= √-4 x= √4*(-1) = √4*√-1 x= 2*√-1 √-1= i ⇒ x= 2i

[@paynemax3825]

@@teejay7578 und das “j” ? :D

[@Birol731]

@@paynemax3825 in der Elektrotechnik habe ich das j verwendet wie: R= 2+4j Ohm (eine Komplexe Zahl), aber in der Mathematik habe ich immer mit i gearbeitet, beide sind das gleiche :-)

[@teejay7578]

@@Birol731 ⚠ Deine Beispielgleichungen werden auch von -i bzw. -2i gelöst. j als Bezeichnung für diese Zahl ist mir gänzlich unbekannt. Aber wäre nicht das erste Mal, dass die Physiker meinen, es anders als die Mathematiker machen zu müssen. 😏

[@LuciusTSuperbus]

Ich habe nichts berechnet, aber allein durch die mathematischen Regeln 2 Lösungen gestrichen und von den verbleibenden Möglichkeiten eine als wahrscheinliche Antwort gewählt. Welche das ist, werde ich ja im restlichen Video sehen.

[@Nikioko]

Da die Wurzel einer negativen Zahl komplex ist, muss x nicht-positiv sein. Und wenn man 16 quadriert, bekommt man 256. Also ist x = -256. Antwort c)

[@w.m.2423]

Kannst du mal ein Beispiel zeigen, wo auf Grund einer Quadrierung die Probe nicht funktioniert? 🙂

[@APUS_NUNN]

Bsp.: Wurzel(x)=-5 QUADRIEREN BEIDER SEITEN x=25 Probe: Wurzel(25)=5 und nicht wie erwünscht -5. LG Apus Nunn

[@w.m.2423]

@@APUS_NUNN Vielen Dank! 🙂

[@adrianlautenschlaeger8578]

Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung. Man müsste bei der Urspungsgleichung SQRT(x)=-5 schon sehen, dass in diesem Fall x keine reelle Zahl sein kann. Es gilt für jedes reelle x: x² ist größer oder gleich Null.

[@DerSehfahrer]

(Noch nicht zuende geschaut.) Ich schlage vor, die Gleichung zu quadrieren, und anschließend mit (-1) zu multiplizieren. Quadrieren löst die Wurzel auf, die 16 wird dabei zu 256 (16²), und "mal -1" bringt das Minus auf die andere Seite. Lösung C wäre dann richtig.

[@Meskalin_]

finds irgendwie etwas sad, wie sich der kanal entwickelt hat... ich versteh schon, das maximiert das kanalwachstum, fand aber deine videos auf höherem niveau immer sehr nützlich, weil du doch immer eine einzigartige sichtweise vermittelt hast. das war hier und da extrem hilfreich.

[@djt7687]

warum bei 1:15 nicht addiert mit +x, halte ich für anschaulicher

[@stefans.7681]

Die Probe ist nicht notwendig. Da beide Seiten der Gleichung gleiches Vorzeichen haben, ist quadrieren eine Äquivalenzumformung (da die Funktion f(x) = x hoch 2 eingeschränkt auf R plus Null injektiv ist)

[@putinzgazkillz2749]

Unter der Wurzel steht das Quadrat der Wurzel, also 256. -x=256 x=-256

[@HannesNaturfreund]

👍

[@teejay7578]

Jeder positive Wert für x ergibt eine negative Zahl unter der Wurzel. ⇒ b) und d) sind raus. Die Wurzel aus 4 ist 2. ⇒ a) ist raus. ⇒ c) ist die richtige Antwort.

[@BangOlafson]

42

[@tdm-treiber]

Die Wurzel von -x ist 16. Quadriere ich also 16, erhalte ich -x. Folglich ist -x = 256, woraus sich ergibt, dass x = -256 ist.

[@markusnoller275]

Hallo Susanne, guten Abend, hier mein Lösungsvorschlag: Da vorgegeben ist, dass die Gleichung über den reellen Zahlen zu lösen ist, gilt: "Die Wurzel ist nur definiert für Werte >=0 unter der Wurzel" (Diskriminante muss >=0 sein). Somit: -x>=0| x

[@KlausDieckmann]

Ist Wurzel aus -1 nicht als i definiert?

[@walter_kunz]

Ja, aber im Komplexen. Und hier ist ja die Reelle Lösung gefragt.

[@roland3et]

Nein, definiert ist: i² = -1 Und nein, das ist nicht dasselbe wie "i ist gleich Wurzel aus -1". 🙂👻

[@jensschroder8214]

Wurzel aus +256 ist 16. wenn unter der Wurzel nur positive Werte stehen dürfen dann beleibt nur C. Denn -(-256) = 256

[@anestismoutafidis4575]

=> -1•(-256)^1/2=16 x=-256; -x=256c

[@porkonfork2023]

Jo, ne. So mut dat.

[@h.g.buddne]

Einfache Lösung aber es ging wahrscheinlich eher darum, wann eine Wurzel zwei Lösungen hat, und wann eine 🫡

[@MartinHonecker-wl5fb]

Wurzel -x = wurzel (i hoch 2 mal x) = i mal wurzel x = 16 ---> Wurzel x = 16/i --> x = 256/ i hoch 2 = -256.

[@YamiSuzume]

Wird aber eine Lösung in R gesucht, da fällt i raus

[@roland3et]

@@YamiSuzume die _Lösung_ von @Martin... ist doch reell. Er hat nur einen kleinen Umweg über die komplexe Zahlenebene genommen, statt brav auf der reellen Zahlengerade zu marschieren. Das ist nicht falsch, oder? Auf Umwegen kann man oft Neues entdecken und das richtige Ziel wurde ja erreicht. 😉👻

[@YamiSuzume]

@@roland3et Soweit ich mich recht erinnere, nimmt das aber die Beweiskraft raus. Wennde über imaginäre oder schlimmer Quantanionen oder Oktanionen gehst kann es sein dass du zu Lösungen kommst, die reell sind, aber nicht auf diese Weise erreichbar wären. Vermutlich funktioniert das hier, aber davon kannst du nicht ohne weiteres ausgehen.

[@roland3et]

​@@YamiSuzume Die Berechnung von @Martin... mit Hilfe komplexer Zahlen ist meiner Meinung nach absolut korrekt und führt _deshalb_ und eben nicht zufällig auch zum richtigen Ergebnis. 🙂👻

[@YamiSuzume]

@@roland3et Sicher ist die Variante halt leider nicht. Aber klar, funzt hier.

[@m.h.6470]

Lösung: Da wir nur reelle Zahlen als Lösung suchen, muss der Wert unter der Wurzel positiv sein. Da wir aber -x unter der Wurzel haben, muss x negativ sein, um das Minus zu negieren. Daher fallen (B) und (D) direkt weg. Das Ergebnis der Wurzel einer Zahl über 1 wird niemals größer als die Zahl unter der Wurzel. Daher ist (A) auch falsch. Lösung: (C) -256 Probe: √-x = 16 √-(-256) = 16 √256 = 16 16 = 16

[@brockmannpeter2186]

-256

[@FlexxVision]

Rechnenzwang.

[@hamidavanaki86]

Wenn ich in der Schulzeit eine Mathelehrerin wie du hätte, wäre ich nun als Dozent an der Uni sein anstatt als Zerspaner bei einer Maschinenbaufirma zu arbeiten!

[@maxmiller9297]

"Das Schicksal ist ein mieser Verräter"..... wer kann das schon mit Bestimmtheit sagen. Vielleicht wäre es sogar noch "schlimmer" gekommen?

[@hamidavanaki86]

@@maxmiller9297 kann sein. Aber das ist jetzt zu spät mich darüber zu ärgern. Ich genieße bei der die Mathe. Die ist echt eine gute Lehrerin. Ich bin glücklich dass ich Deutsch gelernt habe und sie verstehen kann. Sie spricht sehr deutlich und schön, sodass man Stundenlang ohne müde zu werden, ihre Videos sehen kann.

[@theomietzke993]

X = -- 256 😂❤😂

[@winni2701]

Wer wusste schon beim Thumbnail, dass es -256 sein muss?

[@putinzgazkillz2749]

Ich

[@nichtvonbedeutung]

*"Es ist mathematisch so: Was unter der Wurzel steht, darf nicht negativ sein."* Für die Mathematik der Reellen Zahlen ist das korrekt. Für die Mathematik der komplexen Zahlen aber schon nicht mehr. Aber da es sich hier um eine Gleichung handelt, bei welcher das Ergebnis 16 (und nicht etwa +-16i) bereits fest steht, muss die Lösung für x negativ sein. Ergo kommt ohne viel zu rechnen c) -256 raus. Und btw.: Auch wenn es Susanne immer wiederholt - Die Lösungsmenge einer Wurzel hat grundsätzlich 2 Elemente, bei einer Probe ist jedoch nur entscheidend, ob das gewünschte Ergebnis Teil dieser Lösungsmenge ist. Wurzel aus 256 bleibt somit -16 und 16, die für die Probe erforderliche 16 ist somit in der LM vorhanden und -256 damit eine korrekte Lösung. Und das mit dem Plus-Minus kommt eben nicht nur in einer Gleichung vor, denn wenn dem so wäre, wäre eine Gleichung grundsätzlich falsch, wenn nur eines der beiden Elemente zuträfe. Manchmal aber ist nur ein Element für die Lösungsmenge gültig und die Gleichung hat dann auch nur eine Lösung, z.B. bei Seitenlängen geometrischer Körper, welche ganz sicher icht negativ sein können. Ich bin mir reichlich sicher, dass Susanne da stets etwas verwechselt.

[@roland3et]

@nichtvonbedeutung: Die (Quadrat-)Wurzel von 256 ist eindeutig, und zwar +16 und sonst nichts. *Da hat Susanne recht!* Das lässt sich mathematisch aber weder beweisen noch widerlegen, sondern ist eine Frage der _Definition_ dieses drolligen Wurzelzeichens 😉. Es ist schlicht Konsens zur Vereinfachung und Internationalisierung mathematischer Sprache. Sowie ein kleines senkrechtes Kreuz für Addition steht, wenn wir's um 45° drehen aber auf einmal Multiplikation bedeutet und zwei waagerechte parallele Striche sagen, dass rechts und links davon dasselbe steht, so bedeutet eben sqrt(a) für eine reelle Zahl a>=0, dass es immer _eine nicht negative_ Zahl b gibt mit der Eigenschaft b²=a, und nur diese heisst "Quadratwurzel aus a", auch wenn die Gleichung x²=a noch eine andere Lösung hat. Gilt sinngemäß auch für Wurzeln und Potenzen höheren Grades. 🙂👻

[@nichtvonbedeutung]

@@roland3et *"Das lässt sich mathematisch aber weder beweisen noch widerlegen, sondern ist eine Frage der Definition dieses drolligen Wurzelzeichens."* Deswegen ist es vermutlich auch eine drollige Definition. :D Konsens bedeutet nahezu Einigkeit und gerade da herrsch leider gar kein Konsenz und die Gründe dafür stehen in meinem Kommentar - Definition hin oder her (gäbe es Konsens darüber, würde man sich vermutlich nicht sogar bei den Simpsons E19S17 darüber lustig machen). Man kann auch definieren, dass 1+2=11 gilt. Kann mir angesichts des Wurzelzeichens vorstellen, dass auch dies eines Tages warum auch immer Konsens wird. Wieviele Lösungen hat denn x^(0,5) oder x^(0,25)? Auch nur Eine, oder wie? Darf man das Wurzelzeichen dank dieser drolligen Definition nicht mal mehr in eine Potenz umwandeln? Überzeugend ist eine solche Definition jedenfalls nicht und entscheidend dabei ist, dass man beim Lösen von quadratischen Gleichungen häufig nur eine Lösung verwendet werden kann (z.B. weil Strecken definitiv nicht negativ sein dürfen).

[@roland3et]

​​​​@@nichtvonbedeutung ich würde Sie gern überzeugen, hab aber aus "eigener Kraft" offensichtlich (und sicher auch zu recht) nicht die Autorität dazu 🙃. Vorschlag zur Güte: nennen Sie _eine_ seriöse, wissenschaftlich fundierte Quelle Ihrer Wahl (vielleicht nicht grad die Simpsons 😉 oder YT), wo der Wurzelbegriff für nicht negative reelle Zahlen definiert ist. Sie haben die Wahl, ich bin auf die Definition gespannt 🤔. 🙂👻

[@nichtvonbedeutung]

@@roland3et Eine Quelle für eine Definition? Was soll denn der Blödsinn? Die Definition ist schlicht dumm, wenn sie nur positive reelle Zahlen als Ergebnis zulässt. Es ist nun mal so, dass (-16)*(-16)=(-16)² ebenso 256 ergeben, wie 16*16=16². Und das Gegenteil von x² ist sqrt(x) und diese Funktion (das Wurzelzeichen) muss aus diesem Grunde zwei Ergebnisse liefern. Tut sie das aus Definitionsgründen nicht, ist die Definition schlicht falsch und gehört geändert. Und vom Gegenteil lasse ich mich da ohnehin nicht überzeugen, egal wie schlecht dies meinem IQ auch tun würde (maw: egal für wie klug sich Menschen halten, die es versuchen wollen). Man kann höchstens nach dem Grund fragen, warum es derartig dämlich definiert wurde. Mir fällt dazu jedenfalls keiner ein. Der Grund, dass sehr viele Programmiersprachen nur ein Ergebnis pro Funktion zulassen, kann es ganz sicher nicht sein, denn diese Einschränkung lässt sich ganz leicht umgehen. Mein Vorschlag zur Güte: Nenne mir einen sehr guten und klugen Grund, warum es so definiert wurde.

[@roland3et]

​@@nichtvonbedeutung es gibt mehrere gute Gründe, aber da Sie selbst sagen, dass Sie sich "ohnehin nicht überzeugen lassen", können wir uns das ja sparen. Is auch nicht weiter schlimm, verschiedener Meinung zu sein. Was ich wirklich nicht verstehe: warum werden Sie verbal so ausfällig ("Blödsinn", "dumm", "dämlich",...)? Schade. 🙂👻

[@maxmiller9297]

Sollen wir diese Gleichung wirklich lösen? Wer sagt das und wer profitiert davon?

[@adrianlautenschlaeger8578]

du schon wieder xD

[@maxmiller9297]

@@adrianlautenschlaeger8578 Kennen wir uns? Sorry, aber ich merk mir keine Nicks.... besonders im Netz sind sie Schall und Rauch.

[@Toto_Muc]

da bekommen die komplexen Zahlen Komplexe, da das "mathematisch nicht sein darf, dass das unter der Wurzel nicht negativ sein darf".... so sad!

[@zauberkolleg7370]

C) x=-256 Wurzel [-(-256)] = Wurzel [256] = 16 Die Quadratwurzel kann nur aus einer positiven Zahl gezogen werden.

[@adrianlautenschlaeger8578]

Man kann aus jeder Zahl die Quadratwurzel ziehen. Nur ist das Ergebnis dann nicht immer eine reelle Zahl: x² = -1 hat zwei Lösungen (Nullstellen): i und -i

[@goooppssgt6549]

Es kann nur c sein, weil Wurzel 256=16

[@frankhint5863]

Warum muss eine Probe gemacht werden? Verstehe ich nicht.

[@user-gd9vc3wq2h]

@frankhint5863 Zunächst mal schadet es nie, eine Probe zu machen. Im Zweifelsfall bewahrt es dich davor, dass du dich mit totalem Quatsch wie z.B. 7=3 😂 lächerlich machst. Konkret geht es hier um die Aussage, dass man immer eine Probe machen sollte, wenn man beim Lösen einer Gleichung quadriert. Das gilt auch für weitere Fälle - hauptsächlich dann nämlich, wenn man Operationen durchgeführt hat, die nicht invertierbar sind bzw. die einen Teil der vorhandenen Information vernichten. Beim Quadrieren ist das der Fall: die Information über das Vorzeichen geht verloren, weil ja (-a)^2=a^2 ist. Beispiel: Löse die Gleichung 5+wurzel(x) = 3 . Umformen zu wurzel(x) = -2 und Quadrieren liefert x=4. Ganz offensichtlich löst das aber nicht die gegebene Aufgabe, denn 5+wurzel(4)=5+2=7. Die genannte Gleichung hat nämlich gar keine Lösung. (Die Information, die verloren gegangen ist, war die über das Vorzeichen der -2, nicht über das Vorzeichen von x.) Dieses Beispiel ist super-einfach, aber in komplizierteren Situationen (wenn rechts nicht -2 steht, sondern ein Ausdruck mit anderen Variablen, von dem man evtl. noch nicht weiß, dass er negativ ist) kann man das schon mal übersehen. Übrigens beruhen die meisten "Beweise" für 1=0 😂 🥴😭 auf solchen Mechanismen, nur ist der Informationsverlust manchmal besser versteckt. YT ist voll davon. (An alle: bitte bitte bitte keine Bemerkungen à la "aber die Wurzel von 4 ist (auch) -2", weil das einfach nicht stimmt!!)

[@Krizzah47]

Wäre noch hilfreich gewesen du erklären warum man überhaupt die Probe machen muss anstatt es als gegeben anzunehmen. Ich sehe jetzt zb keine Grund eine Probe machen zu müssen.