Integralsatz von Gauß BEISPIEL | Fluss durch Würfeloberfläche

[@galaxymariosuper]

so unglaublich angenehm mathe zu lernen mit den videos... ehrenpeter!

[@NickAndersson]

Wollte mich mal bei dir bedanken dass du so viele gute und tatsächlich hilfreiche Videos machst. In der Coronazeit ist es sowieso schon schwer genug sein Studium irgendwie hinzukriegen (ich studiere Physik) und dann habe ich auch noch das Pech, dass mein Mathedozent absolut schrecklich ist, er weiß zwar wie das alles funktioniert aber erklären kann er gar nicht, sondern schweift ständig ab und erzählt von völlig anderen dingen oder will dass wir uns die inhalte selbst erfragen. Aktuell verhält es sich so, dass ich mir mathe in allererster Linie mit deinen Videos beibringe, du bist quasi mein Mathedozent geworden :)

[@MathePeter]

Das freut mich! Sag Bescheid, wenn du Fragen hast :)

[@joswarbellidorosas3956]

Du bist Wunderbar!! Deutsch ist nicht meine Muttersprache, aber du machst alles einfach verständlich! Dankeschön

[@cankyu4216]

Ich küsse dein Auge! Vielen Dank

[@ADaBaker95]

Danke, jetzt versteh ich auch die Logik dahinter viel besser, echt vielen lieben Dank!

[@jakob8516]

Super Video. Das hat mir viele Punkte in kurzer Zeit zusammenhängend erklärt.

[@jkonytb]

DIGGAH du musst doch warten, bis der Stift auf dem Boden aufkommt :D

[@MathePeter]

Haha ok nächstes Video erst cut, wenn er auf dem Boden aufschlägt xD

[@Eleusis]

Der Satz von Fubini ist so ein Zeitsparer

[@kobemccoconut8928]

Mathe Peter = Goat

[@peteraboud6166]

...... Super , Danke dir ? Könntest du mal Videos zu Fourrier-Reihen machen

[@MathePeter]

Dafür werd ich mir auch noch Zeit nehmen :)

[@peteraboud6166]

ja danke sehr , Hauptsache hoffe ich vor der Prüfungsperiode am 22.07, wenn das möglich ist, weil deine Videos einfach perfekt sind

[@MathePeter]

Wow danke dir :) Denke aber so schnell schaff ich das leider nicht. Erst mal muss ich das aktuelle Projekt beenden.

[@lukasehrentraut9208]

Jedes mal, wenn ich für Prüfungen lernen muss komme ich wieder auf deinen Kanal 😅 Danke vielmals für deine Videos! PS: Werde den Kommentar jetzt unter jedes deiner Videos, die ich anschaue setzen, um den Algorithmus zu pushen.

[@gewald4559]

Klasse! Super interessant und verständlich. Ich habe allerdings noch eine Verständnisfrage zu den Grenzen: Der Würfel hat die Kantenlänge 0,1 , die sind wohl durch eine Einheitenumwandlung z.B. von cm nach mm zu 1 geworden oder spielt das gar keine Rolle? Und ist es relevant, ob ich von 0 nach 1 integriere oder von -0,5 nach 0,5 ?

[@MathePeter]

Der Würfel hat die Kantenlänge 1 Längeneinheit. Die Rechnung funktioniert genauso für cm wie auch für mm. Mit dem Intervall [0,1] ist das angedeutet. Auch im Intervall [-0.5, 0.5] hat der Würfel eine Kantenlänge von 1 Längeneinheit. Allerdings muss das nicht das selbst Ergebnis rauskommen, weil ja der Mittelpunkt dieses Würfels im Vergleich zu dem im Video in den Koordinatenursprung verschoben wird, aber das Vektorfeld selbst hat sich nicht geändert. Wenn das Vektorfeld dort mehr oder weniger "fließt", dann können auch verschiedene Ergebnisse rauskommen.

[@badublackwater6556]

Wieder einmal klassisches Vorgehen: Vorlesungsthema gesehen, KZbin geöffnet und Mathe Peter Videos geschaut :D

[@anestismoutafidis4575]

Bei meinem Einheitswürfel bekomme ich zunächst einen elektrischen Fluss von 2 heraus, da ich beim integrieren nicht den Satz von Fubini angewendet habe. Erst beim integrieren der errechneten Zahlenwerte 1+1, erhalte ich den Ladewert 1. Die Grenzwerte hatte ich richtig gesetzt, denn die Grenzwerte 0,1 und 1, liefern das selbe Ergebnis wie die Grenzwerte 0 und 1

[@wooyoungsdoormat3853]

ich liebe dich

[@PixelKonny64]

In unserer Vorlesung war der Flächenintegral immer die Funktion mal dem Normalvektor, nicht dem normierten Normalvektor. Wieso ist das beides richtig?

[@MathePeter]

Generell kann es Abweichungen geben, weil jeder ein „Oberflächenintegral“ anders definiert. Warum der aber hier normiert sein muss, hab ich im Video zum Flussintegral erklärt: kzbin.info/www/bejne/Y6eaaoxsaJp2gM0 Wenn im Skript nicht explizit durch die Norm von n geteilt wird, dann wird still schweigend vorausgesetzt, dass er bereits normiert ist.

[@selcuk3019]

Wenn man "2y" aufleitet beim ersten Integral (mit z), dann müsste doch eigentlich 2yz rauskommen oder? weil der Faktor müsste ja eigentlich bleiben beim Aufleiten. So ist doch eigentlich z.b. die zahl 5 aufgeleitet über x auch 5x und nicht nur x.

[@MathePeter]

Richtig. Und wenn du 2yz dann nach y integrierst, hast du y^2z. Und wenn du den noch nach x integrierst, hast du xy^2z. Im Video hab ich einfach nur alle 3 Integrale mit einmal berechnet (Satz von Fubini). Das gleiche hab ich dann mit dem zweiten Summanden auch noch gemacht.

[@selcuk3019]

@@MathePeter Ahhh okay jetzt macht es sinn xD Danke für die Erklärung^^

[@dayschelsea]

Deine Videos haben mir sehr geholfen. Dankee!! Ein kleinen Wunsch: könntest du bitte auch die Aufgabe (wie z.B.: gesucht: Flächeninhalt) an die Tafel schreiben. Es wäre sehr hilfreich für die nicht Muttersprachler (ich :D)

[@MathePeter]

Cool dass du trotzdem meine Videos schaust :) Videos zum Flächeninhalt gibts neben anderen auch im Online Kurs zur "Mehrdimensionalen Integralrechnung": www.udemy.com/course/mehrdimensionale-integralrechnung/?couponCode=KZbinAUGUST20E

[@imOpinionn]

Auf jeden Fall vielen Dank für deine Videos. Die decken perfekt meinen Kurs ab. Bist du eigentlich selbst an der TUB gewesen? Ich meine einen deiner Links mal in der Facebook Gruppe gesehen zu haben.

[@MathePeter]

Freunde von mir sind an der TU. Und weil Ingenieure an jeder Uni das gleiche Mathe behandeln war ich schnell im Stoff und hab mich tatsächlich an der TU orientiert beim Videodreh :)

[@kingoryak8141]

Wie kann man den Feld durch Gauß’sche Satz bestimmen

[@user-kk4pg7zf5r]

Wie berechnet man den Rand einer Halbkugel die um 2 nach rechts und 2 nach oben verschoben ist?

[@MathePeter]

Einfach in der Parametrisierung noch +2 in den entsprechenden Komponenten rechnen.

[@jorisstrassburg4627]

Ein Hoch auf MathePeter

[@regs3941]

Fließt der Wert des Endergebnisses nun aus dem Körper heraus oder hinein? Gibt es dazu eine Regel mit den Vorzeichen?

[@MathePeter]

Der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist laut Gauß der Fluss durch den eingeschlossenen Körper, also die aufsummierte Divergenz des Vektorfeldes im Gebiet des Körpers. Die Divergenz eines Vektorfeldes ist gleich der Quelldichte. Ist die Divergenz in einem Punkt positiv, fließt mehr heraus als herein, es handelt sich um eine Quelle. Ist die Divergenz negativ in einem Punkt, fließt mehr herein als heraus, es handelt sich um eine Senke. Ist die Aufsummierte Quelldichte positiv, fließt mehr aus dem Körper heraus aus herein und ist das Ergebnis des Integrals negativ, fließt mehr herein als heraus. Allerdings ist das die Summe über den gesamten Körper, bzw. die gesamte Oberfläche. Es kann immer Stellen geben, wo etwas herein und andere wo etwas heraus fließt. Mit dem Integral wird nur der Nettofluss berechnet.

[@michaelrusswurm2397]

Klasse Videos! Sowas wie cos(v) wär keine Verkettung? Eher dann sowas wie (cos(v))^2?

[@MathePeter]

Bezüglich v meine ich das genauso, ja. Sag aber bitte noch mal in welchem Zusammenhang, um evtl Missverständnisse auszuräumen.

[@michaelrusswurm2397]

ja, bezüglich v, aber das könnte man ja einfach integrieren. Meinst du mit verkettung, dass mehrere Variablen verkettet sind? Beispiel?

[@MathePeter]

Ah jetzt verstehe ich, sry lange Leitung haha. Mit Verkettung meine ich z.B. cos(u*v) oder u^v. In den Fällen dürfen die Integrale nicht gleichzeitig berechnet werden. Nur wenn sich die Variablen multiplikativ trennen lassen.

[@michaelrusswurm2397]

@@MathePeter danke dir!

[@FloThePro1231]

verstehe nicht wieso beim flussintegral hier der betrag vom normalenvektor genommen wird? ich dachte beim oberflächenintegral 2. art ist es der vektor

[@MathePeter]

Es wird der normierte Normalenvektor genommen. Das ist immer noch ein Vektor nur mit Länge 1.

[@tilmanwerdin688]

Ehrenpeter

[@TheBerni44444]

Ich habe die Aufgabe den Durchfluss mithilfe des Integralsatzes von Gauß zu berechnen. Die Oberfläche ist jedoch kein würfel sondern eine Art "eingeramtes" Parabelstück (beschränkt durch z=4-y^2; x=0; x=3; z=0). Hier handelt es sich ja beim Integral um keine konstante ( 4:50 ). Tatsächlich erhält man unterschiedliche Ergebnisse wenn man die Integrale unterschiedlich anordnet. Meine Frage ist: woher weiß ich in welcher Reihenfolge ich die Integrale anordnen muss? Lg

[@MathePeter]

Immer die Funktionen nach innen und die Konstanten nach außen.

[@TheBerni44444]

@@MathePeter vielen vielen Dank

[@JoshInfernal]

6:20 ich glaub du hast den Faktor 2 vergessen ( *2* mal y muss man integrieren, nicht y) reinzumultiplizieren. Das gleiche für 2xyz

[@MathePeter]

y integriert ist 1/2*y^2. Der Faktor 2 und der Faktor 1/2 löschen sich aus. Das gleiche für 2xyz.

[@biyikal1990]

Was sind die Bedingungen für die Anwendung von Gauß? In meiner Aufgabe soll das Oberflächenintegral berechnet werden, dabei wurde eine kompakte Menge im R^3 und ein Vektor im R^3 angegeben, bin mir nie sicher wann man Gauß und/oder Stokes anwenden kann :(

[@MathePeter]

Wichtig ist, dass das Vektorfeld stetig differenzierbar sein muss in jedem Punkt des Körpers/der Oberfläche des Körpers. Wenn das Vektorfeld keine Probleme macht, dann funktioniert auch die Rechnung :)

[@biyikal1990]

@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort! Muss die Menge kompakt bzw abgeschlossen sein oder ist das egal?

[@MathePeter]

Ja die Menge muss kompakt sein, weil es ja um den Fluss durch den Rand der Menge geht. Aber das wird ja immer erfüllt sein, denk ich :)

[@biyikal1990]

@@MathePeter du bist wirklich eine sehr große Hilfe, nochmals vielen Dank!

[@whatsonmymind4848]

Wie mache ich das, wenn ich nur den Betrag vom v Vektor habe? Also die Strömungsgeschwindigkeit und die Kantenlänge des Würfels...help :(

[@MathePeter]

Gib mal die genaue Aufgabe, vielleicht gibts noch versteckte Informationen.

[@whatsonmymind4848]

@@MathePeter Aufgabe: Betrachtet werde eine ideale, inkompressible Flüssigkeit, die eine Strömungsgeschwindigkeit von |⃗v| = 2 m/s besitzt. Berechnen Sie den Fluß des Geschwindigkeits-Vektorfeldes ⃗v durch eine (gedachte) ebene Fläche, die einen Flächeninhalt von 4m2 hat und die senkrecht zur Strömung steht (d.h. der Flächennormalenvektor ist parallel zur Strömung orientiert). Wie groß ist der Fluß, wenn die ebene Fläche um 90◦ gedreht wird, so daß der Flächennormalenvektor dann senkrecht zum Geschwindigkeitsfeld steht ? Mein Ansatz: elektrischer Fluss wird berechnet durch A * E, also habe ich einfach die Fläche mal die Strömungsgeschwindigkeit gemessen, da die Fläche ja senkrecht auf dem Feld liegt. Aber so einfach kann es vermutlich nicht sein, oder? :D Wenn man sie dann um 90 Grad dreht, gilt ja nur die Komponente des Feldvektors als Relevant, die in der Richtung des Normalenvektors verläuft, daher habe ich dann A*Ecos(90) genommen, was 0 ergibt.

[@whatsonmymind4848]

Danke

[@MathePeter]

Schau dir mal mein Video zu Flussintegralen an, ich denke das hilft dir beim Verständnis: kzbin.info/www/bejne/Y6eaaoxsaJp2gM0 Wenn v das Geschwindigkeitsfeld und n der Normalenvektor der Fläche ist, berechnet sich der Fluss über v*n aufsummiert über die gesamte Fläche. sind v und n senkrecht zueinander, ist der Fluss gleich Null. Sind v und n parallel, ist der Fluss maximal; dann gilt v*n=v*v=|v|^2. Da dieser Wert konstant ist, kannst du ihn aus dem Integral rausziehen. Und da zusätzlich die Fläche noch eben ist, muss das Oberflächenintegral gleich dem Flächeninhalt sein. Also müsstest du in deinem Beispiel einen Fluss von |v|^2*Fläche=4*4=16m^3/s haben.

[@whatsonmymind4848]

@@MathePeter Hallo, vielen lieben Dank für die Antwort! Ich habe mir das Video angesehen und eigentlich alles gut verstanden. Ich bin jedoch noch immer verwirrt über die Antwort: v*n=v*v=|v|^2. Ich verstehe nicht vorher diese Formel kommt und betrachten wir jetzt ein Integral, oder ist es einfach nur Fläche * Geschwindigkeit?