Integralsatz von Gauß

Der (klassische) Integralsatz von Gauß besagt, dass jeglicher Fluss durch einen Körper durch die geschlossene Oberfläche des Körpers erfolgen muss. Wie du den Integralsatz praktisch in Rechenaufgaben anwenden kannst, zeige ich dir in diesem Video!
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Wenn du dich auf eine Mathe Prüfung vorbereiten musst, dann schau dich auf meiner eigenen Online Plattform um: champcademy.com. Dort findest du Kurse, individuellen Support und alles, was du benötigst um deine Prüfung zu bestehen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ONLINE KURSE 🤓
25% Rabatt auf alle meine Kurse. Gutscheincode "2023"
Statistik- und Wahrscheinlichkeitsrechnung
champcademy.teachable.com/p/s...
Komplexe Zahlen
champcademy.teachable.com/p/k...
Folgen, Reihen und Differenzengleichungen
champcademy.teachable.com/p/f...
Differentialrechnung
champcademy.teachable.com/p/d...
Grenzwerte von Funktionen
champcademy.teachable.com/p/g...
Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/i...
Mehrdimensionale Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/m...
Funktionen mit mehreren Variablen
champcademy.teachable.com/p/f...
Extremwertrechnung
champcademy.teachable.com/p/e...
INDIVIDUELLE KURSE
Mathe 1 Crashkurs (angepasst an HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Mathe 2 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Statistik 1 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/s...
Analysis 2 LIVE Crash Kurs (für TU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/a...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOCIAL MEDIA
linktr.ee/mathepeter
/ mathepeter.tv
/ discord
LIVESTREAM-KALENDER
kalender.digital/831bcc564b24...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AFFILIATE LINKS
Für jeden Kauf bekomme ich eine kleine Provision. Für dich bleibt der Preis gleich:
Mein Taschenrechner
amzn.to/2RbhKKj
Mein Tafelwerk
amzn.to/2WdVUtd
♥♥♥ ♜♞♝♛♚♝♞♜ ♥♥♥
♟♟♟♟♟♟♟♟
---------------------------------------------------------------------
Möchtest du mich unterstützen?
Patreon: / mathepeter
PayPal: paypal.me/peterlehe1?locale.x...
---------------------------------------------------------------------
♙♙♙♙♙♙♙♙
♥♥♥ ♖♘♗♕♔♗♘♖ ♥♥♥
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Inhalt:
0:00 Allgemeiner Satz von Gauß + Voraussetzungen
1:30 Häufigste Anwendung 2D und 3D (klassisch)
2:42 Praktische Anwendung im 3D
4:52 Praktische Anwendung im 2D (Ebener Satz von Gauß)
5:58 Zusammenfassung + Merkregeln
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[@TheDianalTV]

2:40 "Wenn du diesen Integralsatz jetzt nicht für irgendeinen Beweis in der theoretischen Physik brauchst..." genau dafür brauch ich ihn hahaha

[@MathePeter]

Haha war mir klar, dass irgendwann jemand darüber stolpert. Muss es leider klar abgrenzen, weil Physiker mehr ins Detail gehen als Ingenieure. Videos zur theoretischen Physik wirds auch noch geben, aber vorher gibts noch einige andere Baustellen :)

[@TheDianalTV]

@@MathePeter nice, mega korrekt von dir:)

[@DataDudaLab]

hat er nicht gesagt, dass selbst kinder das hinbekommen, hat er nicht gesagt ...

[@MathePeter]

Gemeint ist der intuitive Vergleich mit einem Schwamm haha

[@scfog90]

Ist halt auch nur höhere Mathematik in der Uni :D kein Problem für die Kids von heute

[@Zula_The_Squid]

Kinder staunen, und verstehen. Männer machen aus dem Bestaunten und Verstandenen mathematische Regeln B-)

[@Zula_The_Squid]

(Legenden und Mathepeterfans entschlüßeln dann wieder die mathematischen Regeln, welche man als Kind mathematiklos halbwegs und proletarisch verstanden und bestaunt hat. Der Mensch identifiziert sich an dem was er versteht. Doch warum identifiziert er sich nicht an dem wovon er (noch/erneut) keine Ahnung hat? Freunde! Lasset uns unsere Kleidung abwerfen, und durch den Walde hüpfen, als wären wir wieder Bengel des Staunens! Freunde, lasset uns die wiegende Wucht unserer Reife verlieren, und uns vollends der Physik hingeben!! Freunde, lasset uns genäckigt im grünen Walde zusammen Differenzialgleichungen lösun, und unsere Unschuld hüten!!! Als wäre wir mal wieder Kinder.) Genug Schabernack. Zurück an die Aufgaben, die ich bis in 10 Stunden gelöst haben muss. #PhysikstudiumLäuft

[@No5kill]

Klar, Integration lernt man doch schon in der Grundschule. Ist zwar nicht trivial aber einfach!

[@lukasehrentraut9208]

Jedes mal, wenn ich für Prüfungen lernen muss komme ich wieder auf deinen Kanal 😅 Danke vielmals für deine Videos! PS: Werde den Kommentar jetzt unter jedes deiner Videos, die ich anschaue setzen, um den Algorithmus zu pushen.

[@bananenjoghurt5468]

Mega Videos :D. Bitte weiter so Mathepeter HM3 total verständlich erklärt xD Scheiß auf die Vorlesung.

[@MathePeter]

Lass uns den Matheunterricht an der Uni revolutionieren :D

[@96falke96]

Deine Videos sind einfach perfekt. Jedem den ich deine Videos zeige abonniert dich :D Viel verständlicher als alle anderen KZbin-Channels!! Könntest du mal Videos zu Laplace Transformationen und Differentialgleichungen machen? :D

[@MathePeter]

Vielen Dank! Super interessante Themen. Kümmere ich mich demnächst drum :)

[@sanaattar1166]

Du rettest mich jedes Mal

[@EinBoy]

11.000 Views und 160 likes - beste partizipation. Ehre

[@volkanozcan9122]

Ich liebe dich bro

[@autonomesinklusionsreferat1251]

Koole integrale! :-) kommen darin vor...

[@eddill2638]

Top-Video

[@kleinaca1]

Wie immer, gelungenes Video. ^^ Wie wär‘s mal mit einem Video zu Fourrier-Reihen?

[@MathePeter]

Kommt definitiv! Nach dem Integralsatz von Stokes knöpf ich mir aber erst mal Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Hab schon länger mal wieder Lust auf einen Tapetenwechsel :)

[@yamenmadamani7033]

Dankeeeeeeeeee

[@nesslange1833]

Ich, im ersten Semester, freue mich jetzt schon darauf!

[@techtable5020]

Frühestens in der Elektrostatik (2. Semester) wird er verwendet.

[@Smocaholic21]

Wo bin ich hier denn gelandet? Was bist du denn fürn korrekter Typ. Endlich mal ein mathe Nerd mit dem man sich identifizieren kann auch wenn man kein verschrobener Typ ist. btw 1 nice erklärung jung!

[@MathePeter]

1 nice kommi!

[@JD-fg4kr]

Gibt es das Video zum Beispiel schon? Die Playlist ist hier nämlich zuende. :)

[@MathePeter]

Die restlichen Videos zu diesem Thema werde ich noch dieses Jahr fertig filmen und in einem Online Kurs zur "Mehrdimensionalen Integralrechnung" veröffentlichen. Alle zusammengehörigen Videos auf KZbin habe ich eben in einer Playlist zusammengefasst: kzbin.info/aero/PLvBnQVOJXCUFWkyzoxUmb4jlmuh9OT2p8

[@shin81able]

Ist théoréme de la divergence dasselbe wie der Gauss? omega SSS div F(x,y,z) dxdydz = omega sigma SS ds

[@MathePeter]

Das selbe nur in französisch 😄

[@shin81able]

@@MathePeter hahaha alles klar! Hab erst heute geschnallt, dass es sich um den Gauss handelt XD

[@nunziorusso3947]

Das Beispiel mit dem Schwamm hat mir gut gefallen, doch was wäre in dem Beispiel, die Quelle und die Senke? Koennte man annehmen das die Quelle die Wasserzufuhr ist und die Senke das hinausfließende Wasser?

[@MathePeter]

Am Anfang, wenn noch mehr Wasser in den Schwamm hinein fließt als heraus, ist der Schwamm eine Senke. Wenn ich ihn ausdrücke und mehr Wasser heraus fließt als herein, dann ist er eine Quelle. Es gibt aber sicher auch einen Zustand, in dem gleich viel herein fließt wie heraus. In dem Fall ist der Schwamm quellfrei.

[@elMARABIYOCHO1989]

wenn ich ein Vektor über einen Zylindermantel integrieren will, kann ich Gauß benutzen?

[@MathePeter]

Nur wenn du den "Fluss" des Vektorfeldes durch den Zylindermantel berechnen willst, wie ab 1:35.

[@TheFlowrider7]

Hey Peter,wie finde ich eigentlich heraus ob eine Fläche geschlossen ist? Ich hatte gerade die Aufgabe:Gegeben ist das Vektorfeld F⃗ = ( 4y x2 xz ). Bestimmen Sie das Oberflächenintegral∫∫ (F⃗ N⃗⃗) dA. A ist dabei das im 1. Oktant gelegene Teilstück der Ebene 1=x+y+z.Ich habe dies mit Gauß versucht zum üben, jedoch war mein Ergebnis falsch. Und die Aussage von einem Kommilitonen war das ich hier gauß nicht verwenden könne da die Fläche nicht geschlossen sei.

[@MathePeter]

Ja das stimmt, für den Integralsatz von Gauß brauchst du eine geschlossene Fläche, weil der Fluss durch die Fläche gleich dem Fluss durch den eingeschlossenen Körper ist. Wenn die Fläche also keinen Körper einschließt, wie eine Ebene, dann ist sie nicht geschlossen. Darum musst du das Integral berechnen, wie ichs im Video zum Flussintegral erklärt hab: kzbin.info/www/bejne/Y6eaaoxsaJp2gM0

[@jedrzejc7369]

was sollte man tun, wenn es sich um ein vektorfeld handelt, dessen divergenz= 0 ist? zB das feld (yz, xz, yx).

[@MathePeter]

Dann ist der Fluss durch eine (geschlossene) Fläche gleich Null nach dem Integralsatz von Gauß.

[@HV46]

wann weiß man den wann man gauß, wann stokes und wann man green benutzen muss? Ich glaube nicht dass die Klausuraufgabe sein wird berechne den Satz von Gauß mit ......

[@MathePeter]

Das schöne ist, dass du nie "musst". Wenn du erkennst, dass einer der Integralsätze anwendbar ist, dann kannst du dir damit Arbeit ersparen. Um das rauszufinden, musst du nur verstehen was die Integralsätze machen. Gauß kannst du nur nutzen, wenn es um den Fluss durch einen Körper, bzw. eine geschlossene Fläche geht. Kein Fluss oder keine geschlossene Fläche, dann auch kein Gauß. Manchmal denkt man sich sogar ein Flächenstück dazu, damit die Gesamtfläche geschlossen ist und man Gauß nutzen kann. Wichtig wirklich, dass du verstehst, was Gauß macht, damit du ihn anwenden kannst.

[@Blace9864]

ehre

[@flaviadeluce8141]

"Wenn du diesen Integralsatz nicht gerade für einen Beweis in der theoretischen Physik brauchst..." x_x uuund tschüss._. *geht verzweifeln :D*

[@MathePeter]

Haha einen Schritt nach dem anderen. Erst mal entspannt damit Rechnen lernen, danach für theoretische Beweise nutzen lernen :)

[@enno6247]

Was bedeutet eine ebene Fläche im zweidimensionalen Raum? Sind da nicht alle Flächen eben?

[@MathePeter]

Im 2-dimensionalen sind Flächen eben. Im 3-dimensionalen können sie auch gekrümmt sein. Ich wollte nur noch mal drauf aufmerksam machen, dass der Satz auch im 2-dimensionalen geniale Anwendungen hat, auch wenn man daran oft gar nicht mehr denkt.

[@Scho229]

Ist das die Gauß Quadratur oder was anderes? 😀

[@MathePeter]

Was anderes 😄

[@Neilcourtwalker]

Also die Normierung des Normalenvektors habe ich noch nie in irgendeinem Buch gesehen. Im gelben Rechenbuch ist sogar ein Beispiel vorgerechnet, wo der Normalenvektor nicht normiert war und das Gleiche wie mit der Divergenz rauskam. Ich selbst habe auch schon Beispiele gerechnet, wo bei beiden Versionen das Gleiche rauskam, wenn man n nicht normiert. Nimm z.B. das einfache Vektorfeld F = (x, y, z) und eine Kugel mit Radius R. Das Integral des Flusses von F über die Oberfläche der Kugel ist nur mit dem Integral der Divergenz über das ganze Kugelvolumen identisch, wenn, wenn man den Normalenvektor der Fläche NICHT normiert. Das ist auch logisch, denn je größer das R ist, desto größer ist das Volumen, das man mit dem Divergenzintegral berechnet. Auf der anderen Seite sind die Grenzen des Flußintegrals in Kugelkoordinaten unabhängig vom Winkel, weil phi und teta nur von 0 bis 2pi und 0 bis pi gehen. Wie sollte also bei dem Flußintegral das gleiche wie bei dem Divergenzintegra rauskommen, wenn der Normalenvektor normiert ist? Das Vektorfeld (x , y, z) wächst ja nur in der ersten Potenz mit dem Radius, aber es muss das Gleiche rauskommen wie bei der Volumenberechnung. Ich denke, da ist Irgendwas schiefgelaufen...

[@MathePeter]

Grundsätzlich ist es keine gute Idee aus einem Beispiel auf die Allgemeinheit zu schließen. So eine Argumentation ist leicht zu widerlegen. (1) Im Gelben Rechenbuch 2, Seite 201, Integralsatz von Gauß wird in Beispiel 2 ein ähnliches Flussintegral berechnet eine Dimension drunter. Da wird auch der Normalenvektor normiert. (2) Wenn der Normalenvektor nicht normiert werden müsste, dann könnten wir ja den normierten Normalenvektor einfach mit λ skaliere. Das Problem ist dabei nur, dass auch das gesamte Integral mit λ multipliziert würde, also unterschiedliche Ergebnisse liefert. Der Beweis kann direkt aus der Formel gewonnen werden und ist auf jedes Beispiel übertragbar. (3) Im skalaren Oberflächenintegral muss der normierte Normalenvektor stehen, weil der Fluss gleich der aufsummierten Längen der orthogonalen Projektionen von v auf n entspricht. Es handelt sich bei v*n aber nur dann um die Länge der orthogonalen Projektion von v auf n, wenn n normiert ist. Wahrscheinlich ist etwas bei deinem Verständnis von Oberflächenintegralen schiefgelaufen, das ist aber nicht schlimm. Schau dir einfach noch mal in Ruhe mein Video zu Oberflächenintegralen 2. Art (Flussintegralen) an: kzbin.info/www/bejne/Y6eaaoxsaJp2gM0

[@Neilcourtwalker]

@@MathePeter Mit dem Beispiel wollte ich auch nur zeigen, dass das Falsche rauskommt, wenn man den Normalenvektor normiert und nicht von einem Beispiel auf die Allgemeinheit schließen...

[@MathePeter]

@@Neilcourtwalker wie gesagt: zur Berechnung eines Oberflächenintegrals darf nicht einfach ein beliebiger Normalenvektor genommen werden, sondern der zur Parametrisierung gehörige. Für den Integralsatz von Gauß muss er normiert sein.

[@Neilcourtwalker]

@@MathePeter Ich habe mir das Beispiel auf Seite 201 im gelben Rechenbuch angeguckt und finde das nicht so schön gerechnet. (Nix gegen Peter Furlan und prinzipiell finde ich seine gelben Rechenbücher auch sehr cool und hilfreich!). Ja, er normiert den Normalenvektor, aber in dem diferentiellen Linienelement ds steckt der Betrag wieder drin, denn er ersetzt ds = 2dt (bzw. allgemein ds = rdt). Im Endeffekt macht er die Normierung damit wieder rückgängig. Als kleinen Trick im R^2 kann man den Normalenvektor auch über das Kreuzprodukt der Ableitung des Ortsvektor der Kurve berechnen, wenn man so tut, als wenn man im R^3 wäre und den Hilfsvektor (0, 0, 1) nimmt, um das Kreuzprodukt auszurechnen. So habe ich die Aufgabe gerade noch Mal selber nachgerechnet und da kommt dann auch das richtige Ergebnis ohne Normierung des Normalenvektors raus. Wenn du willst, kann ich dir ein Foto von der Rechnung schicken. :-)

[@MathePeter]

@@Neilcourtwalker danke brauchst du nicht, habs auch gerechnet 😁 genau die Entdeckung, die du gemacht hast, erklär ich in dem verlinkten Video (vektorielle Oberflächenintegrale). do(vektoriell)=n/|n| *do(skalar) und do(skalar)=|n|*d(u,v). Darum kürzt sich der Betrag auch wieder weg beim Ausrechnen des Oberflächenintegrals. Es darf also nicht verändert werden, wie zB normieren, darum kriegst du dann auch was anderes raus. Wenn du jetzt aber den Integralsatz von Gauß nutzen willst, muss n normiert sein, was es aber schon ist wegen do(vektoriell)=n/|n|*do(skalar). Verstehst du was ich meine? Ist ja auch logisch, weil den Fluss kannst du dir vorstellen als ein Volumen, dass in Richtung n durch die Fläche fließt pro Zeiteinheit. Und das Volumen ist die Summe aller Längen von Orthogonalprojektionen von v auf n über die gesamte Fläche. v*n ist aber nicht die Länge einer orthogonalen Projektion, wenn n nicht normiert ist. Und in den meisten Skripten steht deshalb nicht die Normierung dabei, weil irgendwo im Text definiert wird, dass n bereits die Länge 1 hat, also |n|=1. Also schon normiert ist. Die Formel sieht dann bisschen kürzer aus. Aus didaktischen Gründen hab ichs allerdings im Video „sichtbar“ gemacht, um Studenten wie dich zum Beispiel vor möglichen Fehlern zu bewahren ;)

[@nosferatu5500]

Kinder denken sich: Scheiße, warum verstehen es die Kinder, aber ich nicht. Bin ich zu dumm dafür hahha

[@MathePeter]

Zumindest das Prinzip mit dem Schwamm verstehen Kinder 😄

[@KasimierLP]

d.h. bei einem offenen paraboloiden komm ich so wohl nicht weiter

[@MathePeter]

Außer du würdest noch die Kreis-/Ellipsengrundfläche dazu nehmen, damit die Fläche geschlossen ist. Dann müsstest du im Gegenzug nur noch den Fluss durch diese Grundfläche berechnen und wieder vom Ergebnis abziehen.

[@KasimierLP]

@@MathePeter Ah okay cool :D das macht das ganze dann einfacher. Ich finds übrigens klasse, dass du auf die fragen in den Kommentaren reagierst :D

[@iamebniniklas4624]

Heizung ist ein schlechtes Beispiel. Eher eine Wärmflasche :D

[@MathePeter]

Haha alles klar, danke :D

[@subrahmanyantolman6295]

Ich habe den Satz was der Satz von Gauß ist abgeschrieben und meinem Prof gesagt und er meinte das wäre falsch

[@MathePeter]

Mit welcher Begründung?

[@subrahmanyantolman6295]

@@MathePeter er hat gesagt, dass in der Erklärung auf jeden Fall Divergenz vorkommen muss 🤷

[@MathePeter]

Steht doch in der Formel 😄

[@martinmorsch7507]

2:40 .... weeeell fuck.

[@user-xk8uu4gk9l]

tja, wenn man nicht Physik studiert...

[@autonomesinklusionsreferat1251]

Man stelle sich mathematisches Kasperletheater vor..mit queerem MINT affinem Kasper