Was ist eine Einheit? (Vorstellung, Beispiele, Definition, Nutzen)

[@Sarah-pu8un]

Was würde ich nur ohne deine Videos machen

[@rossoneri8999]

Angenommen ich möchte im Internet Ohrringe bestellen für meine Schwester, ist eine Einheit ein paar Ohrringe oder ist es nur ein Einzelstück und ich muss 2 Einheiten bestellen, damit auch 2 ohrringe ankommen, für das linke und für das rechte ohrloch?

[@mathintuition]

Rossoneri 899 ne einheit ist eher wie 1 ohrring. Aber frag am besten deine schwester, wie sie es am liebsten hat ;)

[@rossoneri8999]

@@mathintuition ich wollte nur wissen was eine Einheit in diesem Falle wäre, dass mit meiner Schwester war erfunden und ein Beispiel.. Deshalb steht ja auch geschrieben "Angenommen ich möchte..."

[@gluckswurmchen9821]

Danke für das Video! Vielleicht liest du meine Frage ja noch obwohl das Video sehr alt ist: Was sind die Einheiten in bspw. Z[t]?

[@mathintuition]

Z[t] ist ja dem Polynomring K[X] auf den ersten Blick sehr ähnlich, nur dass Z ein Ring ist und kein Körper. Die Einheiten von K[X] sind alle Polynome vom Grad 0 - sprich alle Elemente von K selbst (außer Null). Um das zu verstehen, denk mal ne Weile drüber nach, was sonst passiert, wenn du Polynome mit Grad 1 oder größer hast (Tipp: Gradformel). Bei Z[t] sind also analog erstmal alle Einheiten vom Ring Z auch Einheiten von Z[X]. Einheiten von Z sind aber nur +1 und -1, mehr gibt es nicht. Und Z ist außerdem Nullteilerfrei, daher gilt hier auch die Gradformel und es kann also nicht mehr Einheiten in Z[t ]geben. Hättest du allgemein R[X] mit einem Ring R und R ist nicht nullteilerfrei, dann könnte es noch andere Einheiten in R[X] geben (zusätzlich zu den Einheiten des Rings R). Überleg dir mal ein Beispiel zur Übung ;) Nimm beispielsweise als Ring R einen Ring Z/nZ, wobei n keine Primzahl ist.

[@MsFireelephant]

sehr gut!!

[@niagu]

Hallo! Danke für das Video! Es war sehr hilfreich! Nun habe ich eine Frage: Wwenn ich auf die Menge N, wobei N ist die Menge aller natürlichen Zahl bis auf Null, dann habe ich die Zerlegung jedes Element der Menge mit Einheit eindeutig oder?

[@mathintuition]

Naja, man muss aufpassen, was der Kontext ist: Von Einheiten spricht man immer nur bei einem Ring. Und die natürlichen Zahlen 1,2,3 ... bilden mit Plus und Mal leider keinen Ring. Aber deine Frage geht dennoch in die richtige Richtung! Denn in den natürlichen Zahlen gilt ja bekanntlich: Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist eindeutig! Bei den ganzen Zahlen hingegen (diese bilden ja einen Ring) haben wir zwei Einheiten: 1 und -1. Daher muss man die Aussage dann abschwächen zu: Die Zerlegung einer ganzen Zahl in Primfaktoren ist eindeutig BIS AUF EINHEITEN. Das ist genau die Idee einer Einheit ;)

[@abomero7359]

Lebst du noch?

[@niagu]

Achso, sie meinen, dass generell mit Einheiten zum Zerlegen ist nicht eindeutig, denn auf habe ich 1 als Einheit, aber -1 ist nicht dabei. Also ggt(3,5)= 1 v (-1)

[@mathintuition]

Der ggT ist tatsächlich auch nur "eindeutig bis auf Einheiten". In den ganzen Zahlen ist der ggT von 3 und 5 in der Tat sowohl 1 als auch -1 (beide erfüllen die Definition des ggT). Korrekterweise muss man daher von "einem" ggT und nicht von "dem" ggT sprechen.

[@lorentpatron7715]

Math Intuition bezieht sich denn das erste "g" im "ggT" nicht auf die Ordnungsrelation grösser-als ">", bzw. auf das Maximum? Und wäre denn dann nicht +1 > -1 und daher max( -1, +1) = 1, womit auch der ggT trotzdem eindeutig ist?

[@mathintuition]

Lorent Patron Hallo Lorent! Nein, es ist tatsächlich so, dass es mehrere gibt. Es gibt mehrere "größte gemeinsame Teiler". Zum Beispiel eben +3 und -3 als ggT von 6 und 3 in den ganzen Zahlen.

[@LillyCaroful]

Hey, ich weiß das Video ist jetzt schon sehr lange draußen, aber vielleicht ließt du es ja noch. Ich bin ein wenig verwirrt, ich glaube ich habe die Quintessenz wohl noch nicht so ganz verstanden. Du hast gesagt, dass Pi ein Teiler von 3 ist, aber ich dachte das b ein Teiler von a ist, wenn a%b = 0 ist. Bis zu dem Punkt dachte ich ich hätte das ganze verstanden aber da bin ich jetzt doch verwirrt ^^ Liebe Grüße und schonmal danke im Voraus, solltest du das noch sehen

[@mathintuition]

Sehr gute Frage! Das kann ich dir sofort sagen: Es kommt auf den Zahlbereich an, in dem du dich befindest! In den reellen Zahlen (diese bilden einen Körper bzgl. Plus und Mal) ist nahezu jede Zahl durch jede Zahl teilbar (Ausnahme: nicht durch Null teilen). In den ganzen Zahlen hingegen (diese bilden nur einen Ring bzgl. Plus und Mal), ist 5 nicht durch 2 teilbar (in den reellen Zahlen hingegen natürlich schon).

[@LillyCaroful]

Math Intuition oki vieeelen Dank! Ich glaube ich habs jetzt kapiert ^^

[@stefanpierick7684]

Wenn jeder Mensch mir gehorchen würde, gingen Tätowierer pleite.