Polynome und Polynomring | Math Intuition

Hier erkläre ich alles über den berüchtigten Polynomring, Polynome und alles was du dazu wissen musst.
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#Polynomring #K[X] #Ganzrationale #Funktion

[@dasura9147]

Sie sind einfach the G.O.A.T. Greatest Of All Time Danke für das Video :)

[@c0m932]

Du bist mein Held. Bist mir ne große Hilfe beim Mathestudium!!!

[@eternalapprentice903]

Ausgezeichnet erklärt. Vielen Dank Markus!

[@florentina2756]

Dankeschön! Das Video hat mir sehr geholfen. 😊

[@Sarah-pu8un]

Sehr hilfreich. Danke!

[@sherinhasso1944]

You are the best 👏🏻

[@juliandeich4052]

Hallo. Was wäre ein Beispiel für einen Restklassenkörper von F_4[X] mit 16 Elementen?

[@haferflocke6120]

Danke danke danke!

[@TheSchranzeule]

Ist in K=Z/3Z auch x^4=x^1 oder gilt der Körper nur für die Koeffizienten? Genauso könnte man sich fragen, ob x^pi Element von R[x] ist

[@mathintuition]

Heyho, gute Frage! Nein! Das Modulo rechnen bezieht sich immer nur auf die koeffizienten, niemals auf die exponenten. Und Elemente in einem Polynomring haben immer nur Terme, in den die Exponenten von x natürliche Zahlen sind, d.h. x^2 oder x^100 sind ok, aber x hoch "irgendwas krummes" nicht mehr. Jedoch gibt es in den reellen Zahlen ja durchaus Ausdrücke wie 2 hoch 4/5, nämlich die fünfte Wurzel aus 2 hoch 4. Aber das ist etwas ganz anderes ;)

[@TheSchranzeule]

Alles klar und danke dir für die prompte und ausführliche Antwort!

[@LpNecromancer]

Hallöchen, ich habe eine Frage bezüglich der inversen Elemente. Besitzen alles polynomringe multiplikative Inversen? Oder nur die, die über Körper gebildet werden? Oder in kurz gelten die selben Grupoeneigenschaften der Addition und Multiplikation auch bei dem gebildeten polynomring?

[@mathintuition]

In einem Polynomring, der über einem Körper gebildet ist, d.h. K[x], gilt, dass nur die Einheiten invertierbar sind. Bei K[x] sind das genau die konstanten Polynome(vom Grad Null) außer dem Nullpolynom. Der Grund dafür ist ganz schnell nachzuvollziehen: Nimm ein Polynom f mit einem Grad größer oder gleich 1. Wenn du nun ein anderes Polynom dranmultiplizierst, dann kommt wieder ein Polynom mit Grad größer oder gleich 1 heraus. Damit f jedoch eine Einheit ist, müsste es ein Polynom geben, sodass das konstante Polynom 1, welches den Grad Null hat(!), herauskomm. In diese Argumentation ging ein, dass K keine Nullteiler hat, weil es ein Körper ist, sowie die Gradformel in K[x]. Bei einem Polynomring über einem Ring, d.h. R[x] ist es wegen der potentiellen Nullteiler etwas anders.

[@T1T0R3]

schönes Video!

[@tomriddle3121]

Gutes Video, grüße!

[@ferfissimo]

Ist die Multiplikation in einem Polynomring nicht durch die Faltung definiert? Also z.b. über Z2 (x+1) * (x^2) = (1 * 0) + (1 * 0 + 1 * 0) x + (1 * 1 + 1 * 0 + 0 * 0) x^2 = x^2 Nachdem Video wäre es ja (x+1)*(x^2) = x^3 + x^2 Oder sehe ich das falsch?

[@ferfissimo]

Hm glaube ich hatte es falsch verstanden man muss es ja weiter ausführen also noch +(1*0+1*1+0*0+0*0)x^3 also ist beides gleich ^^

[@TheAdorfer]

Danke Markus :)

[@mathintuition]

Gern! Noch mehr übrigens auf math-intuition.de

[@mirim1683]

Ich hätte mal ne Frage, die Menge N ist dann kein Polynomring, weil ich keine Subrtraktion durchführen kann, also weil mir die Inversen fehlen?

[@mathintuition]

+Miri m Ja, ganz genau! Die natürlichen Zahlen N sind kein Polynomring (dieser würde ja auch eine Unbekannte X oder ähnliches benötigen), und auch kein Ring. Sie sind noch nicht einmal eine Gruppe bzgl. +, da (wie du schon sagst) die Inversen bzgl. + fehlen. Stattdessen bilden die natürlichen Zahlen bzgl. + nur eine Halbgruppe. Wenn ich noch die Null dazunehme, wird daraus ein sogenannter "Monoid", da es ein neutrales Element bzgl + (nämlich die Null) gibt. Das als kleiner Exkurs, der bestimmt mehr Fragen aufwirft, als er löst ;)

[@baumwolle1981]

Kann man auch einen Polynom Ring erweitern? Sowas wie: ((R[X])[X],+,·)?

[@mathintuition]

Uwe Gößner na klar! Du nutzt dann halt unterschiedliche Symbole, z.B. R[X,Y] oder R[X_1, X_2]. Die Idee lässt sich beliebig weiterspielen.

[@Tipsi-mo7bl]

Ist der enstehende Polynomring immer genau dann ein ein Körper bzw. Ring, wenn die zugrundeliegende Menge ein Körper bzw. Ring ist? Also gilt etwa "F_3[x] ist Körper, weil F_3 Körper ist" und "F_4[x] ist kein Körper, weil F_4 kein Körper ist"?

[@mathintuition]

Tipsi 2014 gute frage! Könnte man meinen, aber leider ganz und gar nicht: Grundsätzlich ist A[X] immer erstmal nur ein ring, egal ob A ein ring oder sogar ein körper (=ein spezieller ring, in dem jedes element außer der null ein multiplikatives inverses haben muss). Wenn man aber übergeht zu Brüchen von Polynomen, dann schreibt man runde Klammern, also A(X), und das ist wiederum ein körper! So wie auch Q ein körper ist, aber Z nicht. Denn Q entsteht aus Z wenn man zu Brüchen übergeht. Auch wenn das erstmal nichts mit polynomen zu tun hat.

[@Tipsi-mo7bl]

Hallo Math Intuition, danke für deine schnelle Antwort! Es gibt doch auch Körper ohne Übergang zu Brüchen? Z/3Z ist ja auch ein Körper? Ich bin eigentlich auf die Frage gekommen, weil mich interessieren würde, ob Z/3Z[x] (=F_3[x], nur andere Notation?) ein Körper ist? Zum Beispiel ist mir bekannt, dass für das Ideal (x^2+1) der Ring Z/3Z[x]/(x^2+1) ein Körper mit 9 Elementen ist, weil dieser Ring nullteilerfrei ist und für jedes Element ein Inverses existiert. Bei Z/3Z[x] tue ich mir aber schwerer, weil da ja abzählbar unendlich viele Elemente drin sind? Ich glaube, aus einem anderen Video von dir ist hervorgegangen, dass A(x) der Quotientenkörper von A[x] ist, ist das richtig?

[@LinkEX]

9:52 Moment, wenn du sagst, dass Brüche wie 1/2 etc nichtmehr drin sind, dann dürftest du doch auch nicht sagen, dass Zahlen wie 4, 7, oder -2 in diesem Ring sind, oder? Denn nicht nur diese Zahlen befinden sich in der gleichen Restklasse wie 1, sondern auch 1/4, 1/7, und -1/2. Denn dies sind die inversen Elemente zu 1 (bzw 4, 7, und -2), denn beispielsweise 4 * (1/4) = 4* (4^-1) = 1. Ebenso ist in Z/3Z auch 2 zu sich selbst invers (2 * 2 = 4 = 1), und damit gilt in dem Ring 2 = 5 = 8 = -1 = 1/2 = 1/5 = 1/8 etc.

[@mathintuition]

Guter Punkt! Letztendlich ist es eine reine Frage nach der Konvention, ob man das Inverse eines Elements g nur als g^(-1) schreiben darf, oder ob man auch die Schreibweise 1/g zulässt. Im Video habe ich diese Schreibweisen klar unterschieden, deshalb habe ich gesagt, dass 1/2 kein Element (rein formal als Symbol) von Z/3Z ist. Doch natürlich gibt es in Z/3Z ein Element, welches genau diesselbe Eigenschaft hat, wie das Element, dass man sich unter "1/2" vorstellt. Nämlich das Element 2. Denn 2*2 = 4 = 1 in Z/3Z. Also ist 2 gleichzeitig sein eigenes Inverses. Man könnte daher auch per Konvention sagen, dass 1/2 ein Element von Z/3Z ist. Man muss nur wissen, dass damit eine reine Symbolik gemeint ist, die das Element beschreibt, das ein Inverses zu der Zahl 2 ist. Im Video habe ich aber wiegesagt zwischen beiden Symbolen unterschieden, was für den Anfang bestimmt nicht verkehrt ist. Wenn man das dann verstanden hat, kann man den Schritt weiter gehen, wie du es getan hast ;)

[@MikeyBarca02]

Meine frage ist, wird bei der Schreibweise Z/pZ wirklich an irgendeiner Stelle geteilt oder weshalb drückt man das als einen Quotienten aus?

[@mathintuition]

Der Übergang von den ganzen Zahlen Z in den Ring Z/nZ ist ja ein "in n Teile teilen", was vorher unendlich war. Außerdem entsteht der Ring Z/nZ außerdem durch "Teilung mit Rest": Teile z.B. 7 durch 3 mit Rest, dann ergibt sich Rest 1, also ist in Z/3Z die 7 und 1 identisch (auch 1 durch 3 ergibt Rest 1).

[@MikeyBarca02]

@@mathintuition Ah jz verstehe ich es vielen Dank!

[@jakobberz6151]

wieso kann ich bei bei einem Körper auf keine Nullteiler stoßen ?

[@mathintuition]

In jedem Körper gilt immer, dass aus a*b = 0 folgt, dass schon a oder b gleich Null gewesen sein muss. Das liegt daran, weil jedes Körperelement (außer Null selbst) einen "Partner" a^(-1) hat, sodass a * a^(-1) = 1 ist. Anders gesagt: In einem Körper ist jedes Element außer Null eine Einheit. Und man kann schnell beweisen, dass Einheiten niemals Nullteiler sind.

[@jakobberz6151]

vielen dank :)

[@theRealMibs]

Du bist mein Markus!?!

[@evatoussaint8831]

Hey :) Deine Videos sind echt super, und helfen mir sehr weiter. Was toll wäre, ist wenn eventuell die Maus ( also das Kreuz ) nur beim wirklichen zeigen auftreten würde. Da das Hin- und Her-Gewackel leider die Konzentration auf den wirklich toll erklärten Stoff erschwert :)

[@mathintuition]

Danke für den Hinweis!

[@JoSh-yu6jt]

Jeder ist anders. Mich stört das "Gewackel" 0.

[@manfredvonrichtofen3863]

Ich wüsste nicht wie man LA ohne dich überstehen sollte

[@dellokrd9916]

Ich liebe dich Markus

[@mathintuition]

Merci ;)

[@katharinabergen6831]

Kongruent, nicht identisch :) denke ich

[@socialreveluv5428]

Das Thema ist so schlimm und die Hausaufgaben werden immer schlimmer x.x

[@mathintuition]

Wie kann ich helfen?

[@socialreveluv5428]

@@mathintuition Bin auf jeden Fall geehrt, dass du fragst, da mir deine Videos schon immer geholfen haben :) Die aktuellen Themen beziehen sich auf Faktorringe, Ideal, Polynome R[x] und Ringhomomorphismen, was eben alles dazugehört und viele Aufgaben erfordern ein sehr gutes Verständnis dieser Begriffe, bzw. übergreifendes Wissen, wie man diese Begrifflichkeiten in Aufgaben nutzen kann, um Probleme auf ein kleineres runterzubrechen. Das klingt schon so vage wie das Thema an sich, aber genauer kann ich es leider nicht definieren. Und hier noch private Sachen, die es mir sehr schwer machen: @Math Intuition Ich denke der Kontakt mit anderen Studenten im Bezug auf Diskussion kommt viel zu kurz, jedoch finde ich niemanden Online, der sich über solche Themen unterhalten möchte. Meine Übungspartner haben alle abgebrochen, also ist der Kontakt auch schwierig. Die Inhalte werden vom Dozenten viel zu schnell erklärt und manchmal lässt er Sachen aus, weil wir keine Zeit dafür haben, können soll man es trotzdem und das ist ja nur eins meiner vier Module dieses Semester, wodurch die anderen dann viel zu kurz kommen. Helfen kannst du mir vermutlich nicht, da man sich mit dem Stoff selbst beschäftigen muss und jede Vorlesung neue Inhalte kommen, die den Rahmen des Erklärens sprengen würden.

[@mathintuition]

@@socialreveluv5428 Vieles davon behandle ich in meinem Algebra 1 Kurs (nicht lineare algebra), schau mal vorbei: www.math-intuition.de/course/algebra-1-intuition