03) Strutture Algebriche: Gruppi, Anelli e Campi

[@StockTrader]

Bravo! Finalmente qualcuno che spiega BENE senza la spocchia dello 'scienziato pazzo' :-) Ottimo materiale

[@LiefLayer]

sto studiando per un esame di Matematica Discreta (nonostante io abbia scelto informatica e tutto ciò che è relativo alla programmazione mi piaccia molto faccio molta fatica con le materie matematiche). Questo argomento l'anno scorso non veniva chiesto agli esami ma sfortunatamente non sono mai riuscito a passarla... quest'anno hanno aggiunto questo argomento ed ero disperato perchè non riuscivo a capirci proprio niente. Al momento invece spero di potercela fare per l'esame, questo video l'ho trovato un ottimo input da cui partire. Sfortunatamente non ci sono video altrettanto ben fatti su monoidi, morfismi, nuclei e immagini specifici sulle strutture algebriche... ma almeno è un input che potrò sfruttare nei prossimi giorni per cercare di capire quel che riesco a capire. Lascio qui un esempio di esercizio che devo capire di cui ho anche la soluzione (ma che non riesco comunque a spiegare)... se hai voglia (o qualcuno che passa di qua ha voglia) di spiegarmelo in maniera semplice mi fai davvero un favore: Si consideri il gruppo additivo (Z, +) e sia (G, •) un gruppo. a) Fissato g appartenente G, si definisca l'applicazione fg (g è piccolo) : Z ->G ponendo fg(n) = g^n, per ogni intero n appartenente Z. Si dimostri che fg è un omomorfismo di gruppi e in particolare l'unico omomorfismo da Z in G tale che fg(1) = g. b) Posto G = S3 (3 piccolo) e g = (1 2 3) appartenenti S3 determinare nucleo e immagine di fg. c) Dopo aver enunciato la definizione di endomorfismo di un anello con unità, si consideri il monoide End(Z) degli endomorfismi di Z come anello con unità, rispetto alla composizione. Si dimostri che End(Z) = {id} Soluzione: a) Questo fatto è noto come proprietà universale di (Z, +) (domanda: su wikipedia ho trovato Proprietà universale del nucleo... è questa?). Cominciamo con il dimostrare che fg è un omomorfismo di gruppi. Infatti Qualunque m, n appartenenti Z fg(m+n) = g^(m+n) = g^m g^n = fg(m) fg(n) (domanda: questa dimostrazione mi sembra l'applicazione particolare di quel che scrive wikipedia sulla pagina Omomorfismo_di_gruppi sotto definizione... da quel che ho capito avendo due gruppi con due operatori diversi applico prima il primo da entrambi i lati dell'uguale (+m) poi cerco di trasformare il tutto con l'operatore di moltiplicazione (il secondo dei due operatori) da entrambi i lati dell'uguale. Se ho capito bene questo si può fare perchè (m+n) della g di fg conta come se fosse un esponente di g scritto piccolo... il ragionamento è giusto oppure dimentico/sbaglio qualcosa? f sta per funzione giusto? Non ho sinceramente molto chiara la notazione fg funzione applicata su n e g come se fosse logaritmo... boh, sono confuso) Per l'unicità si supponga che h : Z->G sia un altro omomorfismo che verifichi la proprietà che h(1) = g. Allora per ogni n appartenente a Z con n >= 0 si ha h(n) = h(1+1+1+....+1 ) = h(1)^n = g^n = fg(n). n volte (domanda: io l'ho interpretato in questo modo. h è un altro omomorfismo (ipotetico) che soddisfa la stessa proprietà soddisfatta da fg. quindi prendendo h(n) al posto di fg(n) dovrebbe valere anche = g^n... però non riesco a capire perchè n sia uguale a 1+1+1+....+1 n volte). Se invece n < 0, allora posto m = -n > 0 si ha (domanda: m = -n > 0 significa che -n > 0 oppure che l'uguaglianza è > 0 ?). h(n) = h(-(-n)) = h(-m) = h(m)^-1 = h(1+...+1)^-1 = (h(1)^m)^-1 = h(1)^-m = h(1)^n = g^n = fg (n). m volte Pertanto h = fg. (domanda: come faccio a capire che devo tirar fuori m? qual'è il ragionamento che conduce alla conclusione che n non basta a fare la dimostrazione?). b) fg(n) = g^n, pertanto Im(fg) = fg (Z) = = = {id, g = (1 2 3), g^2 = (1 3 2)}. (domanda: premesso che so come si fanno le permutazioni e le decomposizioni in cicli disgiunti e so anche come si calcolano ^2 ^3 ^-1 ^-2 ecc... non so alcune cose: ad esempio cosa significa quella notazione? (ho visto la stessa notazione in un esercizio che richiedeva l'ordine del sottogruppo ciclico di ma non sono sicuro di quale sia il nome della notazione). Immagine significa quindi scrivere tra {} tutte le composizioni fino a ^n? Si ferma a 2 perchè?) Di conseguenza, poichè l'ordine di g = (1 2 3) è 3, si deve avere che ker(fg) = {n appartenente a Z : (1 2 3)^n = id} = {n appartenente Z : 3 | n} = 3Z (domanda: non mi è chiaro questo punto... cos'è il nucleo in un gruppo? come si arriva a quella formula? con quale ragionamento?) c) Un endomorfismo di un anello con unità f : (A, +, •) -> (A, +, •) è una funzione da A in se stesso tale che: i. f sia un endomorfismo del gruppo abeliano additivo (A,+) ii. f sia un endomorfismo del monoide moltiplicativo (A,•) (- questa mi pare proprio una definizione da imparare a memoria... ma se c'è qualcosa su cui posso ragionare sono tutt'orecchi). Si consideri ora il monoide End(Z) (domanda: che diavolo significa End?) rispetto alla composizione. Se f appartiene a End(Z) allora f dev'essere in particolare un endomorfismo del gruppo additivo (Z, +) tale che f(1) = 1. (domanda: non ho proprio idea di cosa ci sia scritto qui). Il precedente punto (a) dimostra che esiste un unico f siffatto e dato precisamente da f = f1. daltronde si verifica immediatamente che f1 = id. (domanda: f1 sta per cosa? come mai = id? non riesco a capire il collegamento con il punto a). Ringrazio in anticipo chiunque abbia voglia di rispondere (anche se passassero mesi se avete la pazienza di farlo rispondete. Non è detto che io passi l'esame e in ogni caso una risposta simile può servire a chiunque).

[@MathMindOfficial]

Oddio! Perché non ho mai letto questo commento!?!? Perdonami! Perché non mi contatti su facebook uno di questi giorni? Almeno ti spiego meglio tutto quanto, altrimenti esce fuori un papiro di papiri XD

[@LiefLayer]

MathMind non preoccuparti alla fine l'ho passato (pochi giorni fa a settembre). comunque se vuoi spiegare (magari in un video) per chi viene dopo di me farai sicuramente un favore a qualcuno (se lo fai avvertimi così consiglio i tuoi video a dei miei amici).

[@brontosamuro3890]

@@LiefLayer sono nella tua stessa situazione...algebra per informatica mi risulta molto ostica...penso di trovarla ostica per il professore ma faccio anche informatica e cerco di uscirne con questi video

[@cantseeme9886]

@@brontosamuro3890 ne sei uscito? sono nella tua stessa situazione..

[@lore2001lf]

Ciao ragazzi, stessa situazione anni dopo😂😂

[@Mondoforgames]

Video utilissimo e interessante, complimenti per l'esposizione chiara,rigorosa e comprensibile anche ai meno esperti.

[@brunavarrone3964]

Ottimo, sia per la chiarezza espositiva, porsi domande e rispondersi, sia per il metodo utilizzato per la presentazione, mani e voce.

[@WormholeITA]

Complimenti per la chiarezza espositiva! Argomenti molto interessanti sia per lo studio della teoria dei numeri sia per lo studio delle sue applicazioni, come ad esempio la crittografia!

[@evocatoredellafisica-vo4cm]

speravo che ci siano altri corsi nel suo canale :( questo è ottimo

[@josephlorizzo8997]

vero, purtroppo non ha finito neanche questo... però è arrivato a un buon punto perché possiamo capire il resto anche da altre fonti

[@davidebigu821]

Tutto ciò è meraviglioso. Ha la mia stima professore!

[@vitopisani9249]

Ottima spiegazione, con una chiarezza non da tutti !!

[@riccardovangelisti3611]

Ho una perplessità: nell' ultima parte quando si parla di domini di integrità si dice che un insieme è un dominio di integrità se il "prodotto di due numeri" è uguale allo "zero" che è definito come l'elemento neutro della "somma"; ciò lascia intendere che sui domini di integrità, siano definite almeno due operazioni, una di esse con elemento neutro. Nell' esempio si considera invece un insieme di funzioni con una sola operazione. Volevo inoltre suggerire un esempio di insieme che non è dominio di integrità che non richieda conoscenze di analisi e che a mio avviso è di facile comprensione anche a chi sia digiuno di matematica in generale: consideriamo i numeri che stanno sull'orologio, definiamo le operazioni somma e moltiplicazione con la riduzione modulo 12(che è facilmente spiegabile anche a gesti e che non richiede terminologie "capziose" per chi non le conosce) e per comodità indicando i numeri da 0 a 11 facendo vedere che con le operazioni definite in questo modo l'elemento che ho chiamato 0 è effettivamente l'elemento neutro per la "somma". a questo punto si fa vedere che 3 "per" 4 fa 0 e pertanto l'insieme dei numeri dell'orologio non è un dominio di integrità In ogni caso video molto utile e attento ai dettagli!

[@lucamartineau1923]

Mi hai mandato in pappa il cervello quando hai detto "Z contiene Q" al 26esimo minuto ahaha. Comunque bellissimo video e molto chiaro, complimenti!

[@elenacortorillo6006]

Anch'io ho messo in dubbio il mio sapere da docente ma...ero troppo fermamente convinta si fosse trattato di un LAPSUS! FREUDIANO !!! :-)

[@Albisyx]

Video utilissimo! Io però avrei una domanda: l'insiee dei numeri razionali (Q;*) non sarebbe un gruppo se e solo se escludessimo lo zero? Dico questo perchè non esiste nessun numero che moltiplicato per zero dia 1 (ovvero l'elemento neutro della moltiplicazione). p.s. * sta per l'operatore moltiplicazione

[@MathMindOfficial]

ti ringrazio. Ottima osservazione: è esattamente così

[@Albisyx]

Grazie a lei

[@mariagrazianardella6925]

Semplicemente bravissimo e grazie mille

[@espelett]

Bravissimo. Grazie mille.

[@ΑθανασίαΜπουγιουκλη]

Grazie , molto chiaro tutto! 👏

[@valentinaguidotti8734]

Piccola osservazione. Nel gruppo delle rotazioni del Cubo di Rubik su una faccia l'elemento neutro non è unico: se ruoti la faccia di 90 gradi per quattro volte, per otto, per dodici... sia in senso orario che antiorario, ottieni la stessa configurazione, ossia lo stesso elemento del gruppo. Comunque sei stato molto chiaro, ti faccio i miei complimenti.

[@valentinaguidotti8734]

Ah cavolo. Adesso che ci penso, però, se considero la rotazione in sé come elemento del gruppo, anche se il cubo lo vedo allo stesso modo, in realtà l'elemento del gruppo è diverso perchè una rotazione di 360 gradi è diversa da una di 720. Grazie comunque, mi sono data la risposta da sola😅

[@MathMindOfficial]

@@valentinaguidotti8734 Ciao, conta che nel gruppo delle rotazioni si effettua un quozientamento. Vengono considerate lo stesso elemento tutte quelle rotazioni che danno luogo alla stessa rotazione (facci caso, quando prendiamo in esame le funzioni goniometriche consideriamo come dominio [0,2pi) )

[@valentinaguidotti8734]

Quindi il motivo per cui la rotazione di 0 gradi è l'unica ad essere neutra è il fatto che il gruppo delle rotazioni del cubo di Rubik è in realtà fatto da quattro elementi: 0, 90, 180 e 270 gradi, giusto? Senza contare gli "stati intermedi", in cui ho la faccia non allineata con le altre... spero di aver capito😬.

[@lucaescomputo4852]

Utilissimo , molto ma mooolto più chiaro della mia prof. Vedo che non ci sono altri video , pensi di continuare con questa serie ?

[@MathMindOfficial]

Ti tingrazio. Si, dico sempre che dovrei andare avanti e non continuo mai, ma domani giro il quarto. Promesso XD

[@90Kiven]

Attenzione che il Cubo di Rubick NON è un Gruppo Abeliano (ma è comunque un Gruppo). Le rotazioni non sono commutative, esempio banale: "Rotazione di 90° in senso orario della faccia frontale" + "Rotazione di 90° della faccia destra" porta ad un risultato diverso rispetto a "Rotazione di 90° della faccia destra" + "Rotazione di 90° in senso orario della faccia frontale".

[@MathMindOfficial]

C’è una notifica che compare al minuto in cui parlo del cubo (nonché in diversi commenti qui in basso) dove specifico che le rotazioni in questione fanno riferimento ad una singola facciata, non alla composizione delle diverse rotazioni sui vari assi

[@concettacapasso6797]

bravissimo; gli appunti che scrivi li hai anche in formato pdf?

[@vitorusso1429]

0 non è simmetrizzabile….. quindi nella seconda condizione di campo dalla struttura del secondo gruppo abeliano va escluso lo 0 dell addizione

[@Gregor93S]

Ciao volevo chiederti se ,nella definizione di struttura algebrica, l'insieme deve essere non vuoto e le operazioni binarie. Nel mio libro "Algebra e Matematica Discreta", non specifica ciò, dice semplicemente che la struttura algebrica è un insieme dotota di più operazioni (anche n-arie).

[@MathMindOfficial]

Ciao, se l insieme è vuoto allora le operazioni binarie coincidono quindi non si può parlare di anello. In generale comunque non ha molto senso parlare di strutture vuote poiché il vuoto è qualsiasi struttura

[@Gregor93S]

@@MathMindOfficial Ti ringrazio, le operazioni invece devono essere binarie o possono essere anche n-arie? In alcune dispense universitarie la definizione coincide con la tua, altrove no. Non mi è molto chiaro

[@MathMindOfficial]

@@Gregor93S le operazioni devono essere binarie. Cosa non torna?

[@Gregor93S]

@@MathMindOfficial Del tuo video nulla, anzi è chiarissimo. Sono alcuni testi che sono ambigui e non specificano la binarietà delle operazioni

[@pochopsp]

Hai una bellissima grafia

[@paololobello]

Tu sai che ai miei tempi per capire quei segni sono stato impacciato? il perchè ? i libri certe volte dovrebbero farli più facili. Avessi avuto un professore che spiegava le cose facili lavoravo in borsa. Ma attualmente sono disoccupato XD

[@lucatarga8426]

Ciao, volevo sapere un parere sul testo "algebra lineare e geometria" di Enrico Schlesinger (il mio prof)

[@MathMindOfficial]

purtroppo non lo conosco, mi dispiace. Ho dato un'occhiata al pdf di presentazione e non mi sembra male...ma è un po' azzardata come opinione

[@alexmartinelli1075]

scusa ma le rotazioni nel cubo di rubik non hanno la proprietà assoociativa, considerando le mosse r l , facendo u r l e r u l ottieni cubi diversi, stessa cosa per uur e ruu ecc...

[@lollilo6030]

Ma se nelle parentesi tra gli elementi al posto delle virgole scrivo i punti e virgole cambia qualcosa al livello di significato?

[@MathMindOfficial]

No, basta mettere in chiaro se hanno o meno dei ruoli

[@Angelos58]

Il Cubo di Rubik è un Gruppo "non abeliano". Sussistono, infatti, la proprietà associativa, l'elemento neutro e l'elemento opposto, ma non la commutativa e men che meno altre proprietà.

[@MathMindOfficial]

+Angelos58 la facciata di un cubo di rubik con l'operazione di rotazione costituisce un gruppo abeliano, che sarebbe il gruppo delle rotazioni di 90°...non ho definito nessun altra operazione sulle altre facce del cubo!

[@Angelos58]

+MathMind Se non gode della proprietà commutativa non è abeliano. Molto semplice. Sull'argomento, come ti è noto, sono stati condotti alcuni studi interessanti e ti basterà poco per trovare "Gruppo del Cubo di Rubik" da cui ricaverai facilmente che si tratta di un gruppo non abeliano.

[@MathMindOfficial]

+Angelos58 ...ha letto cosa ho scritto? Se si prende una faccia del cubo e si prende come operazione la rotazione di 90° attorno all'asse normale uscente dal centro della faccia allora si genera una struttura di gruppo abeliano...se faccio rotare 5 e poi 7 oppure faccio ruotare 7 e poi 5 non cambia nulla! Non ho parlato di cubo nella sua interezza e quindi con tre operazioni, ognuna delle quali definita su assi diversi...ho parlato solo di una faccia!

[@Angelos58]

+MathMind Cerco di essere più preciso. Al minuto 12:35 si sente "Gode della proprietà commutativa? Certo!" Ecco, non è certo semplicemente perchè non gode di tale proprietà. Tanto è vero che nel verbalizzare la proprietà commutativa, in realtà viene ripetuta la stessa cosa che si dice a proposito della associativa.

[@Angelos58]

+Angelos58 12:46 "Le rotazioni in cubo di Rubik corrispondono ad un gruppo abeliano! No! Nè su una faccia, nè sull'intero Cubo.

[@erfiodena2184]

l'elemento neutro non dovrebbe essere pure uno solo?

[@MathMindOfficial]

+er fiodena c'è il teorema infatti che lo dice: in un gruppo esiste un unico elemento neutro ed ogni elemento ammette un unico inverso algebrico!(minuto 14:41)

[@erfiodena2184]

+MathMind ok ok... e che avevo guardato i primi minuti del video, dovendo poi andare via, salendomi quindi il dubbio

[@cicciopancetta5200]

Ma Q e R sono campi nonostante non abbiano l’inverso rispetto al prodotto per l’elemento 0 ?

[@MathMindOfficial]

hai ragione, ho mancato di scrivere che il gruppo moltiplicativo è tale solo quando si toglie l'elemento neutro additivo

[@cicciopancetta5200]

Ok grazie, tutto chiaro! I tuoi video si stanno rivelando estremamente utili per me in questo periodo! 😁

[@eheh719]

Nel campo vale anche la distributività

[@MathMindOfficial]

certo, è un anello

[@Giannarcos]

bravo!

[@fabiopicciolo9420]

Non sarebbe più corretto scrivere che più o meno radice di 4 è uguale a più o meno 2i?

[@antoinemarraux4221]

Possibile che ho capito solo le proprietà che hai enunciato all'inizio ma per il resto niente?

[@lucanina8221]

Sarebbe giusto precisare che sia nella definizione di elemento neutro che nella definizione di inverso algebrico l'operazione gode della commutativa per definizione ossia a+e=e+a=a a+a'=a'+a=e per definizione

[@serra_edoardo]

In realtà, la definizione di elemento neutro gode di commutatività e unicità per tutte le operazioni binarie per le quali esiste sia un elemento neutro sinistro che uno destro (è invece possibile, ad esempio, che esistano due o più elementi neutri sinistri e zero elementi neutri destri e viceversa oppure che non ne esistano affatto), mentre l'inverso sinistro e l'inverso destro sono identici (e l'inverso è unico) solo in strutture algebriche che godono della proprietà associativa e per le quali l'elemento neutro è unico.

[@pinomugo8960]

mi spiace ,ma Il gruppo del cubo di Rubik è un gruppo non abeliano in quanto la composizione delle mosse non è commutativo; eseguire due sequenze di mosse in ordine differente può portare a configurazioni finali diverse.

[@MathMindOfficial]

Ciao, se leggi i commenti qui sotto ho ripetutamente detto che stavo parlando (mea culpa di non averlo detto meglio) delle rotazioni su uno stesso asse

[@pinomugo8960]

la proprietà associativa che hai scritto cosa rappresenta? è scritta in modo errato , la distributività a sinistra e a destra si scrivono così: c x( a + b ) = ( c x a ) + ( c x b ) e ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )

[@MathMindOfficial]

...stai scherzando, vero? Dov'è l'errore?

[@pinomugo8960]

@@MathMindOfficial ...bisogna usare gli stessi elementi nello stesso ordine nella scrittura delle due proprietà distributive (sinistra e dx) : altrimenti, se il prodotto fosse commutativo, non otterresti la ovvia equivalenza delle due proprietà (come avviene nel tuo caso errato: se il prodotto è commutativo, non ottengo la stessa cosa!).

[@MathMindOfficial]

@@pinomugo8960 le due proprietà sono assolutamente distinte. Avresti ragione se al mezzo ci fosse una congiunzione o qualcosa che lega le due

[@pinomugo8960]

@@MathMindOfficial ..non si è mai vista scritta così, in nessun testo; è vero che gli elementi possono essere qualsiasi e che le due proprietà sono indipendenti, ma una volta scelta la terna di elementi non devi cambiarla, altrimenti sfido a mostrare ad esempio che la divisione è distributiva solo a destra e non a sinistra rispetto alla somma: se mi cambi la terna , come faccio a dimostrarlo ? non riesco!

[@MathMindOfficial]

@@pinomugo8960 lo hai detto tu: le proprietà sono indipendenti e gli elementi qualsiasi. Non credo ci sia altro da dire, a meno che non vogliamo concentrarci sullo stile didattico ed estetico!

[@donatosantacroce1693]

Non capisco come mai (R, + , •) sia un campo nonostante (R, •) non sia un gruppo abeliano, dato che per l'elemento 0 non esiste un inverso algebrico (se moltiplico un qualsiasi numero per 0 non otterrò mai come risultato 1, che è l'elemento neutro della moltiplicazione). Help?

[@eugeniodelnero9109]

Ha fatto un piccolo errore: per verificare se un insieme è un campo bisogna verificare se quell'insieme e il prodotto ESCLUSO LO 0 sono un gruppo abeliano. Quindi R è un campo perché escluso lo 0 è abeliano.

[@Angelos58]

Nella Struttura Algebrica (X,+) la moltiplicazione non è definita e quindi la distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione non sussiste,

[@MathMindOfficial]

+Angelos58 se ti riferisci alla lista delle proprietà allora guarda bene che ho specificato cosa significa distributiva: entrambe le operazioni sono definite!

[@Angelos58]

+MathMind mi riferisco al "Sia (X,+) una struttura algebrica" a cui fai seguire proprietà che non appartengono alla struttura che hai appena dichiarato.

[@MathMindOfficial]

+Angelos58 ma c'è scritto...se ho due operazioni binarie (ho omesso un "definite su X") la distributiva significa xxxxx ! Non capisco il problema!

[@Angelos58]

+MathMind Cerco di essere più preciso. Al minuto 11:17 fai un fermo immagine e leggi. In alto scritto in rosso "Proprietà delle operazioni". A seguire, in blu, "Sia (X,+) una struttura algebrica" A seguire ancora in blu un elenco di proprietà e la numero 5 non può stare lì, perchè tu hai cominciato con "Sia (X,+)..." Mi rendo conto che può apparire cavilloso, ma come tu certo sa, da studente di Matematica, il rispetto del rigore formale ed espositivo in matematica non è un di più.

[@ivanbombana7282]

@@Angelos58 scusa, ma... I gruppi sono strutture algebriche, dico bene?

[@mattiaingrosso8676]

Non dovrebbe essere N contenuto in Z? Per il resto grazie mille!

[@MathMindOfficial]

cos'ho scritto?

[@stefanopellegrini6527]

OTTIMO !!!

[@MegaGermanoMosconi]

26:00 errore: Z è incluso (contenuto) in Q.

[@brioche_al_cioccolato]

Z non coincide con Q, il simbolo è giusto

[@ciccioosys]

grandioso!!

[@gametheory2202]

Non sarebbe la terza lezione?

[@MathMindOfficial]

+Gametheory Ti ringrazio!

[@WzRulezzPvP]

Video ben fatto

[@mirymanca7071]

qualcuno conosce un video su anelli dei polinomi?

[@domenico3215]

bel video, a 33:05 controlla l' h :)

[@sonosempreio8726]

?

[@domenico3215]

@@sonosempreio8726 Ah voi vai a capire cosa intendevo 😂 sarò stato fuso dallo studio

[@lucacubadda2025]

59 video

[@musicislife665]

comunque non era un messaggio anonimo e ... sarai tu professorino da strapazzo. E se io non leggessi i libri sono affari che non ti riguardano. Se pubblichi su un canale pubblico come youtube devi accettare elogi e critiche . Gran maleducato

[@MathMindOfficial]

Se sono io il maleducato, dove sono i commenti? Ah giusto, li hai cancellati...