MATRICES CIRCULANTES (oral CCINP, Centrale, Mines...) (spé/L2)

[@CassouMathPrepa]

⚠Simplification pour la question 3) (merci à @UnNimois) : on obtient directement la liberté en constatant que la CL des J^k envisagée est en fait egale à M !! Donc tous les a_k sont nuls ! J'etais focalisé sur le cas général de la description de K[A], avec A matrice quelconque

[@YaoludovicKonan]

Merci beaucoup

[@cedricprof2094]

Merci. C''est bien les classiques!

[@yannishaegeman4345]

Merci ! ❤

[@CassouMathPrepa]

Avec plaisir 😊

[@dominiquedim4257]

Merci Cassou Bel exercice. On attends le prolongement sur les sous espaces stables

[@CassouMathPrepa]

en préparation 😄

[@Delta-jq5mt]

Merci. Bel exo

[@leptitivoirien]

merci 👍

[@CassouMathPrepa]

👍

[@sbitikhalid3562]

Merci, c'était un vrai régal ! Juste une petite remarque : vous avez dit 'appartient', mais vous avez écrit 'Lambda est inclus dans U (6:38)

[@brunoredon1520]

Votre vidéo est très intéressante et bien expliquée, je connaissais déjà un peu le sujet puisque j'avais un exercice avec une suite de polygones qui convergeait vers son ventre de gravité qui utilisait les matrices circulantes. Avez-vous un courriel, je voulais vous envoyer un exercice que j'avais du mal à rédiger proprement (cv de la série des inverses des nombres premiers oraux-x ensemble tome 3 p 238-239 Francine/Gianella/Nicolas) ?

[@guillaumehuguet3243]

Histoire de faire marcher la machine à commentaire (comme suggéré), on peut remarquer l'importance de la matrice de passage Q évoquée dans la variante "Centralienne". Quelques remarques donc: * Déjà on peut noter qu'elle se simplifie dans le cas général car ω_1^n = 1 et ω_k = ω_1^k et prend une belle allure circulante dans le cas ou n est premier (toutes les puissances de 0 à n-1 apparaissent une et une seule fois par colonne dans un ordre différent). * Cette matrice intervient dans la transformée de Fourier discrète, de manière intuitive chaque colonne capturant une fréquence différente du signal (la première n'est autre que la valeur moyenne = fréquence 0) * Pour la blague et parce que c'est magnifique, cette matrice intervient dans la décomposition en polygones propres des polygones quelconques (triangles, pentagones, ...). Il y a une très jolie vidéo à ce sujet sur la chaine du Mathologer (en anglais) qui s'intitule PETR'S MIRACLE (je vous laisse chercher car ajouter un lien masque souvent le commentaire).

[@jamiloldtaleb4826]

Svp où vous trouvier les sujets d'oraux merci ???

[@CassouMathPrepa]

@@jamiloldtaleb4826 RMS (cherchez a la BU),et BEOS (sur le web). Après certains sont souvent de grands classiques. Si tu as un bon niveau, tu peux consulter les bouquins oraux X-ENS de Francinou Gianella.

[@alexandrejanot1044]

Exo intéressant. Pour la Q1, on reconnait une forme compagne (de commandabilité pour les automaticiens) et on remarque qu'on a la racine 1 d'ordre n (on peut passer par Laplace). Mais l'explication est intéressante. On voit qu'on définit une base... et je me demande si on ne peut pas aller vers un groupe cyclique (J^n = J)... Cool!

[@CassouMathPrepa]

Oui J^n=I_n (pas J 😉) donc le sous-groupe multiplicatif engendré par J est cyclique d'ordre n, isomorphes aux racines n-ièmes de l'unité J est effectivement un cas particulier de matrice compagnon. Celle du polynome X^n-1 Ces matrices modélisent des endomorphismes cycliques. M en revanche n'est pas une matrice compagnon en general (par exemple lorsque les a_k sont tous nuls, M=0, donc elle ne represente pas un endo cyclique) Du coup, en lisant le wiki sur les matrices compagnons, je viens de voir qu'effectivement c'est tres lié à la commandabilité. Ca me donne envie d'explorer le sujet, que je ne connais pas du tout. Peut-etre dans une video ... ?

[@Augurelli]

​@@CassouMathPrepa Si la commandabilité intéresse il ne faut pas hésiter à également se pencher sur son homologue qui est l'observabilité. Le duo des deux est super important en asservissement de systèmes (décomposition de Kalman pour le petit mot clé qui va bien)

[@CassouMathPrepa]

Commandabilité / observabilité : si vius avez une réf simple pour débutants alors je suis preneur.🙏 Ça me servirait pour des mini projets d'application des math qu'on donne aux étudiants 😁

[@alexandrejanot1044]

@@CassouMathPrepa "Automatique" d'Yves Granjon (ed. Dunod) est un livre didactique et complet. "Ingénierie et commande des systèmes" de Crosnier, Zapata, Abba et Jouvencel (ed. Ellipses) est très intéressant. Les liens avec l'algèbre linéaire sont clairs. Enfin, il y a aussi le "Cours d'automatique en 3 tomes" de Rivoire et Ferrier qui sont "simples" à lire. Tu peux aussi faire des liens avec les éqs. diffs. c'est assez marrant. Bien sûr, il y a d'autres livres. Bonne lecture 😎

[@CassouMathPrepa]

@alexandrejanot1044 merci 🙏

[@jcfos6294]

Purée. Pourquoi j'ai voté pour l'algèbre linéaire ? 😕🤔😏🤭 Faut être cinglé 🤪🤪🤪🤭🤭🤭. Bon OK he m'y colle ! J'adore ça !!! Comment ça "sadomaso"??? 😂😂😂. Ouais et alors ! 🤣🤣. Allez feu, au boulot. Je regarderai la correction ensuite

[@CassouMathPrepa]

Force à toi !! 💪💪💪 ... En plus ca fait un bon echauffement avant le plus difficile "sous-espaces stables" 😅😅 Bon ceci-dit, j'ai prévu un interlude avec des EDL de 1ere année entre les deux au final !

[@UnNimois]

Pour la liberté dans Q3 : P(J) = M(a0,...,a(n-1)) et une matrice est nulle ssi ses coefficients sont nuls. Libère ces malheureux polynômes annulateurs 😅.

[@CassouMathPrepa]

Oui !! ptdr, j'etais tellement dans l'envie de parler du cas général, que j'ai meme pas percuté que ca tombé tout seul. Je vais le rappeler en commentaire épinglé.

[@Risu0chan]

Une algèbre (et donc une sous-algèbre) n'est pas généralement un anneau, elle n'a besoin ni d'être unitaire ni d'être associative. Même si c'est le cas ici dans Mn(ℂ).

[@CassouMathPrepa]

@@Risu0chan Hello. Ça se peut mais dans le prgramme de CPGE elles sont supposées commutatives et unitaires. 😉... donc je suis parti sur anneau.

[@bp-jw1mb]

Merci ! 👌