[UT#16] Formules de changement de bases - D’où ?! (Introduction)

Dans cette émission, je procède à un changement de base sur l'exemple d'un endomorphisme cyclique, cela afin d'obtenir une jolie matrice qui le représente.
👉🏻 Dans un premier temps, j'explique comment ce changement de base peut être réalisé manuellement sans connaître les formules dites « de changements de bases ».
👉🏻 Par la suite, je montre comment il est possible de faire apparaître ces formules dans le contexte de cet exemple, puis comment elles permettent, en théorie, de gagner du temps par rapport à la première méthode que j'ai présentée.
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Problématique
0:12 - Annonce du plan
1:03 - Présentation de l'exemple d'illustration
1:44 - Questions préparatoires
3:08 - Méthode #1 - Sans formules !
6:28 - Une critique pertinente…
7:59 - Observation - Esquiver les systèmes
10:46 - Méthode #2 - Avec la première formule
12:21 - Une deuxième critique… 😭
13:43 - Observation - D'une pierre trois coups
15:40 - Méthode #3 - Avec la deuxième formule
17:03 - Outro
👁️ Errata: j'ai oublié les « prime » en indice des matrices de passage sur les deux dernières minutes de la vidéo. J'espère que le code couleur a permis de rattraper le coup !
📰 Note historique: il s'agit d'une réédition d'une antique vidéo de la chaîne, publiée le 30 octobre 2017 - [UT#16-Archive] • [UT#16] Formules de ch...
✒️ Notions abordées: base d'un espace vectoriel, formules de changements de bases, vecteurs, endomorphismes, matrice de passage, système linéaire, coordonnées d'un vecteur dans une base, inverse d'une matrice, combinaisons linéaires, produit matriciel, représentation matricielle d'un vecteur.
🌞 Bonne écoute !
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#BacPlus1 #Algèbre #Cours

[@VIRUS-fv8qy]

Cette video a un timing parfait pour moi ! Merci Oljen pour ces explications très claire comme d’habitude.

[@oljenmaths]

Au plaisir 😁!

[@VIRUS-fv8qy]

@@oljenmaths Au fait il ne manque pas des "prime" sur les b en rouge à 16:10 ? Sur le tableau et dans le petit récapitulatif de Marcel. Mais bon, c'est vrai que le code couleur est explicite.

[@oljenmaths]

@@VIRUS-fv8qy RRraaaaaaahhh, je pensais avoir évité les coquilles 😭! Merci de m'avoir signalé celle-ci ! Toutes les matrices de passage sont mal étiquetées, il faut le prime… Heureusement, c'est partiellement rattrapé par le code couleur 🥹!

[@alimokadem1055]

Bravo professeur pour le partage de vos compétences et de votre savoir

[@smartcircles1988]

Oljen, justement, les changements de bases méritait d'être éclaircit, Merci pour cette mise à jour qui m'a clairement mis à jour et éclaircit sur les changements de bases.

[@Shink42]

Je suis en début terminale avec seulement les bases sur les matrices mais c'était si bien expliqué que j'ai pu comprendre la majorité de la vidéo, merci

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 😁! On peut faire beaucoup de choses en algèbre linéaire dès lors que les bases sont solides. Le piège, c'est vraiment d'appliquer les formules sans les comprendre: en général, c'est le début de la fin 🥲.

[@girianshiido]

Simple et efficace ! 👍

[@almosawymehdi3416]

J'ai beaucoup aimé, continuez ainsi. J'aimerais bien une vidéo qui explique la base dual si vous avez le temps bien sûr. Je sèche sur cette notion qui n'est pas évidente.

[@mikelenain]

Franchement, il faut que je me remette au calcul matriciel. C'est tellement puissant ... Merci pour cette vidéo 😊

[@oljenmaths]

Au plaisir, mathématicien du matin 😇!

[@brams26]

J'aime bien la présentation. Je conseille la vidéo à des candidats qui passent l'agreg interne de maths.

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻!

[@sabrimdaini8535]

Oljen merci beaucoup pour votre effort...pouvez-vous publier une émission sur les espaces vectoriels normés

[@oljenmaths]

Au plaisir ! Pour les espaces vectoriels normés, cela ne m'inspire guère pour l'instant, mais si je rencontre à l'avenir quelque chose de croustillant, je le partagerai, assurément 👍🏻.

[@Mathioux]

top

[@thibaudjacolin-buffard9397]

Bonjour, merci beaucoup pour cette video tres clair et pédagogique comme d'habitude avec les couleurs c'est un régale. Seule question peut être bateau mais, comment est on sur que les matrices dont bous ecrivez les inverses sont toujours inversibles hors de l'exemple ? Merci par avance !

[@oljenmaths]

Salutations et merci 🙏🏻! Il n'y aucune question ⛵ qui ne vaille pas le coup d'être posée 😇. En l'occurrence, lorsqu'on dispose d'une base B d'un espace vectoriel E, ainsi que d'une famille C qui possède le même cardinal, il existe une propriété qui dit que [la famille C est une base de E] si et seulement si [la matrice de la famille C dans la base B est inversible]. Ainsi, dès lors que l'énoncé a réellement proposé une « nouvelle base », la matrice dans laquelle on écrit « les nouveaux vecteurs en fonction des anciens » est inversible, et d'ailleurs, on l'appelle matrice de passage de B à B' 👨🏻‍🏫.

[@thibaudjacolin-buffard9397]

​@@oljenmathsmerci pour ce théorème qui éclair la situation !

[@user-rm5nt2fj8t]

bonjour à 3:40 je n'ai pas compris pourquoi A* la matrice colonne (1,0,0) qui représente u1 donne f(u1) autrement dit pourquoi A * u1 vaut f(u1) c'est la définition ? et la définition de quoi, comment?

[@user-rm5nt2fj8t]

est ce que ce serait parce que f est la fonction canoniquement associée à la matrice A ? là it makes sense.

[@pierreorieult3168]

A c'est la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme f dans une base E. Chaque colonne exprime l'image d'un vecteur de la base E en fonction des vecteurs de la base E, par exemple en haut à gauche on a f(e_1) en fonction de e_1. Quand tu multiplies A par une matrice colonne, cette matrice colonne représente un vecteur dont chaque case est la coordonné selon le vecteur de la base (première case c'est la coordonnée selon e_1). Donc quand tu poses ton produit matriciel tu obtiens une matrice colonne des coefficients dans la base E. Je me doute bien que mon explication n'est pas clair sur la fin et que je vais vite mais c'est compliqué comme ça, l'idéal c'est que tu poses sur une feuille tes matrices et que tu fasses le produit

[@oljenmaths]

Merci beaucoup d'avoir produit cette réponse très claire 🙏🏻!

[@ywenp]

C'est drôle car la 3ème méthode est celle qui est la plus intuitive pour moi. Si M représente une fonction de B -> B (*), et que je veux la transformer en une fonction de B' dans B', alors je dois forcément avoir une conversion f : B' -> B dans un sens et g : B -> B' dans l'autre sens. De ça découle naturellement que M' = g o M o f (conversion puis opération puis conversion dans l'autre sens). Le passage d'une base à l'autre est un isomorphisme, donc g est ici nécessairement l'inverse de f, et f étant donnée par l'énoncé (et linéaire), alors elle a une matrice associée F forcément inversible, et le résultat est donc: M' = F^-1 . M . F (*) B étant un petit abus de notation pour "l'ensemble des matrices Nx1 représentant un vecteur de R^N dans la base B"

[@oljenmaths]

Voilà, ce petit aller-retour est une excellente manière de comprendre la chose 😇.

[@NoahDAOUSTGRANDNE]

La matrice doit forcément être un endomorphisme pour les techniques ?

[@oljenmaths]

Toute matrice carrée représente un endomorphisme, et ce que je présente est donc applicable 👍🏻.

[@NoahDAOUSTGRANDNE]

@@oljenmaths je savais pas du tout merci beaucoup

[@fredericmazoit1441]

C'est rigolo mais je pense avoir toujours eu un 4e point de vue. Soient - B et B' 2 bases d'un espace vectoriel E (dimension finie, tout ça). - f: E -> E un endomorphisme. - M et M' les matrices de f dans les bases B et B'. - x un vecteur de E. - X et X' les représentations de x dans les bases B et B' Par construction, M.X est la représentation du vecteur f(x) dans la base B. Maintenant, si on veut tout exprimer dans la base B', que faire ? - On part de X'. - On « transforme » X’ pour l’exprimer dans la base B. Pour cela, on calcule P_{B, B’}.X’ dont on sait que c’est X. - On calcule M.(P_{B, B’}.X’) qui est la représentation de f(x) dans la base B. - On reconverti le tout dans la base B’ donc on calcule P_{B’, B}.(M.(P_{B, B’}.X’)). On a donc M’.X’=P_{B’, B}.(M.(P_{B, B’}.X’))=(P_{B’, B}.M.P_{B, B’}).X’. Et comme ce résultat est indépendant de X’, alors M’=P_{B’, B}.M.P_{B, B’}. Pour obtenir la formule M’= P_{B, B’)^{-1}.M.P_{B, B’}, il ne reste plus qu’à réaliser que P_{B’, B}=P_{B, B’}^{-1}. Mais en fait, c’est évident parce que par construction P_{B, B’}.P{B’, B}.X revient à prendre la représentation du vecteur x dans la base B, en tirer la représentation dans la base B’ puis exprimer le résultat dans la base B, ce qui est forcément X. Donc P_{B, B’}.P{B’, B}=Id. La dernière étape consiste à comprendre ce qu’est la matrice P_{B, B’}.

[@oljenmaths]

C'est assurément une manière sûre de voir la deuxième formule de changement de base: pour gérer les calculs dans une base B alors qu'on a ce qu'on veut dans une base C, on fait: - Un aller de B vers C, - La transformation dans la base C, - Un retour de C vers B. Après, il faut s'assurer que cette intuition est compatible avec les outils de l'algèbre linéaire, et il y a plein de moyens de s'assurer que c'est le cas. De mon côté, j'ai choisi de présenter une approche élémentaire, sur un cas concret, au moins pour démystifier ces formules avant de pouvoir passer à davantage de théorie 👍🏻.

[@FreeGroup22]

Mais pitié, faut arrêter avec cette notation des matrices de passages

[@hogokage2433]

Pourquoi ?

[@FreeGroup22]

@@hogokage2433 Les raisons ? on dit matrice de passage de B à C pour Mat_C,B(Id) , c'est à dire la matrice qui transforme des vecteurs écrit dans la base C en des vecteurs de la base B, autrement dit l'inverse complet de ce que ça veut dire, et en plus de ça on ré-inverse le sens en écrivant de droite à gauche les bases en indice, et quand tu les utilises pour la formule sur les endo, c'est un bordel monstre pas dutout intuitif. La notation classique MatB,C(id) est bien meilleure, quand tu fais une composition MatB(u)=MatC,B(id)×MatC(u)×MatB,C(id) c'est bien plus intuitif à propos des bases: tu as u:B->B = id: C->B o u: C->C o id:B->C

[@oljenmaths]

Ça a toujours été une notation qui convient aux uns et pas aux autres. Chacun a son avis, comme pour le port de jeans slim chez la gent masculine 🤷🏻‍♂️.

[@FreeGroup22]

​@@oljenmaths oui enfin là le choix est binaire et y'en a un des deux qui est évident

[@oljenmaths]

@@hogokage2433 Vu que @FreeGroup22 a développé, je te donne les arguments dans l'autre sens: quand tu écris la deuxième formule de changement de base, tu vois immédiatement une correspondance de type « Chasles »: mat_C = P_C_B * mat_B * P_B_C. Et cette notation est parfaitement compatible avec les vecteurs qui pourraient intervenir dans une multiplication à droite: quand tu écris mat_C * X = P_C_B * mat_B * P_B_C * X, il est évident, de chaque côté de l'égalité, que X doit correspondre aux coordonnées d'un vecteur x dans la base C, étant donné que c'est la base que tu vois le plus à droite dans les indices de part et d'autre. L'important, ce n'est pas les notations, c'est de comprendre ce que tu fais: choisis la notation qui te fait écrire des choses justes systématiquement, tout simplement 😉.