Matrix invertieren mit Gauß-Jordan-Verfahren Einfach Erklärt + Beispiel

[@wasibsehri4146]

Frage mich echt, warum ich dich vorher nicht entdeckt habe... morgen werde ich meine Klausur schreiben und schaue mir gerade ununterbrochen deine Videos an .. und das geniale: ich verstehe einfach ALLES !! Hammer!

[@MathePeter]

Viel Erfolg!! Sag gern Bescheid, wie es gelaufen ist :)

[@wasibsehri4146]

MathePeter bestanden !! :)

[@MathePeter]

Hammer!! Herzlichen Glückwunsch! :)

[@nesslange1833]

Wenn man einfach auf das Video geht, weil man den Typen mag und es nebenbei eine super Wiederholung ist.

[@libelldrian173]

Wie viele Whiteboardmarker brauchst du? Peter: Ja

[@niklasmuller4372]

Er schmeißt ja auch nach jedem Video einen weg. Da brauch er ausreichend Munition xD

[@Brokko_Lee]

Hervorragendes Video als Ergänzung zum Lehrmaterial. Vielen Dank.

[@realsmon6875]

Super Video mit toller Erklärung, vor allem der Tipp, dass man nur mit dem Diagonal-Element arbeiten darf hat mir sehr weitergeholfen! 👍

[@babuthe5014]

Danke für das Video hat mir sehr geholfen

[@juancamilozschommler5358]

Ein echtes Talent der Peter und sehr sympathisch. Hoffe Du wirst nicht übermütig bei all dem Lob 😜. Aber ganz ehrlich Du hast es einfach drauf 💪💪 So gut erklären hab ich noch niemand gesehen und mit so viel Begeisterung. Ist echt ansteckent 👍

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank!

[@manuelmura5186]

Deine Videos sind einfach der Hammer, bin ein grosser Fan. Es wäre tool wenn du ein Video machen kannsz, welches ermöglicht die Fläche/ Volumen von 2 Funktionen berechnen. Bei dem Volumen mit allen verschiedenen Methoden (Ring, Schale....) mfg Manuel

[@7konsti7sanity48]

Wir brauchen Merch!

[@lxn602]

küss doch dein Herz Peter rettest mir Mathe 2 :*

[@MathePeter]

Sehr gern! Freut mich, dass ich weiter helfen kann!

[@wasibsehri4146]

Ach und ich sehe gerade erst, dass das Video vor kurzem veröffentlicht wurde :D perfektes Timing! Danach habe ich gerade gesucht

[@melwin9537]

Bitt ich brauche Hilfe! Was mache ich wenn ich bei meiner Matrix eine Null in der Mitte habe? Wie soll ich die denn in die Einheitsmatrix bringen?

[@MathePeter]

Dann kannst du einfach Zeilen tauschen. Dann aber auch auf der rechten Seite.

[@berzanbulut3457]

King Peter!

[@User72272]

Die Fähigkeit so erklären zu können ist ein absolutes TALENT! WOW! Ich weiß nicht wie ich dir danken soll.

[@miss-bb2en]

Du bist der Beste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[@sonaproges1141]

8:20 ich verstehe nicht warum -2 - 2 =0 wird. Wären es nicht -4 ?

[@MathePeter]

Achtung: -2 - (-2) = -2 + 2 = 0.

[@tedtofu5563]

MathePeter ich liebe dich ❤️

[@jeudylayadel1105]

Mein gottttt, du bist der Hammer am Erklären!!! Weiter so :)

[@fairaoarlen]

Hi, kurze Frage, was mache ich, wenn meine Determinante Null ist und ich aber weiß, dass es eine Kehrmatrix gibt?

[@MathePeter]

Dann hast du dich verrechnet.

[@fairaoarlen]

Hmmm, werde es nochmal durchprobieren, danke 😅

[@sshaseeban]

Danke brudda kuss

[@AliothAncalagon]

Vielen Dank für deine Mühe. Es spart unfassbar viel Zeit so eine anschauliche und kompakte Herleitung zur Verfügung zu haben. Zeit die man dann investieren kann um Dinge zu erlernen, die schwieriger zu verstehen sind!

[@AliothAncalagon]

@@MathSMR42 Nach mathematischer Terminologie hast du völlig Recht. In dem Fall habe ich schätze ich eher die umgangssprachliche Form dieses Begriffes verwendet. Auf nem Mathematikchannel, womöglich wirklich nicht die beste Wahl.

[@gyzbanksitin]

stark bre

[@kelebek1104]

Hey könntest du auch mal ein Video zur Matrixdarstellung linearer Abbildungen machen ?

[@MathePeter]

Na klar ;)

[@kelebek1104]

MathePeter 🙏🏼🙏🏼

[@Sarah-bv5kd]

Boah du bist echt gut, du erklärst sehr gut. Warst .ein Backup, wenn ich die normalen erklärvideos nicht verstehe, jetzt bist du die Person, bei der ich meine erklärvideos anschaue. DANKE

[@r1di3169]

Ich finde es super, dass du zu den Verfahren, die du ansprichst (Adjunkten-Verfahren und Falksches Schema) ebenfalls Videos hochgeladen hast. Jetzt erst mal alle anschauen. Danke :)

[@janak.7688]

Musste mir den Stoff selber beibringen, weil ich oft krank war, dank deinen Videos hab ich es verstanden. Vielen Dank!!! :)

[@sarah-pe8sx]

junge junge. einfach nur danke. hab heute eine Klausur geschrieben und gestern das video dazu angeschaut - heute dazu die aufgaben richtig gelöst. thaaaaaanks

[@annak5725]

Woooooww, wie oft ich versucht habe Matrizen zu invertieren und es wollte einfach nie funktionieren und wenn dann kam eine komplett andere Matrix als in der Lösung raus. Vielen vielen Dank für diesen Bomben Trick! Inverse bilden wird jetzt erstmal abgehakt! 😯❤️

[@mememememememememe]

Uni Mathe wurde mir noch nie so einfach erklärt ich bin baff

[@superueli2714]

Nice👍

[@werner0prinz]

Deine Videos sind einfach bestens! Sehr gut und in Deiner sympathischen Art klar erklärt!

[@doublen3097]

Ich denke nicht, dass es einen anderen geben kann, der so gut erklärt wie du. VIELEN DANKK. du bist toll!!

[@imDaavz]

Lieber MathePeter, ich schreibe in der Regel eigentlich nie Kommentare, musste aber aus gegebenem Anlass eine Ausnahme machen. Ich hatte schon in der Oberstufe immer Probleme mit Mathe gehabt und hab mich einfach mit abgefunden drin ,,schlecht'' zu sein. Habe in meinem Studiengang aber auch die Veranstaltung Mathematik (für Wiwis), was mir in der Vergangenheit schon etliche schlaflose Nächte bereitet hat, so ganz nach dem Motto: Wie soll ich das jemals schaffen? Hab mich das letzte Semester rangetraut und hab es jetzt (auch wenn knapp) endlich bestanden und somit fiel mir auch eine große Last von den Schultern. Beim Bestehen hast du eine große Rolle gespielt und bin dir deshalb auch unendlich dankbar! LG

[@MathePeter]

Freut mich wirklich sehr, dass ich einen kleinen Teil beitragen konnte. Starke Leistung!! 🚀🥳

[@DianaKot-z7f]

die beste Erklärung! danke sehr!

[@tmu743]

Und was macht man bei M= (1008 0302 0053 0000) mit der 8-2-3? Jede HD Tauschung "rutscht" in die schon vorgenommene 0-er Symmetrie . Programm technisch nicht verwertbar es , sei denn man hat keine "0" auf der HD und muss die Zeilen nicht tauschen ...

[@MathePeter]

Eine quadratische Matrix hat genau dann eine Inverse, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Wenn schon eine gesamte Zeile aus Nullen besteht, dann ist ihre Determinante gleich Null. Du kannst hier tauschen, wie du willst, es existiert keine (multiplikativ) inverse Matrix.

[@tobias1518]

Vielen Dank besser kann man es nicht erklären

[@svenonsky]

Hi, ich beschäftige mich gerade mit der HillCipher, das heißt, der Herleitung einer inversen Matrix in einem Zahlenring (Modulo). Könntest Du vielleicht hierzu ein Video machen?

[@MathePeter]

Da müsste ich mich selbst erst mal einlesen. Aber ich schreibs mir gern mir auf die Liste :)

[@ManuelHuber-t1r]

Wenn man Zeilen vertauscht bevor man mit dem invertieren beginnt, muss man dann die entsprechenden Zeilen der Einheitsmatrix die neben dran steht auch tauschen ? :D

[@MathePeter]

Ja, weil das ist auch eine der elementaren Zeilenumformungen und müssen genauso mit der Einheitsmatrix durchgeführt werden.

[@theunknownguy9502]

Wie immer Danke mein Lieber :)

[@werner0prinz]

Vielen Dank für Deinen starken Tipp, den Du hier im Video gegeben hast. Ich habe mich an einer frei erfundenen 6 x 6 Matrix mal versucht. Natürlich habe ich zuerst die Hauptdeterminante nach Laplace bestimmt, und sie war 145, also ungleich null. Und als ich endlich fertig war, wollte ich es ausprobieren, ob alles stimmt. Leider waren nur die ersten zwei Einträge richtig. Denn der erste ergab 1 und der zweite 0 aber die anderen ergaben andere Ergebnisse. Da erinnerte ich mich an dieses Video hier, wo Du ausdrücklich erwähntest, daß man nicht einfach Zeilen tauschen sollte, es sei denn auf der Hauptdiagonale läge eine 0. Und genau zu diesem Fehler habe ich mich hinreißen lassen, indem ich also doch Zeilen einfach vertauschte. Aber dann bearbeitete ich die Zeilen nur mit ihren jeweiligen Vielfachen anderer Zeilen und siehe da, es hat geklappt. Man konnte es auch am Nenner erkennen, denn der stellt ja schließlich die Hautdeterminante dar. Es war aber eine mühselige Rechnerei gewesen, obwohl die Einträge der Matrize absichtlich höchstens 3 waren.

[@MathePeter]

das glaub ich dir gern, allein schon eine 6x6 Matrix macht einfach keinen Spaß. Da schleichen sich dann irgendwann kleine Schusselfehler ein und keiner kann am Ende mehr mit vernünftigem Aufwand auf Fehlersuche gehen. Kenn ich alles selbst haha

[@werner0prinz]

@@MathePeter Das mit den Schusselfehlern hast Du sehr treffend beschrieben. Genauso ist es mir da auch ergangen, mit diesen zahllosen Rechnereien. Noch einmal mute ich mir so was nicht mehr zu. Undenkbar wäre es gewesen, man hätte das Inverse einer solchen Matrix zu lösen mit dem Adjunkten-Verfahren versucht. Natürlich ist es dennoch ein Erfolgserlebnis, wenn man so was mal hinbekommen hat und habe es auch gleich zu meinen Sammlungen in Schönschrift abgelegt. Dieses Mißgeschick beim Gauß-Jordan-Verfahren habe ich mir gut gemerkt, aber dennoch hätte ich was Matrizen betrifft, eine Frage an Dich. Es geht dabei nicht um diese Angelegenheit, sondern um die Geschichte mit den Rängen und der Lösbarkeit bei einem LGS, konkreter bei einem homogenen (n,n) LGS. Zurzeit bin ich damit beschäftigt eine Fülle von Übungsaufgaben aus Papulas Buchreihe „Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“ durchzurechnen. Was die Zeilen-Stufen-Form angeht, habe ich bei dem Gauß-Verfahren die Zeilen aber vertauscht, im Gegensatz zum Gauß-Jordan-Verfahren, und zwar am Anfang schon, (er in seinem Lösungsabschnitt übrigens auch, aber anders). Ich, weil eine Zeile mit 0 bereits anfing, um damit schon die erste Zeilen-Stufenform billig hinzubekommen. Nachdem ich die erste Spalte dann (bis auf den ersten Eintrag natürlich) zu 0 gemacht hatte, habe ich dann nochmals zwei Zeilen - die mit 0 anfingen - vertauscht, wegen der besseren Handhabung des Pivot-Elementes. Denn es hieß da, Zeilen und Spalten dürfen miteinander vertauscht werden ohne, daß sich dabei der Rang verändern würde. Als ich nun mein Ergebnis mit Papulas Lösung verglichen habe stellte ich fest, daß die Ergebnisse unterschiedlich waren, was das Vielfache der einzelnen xn-Einträge des Lösungsvektors X anging. Obwohl es sich ja sowieso um die triviale Lösung dabei gehandelt hat, was ja den Null-Vektor ohnehin zur Folge hätte, spielt es dabei auch keine Rolle mehr dachte ich mir. Denn die Determinante det(A) war ja ≠ 0 und somit regulär, was also nur trivial lösbar bedeutet. So gesehen wäre es zwar egal gewesen. Papula hat auch bei der Umformung immer seine einzelnen Schritte im Lösungsabschnitt gezeigt und ist dabei nur anders vorgegangen als ich. Aber auch seine Schritte habe ich nachgerechnet und stimmen natürlich. Nun zu meiner Frage: Habe ich da mit den Vertauschungen wieder mal etwas falsch gemacht oder spielt es bei den homogenen LGS da wirklich keine Rolle mehr?

[@MathePeter]

Du darfst jeder Zeit Zeilen tauschen und du darfst jederzeit Spalten tauschen. Das hast du ja auch schon verstanden und genutzt, das funktioniert. Zeilen dürfen allerdings nicht mit Spalten getauscht werden, war mir jetzt nicht sicher, ob du das nur ungünstig formuliert hast. Außerdem darfst du jederzeit eine Zeile mit einem beliebigen Faktor versehen, also einfach auch *2 rechnen, wenn du Lust drauf hast. Das ändert nichts am Endergebnis.

[@werner0prinz]

@@MathePeter Ja genau! Bei einem anderen quadratischen LGS (diesmal ein inhomogenes LGS) war es ganz ähnlich. Am Ende waren da die Einträge in der Dreiecksmatrix auch wieder anders, als in seinem Buch. Aber die Lösungen xi des Lösungsvektors X stimmten alle überein! Nein nein, Zeilen mit Spalten habe ich noch nie getauscht! Ich weiß, der eine Satz war etwas mißglückt. Entschuldigung! Nochmals vielen Dank für Deine erstklassige Hilfe, hat mir sehr geholfen.

[@werner0prinz]

@@MathePeter Hallo Peter, im Zuge meiner Beschäftigung mit dem Thema linearer Algebra (Autor Lothar Papula) ist mir aufgefallen, daß ich in dem ersten Kommentar hier bei Dir evtl. etwas Falsches geschrieben haben könnte. Es betrifft den Kommentar, der so anfängt „Das mit den Schusselfehlern...“. Dabei geht es um das folgende Fragment eines Satzes im vorletzten Absatz: „Obwohl es sich ja sowieso um die triviale Lösung dabei gehandelt hat, was ja den Null-Vektor ohnehin zur Folge hätte...“ Du weißt ja, es ging dabei um die Lösung eines homogenen LGS vom Typ (n × n) mit der regulären Determinante det(A) ≠ 0, also der trivialen Lösung. Jetzt habe ich aus Papulas Buch erfahren, daß bei der linearen Unabhängigkeit eines LGS auch nicht der Null-Vektor enthalten sein darf. Weil nach der Null-Produktregel der Null-Vektor ja sowieso immer null ist, aber der Parameter von null dabei durchaus verschieden sein könnte, also λ×0 wäre. Dann würden eben nicht alle Koeffizienten verschwinden, was aber für eine Lineare-Unabhängigkeit Grundvoraussetzung ist, damit keine Linearkombinationen mit anderen Vektoren zustande kommen können. Was meinstt Du dazu?

[@malteiwa]

Super Video. Vielen dank! Weiter so!

[@jordannefeujio411]

hey Peter gutes video! würdest du auch bitte eine machen zu der pseudoinverse?

[@MathePeter]

Danke! Ich schreibs mir mit auf die Liste!

[@soufianeelmachkouri2362]

Gut erklärt , danke

[@alisy6834]

Richtig vielen Dank

[@moritzgerhardt6381]

Hey Peter, hättest du vielleicht einen Edding für mich?

[@MathePeter]

Paar hab ich noch rumliegen haha

[@majbitt8832]

MathePeter > Daniel Jung

[@Liscla27]

super gut erklärt :) Mathe mündlich 🤝🤝

[@MathePeter]

Viel Erfolg! 😄

[@l3nn13]

Hey, wie wärs mal mit nem Video zu Hilberträumen und/oder Fundamentalmatrizen (bzw. quadratische Form, bilinear Form und hermitsche Sesquilinearform) ;)

[@l3nn13]

ps:geiles video

[@MathePeter]

Danke! Ich kümmere mich wieder um die interessanten Themen, wenn ich die Grundlagen einmal gefilmt hab. Sonntags wird trotzdem weiterhin ein Video auf Uni Niveau veröffentlicht :)

[@liliya2598]

So ein Ehrenmann🙏🏻

[@vitamine6265]

top DANKE

[@xFrankHarrisx]

wird beim zeilentausch nicht das vorzeichen geändert?

[@MathePeter]

Nur wenns um die Berechnung von Determinanten geht. Die Lösung eines LGS bleibt gleich.

[@xFrankHarrisx]

​@@MathePeter alles klar danke für den tipp

[@johannes.285]

Ist es möglich spalten zu vertauschen beim Gauß jordan Verfahren?

[@MathePeter]

Ja, wenn du auch die Bezeichnung im Tabellenkopf mit vertauschst.

[@johannes.285]

@@MathePeter Ok danke aber was meinst du mit Bezeichnung ?

[@MathePeter]

Oben steht doch x1, x2, x3... Wenn du jetzt die zweite und dritte Spalte vertauschst, dann musst du einen neuen Tabellenkopf anfertigen mit x1, x3, x2... Edit: Sry ich hab ganz überlesen in welchem Video wir hier sind. Beim Gauß-Jordan-Verfahren geht das allgemein, beim Invertieren von Matrizen würde ich davon abraten.

[@johannes.285]

@@MathePeter okay alles klar danke 👍🏼

[@yyxx4174]

Was ist wenn ich in einer Zeile nur noch nullen habe. Wie mache ich dann weiter?

[@MathePeter]

Dann ist die Matrix nicht invertierbar

[@yyxx4174]

@@MathePeter Also die Matrix habe ich nicht gegeben sondern während dem errechnen der Nullstellen ist eine Zeile genauso wie die andere geworden und dann komme ich nicht mehr weiter.. Weil ich dann die Null aus der Diagonalen nicht raus bekomme. Selbst mit Zeilentausch.

[@MathePeter]

Ich versteh nicht ganz was du vor hast. Du hast deine Frage unter dem Video zum Invertieren einer Matrix gepostet. Ich gehe also davon aus, dass du eine Matrix invertieren willst. Wenn beim Invertieren einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren eine Nullzeile entsteht, dann ist die Matrix nicht invertierbar. Mehr kann ich zu den gegebenen Informationen leider nicht sagen.

[@Moriarty1982]

Gibt es eigentlich eine Möglichkeit auch noch anders an die obige Lösung zu kommen außer die Zeilen jeweils durch {2, -2, -2} zu dividieren? Also konkret: {{1,0,-1},{0,-1,1},{1,1,0}} * M = {{0.5,0,-0.5},{0,0.5,-0.5},{-0.5,-0.5,0}}

[@MathePeter]

Ich seh grad nicht den Zusammenhang, ist das deine eigene Aufgabe? Für das Invertieren selbst kannst du auch das Adjunktenverfahren nehmen.

[@Moriarty1982]

@@MathePeter was meinst du mit eigener Aufgabe? Ja könnte ich, nur beantwortet das meine Frage nicht. Eigentlich wollte ich ja nur wissen ob man die Divisionen aus der Matrix raus ziehen kann? Also ob es ein Verfahren gibt was diese Zeilendivisionen durchführt, nur eben das man dafür eine Matrix an das vorletzte Ergebnis multipliziert

[@MathePeter]

Ah jetzt seh ich was du meinst. Ja gibt es. M = {{1,0,-1},{0,-1,1},{1,1,0}}^(-1) * {{0.5,0,-0.5},{0,0.5,-0.5},{-0.5,-0.5,0}}

[@Moriarty1982]

@@MathePeter korregiere mich bitte wenn ich falsch liege, nur wenn M = A^((-1)^-1) * U ist, würde dann nicht auch gelten das M = A * U ist? Immerhin wird bei dem was Du sagtest, die Inverse, der Inversen gebildet. Müsste dann nicht auch gelten D = A^-1 * U * A Also, dass man die Matrix diagonalisieren kann?

[@MathePeter]

Du willst die Matrix U diagonalisieren mit Hilfe der Matrix A, sodass auf der Hauptdiagonale von D die Eigenwerte von U stehen, die du aber erst noch aus M berechnen musst, das sich wiederum aus dem vorletzten Schritt des Tableaus entstammt? Versteh ich das richtig? Wenn du eine konkrete Theorie hast, schreib am besten ausführlich deine Gedanken oder schreib mir, wenn du ein konkretes Ziel verfolgst. Ich kann sonst den Ausführungen schlecht folgen, weil ich versuche in mehrere Richtungen denken wie ich dir am besten weiter helfen kann.

[@updatedotexe]

Es triggert mich ein bisschen, dass du am Ende nicht - 1/2 aus der invertierten Matrix ausgeklammert hast. Das wäre dann so hübsch geworden :D

[@MathePeter]

Ja das stimmt, mach ich normaler Weise auch. Wollte das Video nicht noch länger machen, sonst schauts am Ende keiner mehr 😂

[@sahinsaka2303]

Dieses verfahren wurde heute von unserem übungsgruppenleiter angewendet, was ist deiner meinung nach das beste und einfachste verfahren dafür?

[@MathePeter]

Für 2x2 Matrizen das Adjunkten Verfahren. Für 3x3 Matrizen sind Adjunktenverfahren und das hier gleich schnell und ab 4x4 Matrizen empfehle ich nur noch das hier.

[@santiagob1288]

Hallo, deine Videos sind so hilfreich, Kompliment! Allerdings habe ich noch eine Frage. Darf man hierbei während einer Berechnung Zeilen- und Spaltenoperationen verwenden oder muss man sich vorher auf eine festlegen? Vielen Dank und liebe Grüße

[@MathePeter]

Vielen Dank! Es sind nur Zeilenumformungen erlaubt.

[@philipppahl6903]

Da ist doch ein Rechenfehler in dritten Rechenteil oder? 🤔 Um die Null in der ersten Zeile zu bekommen: 2*I-II 2* (-1) -2 ist doch nicht null? 6:31

[@MathePeter]

Minus Minus ergibt wieder Plus. 2*(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0

[@christopherhohmann3392]

Super Video! Gibt es auch ein Beispiel mit dem Gaußverfahren wenn eine Variable in der Matrix vorkommt (beispielsweise in der ersten Zeile einer 3x3 Matrix: a -3 5 ) das erschließt sich mir leider nicht.

[@MathePeter]

Ja klar, schau dir mal mein Video zur Lösbarkeit von LGS in Abhängigkeit von Parametern: kzbin.info/www/bejne/b5_JhH2hi5ikfJY

[@Mina-up7bk]

Was mir gerade auffällt, eigentlich ist ja Subtraktion im Gauß-Algoritmus nicht erlaubt. Ich denke mal du hast dann zB eigentlich II*= 2I +(-1)xII gerechnet? Hat mich beim Schauen kurz irritiert :')

[@MathePeter]

Genau, jede Addition ist ja auch eine Subtraktion und umgekehrt. Gauß selbst hat gesagt: "Jede Linearkombination von Zeilen ändert die Lösungsmenge nicht". Also laut dem Erfinder ist auch Subtraktion erlaubt.

[@laurasimmons2371]

Braucht man beim Vertauschen der Zeile kein "-" Vorzeichen?

[@laurasimmons2371]

Oder gilt das nur für Berechnen der Det

[@MathePeter]

Genau das gilt nur bei der Berechnung der Determinante.

[@laurasimmons2371]

@@MathePeter alles klar! Vielen vielen Dank😁