Метод вращения. Метод Якоби. Поиск собственных значений матрицы.

[@OnTheWayToTheDirection]

Команды для генерации анимации: manim main.py play_whole_scenario - полный рендер manim main.py -pql - быстрый рендер

[@arsenozd]

А что делать, если диагональные элементы матрицы равны дур другу?

[@OnTheWayToTheDirection]

Python Manim скрипт, с помощью которого созданы некоторые анимации: from manim import * import math from math import cos from math import sin class MethodYacoby(MovingCameraScene): def construct(self): A = np.array([[1, 2, -1], [2, 3, 4], [-1, 4, 5]]) eps = 0.0001 # точность n = 3 eigenvalues = np.zeros(n) # Инициализируем вектор собственных значений #- self.play( Write(Text("Матрицы А:").to_corner(UL).scale(0.5)), Write(Text("Матрицы H:").to_corner(UR).scale(0.5)) ) #- # Повторяем вращения Якоби, пока не достигнем требуемой точности iteration = 0 while True: # Находим наибольший по модулю внедиагональный элемент max_off_diag = 0 p = q = 0 for i in range(n): for j in range(i+1, n): if abs(A[i, j]) > max_off_diag: max_off_diag = abs(A[i, j]) p, q = i, j #- _A = Matrix(A.round(2)).scale(0.6).move_to(LEFT*4.7 + DOWN*3*iteration) matrix_label = Text(f"Матрица A:",font=BOLD, font_size=13).next_to(_A, UP) i = Text(f"Итерация: {iteration}",font=BOLD, font_size=13).next_to(_A, LEFT).rotate(PI/2) self.play(Write(i)) self.play(Write(matrix_label)) self.play(Write(_A)) #- # Если внедиагональные элементы пренебрежимо малы, мы достигли сходимости if max_off_diag < eps: eigenvalues = np.diag(A) break # Вычисляем угол вращения Якоби theta = 0.5 * math.atan2(2 * A[p, q], A[p, p] - A[q, q]) #- inf_label = Text(f"Индексы максимального недиагонального элемента p = max_i = {p} q = max_j = {q} Максимальный недиагональный элемент: {max_off_diag}", font=BOLD, font_size=13).move_to(DOWN*3*iteration + UP/2) self.play(Write(inf_label)) #- #- ang_label = Text(f"Угол поворота = {round(theta, 2)} [радиан]",font=BOLD, font_size=13).next_to(inf_label, DOWN) self.play(Write(ang_label)) #- #- error_label = Text(f"Погрешность: {max_off_diag}, Требуемая точность: {eps}",font=BOLD, font_size=13).next_to(ang_label, DOWN) self.play(Write(error_label)) #- # Строим матрицу вращения H H = np.eye(n) # ? """ H = np.eye(3) = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] """ H[p, p] = H[q, q] = math.cos(theta) H[p, q] = -math.sin(theta) H[q, p] = math.sin(theta) #- _H = Matrix(H.round(2)).scale(0.65).move_to(RIGHT*5.5 + DOWN*3*iteration) matrix_label = Text(f"Матрица поворота H:",font=BOLD, font_size=13).next_to(_H, UP) self.play(Write(matrix_label)) self.play(Write(_H)) #- self.play( self.camera.frame.animate.move_to(DOWN*3*(iteration+1)) ) # Применяем вращение к матрице A A = H.T @ A @ H iteration += 1 eigenvalues[0] eigenvalues[1] eigenvalues[2]

[@OnTheWayToTheDirection]

Алгоритм Якоби python: ```python import numpy as np import math def jacobi_eigenvalues_H(A, eps=1e-10): n = 3 eigenvalues = np.zeros(n) # Инициализируем вектор собственных значений iteration = 0 # Повторяем вращения Якоби, пока не достигнем требуемой точности while True: # Находим наибольший по модулю внедиагональный элемент max_off_diag = 0 p = q = 0 for i in range(n): for j in range(i+1, n): if abs(A[i, j]) > max_off_diag: max_off_diag = abs(A[i, j]) p, q = i, j # Если внедиагональные элементы пренебрежимо малы, мы достигли сходимости if max_off_diag < eps: eigenvalues = np.diag(A) break # Вычисляем угол вращения Якоби theta = 0.5 * math.atan2(2 * A[p, q], A[p, p] - A[q, q]) # Строим матрицу вращения H H = np.eye(n) # ? H[p, p] = H[q, q] = math.cos(theta) H[p, q] = -math.sin(theta) H[q, p] = math.sin(theta) print("Матрица поворота:") print(H) # Применяем вращение к матрице A A = H.T @ A @ H iteration += 1 return eigenvalues A = np.array([[1, 2, -1], [2, 3, 4], [-1, 4, 5]]) eigenvalues = jacobi_eigenvalues_H(A) print("Собственные значения:", eigenvalues) ```