[미분방정식] 6편. 중첩의 원리 (선형성)

[@Shalpha7]

복학하고 공업 수학 다 까먹었는데 진짜 살려주셔서 감사합니다... 영상 하나하나 다 너무 감사합니다. ㅜㅜ

[@bosstudyroom]

ㅎㅎ 저도 댓글남겨주셔서 감사합니다 ^_^

[@da8854]

너무 쩔어요. 교수님께서 자세히 설명 안해주시고 공식만 알려주셔서 당황했는데 이거 듣고 바로 이해됐어요! 감사합니다.

[@bosstudyroom]

도움이 되어드렸다니 기쁩니다 댓글 남겨주셔서 감사드려요 :)

[@helloimdongyeop]

중첩이 왜 되는지 수업만으로는 이해가 어려웠는데 (x-3)(x-1)=0을 사례로 들어주신 후로 이해가 잘 되었네요!!

[@bosstudyroom]

ㅎㅎ 댓글 감사드려요 :)

[@인간향첨가]

안녕하세요 y^-1 이 포함돼있으면 비선형인 것 맞나요? 예를 들면 2:40 y^(1/2) 요거 대신 y^-1가 들어갔을 때..

[@김유황오리-n7n]

네. 그러면 y=0에서 해가 존재하지 않는 비선형 미분방정식이 되겠네요.

[@bosstudyroom]

대신 답변 감사합니다!

[@bosstudyroom]

오리님께서 말씀해주신 것 처럼, 비선형이 맞고 y=0에서는 해를 정의할 수가 없습니다 :) 질문댓글이 요즘 많아서 늦게 답변드린점 양해부탁 드립니다 ㅜ

[@takken5748]

02:31

[@이게나야-f3v]

응용해서 3차 미분방정식일 경우 y=c1y1+c2y2+c3y3가 해인 것이고 고계미분방정식을 해결할 때는 n계일 경우 n개 만 큼 더해주면 해(y=c1y1+...+cnyn) 가 완성이 되겠죠?

[@양춘삼-j8j]

미분방정식에서 선형성의 정의가 무엇이길래 선형미분방정식에서 저렇게 표현되는지, 설명이 없어서 그 부분이 궁금하네요!

[@jkkim2035]

감사합니다 ㅠ

[@bosstudyroom]

댓글 정말 감사드립니다 :)

[@남경-m4d]

6:33 c가 미분에 왜 무효화 되는지 모르겠어요

[@이다원-f6o]

상수니까요…?

[@minyeeun1016]

혹시 위 영상에서의 선형미분방정식은 y'' 이어서 해가 두개만 나오는건가요? y''' 가 포함된 선형미분방정식에서는 해가 3개 나오는건가요..?

[@bosstudyroom]

네 맞습니다. +) 참고로 덧붙이자면, 선형대수학의 개념에 따라 n계 선형상미분방정식의 해공간의 기저는 n개이기 때문입니다.

[@minyeeun1016]

@@bosstudyroom 아하! 감사합니다 !~~

[@blackball8473]

(x-3)(x-1) = 0 의 해를 쓸 때는 x = 3 or 1이라 쓰는데 왜 굳이 선형 제차 미분방정식의 해는 두 해를 같이 쓰는 건가요? or 이면 안되는 건가요?

[@bosstudyroom]

영상에서 수식으로 보인 것처럼, 선형성에 의해서 그렇습니다. 댓글의 예와 같은 2차 방정식은 x=3이거나 x=1 이라면 그것은 단지 한 가지 해가 3이고 또 다른 해가 1인 것이지, 3과 1을 더한 4는 해가 되지 않지요. 하지만 지금 다루는 것은 '선형' 미분방정식이므로 해 y_1과 y_2 각각이 같은 선형 상미분방정식을 만족한다면 미분 연산의 선형성에 의해 (초기조건에 의해 결정 가능한 상수 C와 D에 대해서) C(y_1) + D(y_2)도 선형 상미분방정식을 만족하게 되는 것이에요. 이는 마치, 차원이 N인 유클리드 벡터공간에서, 서로 직교하는 기저 벡터 N개가 그 공간에 속하는 임의의 벡터를 표현 가능한 것과 같은 원리입니다. 해당 선형 상미분방정식의 해의 함수공간을 y_1과 y_2라는 기저가 생성합니다.

[@blackball8473]

@@bosstudyroom 마지막 예시 정말 최고입니다. 사랑합니다 형님

[@chance_attack]

처음에 y앞에x나 상수로만 이루어진 식이 선형이라 하셨는데 전공책에서는 종속변수인 y가 1차로만 나타나는게 선형이라 하여서 헷갈리네요 ㅜㅜ 다른 개념인건가요 ?

[@김유황오리-n7n]

선형성이라는게 기저함수(혹은 기저 벡터)를 뭘로 보는지에 따라서 다르게 생각해 볼 수 있어서 그렇습니다... 기본적으로는 같은 개념입니다.

[@쿠니-m1r]

7편에서 건너왔어요. 흐헤헤~

[@hervenezolefvare1749]

선형성을 가진다는 것이 말로 무슨 뜻인지 궁금합니다!

[@박민오-d8q]

y의 도함수가 선형결합 으로 표현될 수 있을때 y가 선형성을 갖는다라 표현합니다.

[@_gyu00]

Wronskian determinant에서 W(y1,y2)=y1y2'-y2y1'이 0이아니먄 함수 y1(x)와 y2(x)는 일차독립이고 0이면 일차종속이라는데 일차독립 일차종속이 가지는 의미를 정확히 모르겠어요,,

[@_gyu00]

일차 독립이면 어떻게되는거고 일차 종속이면 어떻게된다는건지 이해안되네용 ㅜ

[@bosstudyroom]

영상에 대한 질문은 아니긴 하지만, 아는 선에서 답변을 드리자면 보통 x와 y가 일차독립이라 함은 어떠한 상수 c,d 중에서 cx+dy=0을 만족하는 c와 d는 오직 c=d=0 뿐이라는 것 입니다 (이때 x와 y는 함수 또는 벡터가 될 수 있겠죠) 그는 곧, 간단히 표현하자면 x와 y가 선형비례관계가 아니라는 말이에요 만약 두 상수가 모두 0일 때가 아닐 때 cx+dy=0 이라면 (일차종속 이라면) x=-(d/c)y 로 나타낼 수 있기 때문입니다 간단히 설명드린 것 이지만, 이러한 이유로 y1(x)와 y2(x)가 일차종속이면 론스키안 행렬식 값은 0이에요 왜냐하면 y가 y2와 비례관계를 가질 때의 비례상수와, y1'이 y2' 사이의 비례상수는 정확히 같습니다 (미분의 선형성 때문에) 그런데 만약 y1=sinx, y2=cosx 이면 이런 일이 없겠죠. 이때는 일차독립이고 그는 cy1+dy2=0을 만드는 둘다 0이 아닌 c, d가 없다는 말이므로 비례관계 자체가 정의되지 않으니까요

[@bosstudyroom]

@@_gyu00 즉, 위에서 설명드린 일차독립, 일차종속을 이해하신 후에는 행렬식의 성질을 이용하셔도 왜 일차종속일 때 론스키안이 0이 되는지를 이해하실 수 있을 거에요 :) 또는 y1=ky2, k는 비례상수라면 일차종속이라는 것이고 y1'=ky2' 도 성립할테니 y1y2'=y1y1'(1/k)=y2y1' 이라서 그 차이값 (론스키안) 이 0이 되겠습니다

[@_gyu00]

@@bosstudyroom 와 친절하고 자세한 답변 진짜진짜 감사합니다 ㅠㅠㅠ 공수공부하는데 영상 참고 너무 잘하고있어요!!

[@졸업요망]

y=c1y1+c2y2+.....+cnyn 으로 n개의 해까지 일반화 해도 되나요??

[@bosstudyroom]

네, 일반적으로 n계 선형 상미분방정식에 대해서도 중첩의 원리가 성립합니다 :) 해당 영상의 설명방식을 따른다면, '미분연산의 선형성은 n계로 확장했을 때에도' 변함없이 유지되기 때문으로 설명드릴 수도 있지만 (최근 제 채널에서 진행중이었던 [선형대수학] 재생목록의 내용에 따라서) n계 선형 상미방의 해공간을 생성하는 기저는 n개의 원소로 이루어진 집합이기 때문으로 설명드릴 수도 있습니다. (이는 선형대수학 3편 영상에서 설명드릴 예정인데, 특성방정식을 풀이하면 이를 이해할 수 있습니다.)

[@졸업요망]

@@bosstudyroom 감사합니다! 도움 많이 받고있습니다ㅎㅎ

[@물꼬기-l3l]

선형성이 무리식이랑 로그에서는 성립하지않는건가요? dy/dx = -2xy^3-2 / e^y 라는 미방을 풀때 e^y가 있어서 선형미방이 아니여서 1계선형풀이를 못쓰니까 적분인자로 돌리는 건가요? 헷갈리는점이 e^y가 아니라 e^x, x^1/2 이였다면 선형미방이 되나요? 종속변수에 대해서는 무리식이랑 로그가 있어도 선형성을 갖나요

[@bosstudyroom]

이 부분은 제가 내용을 다시한번 보고 답변드릴게요 ㅎ

[@aoq539ml]

상수를 왜 곱해주는지 모르겠어요...

[@김유황오리-n7n]

쉽게 말하면 상수배 해준 것도 해이기 때문이다 이렇게 설명해도 되고, 좀 더 어럽게는 비제차 2계 미방의 두 근은 이 미분방정식의 미분연산자가 정의되는 영공간의 기저가 되기 때문입니다. 그래서 이 영공간 안의 어떤 해라도 이 미분방정식을 만족하는 것이므로 기저 위의 벡터(함수) 뿐만 아니라 그 공간위의 어떤 점이라도 가져올 수 있게 하는 것이 목적입니다. 배경은 이러하긴합니다... 😇 함수해석학 시작부분 기초를 조금 공부해봐야 하는 것입니다.

[@gosamcctv9399]

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