[미분방정식] 7편. 상수계수 2계 미분방정식 (개념 및 공식)

안녕하세요 여러분 ^^
상수계수 2계 미분방정식에 대한 내용을 같이 스터디 해봅시다 :0
항상 감사합니다 :)

[@bosstudyroom]

[참고 _ 제가 놓친 질문댓글 관련 답변] Q : 주어진 선형 상미분방정식의 해의 기저가 exponential(e의 지수함수)와 같다고 할 수 있는 이유가 뭔가요? A : 몇 세기동안 알려져 내려온 대로, 자연현상과 잘 맞기 때문입니다. 공대 전공 서적 뿐 아니라 물리 분야 교재에서도 종종 exp함수 형태로 가정한 후, '실제 물리 계에서 이러한 해의 형태가 매우 빈번히 등장한다' 라는 언급을 하고서 넘어가곤 합니다. (일례로 RLC 교류 회로의 과도응답) 즉, 'exp함수의 형태로 해를 설정할 수 있다는 것은 이미 알려져 있기에', 우리는 그것을 사용하면 됩니다. 추가설명을 덧붙여 드리자면, 2계 제차 선형 상미분방정식을 선형대수학에서의 고유값 방정식의 꼴로 변환하여 중근이 아닌 경우의 일반적인 해의 형태를 얻을 수 있고, 그에 대해서 중근인 경우에도 Wronskian을 이용하여 서로 다른 선형독립 기저 중 하나는 x를 한번 더 곱한 꼴임을 유도할 수도 있습니다. 그리고 그 형태가 exp 꼴임을 여러가지 방식으로 이해할 수가 있긴 하며, 추후 영상들에서 다루게 될 것 입니다 :) (물론 그는 수학적으로 exp함수의 해가 유일하다는 것을 '증명' 하는 과정이라 하기엔 무리가 있을 수 있습니다.) 비록 현재 시점에서 제 채널에서는 다른 과목들 진도에 비해 올려진 선형대수학 영상이 적어서 해공간, 고유값과 특성방정식, 그리고 Wronskian에 대한 설명을 드리기 전 이지만 추후 영상들에서 그러한 부분을 이해하고나면 'exp함수꼴에 해당하는 해가 상당히 적절'한 것의 수학적인 이유는 더 원활히 이해하실 수 있을 거에요.

[@helloimdongyeop]

대학 강의에서도 이와 동일하게 교수님께서도 잘 알려진 사실인 점을 인지하라는 방향으로 수업을 해주셔서 약간의 의문이 생겼으나 도움이 되었습니다 오늘도 잘 보고 갑니다!!

[@서원-m2u]

너무 감사합니다 ㅜㅜ 덕분에 중간고사 준비 잘 할 수 있을 것 같아용

[@bosstudyroom]

좋은 말씀 남겨주셔서 감사드립니다 : )

[@전기뿌수기]

감사합니다. 대학교 때 잊고있었던(?) 내용들 다시 공부하러 들어와요 ㅎㅎ... 설명도 잘하시고 너무 깔끔합니다!! ㅎㅎ

[@bosstudyroom]

ㅎ_ㅎ 전뿌님 영광입니다 :) 방문해주셔서 감사드려요!

[@맥스웰방정식]

진짜 사랑합니다

[@bosstudyroom]

🩵

[@시르-j6e]

1학년 학생입니다 ㅜㅜ 교수님 수업 질이 너무 별로라 걱정 많이했는데 다행이에요 ㅜㅜ 감사합니다

[@bosstudyroom]

앗:) 도움드릴수 있어서 다행이에요! 감사드립니다ㅎㅎ

[@ttyest]

이렇게 휼륭한 강의 교재는 정말 처음입니다 감사합니다. 다른 강의도 다 도전해서 듣고 싶네요

[@qrkdree7339]

고3 학생이 봐도 한번에 이해가 가네요 ㅋㅋ 정말 감사합니다 .

[@bosstudyroom]

앗^^ 아직 고등학생 이신데 대학과정을 스터디하시다니 대단하십니다 :) 영상에 대한 좋은 피드백 감사해요!

[@나무송송]

정말 많은 도움 됐습니다 정말 제가 들어본 사람 중 제일 설명 잘하세요. 너무너무 감사드려요. 혹시 하신영상중에 극좌표계에관한 영상도있나요? 찾아보니까 잘 보이지 않아서요..

[@bosstudyroom]

아 ..정말 과찬이십니다 ^^ 저도 나무송송님께 진심으로 감사해요! 극좌표는 찍은적이없지만, 사실 극좌표는 아래링크에서 설명드린 kzbin.info/www/bejne/oajKeZWGeZaogrs 원통좌표계의 축소판에 불과합니다^^

[@bosstudyroom]

즉, 원통좌표계에서 z를 0으로 한, 즉 2D판 원통좌표인 것으로 일단 이해해주시구, 혹시 요청주시면 추후에 영상 만들어볼순 있으니 필요하시면 말씀주세요^^

[@bosstudyroom]

추가 설명) 그린정리도 사실 찍지않았으나, 이 역시 스토크스정리의 2D판 축소버전이므로 따로 만들진않았으나 이것도 요청주셔도 됩니다 :)

[@나무송송]

@@bosstudyroom 답변달아주셔서 감사합니다. 그.. 나중에 시간되신다면 좀 더 자세히 다룬 영상도 보고싶어요!! 요청 하고싶습니다 ㅎㅎ

[@taegukang]

미분방정식 공부하는 데 많은 도움이 되었습니다 감사합니다. 중근일 때 저 형태가 일반해가 됨을 확인하는 것은 어렵지 않습니다. 중근을 가질 때 y1 = C1e^ax, y2 = C2xe^ax 가 원래 미분 방정식의 각각의 해임을 확인할 수 있고 y1과 y2가 linearly independent 하므로 중첩의 원리를 적용할 수 있어서 일반해 y = y1 + y2 형태로 표현됩니다. 일반적으로 y1 과 y2가 linearly independent 함은 wronskian을 구해보면 W = e^2ax 로 나와 0 이 아니므로 확인할 수 있어요

[@dio6760]

정말 감사합니다. 수학을 어디서 배워야할지 모르겠었는데 정말 정말 도움이 많이됩니다. 감사합니다!

[@bosstudyroom]

:) 친절하게 댓글 남겨주셔서 제가 더 감사드려요 ^^

[@나-o2u]

감사합니다 감사합니다 감사합니다 감사합니다 감사합니다 감사합니다

[@bosstudyroom]

감사합니다! = 감사합니다×(감사합니다-1)×(갑사합니다-2)×...×1

[@나그네-v1y]

아 이분은 정말 수학을 사랑하시는 분이시네...

[@MinecraftEnder15]

절 받으십시요(꾸벅)

[@bosstudyroom]

승민님 감사드려요 ^^ 제 절도 받으셔용:)

[@고망-j6v]

아 미분방정식 영상도 있다니 이렇게 좋을수가 ㅜㅜㅜㅜ 채널 개설하신지 1년밖에 안됐는데 이렇게 많은 영상이 있다니 정말 너무 부지런하고 똑똑하신거같아요 미분방정식 영상도 잘 볼게요!! 무료로 이런 강의들을 볼수있다니 멤버십 가입도 해야겠어요 너무너무 감사합니다

[@bosstudyroom]

너무 감사합니다 ㅠ 아직 부족한데도 이렇게 따뜻하고 친절하게 말씀해주셔서 정말 행복합니다 ..^^ 🥰

[@고망-j6v]

오잉 갑자기 채널에서 멤버십을 제공하지 않는다고 환불이 되었어요 ㅠㅠ

[@bosstudyroom]

커뮤니티에 공지로 올렸습니다! 모든영상의 설명을 공개로 제공해드리려고 하구, 그에 따라 환불된 것 이어요^^

[@bosstudyroom]

@@고망-j6v 너무 감사드렸습니다 ㅠ 앞으로 더욱 열심히할게요ㅎㅎ

[@fondue-kd4wl]

좋은 영상 감사드립니다. 0:51 에서 ke^(ax)로 y를 두고 풀었을 때 해의 유일성을 보장 받을 수 있을까요?

[@bosstudyroom]

확인을 늦게하여 이제야 답변드린 점 양해부탁드립니다ㅠ 다른분들의 질문은 일단 고정댓글로 답변드렸지만, 질문해주신 유일성에 관련해서는 '유일성 정리' 를 찾아보셔도 좋을 것 같아요 미분방정식 관련 교재들을 살펴볼 때에, 그 증명은 상당히 어렵다고 알려져 있으나 초기값에 있어서 해의 유일성을 보장하는 상미분방정식의 유일성정리가 있습니다

[@Vang-d4g]

허근일때 식에서 sin앞의 계수 F는 허수 인가요?

[@woonjaeleem7762]

미분방정식 설명에 감사합니다. 정말 미분에 미자도 모릅니다. 미분에 가장 기초가 되는 사람들이 좀 더 이해할 수 있도록 초보자도 이해가 되었으면 합니다. 감사합니다.

[@ttyest]

설명 감사합니다. 중근일때 뒷항에 x를 곱하는 증명을 부탁드려요

[@김유황오리-n7n]

reduction of order라고 검색해보세요

[@튜브우-f3n]

공수 막막했는데 감사합니둥 ㅠㅠㅠㅠ

[@bosstudyroom]

^_^ 저도 감사드립니다

[@쿠니-m1r]

계수 축소법을 공부하려고 나갔다 다시온 나. 흐헤헤~ 흐헤헤~

[@gosamcctv9399]

🔥🔥🔥🔥🔥🔥

[@남경-m4d]

오일러 공식이 e^it=cost+isint 인걸로 알고 있는데 7:36에서 식이 어떻게 저렇게 되는건가요?

[@bosstudyroom]

해당 과정은 아래의 포스팅에서 글로 설명드린 적이 있어서 참고하시면 될 것 같아요: blog.naver.com/bosstudyroom/221667056732

[@박현호-x7j]

혹시 미방의 해가 익스퍼넨셜함수라고 가정할수있는 근거는 무엇인지 질문드려도 될까요?

[@bosstudyroom]

확인이 늦어 이제서야 질문댓글에 답변드린점 양해 부탁드립니다 ㅠ 고정댓글에 자세하게 설명드렸으니 혹시 아직 필요하신 내용이라면 설명 및 추가 링크를 참고하셔도 좋을 것 같습니다

[@나도심심]

상수는 상수기만 하면 아무 수나 가능한것인가요? 그럼 해가 해집합으로 나오는건가요?

[@bosstudyroom]

네, 초기조건이 없을 경우에는 '임의의 상수'로 표현해주시면 됩니다 주어진 미분방정식의 해집합이라 함은 그 해공간을 span하기 위한 기저함수를 표현할 수 있으면 찾을 수 있는 것이며 그 기저가 exp함수 (e의 지수함수) 형태입니다 :)

[@dbsalsgur83]

y=ke^ax 로 잡았는데 k꼭 잡아야하나요? 어짜피 =0이라 약분인데 넣는 이유가 뭔가요??

[@김유황오리-n7n]

왜냐면 제차미방의 해에 있는 두 개(2계 제차 미방이라고 가정했을 때)의 지수함수는 그 미분방정식의 미분연산자가 이루는 영공간의 기저를 이루기 때문입니다. 그런 배경에서 앞에 임의의 상수가 붙는 것입니다. (기저의 선형결합이 함수공간을 span하기 때문) 이렇게 설명하면 너무 어려운데, 미방이 엄청난 배경지식이 있어야 꽤 이해할 수 있읍니다. 안 그러고서야 다 외우는 수 밖에는... 😇

[@saidtoA.I.]

상수는 허수인가요? C1이나 C2같은 것들잉

[@bosstudyroom]

이러한 '임의의 상수'는 일반적으로 복소수 입니다 :) 초기값에 의해 결정되는 계수들이므로 초기조건을 잘 고려해주시면 되겠습니다

[@정현석-w7j]

삼중근인 경우에는 어떻게 푸나요?

[@bosstudyroom]

중근일 때와 마찬가지의 방법입니다. 상수계수인 3계 제차 상미분방정식의 경우, 삼중근이 a=a_1로 나온다면 x를 한번 곱한 꼴과 두번 곱한 꼴을 각각 더해주면 됩니다! y = Ae^(a_1)x + Bxe^(a_1)x + C(x^2)(e^(a_1)x) 와 같이 표현되어요.

[@가나다랄랄랄]

안녕하세요 덕분에 머릿속에 하나도 안들어오던 수학이 조금씩 들어오고 있습니다! 영상에서 중근을 보다가 책과 다른점이 있어 질문드립니다. 책에는 이중근일 경우 y = (C_1 + C_2x)e^-ax/2 로 설명되어져 있는데 이중근이어서 영상과 다른 해가 나오는 건가요?

[@bosstudyroom]

좋은 피드백 감사드립니다. 우선, 이번 영상에서 소개해드린 중근일 때의 공식은 y=(C_1)e^(a1x) + (C_2)xe^(a1x) 였는데, 이는 y = (C_1)e^(a1x) + (C_2)xe^(a1x) = (C_1+C_2x)e^(a1x)로 묶여지므로 말씀하신 형태의 수식과 동일합니다. 그 책에서 언급하는 -a/2가 제가 말씀드린 a1일 것 같네요 : )

[@가나다랄랄랄]

-ax/2면 설명해주신 a_1x에 수를 대입하면 나오는 값이 달라지지 않나요?? 만약 a가 3일 경우 -3x/2, 3x 이렇게 값이 다른데 아닌가용?

[@bosstudyroom]

아뇨, 질문자님 책에서 말하는 a와 제가 말씀드린 a1이 다르다는 뜻입니다. 단순히 표기를 다르게 사용한 것이죠. 저도 여러 교재를 보고 공부한 것이기 때문에, 다른 여러 교재로 풀이법을 한번 직접 비교해보시면 질문자님께서도 확인이 가능합니다.

[@bosstudyroom]

a라는게 일반적으로 특정 학계에서 사용하는 값 같은것이 아니라, 그냥 미지수에요!

[@가나다랄랄랄]

앗 제가 잘못 이해 했네요..ㅎㅎ 좋은 답변 감사합니다!! 구독하고 앞으로 계속 챙겨볼게요 ㅎㅎ!!

[@Fiora1230]

상수가 왜 2개죠?

[@bosstudyroom]

주어진 미분방정식이 2계일 때는 해집합을 표현하는 기저함수가 2개 필요하기 때문입니다 쉽게 표현하자면 2차원 평면을 span하는 (임의의 점을 완벽히 표현 가능한) 단위벡터 (기저)가 2개인 이유가 바로 그 부분을 설명하는 좋은 예 입니다

[@노창민-o5c]

오일러 공식이 e^it=cost+isint 인걸로 알고 있는데 7:36에서 식이 어떻게 저렇게 되는건가요?

[@user-bg2yz4fj9g]

저 두부분을 e^idx로 묶으면 e^idx=cos dx+i sin dx가 되고 )cos dx+i sin dx)(D1+D2e^-1) =cos dx(D1+D2e^-1)+sin dx(iD1+iD2e^-1)

[@Vang-d4g]

님 식 전개하면 e^idx × D2*e^-1 항이 틀렸음

[@bosstudyroom]

최근의 다른 질문댓글에 답변 드리다가 이 댓글을 이제야 보네요.. 늦게 답변드리게 되었습니다. blog.naver.com/bosstudyroom/221667056732 과정은 윗 링크에서 설명드렸습니다.