【難問研究会#7】素数の性質と余りに注目する問題にキムとまたも遭遇してしまいました。。

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/ sakumontech
今日は整数のmod(余り)に注目する問題でしたね。皆様は解けたでしょうか？？
関する今後も全部解く気で頑張るのでこれからも良問お願いします！！でんがん&キム
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[@SolingTube]

この問題を作問したものです！解いてくれてありがとうございます。 この問題は実験して答えを探すことをテーマにした問題であり、特に深い背景があることを踏まえて作った問題ではありません...。 （何か調べれば背景はあるかもしれませんが、それを想定して作った問題ではなかったと思います。） 今回はたまたま13でうまく行ったので問題にしましたが、なぜ13でうまくいくか（そして、他にうまくいく素数がどのくらいあるか？という点）に関しては調べないと分からなさそうです。何か分かったらこのコメント欄に追記しようと思います！

[@treebig6070]

気になったのでmod10000までプログラミングで調べてみました！ すると、mod13,29,37,377,1073の時のみ成功するみたいでした どういう規則性なのでしょうか… OEISで見てみましたがヒットしませんでした

[@SolingTube]

何かあるんですかね...

[@treebig6070]

@@SolingTube ついでにmod10^6まで調べてましたが、mod1073以降成功するのはありませんでした…

[@SolingTube]

@@treebig6070 一般化は難しそうです...（一般化を想定して作った問題ではないため）

[@数オリ日本代表]

え、仕事早くね

[@a_math]

自分も同じプログラムを試しました。 377=13*29,1073=29*37と素因数分解できるので一般化が出来そうな気もします。どれも8k+5型の素数ですし （OEIS使ったのまで一緒でしたww）

[@あなな-b4g]

k^2+4がpで割り切れるkが存在するような奇素数pの条件は、平方剰余の相互法則 (-4 p)=(-1)^(p-1)/2 よりpを4で割った余りが1のときだとわかります(5,13,17,29,…)

[@関暁夫尊師-t8z]

数学で沼にハマると無限に時間が溶ける理由の一つがこれな気がする。ゴリ押しで解ける場合もあるから。

[@佐倉るしあ]

Sasukeは今スロット打ってるぞ！

[@Mega11041104]

a1=0(mod適当な素数)と置いた時にan=0が存在するかの条件とか調べるとなんかヒントになるかも。（巡回群とかそこら辺の群論に強い人に任せます）追記:調べてみたところ、1000以下の素数のうちp=5,13,29,37,89,101,509の時は巡回型(an=0(mod(p)になるならばnより上の整数mでam=0(mod(p))になる)になるのがわかりました。この条件∧なんらかの条件でP=13,29,37のみになるって感じじゃないでしょうか

[@ゆーと-s8c]

今更すぎるけど、この企画にアンパンマン(ヨビノリたくみさん) 召喚して欲しい🥹

[@りょうたおか-g4g]

良さそう

[@Telly2040peq]

これmod13調べる時、めちゃくちゃだるそうだけど0であれだけ出てきて、残り出てないの2だけだから1356調べなくて良くね？と思いました

[@puella_math]

似たような問題がないか調べてみたのですが、これは「数論力学系」あるいは「p進力学系」という分野に含まれそうです。

[@puella_math]

一応自分の現段階での成果も書いておきます。 （力学系の用語で）問題を整理すると次のようになると思います。 「f(x)=x^2+4がZ/nZにおいて次の2点を満たすようなnの条件は何か？: (1) 0はfの周期点である (2) fの周期軌道は1つしか存在しない」 （一旦、一般的な構造を見つけるために素数とは限らないnで問題設定しました） 他の方のコメントにもある通り、n=13, 29, 37, 377, 1073のときは成り立つことがわかります。 ここで377=13*29, 1073=29*37です。 自分の研究成果としては、nが合成数のときは素数べきの場合に帰着できることがわかりました。（中国剰余定理の応用です） 特に次が成り立ちます: σ(n)=(Z/nZにおけるfの周期の総和) と書くことにすると 「m, nが互いに素であるとき、σ(mn)=σ(m)σ(n)」 また、Z/mnZの周期軌道の個数と周期もわかります。 基本的にはZ/mZの周期軌道とZ/nZの周期軌道のペアがZ/mnZの周期軌道に対応するのですが、周期が互いに素でないときは軌道が分裂します。（最大公約数個の周期軌道に分裂） 先の計算結果で「13*29, 29*37では成り立つのに13*37では成り立たないのか？」という疑問が出ると思うのですが、これはn=13, 37の周期がどちらも6であるため、13*37だと軌道が分裂して上手くいかなくなるというわけです。 また進展があり次第報告します。

[@nameless_scarecrow]

去年やってmod11までやって出ないから、方針違うんかなぁって悩んだ問題だ

[@syuncube]

a_{n+1}=a_n+4だったら今回13で成功して、+4ではなく+dでdがどうなったらどうとか研究が広がりそう全部アウトなのかな

[@八百屋の菠薐草]

一般化できたらあつい！

[@チノ-d7k]

今回は最後に視聴者に問題を投げかけるのはいつもと変わってておもしろい 眠たそうだったけど(笑)、解答のあとの研究もおもしろかった

[@Prettissimo]

「n²+1が素数となるような自然数nは無限に存在するか？」という未解決問題と関連ありそうなのかなぁ🤔

[@dauntaun1210]

数オリで見たことあるって普通にパワーワードすぎる笑

[@みけちゃん-t4o]

自分はa=1を代入してやっていくと1→5→29→845(5×13^2)ってなったからmod5で場合分け→むり mod13っていう解答手順を踏みました こうすると今年東工大受験の身からすると20分ちょいで解けて解きたい問題〜合否に差がつく問題くらいの難易度かなと...

[@3dervolt]

自分は「a1は素数」という文言を見てa1=1でやってみるっていう発想に至りませんでしたね a1=3,5,7,11でやったらそれぞれa2=13,29,53,125(5^3)になったのでmod5→13→29→53の順で試そうとしたら13がヒットした感じでした

[@870_dga]

キムさんとのコラボほずっと見てられる！

[@ブレートシュナイダーの公式]

フェルマーの平方和定理がちょっと使える気がした

[@ym.__sn]

キムでんの会話ほんとに好きです💞

[@カーマ-y1l]

？？？「はぁ～いおとこでぇ～す(ねっとりイケボ)」

[@padhayata4life907]

たまねぎおとこ、懐かしいな 今はよーわからん宇宙の動画上げてるらしいけど

[@padhayata4life907]

sasukeもパズドラも懐かしいな 今はgaimonと頂チャンネルか

[@tomot3118]

そもそも一般化してシンプルな式になる漸化式のほうが少ないですからね。

[@サトウ-q7k]

待ってました

[@ak-cu7ne]

過去一理解できなかった。

[@glayjail2298]

エキストラステージもあるぞ

[@Telly2040peq]

25×25=625とすぐに分かるやつはパズドラ昔からやってたやつか数学できるやつだと思ってる

[@なまえ-l2b]

100の位が2×3、それ以下は5×5だね

[@白昼夢-p6j]

ラスベガスからお送りしております

[@X-ray-b3j]

今の学習指導要領って高校数学で合同式やってるの？

[@user-ij9gu5zx2l]

高校の数Aの整数分野で習いました！教科書には載ってなかったです

[@えりんぎ-p8p]

なるほど、えぐぅ

[@しーらかんす-g3l]

良問ではないな😮

[@nag_lint_lino]

0:16 全然現役やで()

[@bal_7VEI]

待ってましたァ！

[@re1979]

昔のキムえるもあ名人似てるよな

[@ろみおおおおお]

でんがんさんは教育系の道はやめたんですか？

[@loveloveYouTube]

理学部数学科卒だけどmodの意味がわからん modてなに？

[@salmon_math]

環論を覚えているなら、単にZ/nZのことです。(Zは有理整数環)

[@loveloveYouTube]

@@salmon_math は？お前何言ってんの？笑 ルベーグ積分？複素関数？位相空間？

[@chachamaru0909]

解析学専攻の方でしたか…

[@光蜂こうはち]

@@salmon_math 数学科出てるのに群環体の知識１つも無いのはビビる。嘘なんじゃないかと勘繰ってしまう

[@loveloveYouTube]

@@光蜂こうはち 代数入門は単位取ったよ 代数は何も知らないよmod mod mod