Найдите радиус окружности

Решаем задачу, используя теорему о хордах в окружности и простые дополнительные построения.

[@Olanbus]

Я использовала метод координат. Начало координат - точка пересечения хорд, а координатные оси сонаправила с хордами. Решив систему из трёх уравнений окружности для кооординат трёх концов хорд, получила координаты центра. Осталось найти расстояние от центра до любой из данных точек. Может и замысловато получилось, но тем и хороша математика, что задачи имеют несколько путей решения. А я напрочь забыла все указанные Андреем и комментаторами теоремы. Спасибо, что дочитали

[@Frostgaming335]

Ничего себе вариант решения) Сложнее чем сама задача :)

[@ЮрийМишков-ж6у]

@@Frostgaming335 после вычитания квадратов координат центра из всех уравнений получается простая система линейных уравнений с двумя неизвестными, я в уме решил. Хотя, справедливости ради, до обсуждаемого комментария долго и безуспешно думал, как к задаче подобраться :)

[@denden5395]

Плюс этого метода, что он использует базовые знания из математики. А вот теорему о хордах в данном решении еще надо доказать. Как преподаватель я бы не засчитал решение Андрея.

[@gybertschulze9709]

Да, тоже также решил. Получил корень из 16,25 - искомый радиус, а координаты центра окружности (2, 0.5). Вряд ли замысловато, поскольку при решении системы очень много чего отбрасывается. Требуется всего лишь правильно без ошибок три раза разложить квадрат суммы, а дальше фактически арифметика. Теоремы с хордами вряд ли помнил еще в школе, но видя время ролика было понимание того, что решение будет простым. Вообще, изначально рассчитывал, что автор полностью геометрически найдет решение. Мы же эти простые пути не ищем. Находим решение с помощью путей универсальных! Как бывший инженер проверил свой ответ почти в два клика построением в AutoCAD

[@xrilicc1154]

@@denden5395 так это тоже база. Разве нет? А если и доказывать.. то там подобные треугольники всего-то..

[@HomoMathematicus.]

Отличная задача. Можно было "жахнуть" теоремой синусов, но решение с дополнительным построением изящнее. Осталось доказать, что параллельные и равноудаленные от центра хорды образуют прямоугольник.😉

[@SerArtemoff]

Концы этих хорд соединяются диагонально диаметрами окружности. А четырехугольник, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

[@HomoMathematicus.]

​@@SerArtemoff Тогда надо доказать, что диагонали - диаметры. Вдруг они не проходят через центр окружности? Мне кажется, стоит провести диаметр перпендикулярный вертикальным хордам. Он поделит их пополам (теорема). Так как вертикальные хорды равны (как равноудаленные от центра), то диаметр поделит их на равные отрезки. Равные и параллельные, т.е. образующие параллелограммы.

[@ВераПершина-д6м]

Спасибо Мне 64 года, очень любила в школе математику, и как вы сказали, особенно геометрию Подписалась, буду решать.

[@kislyak_andrei0]

Впервые я решил задачу в точности до половины Решал в уме и из-за того, что где-то по пути обсчитался (я решал через теорему синусов) получилось не корень 65/2, а корень 65/4 Интересная задача, в идея с построением прямоугольника ещё и красивая

[@УрматбекМусаев-л5е]

Спасибо Андрей! Полезная вещь и напоминаете детство.

[@xrilicc1154]

Ох, какое же у вас решение красивое! Как вы умудрились увидеть такое? Спасибо за задачу, и за столь классное решение!!)

[@ilano8138]

8 классник в этой задаче смог сделать только одно - нашел длину неизвестного отрезка)

[@xrilicc1154]

@@ilano8138 хах, ну я в 8 классе и задачу решил)

[@ekari]

Я не знаю, почему я смотрю периодически ваши видео. Наверное хорошо излагаете простые вещи :)

[@ВадимЦалюк]

И из множества решений выбирается самое красивое!

[@НурбубиШерияздан]

Память, вспомнит то что знала,учила забыла. Попробую .

[@ФранчукАлександр]

Можно решить используя теорему синусов,где отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно 2R.Для этого все данные есть и ответ тоже √65/2

[@сергейсверчков-ц6г]

я тоже за использование синусов , но доктору виднее потому что он не берёт в расчёт реальную фигуру и реальные секторы круга делённые хордами . В реальной фигуре через синусы проще считать , я человек не млодой учился на логарифмических линейках и таблицах Брадиса

[@КаминарБро]

Зравствуйте, уже два десятка лет как закончил школу и совсем все позабыл, подписался на ваш канал, буду смотреть ваши видео и вспоминать, очень понравилось ваше решение, тем более, что сам решить я эту задачку не смог. Спасибо вам большое.

[@МихаилТерентьев-ц6в]

Решил в уме через формулу радиуса описаной вокруг треугольника окружности (R = a*b*c/(4*S), где a, b и c стороны треугольника, S - его площадь). Кому что в школе давали, короче, тот так и решает )

[@Olanbus]

Вообще классное решение! Легко и понятно. И формулы известные и приём в часто используется в ЕГЭ.

[@АлександрЛанцов-з3ц]

Хотелось бы посмотреть как S находиться и как в корнях не запутаться?

[@МихаилТерентьев-ц6в]

@@АлександрЛанцов-з3ц S = 1/2 * (основание) * (высота). В данном случае: S = 1/2 * (2 + 6) * (3) = 12

[@Prizrak_Leonis]

Тут сразу видно треугольник в котором нам считай известно абсолютно всё и описанная вокруг него окружность

[@АлександрЛанцов-з3ц]

@@Prizrak_Leonis Всё понял, лоханулся, не заметил изветную высоту, бывает. лет тридцать не решал ничего геометрического и утратил нюх, сразу почему-то влезла теорема Герона, а элементарную высоту проворонил.

[@mathmix1057]

Отличное решение.

[@ДмитрийСергеев-к2з]

Красивое решение!

[@georgeshogo]

Сам решил без хорд, чувствую себя Эйнштейном.

[@SerArtemoff]

Я из центра окружности достроил хорды до равнобедренных треугольников и опустил из центра на хорды высоты. Эти высоты разделили равнобедренные треугольники на пары прямоугольных треугольников. А в центре круга образовался прямоугольник, у которого горизонтальные стороны равны по 2, а вертикальные по условному иксу. Икс можно найти из сопоставления сторон прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. В итоге радиус окружности находится как гипотенуза одного из прямоугольных треугольников и равен приближенно 4,03, что соответствует ответу в ролике.

[@Mikhail_Senin]

Объявляем хорды осями системы координат с центром их пересечения. По теореме хорд находим длину отрезка вертикальной хорды, затем находим координаты начала срединных перпендикуляров к хордам. Их пересечение даёт нам координаты центра окружности. Далее находим радиус по надписи на вашей футболке.

[@roslanmoratov4214]

просто и дохлдчиво,я использую по работе то,что учил в школе 50 лет назад,люблю геометрию

[@Николай-е9к6ш]

Я в самом начале: так, что-то у меня корень в ответе, ладно посмотрю... Итог: √65/2

[@Ollyalyalutflute]

окружность- катушка металлоискателя. Превью- Андрей Иванович на пляже

[@MiroSlave1]

Простая задача

[@ОлегВ-я5е]

по уравнению окружности решил, центр попал в точку (2 ; 0,5) ответ такой же

[@sacredabdulla5698]

просто но очень хитро.

[@ilyanikolaev615]

Еще можно опустить перпендикуляр из центра окружности на хорду 8 и обозначить его за x, а радиус за r. Далее 2 раза использовать т. Пифагора и получить систему с 2 неизвестными

[@StanislavPatashin]

Две теоремы Пифагора, теорема косинусов, основное тригонометрическое тождество, теорема синусов.

[@konstantinnarajkin3180]

Кто-то предлагал способ: взять треугольник с вершинам в пересечении окружности и хорд. Получится известной сторона и высота. Отсюда можно вычислить все в треугольнике, а там уже по формуле R=abc/4S

[@stasklimt1252]

После того как автор построил прямоугольник, четыре угла которого упёрлись в окружность, достаточно было провести две диагонали и место их пересечения является центром круга.

[@Vasil4444t]

Определил отрезок хорды 4.Далее рассматриваем треугольник образованный хордой (теперь уже известная ее длина 7) и отрезком другой хорды 6.Отрезок хорды 6 разбивает этот треугольник на два прямоугольных треугольника из катетами 4 и 6, и 3 и 6.По теореме Пифагора находим находим стороны изначального треугольника. sqrt(52) и sqrt(45).Радиус окружности описанной вокруг этого треугольника находим по ф-ле : R=abc/4S.

[@ВераСороковикова-ж4ц]

Я решила также. Только треугольник брала с основанием (2+6) и высотой 4.

[@fpshunter]

Решил без теорем, так как ни одной не помню. Продублировал обе хорды и посчитал их длинны

[@manekocharyan5726]

Красивое решение

[@khasuist]

радиус равен произведению сторон вписанного треугольника делить на четыре площади этого треугольника. далее упростить математическое выражение. всё.

[@Gerasimushka]

Супер изящное и простое решение! Класс😊…….Гет э класс🤪

[@Монгол-н9е]

Здравствуйте , у меня вопрос : как мы определили , что центр окружности лежит на диагонали ?

[@Mr.Moy-Gospodin]

С точки зрения геометрии - доказательство не полное. Если еще про теорему о хордах что-то было сказано, то откуда взялось утверждение, что у построенного прямоугольника точка окажется на окружности, а его диагональ будет диаметром - не сказано ни слова. В общем решение не полное. Задача не решена. (Садись, тройка!)

[@vlad_cool04]

Ну тут теоремой синусов можно

[@hrayrbarseghyan5453]

я посчитал неизвестный отрезок 2-й хорды теоремой косинусов. затем как в решении в видео

[@ЕленаПылаева-п7р]

Спасибо Сразу вспомнила.

[@user-geniu]

Вообще то тут всё очевидно . Поскольку углы на точке пересечения прямые, то Квадрат Диаметра равно сумме квадратов гипотенуз треугольников Где a и b стороны одного треугольника, а a1 и b1 другого.

[@petbol-j8x]

Проще определить площадь круга и вычислить радиус.

[@MrAirrussia]

а зачем прямоугольник, когда из симметрии можно понять, что R^2 = 4^2 + 0.5^2

[@alexkaminsky4784]

неудачная иллюстрация. Хорда равна 8 см, диаметр 8,03 см

[@abesei]

Чувак! Геометрия - это тоже математика!

[@НоваяМарка-ю9э]

Приложила линейку к экрану - получилось 4.

[@petuhatopovich7372]

Чёт слишком сложное решение какое-то. Проще найти синус и сторону, а потом по теореме синусов радиус. Треугольник-то вписан в окружность.

[@КевинСлевин]

Несложно!

[@ЮраИванов-п3и]

Теорема о двух хордах в окружности: если две хорды пересекаются то произведение отрезков одной хорды равняется произведению отрезков другой хорды.

[@sergek7672]

Решил двумя способами, сошлось. Первый способ: по формуле площади вписанного треугольника S=a*b*c/4R (равно 12 в данном случае) a=8, b и c находятся по ТП, ответ R=sqrt(65)/2. Второй: вычислить угол 4-угольника по формуле суммы тангенсов, затем ненарисованный угол, он равен arctg(8) и опирается на хорду длиной 8. Построив треугольник из этой хорды и двух радиусов, тривиально определяем радиус. Ответ R=4/sin(arctg(8)). Позабавило доказательство равенства этих ответов.

[@СвободныйМатематик]

Через треугольник очень хороший метод, тоже его нашел А вот через тангенсы поразительно

[@tonyvdk_4330]

Я как настоящий инженер просто начертил в AutoCAD :)

[@trollgapuzden]

А я как художник взял масло и кисти.

[@KuzmichBur]

Я сварщик. Пошел варить.

[@Nftmdf]

И я как настоящий инженер начертил в Solid Edge :) 8.0622578...

[@sergeypatutin6983]

Настоящий инженер открыл бы таблицу радиусов от проведенных длин хорд.

[@Nftmdf]

@@sergeypatutin6983 это уже для инженеров старой закалки ;)

[@Rocknro11er]

Центр окружности равноудален от точек пересечения горизонтальной хорды с окружностью. Значит ее центр будет лежать на прямой параллельной вертикальной хорде. Это прямая пройдет через центр горизонтальной хорды. Пусть x - расстояние от центра до гор. хорды. Тогда из получившихся треугольников: x^2+4^2=R^2 и (x+3)^2+2^3=R^2 =>R=√65/2

[@U235-f9r]

В конце, когда посчитал длину пересекающихся отрезков, по-другому сделал: построил перпендикуляры из середин отрезков, соответственно на их пересечении - центр окружности. Получается прямоугольный треугольник с катетами 3,5 и 2, и гипотенузой являющейся радиусом окружности. По теореме Пифагора получаем тот же ответ

[@ГеннадийЛушпа]

Вот такие педагоги должны работать в сфере образования! А, не урокодатели...

[@Frostgaming335]

Я тоже по интуиции достроил фигуру. НО почему-то до квадрата, в который вписана окружность. В итоге много треугольников достраивал чтобы перейти к радиусу и тоже получился такой ответ :)

[@renovator7319]

Используя базовые данные, можно построить квадрат, стороны которого параллельны имеющимся хордам. Пусть наш круг, будет вписан в данный квадрат, и тогда можно найти геометрический центр круга. Из образовавшегося центра, опустим перпендикуляры хордам, которые будут делить их пополам. Также, проведём из центра круга, к концам хорд отрезки, которые будут равны радиусам. У нас образовалось два прямоугольных треугольника, один со значением катетов 4 : 0,5 единиц, прямой угол которого находится на хорде длинной 8 единиц, и второй со значением катетов 3,5 : 2 единиц, прямой угол которого находится на хорде длинной 7 единиц. Тогда, длинны гипотенуз - радиусов будут равны, для двух треугольников (по теореме Пифагора) - корень из 16,25.

[@ДенПантелеев-л4в]

А если линии пересекаются не под прямым углом?

[@timurkodzov718]

Ещё один метод, после того, как вычислин отрезок хорда длинной 4: Назовём отрезки a=2, b=6, c=3, d=4 и r=радиус, который надо найти. Тогда r²=(a²+b²+c²+d²)/4=(2²+6²+3²+4²)/4 =(4+36+9+16)/4=65/4 => r=sqrt(65)/2. Формулу можно вывести с помощью Теоремы Пифагора.

[@MetaDriver33]

круто на самом деле. эта формула, кстати, означает, что если построить четырёхмерный параллелепипед со сторонами (a,b,c,d) = (2,6,3,4), то длина его главной диагонали будет равна диаметру нашей окружности. удивительный факт, однако.

[@MaksimDolgov-i3j]

Используем теорему о хордах,а так же формулу S=ABC/4R,далее рассмотрим треугольники со сторонами 2 и 4; со сторонами 3 и 6,после всех преобразований получим,что сумма квадратов гипотенуз равна 4R^2 (т.е. 2^2+4^2+3^2+6^2=4R^2 отсюда R^2=65/4)

[@АлександрКнязев-ъ5в]

со школы прошло много лет, однако до сих пор вспоминаю подобную задачу которую не смог решить - даны две параллельные хорды разных длин и расстояние между ними. найти радиус. прошу подсказать решение

[@ЮнеевРинат]

Если провести вертикальную хорду, подходящую через центр окружности, то получим X, равный расстоянию от центра окружности до горизонтальной хорды X²+4²=(X+3)²+2² => X²+16=X²+6X+9+4 => 6X=3 => X=1/2. (1/2)²+4²=R² => 65/4=R² => R =√65/2.

[@SerArtemoff]

Почти так же решал: Я из центра окружности достроил хорды до равнобедренных треугольников и опустил из центра на хорды высоты. Эти высоты разделили равнобедренные треугольники на пары прямоугольных треугольников. А в центре круга образовался прямоугольник, у которого горизонтальные стороны равны по 2, а вертикальные по условному иксу. Икс можно найти из сопоставления сторон прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. В итоге радиус окружности находится как гипотенуза одного из прямоугольных треугольников и равен приближенно 4,03, что соответствует ответу в ролике. Свернуть

[@cocountmilk]

я вот смотрю такие видео и думаю : неужели и я такое в школе решала 17 лет назад ? кошмар .. я вообще ниче не помню , кроме теоремы пифагора и дискриминанта

[@xrilicc1154]

Думаю решу быстро, ибо задачи с подобной структурой я решал пару раз из сборника Гордина. Да и как раз задачи на теорему Пифагора искал. Спасибо)

[@viktormalinovskiy2987]

Во! А такой теоремы (гна счёи хорд) ,вроде, в 60 годах, когда я учился, не было.

[@АлександрКрез-з9м]

Не знал я теорему "о пересекающихся хордах в окружности", но задачу решил достаточно быстро через Х (икс) с привлечением теоремы Пифагора.

[@LEA_82]

Я тоже не могу припомнить такой теоремы о хордах.

[@ИзяШнобельман]

Я не знал (и не знаю) теорему о пересекающихся хордах. Увы...

[@vladimir-diev]

Нужно еще док-ть, что диагональ - это диаметр!

[@sergeialeksandrovichstepan1727]

а без дорисовочек решить слабо????

[@maximskabkin9562]

Я ничего уже почти не помню из школьного курса геометрии. Кроме теоремы Пифагора. Ее мне как раз полностью и хватило, выразив радиус, как гипотенузу для разных прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора - сила!

[@сергейсверчков-ц6г]

Проще найти решение тригонометрически , по углам противолежащих сторон хорды через синусы углов и заодно с диаметром вычислить реальные а не мнимые площади окружности и её секторов - было бы интересней , на шестом десятке лет , вычислений конечно больше , но вернее

[@viktornosov1681]

видимо, эту тему по геометрии я прогулял ))))

[@liliabreneise5866]

Что-то не так с вашей задачкой! Её условия не соответствуют с реальностью! Корень из 65 будет 8,06. Значит радиус 4,03.думаю, что можно числами после запятой пренебречь. В задаче даны условия: хорда с двумя отрезками 2 и 6. Сумма отрезков даёт 8. А это диаметр! Для начала я нарисовала две перпендикулярные хорды отложила их правильные размеры: 2+6 и 3+4. Получилось 4 точки, которые должны лежать на окружности. Но через эти точки невозможно провести окружность! Получается яйцеобразная форма!

[@konstantinkurin1303]

что не так? диаметр - около 8,06, а длина хорды - 6+2=8 ровно (это меньше диаметра). Зайдите в геогебру и прочертите сначала отрезки, а потом - окружность на пересечении диагоналей достроенного прямоугольника. Всё чётко.