Найдите третью сторону треугольника

Разбираем задачу по геометрии: что даёт дополнительное построение?

[@user-hz9ey5po4u]

Проводим биссектрису, искомая сторона делится биссектрисой в отношении 5:4 (если слева направо). далее просто подобие треугольников (правый "отсеченный" биссектрисой треугольник подобен большому).

[@user-zn3tc3kp3h]

Да, очень простое решение! Без всяких лишних заморочек...Respect!🙏👍‼

[@user-cq4jn4pe2k]

Блин,я точно собирался полезть в ТРИгонометрию,а тут ГЕОМЕТРИЯ,ВЕЛИКОЛЕПНО!

[@bekjansatiev8693]

Нереально интересная задача,огромное спасибо,я в восторге.

[@k812spb]

Супер! Очень изящно!!!

[@denso4047]

По-моему немного усложнили. Подобные треугольники уже образовались при проведении биссектрисы, а основание разделено ею в отношении 5/4. Далее та же пропорция. Спасибо за задачу!

[@PerfilevIvan]

Можно без построений. Проводим биссектрису. Она делит неизвестную сторону в соотношении 5/4=х/у. Затем из подобия исходного треугольника и правого, получившегося при проведении биссектрисы( со стороной 4), учитывая, что левый треугольник равнобедренный, получим х/5=4/(х+у). Решаем систему получаем ответ.

[@schetnikov]

Похоже, что это самое короткое решение. Но требует помнить теорему о делении стороны биссектрисой. Впрочем, моё решение - оно тоже из воспоминаний о том, как доказывается эта теорема.

[@annam2098]

Да, тоже так решила :)

[@inet-guru]

а что такое Y?

[@antoninashevko3381]

И можно свернуть, обрыв обогнуть, // Но мы выбираем трудный путь, // Опасный, как военная тропа". (с) )))

[@user-fx7ic1tw6d]

Красивое решение! Насладился👍

[@user-ev6lo8hy9o]

Очень красивое решение! Я решал через проведение биссектрисы и две теоремы косинусов.

[@user-wo4pr7vj2b]

А биссектриса тогда зачем? Сразу две косинусов и все

[@user-lf9fq7vg3d]

Хорошее решение, здорово!

[@elenaelena6978]

Шикарно!

[@victorfildshtein]

Решение необоснованно громоздкое. Проводим биссектрису угла два альфа. Получаем два треугольника: левый равнобедренный, правый подобный исходному и пишем пропорции.

[@user-sc2qr9mi7v]

У тебя дед радиотехникой не баловался?

[@victorfildshtein]

@@user-sc2qr9mi7v У меня дед был электриком. Электроники тогда не было в Кременчуге.

[@iljamats889]

Просто, выгодно, удобно. Я тоже провел биссектрису и ...задумался

[@nijatjafarguliyev2905]

Спасибо за видео! Очень хотелось бы роликов по матанализу

[@user-zp3oc6bz1p]

Красиво. Спасибо.

[@user-lt6gw7rp7b]

Кроме биссектрисы не надо больше ничего проводить. Биссектриса, опустившись на противоположенную сторону, образует два смежных угла. Один 180-2альфа, второй соотв. 2 альфа. Отсюда получается, что изначальный треугольник подобен новообразовавшемуся треугольнику с стороной равной 4. Биссектриса делит сторону на часть равной себе и соотв. X минус эта часть. Выражаем подобие сторон подобных треугольников. Получается X=6, а биссектриса 3,333...

[@rafarafailov7233]

Ваше решение лучше и проще. Останется объяснить как мне должна прийти идея провести биссектрису. Как искать легкий путь, а не теоремъ косинусов и синусов. Я бъ посоветовала ученикам рассмотреть внимательво рисунок, поискать пропорции, подобие, что-то похожее. Логично двойной угол рассмотреть как 2 угла... И тут, увидев подобие, прийдет идея! ВОТ ТАК НАДО УЧИТЬ УЧЕНИКОВ РАССУЖДАТЬ, А НЕ хвалиться своей сообразительностью. Или въ для этого тут собролись? Значит я не по адресу. Я думала, что тут учат...

[@user-nt7cg6ok6f]

Я вообще через бесконечные построения равнобедренных треугольников и убывающую геометрическую прогрессию нашёл🤪 Причём всего за 5 мин! Я явно не мастер простых решений таких задач...😅

[@user-sv5wd4yh4y]

Спасибо! С удовольствием решила треугольник

[@user-jh8hh1iy6x]

Проще решпть квадратом. Для єтого дополняем еще одним большущим треугольника и находим их общую площадь как сумму 4 треугольников (два иеньших и два больших), которьіе в свою очередь составляют два прямоугольника с площадью 20 и 16 т.е. 36. Откуда без промежуточньіх вьічислений находим искомую сторону как квадратньій корень , равньій 6.

[@justaman1090]

Красивое решение.

[@andreybyl]

6? Теорема синусов и косинусов и можно без доп построений, элементарно из теоремы синусов получаем cosa = x/8 и далеее теорема косинусов для искомой стороны и косинус уже выражен через х

[@user-do9mh4mh6z]

Через теорему косинусов тоже 6

[@biotel]

Красиво.

[@spacevalve3011]

Я тоже через дополнительные построения решил, но это очень непростое решение. Также проводим биссектрису, видим, что биссектриса с искомой стороной образует углы a и 2a. Из угла 2a проводим ещё одну биссектрису. Она будет параллельная стороне, которая равна 5. Находим две пары подобных треугольников, составляем уравнения. Выражаем первую биссектрису через отрезки искомой стороны, применяя теорему о биссектрисе. Вторая биссектрисы равна 20/9. Объединяем формулы, получаем биквадратное уравнение 81a^4-81*25a^2+12500=0, где a - больший отрезок искомой стороны, замена, Дискриминант, у такого уравнения 4 корня, два отрицательных, два положительных 10/3 и (5sqrt5)/3. Понятно, что отрицательные не подходят, а с иррициональным я так и не разобрался. x=9/5a=6

[@user-be9vc5zq7g]

Спасибо всем комментаторам! 🌺видно течение мысли!

[@Evisceratio]

Эмм... Можно очень легко без построений. Теорема синусов: 4/sina = x/sin2a 4/sina = x/2sinacosa x = 8 Cos a Теорема косинусов: 4^2=5^2 + х^2 - 2*5*х*cosa Подставляем х= 8cos a 16 = 25 + 64 cos^2(a) - 80 cos^2(a) 9-16cos^2(a) =0 Cos^2(a) = 9/16 Cosa = +/-3/4 (-3/4 не проходит, т.к. х>0) X= 8 cosa = 6

[@MrArcan10]

все верно, только при применении теоремы косинусов лучше выражать косинус через х, а не наоборот. Тогда х сразу и найдется.

[@user-si7br1qy1i]

Дополнительные построения, это конечно круто! Но вы пробовали решить через теорему синусов и разности углов? P.s. этот комментарий не несет объективной оценки решения задачи. Он служит показателем, что задачу можно решить разными способами. Я плох в доп. построениях, поэтому копаюсь в тригонометрии. Поэтому у меня иногда не получаются другие задачи(

[@user-yozhik]

Без звука трудно понять. Надо больше писать, тогда будут смотреть и иноязычные

[@asoaso-ph6ym]

Мне было проще решать через теорему синусов. Заодно вывел забытую формулу синуса тройного угла (формулы сложения пока помню 🙂).

[@user-lg5qn9vi7s]

Красиво и просто

[@user-ln9hy3ik8d]

Злегантное решение, 👍

[@KaraTeUa]

Увеличим уголок альфа на небольшой Бетта, а 2альфа на 2бетта. Получим еще один треугольник со сторонами 5 4 6? В чем парадокс?

[@user-hr5vv3nm3x]

Мне кажется, можно немного проще. Биссектриса BD делит вершину a+a, основание AD=y, CD=x. Отсюда: BCD подобен ABC, сл-но: 5:(x+y)=y:4 5:y=4:x x=8/3, y=10/3, x+y=6

[@user-rd4lt8re3l]

Спасибо

[@gixtixdo1079]

я просто написал теорему синусов для стороны 5 и 4, нашел синус альфа и достроил высоту из 2 альфа, а потом по т пифагора

[@face_off7626]

А если бы треугольный не такой равный был, то как это формула будет работать

[@pasahuseyn9914]

x=4•sin2a/Sina=8cosa x^2=64(cosa)^2=41-40cos(2a)=41-40{2(cosa)^2-1} ;144(coşa)^2=81 cosa=9/12=3/4;(cosa>0) x=8cosa=6

[@user-oc9ed7qr3y]

1) Составим систему уравнений с помощью теорем синусов и косинусов: 4/sin(a) = x/sin(2a) x = кв.кор(41-40cos(2a)) 2) В первом уравнении системы выражаем sin(2a) как 2*sin(a)*cos(a) и получаем, что x = 8cos(a) 3) Подставляем полученное значение во второе уравнение системы: 8cos(a) = кв.кор(41-40cos(2a)) 4) Возводим обе части этого уравнения в квадрат при условии, что cos(a) >= 0: 64cos^2(a) = 41-40cos(2a) 5) В этом уравнении выражаем cos(2a) как 2cos^2(a)-1: 64cos^2(a) = 41 - 80cos^2(a)+40 144cos^2(a) = 81 16cos^2(a) = 9 cos^2(a) = 9/16 cos(a) = ± 3/4, cos(a)>=0 cos(a) = 3/4 6) Т.к нам известно, что x = 8cos(a), находим x: x = 8cos(a) = 8 * 3/4 x = 6 Ответ: 6 😒

[@servenserov]

Красиво! Но многовато доп.построений. Теорема синусов + теорема косинусов тупо решают задачу.

[@user-sv3bo4hj4m]

Ну ладно, я так не умею. Я на глаз прикинул что угол альфа будет 135 градусов соответственно сторона Х = 6😂

[@AlexandraMarchenkova]

1) Введем обозначения и дополнительные построения 1.1)обозначим вершины треугольника -- ABC (слева направо по часовой стрелке) ( по условию угол ^ВАС=а, угол ^АВС=2а) 1.2) проведём биссектрису из из ^АВС и обозначим точку пересечения с основанием АС -- К (угол ^АКВ=180°-2а и АК=ВК) 1.3) проведём биссектрису из угла ^ВКС на боковую сторону ВС, точку пересечения обозначим -- N (угол ^ВКС=2а, ^ВКN=NKC=a, KN=BN) 1.4) отрезок NC обозначим -- l (тогда KN=BN=4-l 1.5) отрезок АК обозначим -- y, отрезок КС -- z 2) рассмотрим подобные треугольники 2.1) АВС и КNC: AB/KN=BC/NC или 5/(4-l)=4/l ➡️ l=16/9 2.2) BKC и KNC: BC/KC=BK/KN=KC/NC или 4/z=y/(4-l)=z/l т. к. из пункта 2.1) l=16/9 ➡️ 4/z=y/(4-16/9)=z/(16/9) ➡️ z=8/3, y=10/3 3) AC=АК+КС=y+z=8/3+10/3=18/3=6 ☑️☑️

[@chupapeek]

Я решил по теореме синусов и формуле тройного угла)) ответ такой же

[@slavasahnenko5801]

5 с +. )))

[@user-hv3iv7xd3j]

Задача поставлена не корректно. Если один угол треугольника вдвое больше одного из углов, то это прямоугольный треугольник. 1а+2а+1а=180(градусов). При этом 1а=45(градусам). Следовательно угол в вершине треугольника прямой, углы у основания будут одинаковыми, катеты равны и торжествует Пифагор.

[@user-nd2ve5wf2l]

По теореме синусов и синусу тройного угла всё решается без доп построений. Альфа 30 град, 2альфа 60 град. И всё

[@user-rc5lx6zi7n]

То что достроеный боььшой треугольник будет равнобедренный еще не очевидно

[@Pavel84632]

Так он это и доказал

[@user-cm4qu4xc4w]

Углы при основании равны

[@eliremingtone4654]

@@Pavel84632 Нет, не показано что верхний зеленый угол равен альфа

[@Qwert1978]

Пропорция без доп.построений получается, чуть сложней и не так оригинально

[@user-wo4pr7vj2b]

Две теоремы косинусов и все легко получается и выражается

[@barackobama2910]

в лоб теорема синусов и решение в 2 раза быстрее. И думать не надо. надо только формулу синуса тройного угла помнить.

[@nikosdemetriou4527]

Πολύ έξυπνη λύση. Την ελυσα με τον νομο των ημιτόνων, αλλα εχει αρκετή δουλειά!! Χρημοποίησα τα ημ3α και το ημ2α!!! Έχει ωραία φαση!!!!!

[@kollane7449]

У меня, наверное, еще сложнее решение: Найдем a по теореме синусов: 5/sin(π-3a) = 4/sin(a) 5/sin(3a) = 4/sin(a) 5/(-4sin³(a)+3sin(a)) = 4/sin(a) 5/(-4sin²(a)+3) = 4 -16sin²(a)+12 = 5 sin²(a) = 7/16 a = arcsin(√7/4) Затем через теорему косинусов: x² = 25+16-40cos(2a) x² = 41-40(1-2sin²(a)) x² = 41-40(1-2*7/16) = 41-40/8 = 41-5 = 36 x = 6🥀

[@tvoutru]

А вам не кажется, что тут ответов до бесконечности?

[@rockroll8614]

6,4 точный ответ

[@victortsykunov]

А каким боком math появился в математике это ни есть хорошо 👌

[@paavei]

Борцы за чистоту русского языка не знают русский язык, это НЕ есть хорошо. Да, и запятая в Вашем предложении тоже нужна.

[@user-cm4qu4xc4w]

@@paavei тире

[@user-qy8re3yx3d]

6? Решала сама.

[@mikhailobodovsky9777]

После проведения биссектрисы ничего дальше делать не надо. Пусть x=9y (происхождение 9, думаю, объяснять не надо). Тогда биссектриса равна 5y. Однако, квадрат биссектрисы равен произведению сторон, ее заключающих, минус произведение отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону, отсюда (5y)^2=5 * 4 - (5y) * (4y). Отсюда 45y^2=20, y=2/3, x=9y=9 * 2/3=6. Подобие при таком решении можно не искать, его не всегда просто увидеть. PS. Формулу для биссектрисы стоит знать, это самый простой путь выразить ее через стороны. PPS. Доказательство формулы для биссектрисы требует дополнительного построения и нахождения подобных треугольников, оно там сложное. Впрочем, достаточно один раз увидеть соответствующий чертеж, чтобы его никогда не забыть.

[@sibedir]

8/√2 Ееееее -------упс Хе-хе-хе

[@mendozajovy]

I will use Sine Law

[@user-os6ke7zk6f]

8?

[@defymecobra]

Теорема синусов и всё - даже дополнительное построение не нужно!

[@rozanazaryan4729]

Ответ---6

[@user-hp1xs6jp4z]

Почему верхнее число четвёрка, а не пятёрка?

[@user-cm4qu4xc4w]

Рассматриваются два треугольника: новопостроенный (зеленый со сторонами 4, 4, х) и большой суммарный (со сторонами 5+4, х, х))

[@rafarafailov7233]

Все отлично! Но как нам, слушателям ,научиться РАССУЖДАТЬ как въ? Как въ приходите к таким рассуждениям? Что вам подсказъвает такой ход мъслей? Что мне искать в условии, что приведет МЕНЯ к решению? Эх, въ! Учителя! Разве так учат? Въ просто демонстрируете свои умственнъе мускулъ, А мне какая польза от таких объяснений??? Нет. Не умеете въ учить. А задачи умеете решать, да и только. А я все жду, КОГСА ЖЕ ХОТЬ КТО-ТО ИЗ ВАС ПЕРЕСТАНЕТ БЪТЬ АСОМ, А СТАНЕТ УЧИТЕЛЕМ. ЖАЛКО!!!

[@user-bl9wk4tl6t]

A²+B²=Dz Простая решение. Блин голова марочись

[@user-sx7jp9rt6n]

Много воды

[@user-nr9cs8fd5q]

Добавлю, что сos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1. Поэтому не ужно находить угол, а в качестве 2-го неизвестного выступает косинус.

[@MrArcan10]

я решил в уме последовательным применением теорем синусов и косинусов

[@user-nr9cs8fd5q]

Предлагаю применить теорему косинусов. х2=5^2+4^2-2*5*4cos(2a) и 4^2=5^2+x^2-5*x*cos(a). Полученные уравнения решаются как система с 2-я неизвестными: стороной х и углом а.

[@anushkarapetian7381]

Красиво.

[@ElenaElena-wh8vm]

Спасибо