ОБАЛДЕННАЯ ЗАДАЧА! Мало кто решит.

Точка O внутри квадрата ABCD соединена c серединами его сторон. Площади трех полученных 4-ков равны 3,2,4. Найти площадь четвертого.

[@user-hn1eu7gh1j]

Все больше ловлю себя на том, что все больше мне нравится именно восполнение забытых фундаментальных знаний. То есть, задачу я решил за секунду, а почему это именно так, очень хорошее разъяснение. Так, глядишь, скоро ДЗ станут самой интересной частью... Спасибо, Валерий Владимирович!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо ребята. Очень вдохновляете!

[@user-sc1zy5yl6o]

Спасибо!❤

[@AlexeyEvpalov]

Соединим середины сторон в квадрат MNPK. Цветные треугольники вокруг его равны. Внутри его, сумма площадей зелёного и розового треугольников, как и желтого с синим, это 1/2×S(MNPK), так как у них одинаковое основание и сумма двух высот, равные стороне квадрата MNPK. Сложив цветные треугольники получим x+2=3+4, Ответ: x=5

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@capitaineserge_9747]

А если точка О не внутри квадрата MNPK, то внутри не будет ни желтого ни синего треугольника.

[@user-cr6ds4zr5b]

Так же

[@adept7474]

Красивый пиар - ход: "Мало кто решит"! В ДЗ - никакой разницы: половинки - они и в Африке половинки.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, мы такие.

[@vladbulgakov2104]

Ваше доказательство как раз для общего случая - любого выпуклого четырехугольника. Я же рассмотрел квадрат MNPK, для него суммы площадей накрест лежащих треугольников равны по понятным причинам - потому что равны суммы высот этих треугольников, и основания. А значит в таком же отношении находятся и заданные четырёхугольники, т.к. к ним приплюсована постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата. Отсюда легко найти 5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спаасибо. Отлично.

[@capitaineserge_9747]

Насчет "накрест лежащих треугольников" и "постоянная величина в виде равных "уголков" большого квадрата" верно только в случае когда точка О внутри квадрата MNPK, а это не при любых заданных площадях и для конкретного случая еще нужно доказать.

[@alexnikola7520]

ппц.. потрясающе... пойду пить водку... с математикой завязываю... нет способностей

[@user-yf1zt2dg8m]

Отрезаем уголки и остаётся квадрат с двумя парами тпротиволежащих реугольников с одинаковыми основаниями и суммами ввсот. Ответ 5

[@GeometriaValeriyKazakov]

Верно.

[@pojuellavid]

1. Интуитивно. Слева направо -1, сверху вниз +2. Ответ :5 2. Соединим т О с вершинами и опустим перпендикуляры на стороны. Основания у треугольников равны, а площади цветных зависят от (прямопрорционально) суммы двух перпендикуляров. Обозначим их близстоящими буквами. Составим равенства. M+N=3@ P+N=2@ P+K=4@. Откуда М+К=М+N+2@=5@ Ответ:5

[@nalim81]

Есть и алгебраическое решение "в лоб": если обозначить координаты точки O относительно центра квадрата Q как (x, y), половину стороны квадрата как a, то получается система из 3 уравнений (через площади прямоугольников BCPM, CDKN, треугольников MOP, NOK, квадрата ABCD, маленького квадрата AMQK и треугольников MOQ, QOK): (1) 2a^2 - ax = 6, (2) 2a^2 - ay = 5, (3) a^2 + a(x + y)/2 + 2 + 3 + 4 = (2a)^2 Складывая (1) и (2), выражаем a(x+y) через a^2; подставляя в уравнение (3) находим a^2 = 7/2. После чего и находится искомая площадь a^2 + a(x+y)/2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-wj5vx7og4h]

Разбил каждый четырехугольник на два треугольника по диагонали, проходящей через точку.Легко доказывается, что сумма площадей накрест лежащих четырехугольников одинакова.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Да, мы это и сделали.

[@lanazakharova7699]

Да, хорошая задача. Давала её год назад ОГЭ-шникам. Надо снова дать. А малыши 4 кл. пока не знают медианы и площади треугольников через высоту. Поэтому им даю немножко другие. Можете здесь выложить для развлечения взрослых дяденек, у вас красиво получается: Прямоугольник разделите на 4 прямоугольника двумя прямыми, параллельными сторонам как угодно. 1. Найти площадь одной части, если известны площади трёх других. 2. Найти периметр одной части, если известны периметры трёх других.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно.

[@user-rh6mm6mz9d]

Без доказательства , как аксиома , сумма площадей четырех угольников по диагонали равна. А теперь мой вариант. Примем половину стороны квадратa = x , MN =x* на корень из 2 . В тр.МNO проведем высоту ОL ( перпендикуляр на MN , S тр.MNO=OL*MN :2 . S тр.MBN= X^ :2 . S (MBNO)= сумме треугольников , откуда OL=6-x^/x*корень из 2 . В тр . КОР проведем высоту на КР в т. F . OF= LF(MN)-OL=3x^-6 деленное на2 . S тр. КОР=3x^-6 деленное на 2 . S ( KOPD) = сумме тр. и равно 4 , откуда x = корень из14:2 , сторона квадрата = 2x= корень из 14 , площадь квадрата =14 , искомая площадь = 14-9=5 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Супер.

[@zawatsky]

Достаточно просто. ΔАМК=ΔBMN=ΔCNP=ΔDKP. Их суммарная площадь - половина общей площади квадрата ABCD. Каждого в отдельности, соответственно - 1/8. Остаётся другая половина - вписанный ромб MNPK со стороной АВ/√2, состоящий из четырёх треугольников, сходящихся в т. О. Площадь каждого выражаем по трём сторонам, за неизвестную берём сторону ромба. Уверен, как-то это всё сводится в систему, решается.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересно!

[@Abdulla_Izrailyevich_von_Stahl]

m, n, p, k - высоты, опущенные из общей точки O к сторонам квадрата. Цветные четырёхугольники делим на 2 треугольника с одинаковым основанием в половину стороны квадрата. Площадь треугольника S=ah/2 . S(зел.)=am/2+an/2=(m+n)*(a/2), с остальными аналогично. Константу a/2 в дальнейших рассуждениях можно игнорировать: n+m=3 n+p=2 k+p=4 m+k=(k+p)+(m+n)-(n+p)=4+3-2=5

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@igortunev6163]

Ещё способ, которого пока не увидел в комментах. Двигая O || MN || KP не изменится S(∆MNO) и S(∆KPO). А значит не меняется и S(∆PNO) + S(∆MKO), если O не выходит за пределы MNPK. Аналогично для движения O || NP || MK получим S(∆MNO) + S(∆KPO) = константа. MN⊥NP, значит, двигая точку в любом направлении в пределах MNPK сумма противоположных ∆-в не меняется. Дальше уже просто.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@EkIvKol]

Интуитивно😂5

[@GeometriaValeriyKazakov]

В казино пора с такой интуицией идти!

[@user-rp4hz7ng5n]

Бцудет 6 (шесть) !!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Незачет. За смелость хор!

[@Xamook]

По условию даны площади: 2, 3, 4. Если бы вы хоть раз проверяли свой IQ, вы бы сразу поняли, что ответ 5, безо всяких замудрствований.

[@GeometriaValeriyKazakov]

По условию 2,3,4 это я спецом дал. А с моим IQ - вы правы, не то что у некоторых моих зрителей.