[HA#2] Bloqué dans tes exercices ? J'ai une solution ! (Exercice d'Olympiades)

Dans cette émission, je propose mes meilleures réponses à une question qui se pose fréquemment lors de la résolution d'un exercice: « je suis bloqué, que dois-je faire ? ». Pour sortir de ce scénario classique, auquel j'ai assisté bon nombre de fois lors de mes années d'enseignement en classes préparatoires, il s'agit déjà de connaître les bons réflexes…
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Petite scène d'études mathématiques
1:43 - Énoncé d'illustration
2:03 - Une première réponse
4:31 - Raffinements successifs du raisonnement
5:46 - D'autres perspectives de mouvement
9:10 - Était-ce là une solution virtuose ?
✒️ Notions abordées: khôlles, méthode de résolution d'un exercice, équation diophantienne, parité d'un entier, décomposition en facteurs premiers, factorisation, raisonnement par analyse-synthèse.
🌞 Bonne écoute !
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#Terminale #Arithmétique #Exercice

[@olivierdarras7288]

Si on remarque que 54 est un multiple de 2 et 3, il vient naturellement à l'esprit de chercher des implications dans Z/2Z et Z/3Z. Avec le premier, on voit rapidement que x et y doivent être congrus à 0 modulo 2. Avec le second, en testant les 3 classes de x: -si x est congru à 0 modulo 3 alors y doit l'ětre aussi, donc x et y devrait étre des multiples de 6. En remplaçant dans l'équation de départ on aboutit à une impossibilite en remplaçant x et y par 6n et 6m -si x est congru à 2 modulo 3 on aboutit à une absurdité classe de 2 égale à classe de 0 -si x est congru à 1 modulo 3, alors y devrait étre congru à 1 modulo 3. Donc x et y sont de la forme 3n+1 et 3m+1 (avec n et m non nul) quand on remplace dans l'équation on aboutit à 9nm + 6(n+m)+3=54 en simplifiant on obtient 3nm + 2×(n+m) = 16 . Les seuls couples n,m possibles sont 1,2 et 2,1 donnant donc les 2 solutions possibles (4,10) et (10,4) pour (x,y)

[@oljenmaths]

Merci beaucoup du partage, j'apprécie beaucoup, et j'épingle ce commentaire qui plaira beaucoup aux amateurs d'arithmétique en tous genres 😁!

[@martinalexandre4582]

Pas un petit problème de simplification ? 9nm+6(n+m)+3=54 se simplifie en 3nm + 2(n+m) = 17 . Le seul couple à la permutation près est (1;3) (et pas 1;2) ce qui donne bien comme solution (3*1+1;3*3+1) soit (4;10)

[@SGKdi]

La référence au manque de place sur la marge est assez intelligente.

[@violainedupent6131]

Super exercice, merci pour ce travail toujours aussi qualitatif !

[@samuelsewall8598]

Grâce aux vidéos de la chaîne "Hedacademy", j'ai immédiatement pensé à la factorisation, puis à l'ajout du +1 en en "payant le prix". Je trouve que vos deux chaînes se complètent admirablement bien, à des niveaux différents bien sûr, mais ça fait plaisir de se réintéresser aux maths alors que les études sont bien loin maintenant ^^

[@oljenmaths]

Je n'avais jamais cliqué sur cette chaîne qui apparaît dans mes recommandations de temps en temps et je suis bien content de l'avoir fait suite à ce message (J'ai regardé ceci: kzbin.info/www/bejne/qJuVnGqXaquXbNU). J'aime beaucoup la bienveillance et l'enthousiasme que dégage Iman, c'est vraiment comme cela que j'aime pratiquer les mathématiques 😁!

[@Orbald]

haha excellent, j'ai eu le même réflexe avec la même phrase choc '"On paye le prix" et donc ... avec la même ref :)

[@Nathan-le1nw]

Bien pratiques ces marges Monsieur Fermat 🌝

[@oljenmaths]

C'est un classique que je recommande aux petits et aux grands, élèves et professeurs 😌.

[@maxfardeau3337]

Ca ca va m'aider 😅

[@etistyle96]

il me faut absolument cette formation ! xO

[@oljenmaths]

Tu l'as déjà, petit plaisantin 🤣! Il est temps de la suivre jusqu'au bout et d'en tirer les riches enseignements 😇!

[@michelbernard9092]

En plus de la parité et de la symétrie, on peut réduire les essais possibles en écrivant que x= (54-y)/(y+1) or comme x ⩾2 il vient y⩽52/3 soit y⩽17 ; par symétrie entre x et y ça donne 9 tests et par parité seulement au plus 5 : x= 2 ; 4 ; 6 ;8 ; 10 ; à ce stade on peut tester chacune des possibilités.

[@oljenmaths]

Une approche très appréciée 🙏🏻. Ce n'est pas la « solution attendue », et c'est tant mieux: tout l'objet de cette vidéo est de montrer que justement, même en partant dans une direction moins prometteuse, on peut souvent trouver son chemin.

[@michelbernard9092]

@@oljenmaths Comme j'ai l'habitude de chercher vos exos avant de regarder les solutions, c'est ainsi que j'ai procédé et publié, mais bien sur, le coup d'ajouter "1" pour factoriser, c'est plus simple et plus rapide, c'est le TOP !! et je suis triste de ne pas y avoir pensé. Cependant, j'ai pris une feuille de papier et foncé directement sur une solution par élimination sans penser à relever la tête de ma feuille ! Il faut parfois faire une pause pour trouver une autre voie de calcul. Pour votre information, cet exercice m'a pris environ 10 minutes, alors qu'avec la factorisation, c'est de l'expresso ! Merci encore de publier vos exercices, c'est fort intéressant.

[@mariusprincipaud3511]

Bonjour ! Merci beaucoup pour vos vidéos. Je viens de rentrer en sup et on a finis le chapitre sur l’algèbre et j’ai un peu de mal avec les exercices qui font intervenir la création d’objet (ensemble, application, relation…) adéquate pour résoudre l’exercice. Je me retrouve souvent dans la situation : “ah mais oui biensur !” Alors que je n’aurais jamais eu l’idée. Je sais qu’il n’y a pas une méthode miracle mais si vous pouviez consacrer une vidéo à cet exemple, avec votre qualité d’explication et peut-être un nouvel axe de raisonnement cela pourrait m’aider moi et sans doute plusieurs autres personnes.

[@oljenmaths]

Salutations ! Je comprends parfaitement cette difficultés. Le « On pose… » ou « On considère… » à partir duquel tout se déroule sans encombres a tendance à faire mal au dos… La première clé, c'est déjà celle qui consiste à se demander « Quels sont les indices qui auraient pu m'inciter à considérer cet objet-là ? ». Répondre à cette question prend du temps et de l'expérience. J'ai un exercice en tête qui pourrait illustrer cela. Dans l'idéal, j'essaierai de le présenter d'ici la fin de l'année calendaire 😇.

[@AllemandInstable]

Il est très sous-côté de pouvoir trouver de l'aide méthodologique au début de son parcours pour pouvoir progresser en toute sérénité. Comme je le dis souvent c'est un des échecs de la classe préparatoire à mon sens que les professeurs n'aient pas assez le temps, ou alors peut-être qu'ils ont avec l'expérience oublié ce que cela faisait de ne jamais avoir fait de mathématiques au delà du calculatoire après le lycée : celui de ne pas expliquer à quoi ressemble véritablement la recherche d'un exercice et pourquoi c'est OK de se tromper, ou bien même de ne pas trouver tant que l'on a essayé d'avancer et que la correction va donc véritablement éclaircir et être utile pour après. Je vais être honnête, j'aurais bien aimé, moi, avoir ce genre de contenu ( et de formation ! ) lorsque j'étais en classe préparatoire MPSI. Certes je finis par découvrir cetet chaîne en fin de MP, mais elle reste même aujourd'hui utile à bien des égards.

[@oljenmaths]

En réalité, je partage le même point de vue. Mon travail consiste actuellement à créer les vidéos et les formations que j'aurais aimé trouver moi-même lors de mes propres classes préparatoires. J'espère qu'elles pourront être utiles au plus grand nombre 🤞🏻!

[@matheoland]

Ce qui est rigolo, c'est que l'on peut retrouver assez facilement tout ce qu'on a fait par le calcul (la factorisation, l'astuce du +1, etc.) si on fait un schéma géométrique (du style complétion du carré). Mais je préfère tout de même la rédaction non géométrique, qui a l'avantage de sembler plus astucieuse.

[@philippefrit7036]

Bonjour, je pense avoir procédé selon cette méthode "graphique" qui me semble tout à fait valable. En résumé, on trace un rectangle de côtés x et y dont la surface représente le produit x*y; Puis on rajoute 1 à chaque côté du rectangle pour obtenir les termes x et y; on constate alors qu'il faut rajouter 1 à la somme précédente pour obtenir la surface totale ou rectangle de côtés x+1 et y+1; on termine ainsi sur l'égalité (x+1)*(y+1) = 55 = 5*11 ... Comme matheoland, je pense que c'est la structure de l'équation qui m'a immédiatement conduit à envisager cette méthode comparable à celle de la complétion du carré qui permet en effet de rendre factorisable l'expression de départ

[@AitJoseph]

Astreindre x et y à N*, n'arrange pas les choses ! à suivre ...

[@oljenmaths]

Cela ôte seulement quelques solutions « faciles », mais effectivement, cela n'aide pas à grand chose dans le cœur de l'exercice lui-même 👍🏻.

[@pybelleau]

Je viens de découvrir votre chaine en cherchant quelque chose sur la 'théorie des distributions' et je suis surpris de la qualité de vos vidéos. J'aimerais savoir quel logiciel vous utilisez pour faire vos vidéos. Je n'ai rien vu de comparable. La théorie des distributions me rappelle mes cours d'analyse mathématique en génie il y a déjà près de quarante ans ! Très bon vidéos et très bien fait.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce message chaleureux 😁! En réalité, c'est de l'artisanat pur et simple, et chaque minute de vidéo produite me demande une heure de travail en moyenne. J'utilise donc toute une panoplie de logiciels: GoodNotes pour la composition graphique, puis Photoshop, Audition et Premiere pour toute la suite, du découpage des vignettes au montage en passant par l'enregistrement du son.

[@pybelleau]

Je n'ai jamais utilisé de produit Apple donc c'est pour ça que j'avais complètement loupé de type d'applications. C'est une découverte ici.

[@loicboisnier5332]

N'ayant vu que la vignette, j'ai commencé à réfléchir sur R. On trouve alors aisément que y = (54-x)/(x+1). Le passage aux nombres entiers m'a fait essayé un peu de congruence sans succès. J'ai alors testé les couples possibles (avec la parité, ils ne sont pas nombreux)

[@oljenmaths]

Au top ! Il y a un commentaire d' @olivierdarras7288 qui propose une solution avec les congruences 👍🏻! Merci du partage !

[@scarrosi7754]

Merci professeur pour vos méthodes , je vous suis très reconnaissant , je voudrais bien que vous me donniez une façon pour résoudre cette exercice gênant : résoudre dans N² : x²-y²-2y-13 = 0 J'ai tout essayé, c'est très ardu

[@oljenmaths]

Ah, ça peut être effectivement pénible, ce genre d'équations. Une idée serait de faire disparaître le 2y en faisant apparaître une identité remarquable, ce qui donne (x-y+1)(x+y+1) = 12. Et à partir de là, on devrait pouvoir s'arranger sans trop forcer, non 😇?

[@Orchidinfos]

Méthode plus longue : je me suis amusé à faire un changement de variable y = x-p, ce qui m'a ramené à l'étude d'une fonction paramétrique du second degré dont le delta devait obligatoirement être un carré parfait pour engendrer des solutions dans N*. On trouve alors que p = +/-6, x=10, y = 4 (et vice versa)

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce partage, cette idée est loin de m'avoir effleuré l'esprit et je suis bien content de la lire à présent 😁!!

[@vinceguemat3751]

je pense que j'aurais commencer par essayer de me représenter visuellement la fonction, pour savoir a quoi ca ressemble c'est a dire : x+xy+y = 54 x + y(x+1) = 54 y(x+1) = 54 - x y = (54-x)/(x+1), c'est donc une hyperbole, avec deux asymptotes : la droite y = -1 (valeur interdite) et la droite x = -1 (par étude de la limite en +inf), et donc le centre de symétrie de la fonction est en (-1, -1) En suite, l'idée d'avoir une fonction plus simple, avec le centre en (0, 0) me semble sympas, donc on pose X = x+1 et Y = y+1 on a donc X-1 + (X-1)(Y-1)+Y-1 =54 X+Y-2+XY-X-Y+1 = 54 XY-1=54 XY = 55 Et la on retombe sur la solution proposée dans l'exercice

[@oljenmaths]

J'aime beaucoup l'intervention de la géométrie là-dedans ; plutôt que d'être dans la pure manipulation du nombre, on y « voit » enfin quelque chose. Merci pour le partage 📐 !

[@lionelhue]

Pour ma part, c'est un changement de variable qui m'a permis d'aboutir à la solution : J'ai commencé l'exercice en voulant factoriser x dans l'expression, voir où ça allait m'amener : x+ xy + y devient x(1+y) + y Puis, je me suis dit pourquoi ne pas poser Y = 1 + y et voir ce que ça donne : x(1+y) + y devient xY + Y - 1. Ce qui en revenant à l'équation de l'énoncé permet d'avoir xY + Y = 55. Y n'attendant qu'à être factorisé à son tour, on a : (x +1)Y = 55. On refait un changement de variable avec cette fois ci X = x +1. Ce qui amène à XY = 55, pour suivre ensuite votre raisonnement et déterminer les solutions possibles pour x et y. C'est donc ainsi que j'ai mis ma "pensée en mouvement" (et qui a porté ses fruits). Merci pour vos vidéos, tellement enrichissantes !!!

[@oljenmaths]

Oh ! Très original ! C'est vraiment une chouette manière de trouver du mouvement, en effet 😁! C'est un chemin alternatif vers la factorisation, et on reconnaît même l'étape de la factorisation partielle (avec le Y = 1+y) dans l'intention de simplifier les choses. Merci pour le partage 🙏🏻!

[@Sai-hc6il]

Bonjour étant un viewer de longue date depuis la 1ère jusqu'en en MP et fan de votre travail, je me retrouve dans une situation similaire aujourd'hui en étant confronté à des exercices. En sup je pense que je pouvais m'en sortir en utilisant les idées vu en classe cependant je pense que ça ne suffit plus pour des exos de spé. Etant boursier échelon 4 il est difficile pour moi de justifier un prix de 80 euros mais je ne doute pas que ce travail est excellent, dans ce cadre j'aimerais savoir si il vous vient en tête d'autres ressources pertinentes concernant la résolution d'exercices. Je vous remercie d'avance

[@oljenmaths]

Salutations, viewer de longue date 😁! Je ne connais pas de ressource qui traite du sujet dont il est question dans Dedalus; c'est la raison spécifique pour laquelle je l'ai conçue. En guise de ressource gratuite, je vous recommande le visionnage de toutes les dernières vidéos: celles de la playlist [KDJ], qui sont toutes en rapport avec la formation 👍🏻.

[@abdlhamidndfnne5371]

E, est un e.v.n, N une norme sur E , démontrer l'inégalité suivante : | N(x) - N(y) | ≤ N ( x - y )??? Pas d'autres espaces ou adresses pour le contact, donc obligé de sortir du sujet abordé ! Nos relations sont très amicales et bien respectueuses , merci prof....

[@oljenmaths]

C'est le même mécanisme qui permet de passer de |x+y| ≤ |x| + |y| à l'inégalité | |x| - |y| | ≤ |x-y|, en réalité. Il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire aux bons vecteurs.

[@abdlhamidndfnne5371]

@@oljenmaths j'ai attendu votre réponse , et merci, les amis c'est les échanges mathématiques et hors maths . Je suis votre meilleur ami et on le démontrera par les normes! Revenons au sujet, je vais suivre votre indication et essayer de conclure , sinon je vous rappelle ...

[@abdlhamidndfnne5371]

@@oljenmaths on n'est pas sorti de l'auberge! En l'appliquant on aura la valeur absolu de la diff des normes qui nous ramènent à l'hypothèse initiale??? J'ai soumis cet exercice a Gpt, il a tourné au rond , en lui disant qu'on a pas supposé ce qu'il affirme , en me répondant vous avez raison , j'ai mal interprété votre question? Les problèmes de maths ou physique exigent des profs " on Live " .... Parfois, je me dis à quoi sert toutes ces questions posées du moment que je passe mon temps libre uniquement a la documentation en mathématiques à travers la lecture sur manuels ou via les sites spécialisés, on peut sans arrêt poser des questions et j'adore alors changer de sujets , comme ça , raconter de petites histoires familiales , les mathématiques est une science exacte et peut être aussi un sujet de philosophie..... A travers nos échanges et vos vidéos je pressens ce côté philosophique dans votre méthode explicative .... Très bonne soirée ...

[@rosadjb3194]

4:40 Comment on pense à ça justement ? Comment on se dit si ils sont pairs le resultats l'est aussi ?

[@michelbernard9092]

si x et y sont impairs alors xy est impair et x+y est pair (somme de deux nombres pairs) donc la somme x+y+xy est impaire. Si x est pair et y impair alors xy est pair et x+y impaire donc la somme est aussi impaire de même que xy+(x+y) somme aussi d'un pair et d'un impair donc SI il y a une solution alors nécessairement x pair ET y pair

[@oljenmaths]

La parité d'un nombre entier est l'un des premiers concepts qu'on manipule à l'école, et c'est sans doute la raison pour laquelle j'ai souvent vu les étudiants parler de parité dans ce genre de circonstances. Comme je l'explique un peu plus loin, c'est une idée qui peut être raffinée pour s'adapter davantage à l'énoncé 😉. Quant à la deuxième question, Michel y a répondu à merveille 🙏🏻.

[@rosadjb3194]

@@michelbernard9092 Merci beaucoup !

[@rosadjb3194]

@@oljenmaths Merciii :)

[@raph5453]

il parait plus simple d'isoler directement y ; (x+1)y = (54-x) donc y = (54-x)/(x+1) si on veut les solution dans N* il suffit de verifié que : (54-x)/(x+1) est entier càd que 54-x divise x+1 càd 54-x ≡ 0 [x+1] ce qui nous donne 55 ≡ 0 [x+1] donc x+1 doit divisé 55 càd x+1 = 5 ou 11 (55 est exclu car y > 0 de meme pour -5, -11 et -55 car x>0 ) on déduit y suivant x

[@oljenmaths]

Efficace 🤖! Merci pour le partage 🥳🙏🏻!

[@HydrureDediisobutaluminium]

Je suis hyper impressionné par les résolutions dans les commentaires . Passant en terminale des que j ai vu une somme et un produit d entiers naturels je me suis dit qu on pouvait faire comme suit : poser X+y= S XY= P Ensuite de manière un peu instinctive on se dit que X et y ne doivent pas être trop grand et un peu au hasard je me dis on peut avoir : X+Y=14 XY= 40 On résout l équation du second degré : X^2-SX+P=0 Et on obtient X^2 -14X+40=0 Les solutions sont bien évidemment X et Y et par une résolution par discrimant on obtient les couples (10,4) et (4,10) ( Je me doute bien que cette résolution repose un peu sur mon instinct et je suis très heureux de pouvoir voir des démonstrations beaucoup plus rigoureuses que les miennes et qui sont émises par des gens beaucoup plus expérimentés)

[@oljenmaths]

C'est très bien, cette idée de « somme et produit » ! En fait, il y a sûrement plein, plein de solutions qui correspondent à différentes manières de concevoir les mathématiques 😉. Ce que j'essaie de dire, c'est qu'on peut souvent se ramener à des considérations assez simples à partir desquelles trouver de l'inspiration (ici, les notions de divisibilité, de facteurs premiers, etc.).

[@arthurdubois3234]

Sûrement ce qui a dû arriver plusieurs fois à Andoni … non pas à moi n’est ce pas …

[@oljenmaths]

Haha! C'est arrivé à tout le monde, à moi y compris 😇! C'est la conséquence de plusieurs facteurs, notamment de l'obsession de trouver « la bonne réponse » et aussi, probablement, de peur de faire une erreur (on pensera à certains colleurs dont la voix était très puissante, n'est-ce pas 🤣?).

[@cyrildelestre4698]

Bonjour à tous, je ne veux pas être désagréable, mais n'y aurait-il pas les solutions évidentes (0,54) et (54,0), accessibles par (x+1)(y+1) = 1*55 et (x+1)(y+1) = 55*1 ?

[@camille94380]

le couple (x,y) appartient à (N*)²

[@cyrildelestre4698]

haha, ça me surprenait 😅@@camille94380

[@userhomer]

Une réponse assez évidente est x=54 et y=0

[@lillii9119]

Sauf que l'énoncé nous dit qu'on est sur (ℕ*)² et non pas (ℕ)² malheureusement :p

[@mohamedriemann9784]

Lol j'ai exprimé x=f(y) et en développant le calcul je trouve -2y=0..

[@michelbernard9092]

y=0 x=54 et sa symétrique x=0 et y=50 sont effectivement solution dans |N mais pas dans |N*

[@oljenmaths]

« Et là, c'est le drame » - à prononcer avec un ton dramatique 🤣! Plus sérieusement, on peut toujours écrire x = (54-y)/(1+y), mais dans l'optique de résoudre une équation dont les inconnues sont entières, cela n'aidera pas beaucoup 😉.